天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷一、选择题（每题5分，共45分）1．设集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知a 、b 、，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中正确的个数为（）个①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．若，则（ ）A ．B ．1 CD ．{}2{2},340A xx B x x x =>-=+-≤∣∣A B = (,1]-∞[4,2)--(2,1]-[1,)+∞c ∈R a b =22ac bc =()y f x =()f x e 1()e 1x x f x +=-e 1()e 1x x f x -=+()f x =()f x =ˆ0.110y x =+ˆy2R 1()f x x x=-0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===()()()f b f a f c <<()()()f c f b f a <<()()()f b f c f a <<()()()f a f b f c <<23,35,54a b c ===4log ()abc =2-127．已知随机变量X 服从正态分布，且，则等于（）A ．0．14B ．0．36C ．0．72D ．0．868．8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．是奇函数B ．函数的图象关于点对称C ．D ．点（其中）是函数的对称中心二、填空题（每题5分，共30分）10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．13．已知，则的最小值为__________．14．某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值_________．15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a 的取值范围为__________．三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）16．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，，F 为线段PA 上一()22,N σ(1.52)0.36P x ≤<=( 2.5)P x >()||f x x x =[0,)x ∈+∞()214()f x x f x α-+≥(0,2](,2]-∞[0,)+∞(,0]-∞R ()f x ()g x (2)(1)2,()(1)2f x g x f x g x +--==++(1)g x +()g x ()g x '()f x ()g x '(1,0)20231()0k g k ==∑(2,2)k k ∈Z ()f x 322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x {}n a 5311,a a 25a =37a a +=2,0a b >>42a ab b+-123545()E X =a R ∈22||,0()54,0x a x f x x x x +<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩()||y f x ax =-90ADC BAD ∠=∠=︒点，，四边形PDCE 为矩形．（I ）若F 是PA 的中点，求证：平面DEF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值；（Ⅲ）若点F 到平面BCP的距离为，求PF 的长．17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（I ）求甲以的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：获奖没有获奖合计选修历史没有选修历史合计0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（I ）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）112PD AB AD CD ====AC ∥1623133:1A =B =12(,()53P AB P B A ==∣∣αx α22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++22⨯0.05α=95%（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n 个数，使成等差数列①求；②求20．（本小题满分16分）已知函数．（I ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，证明：．天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级第二次月考数学试卷答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．三、解答题16．（本小题满分14分）ξ{}n a 14591,a a a a =+={}n b n S 31n n S =-{}n a {}n b ()2*121(1)(1)nkk k k a n k k =⎡⎤++-∈⎢⎥⋅+⎣⎦∑N 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +12,,..,n n nn c c c ⋯121,,,..,,n n n nn n b c c c b +⋯nk c 11212231323312n n nn c c c c c c c c c ++++++++++…………()e ,x f x ax a a =--∈R ()f x 1a =22()()f x g x x =0x >()1g x >{}()*n x n ∈N()111,e 3n x n x g x +==()2e 11n x n -<710910(1,0)(1,2)-（I ）以D 为坐标原点，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF 的法向量为，令平面DEF ，平面DEF ．（III ）设平面BCP 的法向量，令，解得：；设直线AE 与平面BCP 所成角为，．则直线AE 与平面BCP（III ），设由平面BCP 的法向量，点F 到平面BCP 的距离．解得，所以．17．（本小题满分15分）（I ）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，；；X345,,DA DC DP1(1,0,0)(1,1,0),(0,2,0),(0,2A B C P E F ⎛ ⎝(,,)m x y z = 00DE m z DF m x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,2,(2,1,y z x m ===∴= 0,AC m AC mAC ∴⋅=⊥⊂/AC ∴∥(,,),(1,1,0),(0,(1,n x y z BC CP AE ==-=-=-020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =1,x z n ==∴= θ||sin |cos ,|||||AE n AE n AE n θ⋅∴=<>==⋅(1,0,PA = (,0,),[0,1]PF PA λλλ==∈n = ||||1||26PF n d n λ⋅===13λ=1||||3PF PA == 3:12232128C 33327P ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223812110(4)2733327P X C ⎛⎫==+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭11081108107(5)1()345327273272727P X E X ==--==⨯+⨯+⨯=P18．（本小题满分15分）（I ）设获奖且没选修历史为x 人（人）又（人）获奖没有获奖合计选修历史203050没有选修历史104050合计3070100（I ）由题意可得列联表：零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关则故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，则，故的分布列为：012P则．19．（本小题满分15分）（I ）设数列的公差为d ，由题意知，，解得，所以；因为数列的前n 项和为，且满足．所以当时，，1310278271(,10505x p A B x ===∣1030213=-0H 22100(20401030) 4.762 3.84130705050χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.05α=0H 95%ξ3122142424333666C C C C C 131(0),(1),(2)C 5C 5C 5P P P ξξξ=========ξξ153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯={}n a 111348a d a d a d +++=+1d =n a n ={}n b n S 31nn S =-1n =11312b =-=当时，．验证，当时，，满足上式，故．（Ⅱ）．（Ⅲ）成等差数列，，①②设，则，设，所以，，两式相减得，，所以．20．（本小题满分16分）（I ）函数定义域为R ，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，2n ≥111313123n n n n n n b S S ---=-=--+=⨯1n =11b =123n n b -=⨯221(12)221112;(1)(1)2(1)1nk k k k n n k a n n k k k k =++⎛⎫==+-=-+ ⎪++⎝⎭∑21111111112(1)1112232212121nk k n k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-++++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2212122(1)21nk k k n a n n k k n =⎡⎤++=+-⎢⎥++⎣⎦∑121,,,,,n n n nn n b c c c b +⋯111232343111n n n n n n b b d n n n --+-⨯-⨯⨯===+++1114321232311n n n nk n n k nc b kd k n n ---⨯++=+=⨯+=⨯⨯++111121(1)3(1)4323432121n n n n n n mnn n n n n n n M c c c nc d n n n n ----+-⨯=+++=+⋅=⨯⨯⨯+⨯=⨯++ ()()1121212112121212n n m n n mn n c c c c c c c c c c c c M M M +++++++=+++++++=+++ 12n n T M M M =+++ 012214383123(44)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⨯ 123134383123(44)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ (121012312443434343433333n n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯-⨯=+++++ 1343443(24)3213nnn n n n n --⨯=⨯-⨯=-⨯--1(21)3n n T n =+-⨯()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x (,)-∞+∞0a >()e 0x f x a '=->ln x a >()e 0x f x a '=-<ln x a <()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞0a ≤()f x (,)-∞+∞当时，在上单调递减，在上单调递增．（II ）当时，，①当时，，令恒成立，则在上单调递减，，因此，成立，所以当时，．②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立．0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞1a =()22e 1()x x g x x --=0x >()222112e 121e 112e xx xx x x x x x ++-->⇔>++⇔<2211122(),1,0,()0xx x x x F x x F x e e++-'=>=<()F x 0,)+∞01()(0)10e F x F <=-=21121exx x ++<0x >()1g x >(0,)x ∈+∞()1g x >113x =()21e 1xg x =>20x >()1e n x n g x +=0n x >113e 1e 1x -=-3327e e 028⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭133e 2<1131e 1e 12x -=-<()12e 11e 12nnnx x n⎛⎫-<⇔-< ⎪⎝⎭()()1111e 1e 11e 222n n n x x x n g x +-<-⇔-<-0x >()22211()1e 4e 44(2)(2)e (2)022x x x g x x x x x x x -<-⇔-+++=-+++>(2)e 102x x x -⇔+>+22(2)e e ()1,0,()02(2)x xx x h x x h x x x -'=+>=>++()h x (0,)+∞()(0)0h x h >=0x >2e 102x x x -⋅+>+0n x >()111e 22n x n g x -<-()11e1e 12n n x x +-<-()()()111211111e 1e 1e 1e 12222n n n x x x x n n +-+-<-<-<<-< 1e 12nnx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭。
