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数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过形状和图形的变化来帮助理解和解决问题的思维方式。
它将数学与几何形状相结合，通过对形状的分析和变换，揭示出数学问题的本质。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于代数、几何和概率的相关知识中。
下面将分别介绍这几个领域中数形结合思想的应用。
1. 代数：代数是数学中重要的一个分支，它研究的是数与数之间的关系和运算。
在代数中，数形结合思想主要应用于代数式的理解和方程的解法。
通过将代数式转化为几何图形，可以帮助学生更好地理解代数式的含义和性质。
对于分式的除法运算，可以用一个长方形来表示被除数和除数，通过形状的变化可以帮助学生理解分式除法的原理。
2. 几何：几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科。
在几何学中，数形结合思想的应用非常广泛。
通过将图形进行平移、旋转和缩放等变换，可以帮助学生理解几何运动的性质和规律。
数形结合思想还可以用于解决几何问题。
通过画图来辅助解决面积、周长和体积等计算问题，可以更直观地理解问题的解题思路。
3. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在概率中，数形结合思想可以用于模拟随机事件的发生和计算概率。
通过掷硬币和掷骰子等实验，可以直观地模拟和计算各种随机事件的概率。
数形结合思想还可以用于解决排列和组合等问题。
通过画图来辅助计算排列和组合的个数，可以更好地理解问题的解题方法。
数形结合思想在初中数学中的应用非常广泛。
它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
通过将数学与几何形状相结合，数学不再枯燥乏味，而变得有趣和实用。
初中数学教学中应充分发挥数形结合思想的作用，培养学生的数学兴趣和创造力。
数形结合在数学教学中的应用引言：“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短。
数形结合，是一种基本的数学思维方法，能够帮助学生实现数学概念中数、形之间的有效转换，帮助学生更好的认识知识，理解知识，应用知识，最终提升学生数学的综合能力，训练学生良好的数学思维，提升学生的核心素养。
一、数形结合在数学教学中的地位和作用1、数形结合在数学教学中的地位在数学领域中，对数形结合的研究非常重要，由于数形结合具有较强的整合性和灵活的解题技巧，它使几何知识与代数知识紧密结合，使学生对数学概念掌握更为系统，有利于培养学生的思维能力。
2、数形结合在数学教学中的作用数形结合思想从字面意思上理解，就是数字、数学公式同图形、图像结合起来，用以解决一些抽象的、难以理解的数学问题，借助数形结合思想，学生的解题速度和解题质量都将大幅度提升，教师的教学难度也将降低。
数形结合思想有以下几点作用：第一，增强数学公式的直观性在数学学习过程中，由于初中生抽象思维还没有完全形成，对于抽象数学语言还做不到完全地理解，数形结合思想的融入，将数学语言直观化，提高学生的学习兴趣,培养学生的数学思维。
第二，丰富学生的解题思路在数学教学过程中渗透数形结合思想，尤其是一些图形、数量关系的转化问题，借助图形、思维图，将“数”与“形”进行有效转化，使抽象的应用题具体化，降低解题的难度，学生在图形结合中就能很明显的得出各数量之间存在的关系，找到解题思路。
第三，培养学生的数形结合思维在数学中，计算题是重要的知识内容，很多学生对于基本的数学计算仅仅使用最普通的方式解决，这样既没有效率，还容易出错。
数形结合的融入，既让学生逐渐认识到“形”对数学解题的重要性，还可以让学生懂得算理，掌握良好的计算方法。
第四，提升学生的想象力和创造力在数学教学阶段，初中生对于很多的数学知识完全没有思路，想象力受到限制，数学教师使用数形结合思想将抽象的数学规律形象化、显现化和趣味化，培养学生对数学知识的想象力，让学生形成具体的思维能力，帮助初中生轻松发现数学规律。
“数形结合思想”在小学数学教学中的应用探究“数形结合思想”是指通过将数学概念与几何图形相结合，利用图形的形状、大小、位置等特点，来帮助学生理解和掌握数学知识的一种教学方法。
在小学数学教学中，数形结合思想可以应用于多个知识点，有助于激发学生的兴趣和思维能力，提高学习效果。
下面以几个具体的例子来探究“数形结合思想”的应用。
1. 初识分数在小学三年级，学生初学分数，通常会通过画图解决一些简单的分数计算问题。
给学生发一块巧克力，要求学生将其分成4份，然后问学生得到了几分之几的巧克力。
通过画图的方式，学生可以直观地看到巧克力被平均分成了4份，每份都是1/4，因此得到了1/4的巧克力。
在实际操作中，学生通过将巧克力分成4份，再仔细观察其形状，可以帮助学生理解分数的基本概念和意义。
2. 计算面积小学四年级学生学习了面积的概念，通常会通过直观的图形模型来计算面积。
给学生一块长方形的纸，要求学生将其剪成两个相等的正方形，然后问学生每个正方形的边长是多少。
学生可以通过观察纸张的形状和剪切后的图形，发现纸张的面积没有改变，只是形状发生变化，因此可以利用数形结合思想，将纸张的面积等分成两个相等的部分，得出每个正方形的边长。
3. 探索正方体的表面积和体积小学五年级学生学习了正方体的表面积和体积的计算方法。
在教学中，可以通过将正方体展开成一个平面图形，来帮助学生计算表面积。
给学生一份模型图纸，要求学生将其折叠成一个正方体，并计算其表面积。
学生可以通过将模型拆解成若干个平面图形，然后计算每个图形的面积，再将各个面积加起来，得到正方体的表面积。
这种通过图形的拆解和组合，结合数学的计算方法的教学方式，可以帮助学生更好地理解和掌握正方体的表面积和体积的概念。
4. 运算符号的理解小学六年级学生学习了运算符号的理解和运用，在教学中可以通过图形的比较来帮助学生理解不同运算符号的含义。
给学生两个数的图形表示，要求学生通过观察图形的大小和形状，来判断两个数的大小关系，并用相应的运算符号表示。
数形结合思想在小学数学教学中的实践应用一、数形结合思想的基本概念数形结合思想是指通过数学的抽象思维和几何的形象思维相互贯通、相互补充、相互渗透，以求达到更好的教学效果。
这种教学思想不仅能够增加数学的趣味性和实用性，同时也有助于培养学生的综合思维能力和创造力。
数形结合思想在小学数学教学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 利用图形帮助理解数学概念。
通过绘制图形可以帮助学生更好地理解几何图形的性质和关系，有利于强化学生对几何概念的理解和记忆。
2. 利用数学知识解释图形现象。
通过数学知识可以对图形的属性进行量化分析，从而更深入地理解图形的性质和规律。
3. 通过数学模型对实际问题进行分析和求解。
通过建立数学模型对实际问题进行抽象和计算，从而更好地理解和解决实际问题。
1. 利用几何图形教学数学概念在小学数学的教学中，教师可以通过绘制几何图形的方式，来帮助学生更好地理解和掌握数学概念。
在教学加减法时，可以通过绘制几何图形，让学生直观地理解加减法的意义和运算规律。
在教学分数时，可以通过绘制图形让学生形象化地理解分数的大小和大小比较。
也可以通过观察图形的对称性来帮助学生理解和掌握对称性的概念。
2. 利用数学知识解释图形现象在小学数学教学中，教师可以通过数学知识来解释一些图形现象，从而帮助学生更深入地理解图形的性质和规律。
在教学三角形的面积时，可以通过数学知识来解释三角形面积与底和高的关系，从而让学生更好地理解三角形的面积计算方法。
3. 通过数学模型对实际问题进行分析和求解在小学数学的教学中，教师可以引导学生通过建立数学模型对实际问题进行分析和求解。
在教学解决实际问题时，可以通过建立代数方程或几何图形来对实际问题进行抽象和计算，从而更好地理解和解决实际问题。
也可以通过绘制图形来帮助学生形象化地理解和解决实际问题。
三、数形结合思想在小学数学教学中的效果评价数形结合思想在小学数学教学中的实践应用，可以有效地提高小学生的数学学习兴趣，激发他们的学习动力，增强他们的数学综合素养。
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在数学问题中，将几何图形与数学运算相结合，通过图形的变化和特点来解决数学问题。
它是一种抽象思维和几何思维相结合的思维模式，广泛应用于初中数学的教学和学习中。
1. 公式的认识和应用：通过几何图形的变换和特点，帮助学生认识和理解各种数学公式的含义和应用。
通过画图解释勾股定理，可以帮助学生更好地理解三角形的边与角的关系，加深他们对勾股定理的理解和记忆。
2. 解决面积和体积问题：通过将几何图形与数学计算相结合，解决面积和体积等问题。
将平行四边形切割成若干小三角形，然后通过计算每个小三角形的面积来求解整个平行四边形的面积；通过将长方体切割成若干个立方体，然后通过计算每个立方体的体积来求解整个长方体的体积。
3. 解决比例问题：通过绘制比例图形，帮助学生理解和解决比例问题。
通过绘制两个图形的比例尺，可以帮助学生直观地理解两个量的大小关系，并通过比例尺的计算来解决实际问题。
5. 解决几何证明问题：通过绘制几何图形，帮助学生理解和解决几何证明问题。
通过绘制垂直角的图形，可以帮助学生理解垂直角的性质，并利用垂直角的性质证明几何定理。
6. 解决几何问题的思路和方法：通过数形结合思想，帮助学生培养解决几何问题的思路和方法。
通过绘制几何图形，找出其中的规律和特点，从而推导出问题的解决方法。
需要指出的是，数形结合思想并不仅仅应用于初中数学，它在高中和大学数学中同样有广泛的应用。
通过数形结合思想，可以帮助学生发展抽象思维和几何思维，培养他们解决数学问题的能力和思维方式。
在初中数学中，运用数形结合思想是非常重要的一种教学方法，能够提高学生的数学素养和创新意识，促进他们的综合能力的提高。
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数形结合思想在小学数学中的应用
小学数学中函数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：
1.挖掘函数规律。
在实际应用中，学生不仅要学习计数、算术运算等数学基础知识，还要探索数学规律，获取与实物关系的函数表达式，以及函数的变体。
比如，利用自然数的函数表达式描述房屋建材的形状尺寸；利用有理数的函数表达式描述一只鸟的翅膀的大小和尺寸；利用实数的函数表达式描述天文台的位置与地理位置的关系等。
2.写出函数。
写出函数的过程，也是结合思想的体现，例如，利用实际应用写出函数表达式。
若在实际问题中，要表示关系表达式为y=f(x),那么可以采取点数图象方法，将实际问题中关系表达式写出，帮助学生学习并能理解函数。
3.绘制函数图形。
函数图形上也有许多考察结合思想的环节，例如用直线表示一元一次函数y=ax+b；用抛物线表示一元二次函数y=ax2+bx+c，补充说明抛物线的开口情况等；用无穷小的凹图形表示奇函数；用自变量的变化把函数的导数表示出来等。
4.求函数值。
形结合思想同样也在解决实际问题中体现出来，例如，当实物关系用函数表示时，可通过函数求得实物中特定时刻具体变量的数值；另外，函数的基本性质也可以用来解决比较复杂的实际问题。
数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。
数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。
1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。
例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。
同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。
2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。
通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。
例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。
在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。
通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。
3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。
通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。
弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。
通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。
4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。
通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。
例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。
通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。
数形结合思想在小学数学教学中的应用
数形结合思想是指在数学学习中，将几何形状和数字计算结合起来进行分析和解决问
题的思维方式。
它不仅拓宽了学生的思维空间，增强了学生对数学的兴趣，还能够提高学
生的逻辑思维能力和创造力。
在小学数学教学中，数形结合思想的应用可以丰富教学内容，增强学生的学习效果。
一、数形结合在几何图形认识中的应用
数形结合思想可以帮助学生更好地认识和理解各种几何图形。
在学习正方形的性质时，可以通过画出正方形的各个边和角度来帮助学生更加直观地理解正方形的特征；在学习平
行四边形时，可以通过画出平行四边形的对角线和角度来帮助学生理解平行四边形的性
质。
二、数形结合在面积和周长计算中的应用
数形结合思想可以帮助学生更好地理解和计算面积和周长。
在学习矩形的面积和周长时，可以通过将矩形分成若干个小正方形来计算面积，通过将矩形的边展开来计算周长；
在学习三角形的面积时，可以通过将三角形分成若干个小矩形或平行四边形来计算面积。
三、数形结合在图形变换中的应用
数形结合思想可以帮助学生更好地理解和应用图形变换。
在学习平移时，可以通过画
出原图和平移后的图来展示平移的过程和结果；在学习旋转时，可以通过画出原图和旋转
后的图来展示旋转的过程和结果。
五、数形结合在解决实际问题中的应用
数形结合思想可以帮助学生更好地解决实际问题。
在解决购物问题时，可以通过画出
购物清单和价格表来计算总价格；在解决旅行问题时，可以通过画出地图和距离标尺来计
算行程和时间。
数形结合方法在小学数学教学中的应用
数形结合方法是一种通过将数学问题与几何图形相结合来解决问题的方法。
它能够帮助学生更好地理解和掌握数学概念，培养学生的数学思维能力和几何直观能力。
在小学数学教学中，数形结合方法有以下几个方面的应用：
1. 平面图形的面积和周长计算：通过将平面图形分解为几个简单的几何图形，然后计算每个图形的面积或周长，最后将它们相加，可以求得整个图形的面积或周长。
这种方法能够帮助学生直观地理解面积和周长的概念，并培养学生的计算能力。
对于一个由长方形和三角形组成的图形，可以先计算长方形和三角形的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。
2. 分数与几何图形的关系：通过将分数与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解分数的概念和运算。
可以让学生将一个圆形分成若干部分，每一部分表示一个分数，然后通过比较不同分数所占的部分的大小来比较分数的大小。
这种方法能够帮助学生从几何的角度理解分数的大小关系和运算规律。
3. 长度、容量和质量单位的换算：通过将单位和几何图形相结合，可以帮助学生直观地理解不同单位之间的换算关系。
可以通过一个正方形来表示1平方米，然后将这个正方形分成若干小正方形，每个小正方形表示1平方分米，这样就可以帮助学生理解1平方米等于100平方分米。
类似地，可以用一个立方体来表示1立方米，然后将这个立方体分成若干小立方体，每个小立方体表示1立方分米，这样可以帮助学生理解1立方米等于1000立方分米。
通过这种数形结合的方法，学生可以更好地理解不同单位之间的转换关系。
数形结合思想在数学中的应用1 “数形结合”思想1.1 什么是“数形结合”？数形结合是贯穿中小学数学始终的数学思想方法，数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合寻找解题思路的一种解决数学问题的思想。
数形结合的途径有三种: 以形助数、以数助形、数形互助。
数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，而关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
“数形结合”是中国数学教育界教与学，理论与实践的衔接点。
对于数形结合思想方法的应用已经从数学发展到物理、生物、化学等基础理论学科的学习。
“数形结合”这一习语从产生到发展已有三四十年的历史，首先出现于1951年我国基础数学教育界的核心刊物《数学通报》中，与之相类似的词句为：“把数学中两个主要对象形与数密切的联系起来，把代数与几何统一起来”。
“数形结合”一词的正式出现是在中国数学界的传奇人物华罗庚先生的科普小册子《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难人微；数形结合百般好，隔家分离万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。
”该册子推出后，“数形结合”立即获得数学界的普遍认同。
从此，“数形结合”在数学刊物中被广泛的流传开来。
1.2 “数形结合”的作用数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一，在数学解题和教学中都发挥着巨大的作用。
该思想的主要内容体现在：建立适当的代数模型（如方程、不等式、或函数模型）；建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题；与函数有关的代数、几何综合性问题；以图像形式呈现信息的应用性问题。
数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性。
“形”属于形象思维的范畴，是人的右脑思维的产物。
“数”属于数学抽象思维范畴，人的左脑思维的产物。
数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力利用数形结合来解决数学中的有关问题，有着明显的优越性。
“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识。
给“数”的问题以直观图形的描述，提示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性。
从而使复杂、抽象的数学问题变得直观形象，从而成为简单的数学问题。
2 数形结合的具体应用2.1 数形结合思想在方程和不等式方面的应用一些看似纯代数问题，若直接从代数角度思考，比较麻烦，因此要通过观察、类比、分析、综合、和概括，灵活使用数形结合，达到事半功倍的效果；在方程求解问题中，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题，达到化难为易的效果；处理不等式时，可以从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
例1 已知正数z y x ,,满足方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+14425132222xz x z yz z y y x ，求z 的值。
解析 从结构上观察，后面两个式子和余弦定理近似，因此可选将其化为余弦定理⎩⎨⎧⋅-+=⋅-+=60cos 214460cos 2252222xz x z yz z y 因此，我们可构造几何图形来求解。
解 作ACB Rt ∆，AB =13，BC =12，在AB 上取D 使 60=∠ADC ，则BD =x ，AD =y ，CD =z ，如图4从而有DC AB DC AD DC BD AC BC ⋅=⋅+⋅=⋅4360sin 21120sin 2121 得：1334032=⋅==ABAC BC CD z例2 方程x x sin 231=的实数根个数为（ ）A 、3B 、5C 、7D 、9解析 直接求解该方程的根十分困难，因此，我们可以将等号两边分别看成两个函数x y x y sin 2,2311==，求实数根的个数即是求这两个函数图象的交点数。
又由于两个函数均为奇函数，因此只需作0≥x 的函数图象，又由于8>x 时，x x sin 2231≥>，故只需取[]π3,0这部分即可，将这两个函数图象作在同一个坐标系中，如图2故本题选DABC图4 图2在本题中应注意：当81=x 时，81sin 2812218131>⨯>=⎪⎭⎫ ⎝⎛，因此，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内有一个交点，本题易在草图（如图3）中，忽略该点，从而错选C例3 已知正数a ,b ,c ,x ,y ,z 满足条件a +x =b +y =c +z =k求证：ay +bz +cz <k 2解析 本题直接由已知条件从代数变形难以得到所需求证的结果，但观察结果，是三个乘积之和，从而可利用正弦定理求证，故可将已知条件的参数放置三角形内，通过面积的大小可得证。
证明 根据题设的特点构造几何模型：取边长为k 的正三角形PQR ，分别在各边上取点L ,M ,N ，使QL =x ,LR =a ,RM =y ,MP =b ,PN =z ,NQ =c ，如图1所示 由图看出：PQ R NQ L MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++， 即有： 60sin 2160sin 2160sin 2160sin 212k cx bz ay <++ 故：2k cz bz ay <++QL R 图1 图32.2 利用数形结合思想解决函数问题——求函数最值、单调性、值域求函数的最值、单调性和值域是函数部分的重点内容，虽然函数与函数图形相结合的解题方法大家运用得非常熟悉，但是很多题目用常规的方法却难以解答，此时，必将仔细观察函数结构特征通过灵活的变形转化，最后函数以图形的方式得以表达为距离函数、斜率函数等函数类型的题目达到解答的目的。
此数形结合形象、直观，便于求解。
函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，充分体现了数形结合的特征与方法。
例4 求函数1)3(1)(22+-++=x x x f 的最小值。
解析 通过观察已知函数的形式与结构，不难发现这是两个点间的距离之和，即可把原函数化为2222)10()3()10()0()(-+-+-+-=x x x f ，原题即转化成“已知点P （x ，0），求它到两定点A (0，1)，B （3，1）的距离之和的最小值”，从而结合图形，即可解决。
解 原函数化为2222)10()3()10()0()(-+-+-+-=x x x f ，如图5函数)(x f 的最小值即为PB AP +的最小值。
作A 点关于x 轴的对称点'A 点，即PB P A PB AP +=+'易知，当B P A ,,'共线时，有最小值13'=B A 即13)(min =x fxA ‘图5例5 求函数212x x y --+=的单调区间和值域。
解析 本题直接用求单调区间和值域的常规方法难以入手，但经过一定变形可转化为点到直线的距离问题，故可通过数形结合的思想来解决。
解 将原函数变形为22212⋅+--=x x y 其中，将2212+--x x 理解为动点()21,x x -到直线02=+-y x 的距离 作出图象，如图6，不难得出动点()21,x x -人轨迹为单位圆的上半部分 从而易得：函数)(x f y = 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈22,1x 是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,22x 就增函数 故易求得其值域为[]3,22-∈y例6 已知R y x ∈,且()4322=+-y x ，试求xy 的取值范围。
解析 由题可知点),(y x 在以)0,3(为圆心、2为半径的圆上，将x y 变形为00--x y ，即xy 的取值范围是过原点及此圆上的点的直线的斜率，结合图形即可求解。
解 根据题意作出图形，设过圆点的直线为kx y =图6由点到直线的距离可得2=132+k k ，解得：552±=k 故x y 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-552,5522.3 数形结合在解集合运算中的应用在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了且不易出错。
若与函数相结合的类似题目则难度较大，数形结合解题对思维能力、图形转化能力的要求较高。
例7 设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}解析 画出韦恩图，通过图形，形象直观，可知N ={1,3,5}。
故选B例8 若集合()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<===πθθθ0sin 3cos 3,y x y x M ，集合(){}b x y y x N +==,，且图7∅≠⋂N M ，则b 的取值范围为__________解析 (){}10,9,22≤<=+=y y x y x M ，显然，M 表示)0,0(为圆心，以3为半径的圆上方的部分；而N 则表示一条直线，其斜率为1，纵截距为b ，要使∅≠⋂N M ，只需直线与半圆有公共点即可，如图8所示显然b 的最小逼近值为-3，当直线与半圆相切时，此时得到最大值为23，从而，b 的取值范围为233≤<-b2.4 数形结合在解析几何中的应用解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
例9 已知椭圆1121622=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，()2,2B 是椭圆内一点，P 为椭圆上的动点，求PB PF +1的最值。
解析 本题直接求出1PF 和PB 的值是十分困难的，因此可有效利用椭圆的性质，将PB PF +1转化成21PF PB a PB PF -+=+，此时只需去求2PF PB -的最值即可。
作出图形，易知当2,,F B P 共线时，有最大值和最小值。
解 因为8221==+a PF PF ，所以218PF PF -= 所以218PF PB PB PF -+=+图8又 易求得)0,2(2F 故22=B F由图9可知：当P 在E 处时，28PF PB -+有最小值6)2(882=-+=-+PF PB当P 在F 处时，28PF PB -+有最大值82882=+=-+PF PB 因此，PB PF +1的最小值为6；PB PF +1的最大值为8例10 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，求直线方程。
解析 这个问题可由已知列出方程直接求解出该直线的斜率，但这样做较为复杂。
