无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲三十三(教师版)

1．△ABC 中，若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ，则cos B 等于 （ ）A ．41B ．43C ．42D ．32 【答案】B【解析】试题分析：由a 、b 、c 成等比数例，得到2b a c =，c = 2a ，可知222b a =，则2223c o s 24a cb B ac +-== 考点：等比中项，余弦定理2．已知正项等比数列{a n }满足a 2014＝a 2013＋2a 20124a 1，则6(1m ＋1n )的最小值为( ) A.23B ．2C ．4D ．6 【答案】C【解析】记数列{a n }的公比为q ，由题意知a 2012q 2＝a 2012q ＋2a 2012，化简得q 2－q －2＝0，所以q ＝－1(舍去)或q ＝24a 1，可得a 12qm ＋n －2＝16a 12，所以2m ＋n －2＝24，故m ＋n ＝6，所以6(1m ＋1n )＝(m ＋n)(1m ＋1n )＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当n m ＝m n ，因为m 、n ∈N *，所以m ＝n ＝3时取“＝”，故选C.3．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是 A.326+ B.327+ C.346+ D.347+【答案】D【解析】试题分析：由题意，0,ab >且340a b +>，所以0,0a b >>又()42log 34log a b +=34a b ab +=，所以，431a b +=所以，()4343777b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当43b a a b=，即2a =+3b =+时，等号成立. 故选D.考点：1、对数的运算；2、基本不等式.4．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.【答案】（1）15-；（2）3,3a b ==. 【解析】5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24s i n 4s i n 222A B A B -+= （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.【答案】（1）3π；（2）10. 【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 22A B A B -+=降次，再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +，由三角形三内角和定理可求得C cos ，从而求得角C ；（2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求c 边.（1）由已知得22sin sin 4)]cos(1[2+=+--B A B A ，，所以a考点：两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式所对的角，向量，求边c的长）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出成等差数列，利用等差数列的性质列出关系cos Cb与abc≤2π)，试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以(1)n n +，得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n+-=+，所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅. 用错位相减法求得1(21)334n n n S +-⋅+=. （1）证明：由已知可得，111n n a a n n +=++，即111n n a a n n+-=+，所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅.1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①－②得 12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-. 所以1(21)334n n n S +-⋅+=. 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.9．ABC ∆中， A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos cos cos ++成等差数列，则B 的大小为______________。

１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学《三角《函数》》重点难点高频考点串讲十三1（江苏2009年5分）已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o ，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r =▲。

【答案】3。

【考点】平面向量数量积的运算。

【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可：03cos302332a b a b ⋅=⋅⋅=⋅⋅=r r r r 。

2（2009江苏卷15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r r （1）若a r 与2b c -r r 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +r r 的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r ∥b r .【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

（1）由a 与2-b c 垂直，(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=； (sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-r v b c 222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++v v b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+ 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，所以||+r r b c 的最大值为42。

（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，3（江苏2008年5分）已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ．【答案】7。

1．已知数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为( )．A ．11B ．99C ．120D ．121 【答案】C【解析】∵a n∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1)＋＋…＋ 1.1＝10，得n ＝120.2．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC⋅＋＋的最大值为________．【答案】【解析】由三角形的面积公式得12c 2＝12ab sin C ⇒2c ab ＝sin C ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ⇒a b b a +＝2c ab＋2cos C ＝sin C ＋2cos C ，所以2AC BC ABBC AC BC AC ⋅＋＋＝2sin C ＋2cos C ＝4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最大值是3．在△ABC 中，B ＝60°，AC AB ＋2BC 的最大值为________．【答案】【解析】A ＋C ＝120°⇒C ＝120°－A ，A ∈(0°，120°)，sin sin AC BCB A =＝2⇒BC ＝2sin A ，sin sin AC ABB C=＝2⇒AB ＝2sin C ＝2sin(120°－A )A ＋sin A ，∴AB ＋2BC A ＋5sin A A ＋φ)＝A ＋φ)，其中tan φ，故最大值是4．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos B ＝c cos B ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值． 【答案】（1）B ＝4π（2）7【解析】(1)A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，(2分)A cosB ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．(3分) 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0.所以cos B ＝2.(5分) 因为0＜B ＜π，所以B ＝4π.(6分)【答案】（1）－12（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】(1)m·n 4x cos 4x ＋cos 24x sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12.(3分) 因为m·n ＝1，所以sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12， 故cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1－2sin 226x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12， 所以cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－12.(6分)(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，(8分) 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝3π，0＜A ＜23π， 所以6π＜2A ＋6π＜2π，12＜sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1，(12分) 又f (x )＝m·n ＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋12， 所以f (A )＝sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭＋12∈31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故函数f (A )的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(14分)6．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B)＝cosC ．（1）若a ＝b c ； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围．【答案】（1）4c =（2）()1,1-【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，将三角形内角的三角函数关系转化为角的关系，求出其中的一个角，然后利用余弦定理列方程，即可求c 的值.要注意角的范围和三角函数的单调性.（2）利用（1）的部分结论4B π=，可得34A C π+=，34C A π∴=- cos cos a C c A b -＝sin cos cos sin sin A C A C B -＝sinA C -＝324A π⎛⎫- ⎪⎝⎭,化成只含一个角的三角函数值，再利用三角函数的性质求出该式的范围. 试题解析：（1）由sin(A －B)＝cosC ，得sin(A －B)＝sin(2π－C)． ∵△ABC 是锐角三角形， ∴A －B ＝2π－C ，即A －B ＋C ＝2π， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝4π． 由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，得2＝c 2＋2－2c ×4π， 即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝2＋22－2＝－4＜0，∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2． 故c ＝4． 6分 （2）由（1），知B ＝4π，∴A ＋C ＝34π，即C ＝34π－A ． ∴cos cos a C c A b -＝sin cos cos sin sin A C A C B -sinA C -－34π)．∵△ABC 是锐角三角形， ∴4π＜A ＜2π，∴－4π＜2A －34π＜4π， ∴－2＜sin(2A－34π)＜2，∴－1＜cos cos a C c A b -＜1．故cos cos a C c Ab-的取值范围为(－1，1)． 12分考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的性质. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2n S n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a ⋯<＋＋＋.【答案】（1）a 2＝4.（2）a n ＝n 2.（3）见解析【解析】(1)2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. (2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13 (3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即11n n a a n n ＋－＋＝1，又2121a a-＝1， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ＝1，公差为1的等差数列，所以n a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，11a ＝1＜74，当n ＝2时，11a ＋21a ＝1＋14＝54＜74，当n ≥3时，1na ＝21n ＜1(1)n n -＝11(1)n n --， 11a ＋211n a a ⋯＋＋＝1＋14＋213＋214＋…＋21n <1＋14＋123⨯＋134⨯＋…＋1(1)n n -＝1＋14＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1134⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11(1)n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭＝54＋12－1n ＝74－1n <74，所以对一切正整数n ，有1211174n a a a ⋯<＋＋＋. 8．设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）若（2）中数列{Cn}的前n 项和T n 当*n N ∈时不等式a ≤n T 恒成立，求实数a 的取值范围。

（1）若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cC=( ). A ．π6B ．5π6C ．π4D ．3π4（10的等差数列，从第10A ．10d < D（3）已知数列}{n a 11356a a π=，则212tan(a a )的值为（ ）．A ．．3± C ．33-D ．3（4）等比数列前n 项和为S n ,有人算得S 1=4, S 2=16, S 3=28, S 4=60,后来发现有一个数算错了，错误的是（ ） A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 4 （5）各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则345456a a a a a a ++++ 的值为（ ） A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215-【答案】C 【解析】试题分析：由}{n a 成等比数列，又因为132,21,a a a 成等差数列，所以可得312a a a =+，所以2111a q a a q =+，又因为10a ≠，所以210q q --=，所以12q +=或12q =(舍去)因为等比数列的各项都为正，所以345456a a a a aa ++=++3453451()a a a a a a q q ++==++=，故选C.考点：1.等比数列的通项公式；2.等差数列的中项公式；3.整体性来解决数列问题.（6）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则角A ，B ，C 中最小角的余弦值为( )． A ．－14 B ．－18 C.78 D.716（7）数列{}n a 中，1a ，12a a -， ，23a a -，1--n n a a …是首项为1，公比为14的等比数列，则n a 等于（ ）A.11)4n --（（n }的前n 1 4. 4（A ，B ，C ＝＝（A B 、、A （（. ()n 123222A b a =- 2c cos 22=＝32b ， ＋cos A)＝3b.,9ac ac ≤当且仅当a=c939324=ABC 中，角A 、a 、b 、c ，且A 、B 、由正弦定理可得：2(a b)3ab +-，所以16333sin 22ABC S ab C ∆=== 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形的面积公式.4 等差数列（20）（本小题满分12分）设正数列}{n a 的前n 项和为n S (1)求数列}{n a 的首项1a ，2a ； (2)求数列}{n a 的通项公式； (3)设11+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得18m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．【答案】(1) 11=a ，2a =3；(2) 12-=n a n ；(3) 9=m . 【解析】试题分析：112n a ++=得，12+=n n a S 11S a =,所以在12+=n n a S 中, ,令1=n ,可得关于1a 的方程,解之可得1a =1，令n=2时，带入可得2a =3 (2) 在12+=n n a S 中, 用1n +代替n ,得：11n a +=+于是有方程组()()11112n n a a +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式分别平方再相减可得2211)1()1(44+-+=-++n n n n a a S S ，即：22114(1)(1)n n n a a a ++=+-+由此探究数列}{n a 的特点，从而求其通项公式； （3）根据数列数列}{n a 的通项公式特点，有)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n故可用拆项法化简数列}{n b 的前n 项和n T ，并由n T 的范围求出m 的值.试题解析：(1)当1=n 时，由1211+=a S 且11a S =，解得11=a 2分(2)由12+=n n a S ，得2)1(4+=n n a S ① ∴211)1(4+=++n n a S ②②-①得：2211)1()1(44+-+=-++n n n n a a S S化简，得0)2()(11=--⋅+++n n n n a a a a 4分 又由0>n a ，得01>++n n a a∴021=--+n n a a ，即21=-+n n a a 5分 ∴数列}{n a 是以1为首项，公差为2的等差数列 6分 ∴2)1(1⨯-+=n a a n ，即12-=n a n 8分 (3))121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n 10分∴n n b b b T ++=21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n 11(1)221n =-+ 21< ∴要使18m T n <对所有*N n ∈都成立，只需1821m ≤，即9≥m∴满足条件的最小正整数9=m ． 12分考点：1、数列通项n a 与n S 的关系；2、拆项求和.。

解题技巧巩固提高 1 三角函数化简技巧2 正余弦定理公式3 正弦定理在解题中的应用条件4余弦定理在解题中的应用条件5向量关系 平行 垂直 共线夹角公式和条件6 三角函数求角的技巧1．在∆ABC 中，若B ∠、C ∠的对边长分别为b 、c ，︒=∠.45B ，,22=c 334=b ，则=∠C ( )A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒120【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得0432233,,sin sin sin sin 45sin 2b c C B C C ===，又00c b,C (0,180)>∈，所以︒60或︒120，故选D.考点：正弦定理的应用=∠C试题分析：由题意得：2221()sin ()(sin sin )00cos 2b a B ac C A b ab c a C --+-=⇒--+=⇒=，故选C. 考点：1、向量平行；2、正弦定理与余弦定理.4．已知ABC ∆的三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，且cb aB A 2cos cos +-=，则角A 的大小为 . 【答案】32π 【解析】试题分析：根据正弦定理：2sin ,2sinB,c 2RsinC a R A B R ===cos 2R sin cos 2sin 22sin A A B R B R C ∴=-+⋅ ，cos sin cos sin 2sin A AB B C∴=-+ ()cos sin 2sinC sin cos A B A B ∴+=-sin cos cos sin 2cos sinC 0A B A B A ∴++=()sin 2cos sin 0A B A C ∴++=()sin 2cos sin 0C A C π∴-+=，即：sinC 2cos sin 0A C ∴+=0C π<< ，sin 0C ∴≠ 12cos 0A ∴+= ，1cos 2A =-20,3A A ππ<<∴=考点：1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数公式.5．在不等边ABC ∆中，三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，且有abB A =cos cos ，则角C 的大小为 . 【答案】90【解析】试题分析：由正弦定理,2sinA,b 2sin a R R B == ,所以,cos 2sin sin cos 2sin sin A R B BB R A A== sin cos sin cos A A B B ∴⋅=⋅ ,sin 2sin 2A B = 22A B ∴= 或22180A B ∴+= ,a b A B ≠∴≠ , 22180A B ∴+=,90A B ∴+= ,180(A B)90C ∴=-+=考点：1正弦定理；2、二倍角公式.6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c ，若()()a b c a b c ab +++-=，则角C 的大小为 【答案】23π 【解析】试题分析：∵()()a b c a b c ab +++-=，∴22()a b c ab +-=，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∴23C π=.考点：1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________【答案】6π【解析】试题分析：本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系B C sin 32sin =转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得23c b =，因此222233cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---====233322b b b -=，故6A π=.考点：正弦定理与余弦定理.8．已知函数2cos 3sin )(+-=x x x f ，记函数()f x 的最小正周期为β，向量)cos ,2(α=a，))2tan(,1(β+α=b （40π<α<），且37=⋅b a . (Ⅰ)求)(x f 在区间]34,32[ππ上的最值； (Ⅱ)求α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22的值.【答案】(Ⅰ)、)(x f 的最大值是4，最小值是2；(Ⅱ) 324. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用两角和与差的三角函数公式将2cos 3sin )(+-=x x x f 化成只含一个角的三角函数即可根据其在指定区间上的单调性求其最值.(Ⅱ)首先利用37=⋅b a ,求出角α的一个三角函数值,再利用 (Ⅰ)中所得β值二倍角公式、平方关系等三角公式将α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22化简,然后求值.试题解析：解：(Ⅰ) 2cos 3sin )(+-=x x x f =2)3sin(2+π-x 3分∈x ]34,32[ππ，],3[3ππ∈π-∴x 4分 ∴)(x f 的最大值是4，最小值是2 6分 (Ⅱ) π=β2 7分 ∴37sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=⋅b a31sin =∴α 9分α-αβ+α-α∴sin cos )(2sin cos 22=α-αα-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 12分(此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理)考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和与差的正弦公式、二倍角公式；3、三角函数的性质.9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2b C a c =-。

1．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 3 5 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知5647a a a a =，又564718a a a a +=得56479a a a a ==，而3132310312l o g l o g l o g l o g ()a a a a a a +++=⋅⋅⋅551035633log ()log (9)log 310a a ====． 考点：等比数列性质2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且=,则使得为整数的正整数n 的个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【答案】D【解析】由等差数列的前n 项和及等差中项,可得=======7+(n ∈N *),故n=1,2,3,5,11时,为整数.故选D.3．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k ＝－1，选A. 4．若数列{a n }满足111n na a ＋－＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是 ( )． A ．10 B ．100 C ．200 D ．400 【答案】B 【解析】由已知得11111n nb b +-＝d ，即b n ＋1－b n ＝d ，∴{b n }为等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，得9b 5＝90， b 5＝10，b 4＋b 6＝20，又b n >0，所以b 4·b 6≤462b b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝100，当且仅当b 4＝b 6＝10时，等号成立．6．设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有=,则+的值为 .【答案】【解析】∵{a n },{b n }为等差数列, ∴+=+===.∵====,∴=.【方法技巧】巧解等差数列前n 项和的比值问题关于等差数列前n 项和的比值问题,一般可采用前n 项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时S n =na 中,也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项和分别是S n 与T n ,则=.7．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则20122012S 的值为________． 【答案】2 013【解析】解不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)得，0＜x ＜2n ＋1，其中整数的个数a n ＝2n ，其前n 项和为S n ＝n(n ＋1)，故20122012S ＝()2012201212012+＝2 013.8．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n ＝4a 1，则14m n+的最小值为________． 【答案】32【解析】由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)4a 1，得a m a n ＝1621a ，即21a 2m ＋n －2＝1621a ，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么14m n +＝16(m ＋n )14m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1645m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥16＝32，当且仅当4m nn m =，即n ＝2m ＝4时取得最小值329．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S BS ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 【答案】5972【解析】试题分析：易得1241()[,1)(1,],333n n S =--∈而1n n y S S =-在84[,]93上单调递增，所以177[,][,],7212y A B ∈-⊆因此B A -的最小值为71759().127272--=本题难点在于将不等式1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立转化为函数1n n y S S =-的值域为[,]A B 的一个子集.考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n 项和.10．在数列{}n a 中，112a =-，121n n a a n -=--*(2,)n n N ≥∈，设n n b a n =+．（1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（3）若1()2nn n c a =-，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2014P 的最大的整数． 【答案】（1）见解析；（2）222n n n T +=-；(3)不超过2014P 的最大的整数是2014． 【解析】试题分析：（1）注意从121n n a a n -=--出发，得到12()1n n a n a n -+=+- 2分即 112n n b b -=，肯定数列{}n b 是公比为2的等比数列. （2）利用“错位相减法”求和. （3）由(1)得n c n =，从而可得到22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ ，利用“裂项相消法”求2014P . 利用201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++- 120152015=-， 得出结论. 试题解析：（1）由121n n a a n -=--两边加2n 得，12()1n n a n a n -+=+- 2分所以 11(1)2n n a n a n -+=+-， 即 112n n b b -=，数列{}n b 是公比为2的等比数列 3分 其首项为11111122b a =+=-+=，所以1()2nn b = 4分 （2）1()22n n nnnb n =⋅=5分 234112*********n n n n nT --=++++++L ①122345112341222222n n n n nT +-=++++++L ② ①-②得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=+++++-=--所以222n n n T +=- 8分(3)由(1)得1()2n n a n =-，所以n c n =22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ 10分 201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++- 120152015=-所以不超过2014P 的最大的整数是2014． 12分 考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，“错位相减法”，“裂项相消法”.11．若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ， 即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4026n S >的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）lg n T = 21n -；(3）min 2014n =． 【解析】试题分析：（1）根据212n n n a a a +=+，得到211(1)n n a a ++=+，即{}1n a +是“平方递推数列”．进一步对211(1)n n a a ++=+两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，利用等比数列的定义证明.（2）首先得到 1lg(1)2n n a -+= ， 应用等比数列的求和公式即得.(3）求通项112()2n n b -=-、求和11222n n S n -=-+，根据4026n S >，得到111224026,201422n n n n --+>+>，再根据1012n <<，即得解.试题解析：（1）由题意得：212n n n a a a +=+，即 211(1)n n a a ++=+，则{}1n a +是“平方递推数列”．2分对211(1)n n a a ++=+两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{}lg(1)n a +是以{}1lg(1)a +为首项，2为公比的等比数列． 4分（2）由（1）知 111lg(1)lg(1)22n n n a a --+=+⋅= 5分1212lg lg(1)(1)(1)lg(1)lg(1)lg(1)n n n T a a a a a a =+++=++++++1(12)2112n n ⋅-==-- 8分(3）11lg 2112()lg(1)22n n n n n n T b a ---===-+ 9分111122221212n n n S n n --=-=-+- 10分 又4026n S >，即111224026,201422n n n n --+>+> 11分又1012n <<，所以min 2014n =． 12分考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，等差数列的求和公式.12．己知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设T n 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若T n ≤1n a λ+¨对*n N ∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）1n a n =+（2）116【解析】 试题分析：（1）求等差数列通项公式基本方法为待定系数法，即求出首项与公差即可，将题中两个条件：前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列转化为关于首项与公差的方程组121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 解出即得1n a n =+，（2）本题先求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，这可利用裂 项相消法，得到11112334n T =-+-+ 11122(2)nn n n +-=+++，然后对恒成立问题进行等价转化，即分离 变量为22(2)n n λ+≤对n N *∀∈恒成立，所以max 2[2(2)n n λ+]≤，从而转化为求对应函数最值，因为211142(2)2(44)162(4)n n n n==++++≤，所以116λ≥ 试题解析：（1）设公差为d.由已知得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 3分 解得10(d d ==或舍去），所以12,1n a a n ==+故 6分 （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 11112334n T ∴=-+-+ 11122(2)n n n n +-=+++ 9分1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，即22(2)nn n λ+≤(+)对n N *∀∈恒成立又211142(2)2(44)162(4)n n n n ==++++≤ ∴λ的最小值为11612分考点：等差数列通项，裂项相消求和，不等式恒成立13．在数列中，（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前n 项和nS【答案】(1) 3n n n a =； (2)【解析】试题分析：(1)本小题的证明要结合需要证明的结论的结构形式，再由已知的条件进行构造需要证明的结构形式.(2)由(1)可得数列的通项是一个等差数列与等比数列乘积的形式构成，这类题型都是利用错位相减法，求前n 项和.利用错位相减法时要注意，本小题的等比数列的公比是小于1大于零的数.相减的步骤要细心，这是易错点.试题解析：(1)11,3a a =111=3n 13na a ，又{}n a n 为首项为13公比为13的等比数列3n n++……①13n n -+++①-② 133n ++-考点：1.构造的思想求数列通项.2.错位相减法的应用.3.归纳推理的数学思想. 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1112n n S a +=-*()n N ∈． （1）求23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）26a =，318a =；（2）1*23()n n a n N -=⋅∈；（3）(21)312n n n T -⋅+=.【解析】试题分析：（1）由121112S a a =-=，2312112S a a a =-=+分别算出23,a a 即可；（2）由1112n n S a +=-，再得到一个等式1112n n S a -=-，采用两式相减可得到13n n a a +=，再根据等比数列的通项公式写出n a 即可；（3）数列{}n na 是由一个等差数列{}n 与一个等比数列{}n a 相乘得到，故它的前n 项和采用错位相减法进行求和即可.试题解析：(1)121211,162n S a a a ==-=⇒= 1分2312312,1182n S a a a a ==-=+⇒= 2分（2）2n ≥，1112n n S a +=-，1112n n S a -=- 3分相减得111122n n n n n a S S a a -+=-=- 4分，即13n n a a += 5分对于213a a =也满足上式 6分∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， 7分1*23()n n a n N -=⋅∈ 8分（3）123n n na n -=⋅23121436383...23n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ 9分 234323436383...23n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ 10分相减得，23122(1333...3)23n nn T n --=+++++-⋅ 11分1322313nn n -=⋅-⋅- 12分3123n n n =--⋅ 13分∴(21)312n n n T -⋅+= 14分.考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和.15．已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2－2nx ＋b n ＝0的两根，且a 1＝1. (1)求证：数列123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设函数f (n )＝b n －t ·S n (n ∈N *)，若f (n )＞0对任意的n ∈N *都成立，求t 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1122332133n n n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＋－，为偶数，－，为奇数（3）t ＜1【解析】(1)∵a n ＋a n ＋1＝2n，∴a n ＋1－13·2n ＋1＝－123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭，11123123n n n n a a ++-⋅-⋅＝－1，∴123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭是等比数列，又a 1－23＝13，q ＝－1，∴a n ＝13．(2)由(1)得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝13 (2＋22＋ (2))－13 ＝12(12)1(1)31211n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－－－＋－＋ ＝1112211(1)3322322133n n n n n n ⎧⎪⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩＋＋＋－，为偶数，－＋－－－＝－，为奇数 (3)∵b n ＝a n ·a n ＋1， ∴b n ＝19＝19，∴b n －t ·S n ＞0， ∴19－t ·111(1)2232n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋－＋－－－＞0，∴当n 为奇数时， 19(22n ＋1＋2n －1)－3t (2n ＋1－1)＞0，∴t ＜13(2n＋1)对任意的n 为奇数都成立，∴t ＜1. ∴当n 为偶数时，19(22n ＋1－2n －1)－3t (2n ＋1－2)＞0， ∴19 (22n ＋1－2n －1)－23t (2n－1)＞0， ∴t ＜16 (2n ＋1＋1)对任意的n 为偶数都成立，∴t ＜32.综上所述，t 的取值范围为t ＜116．已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且3a 是1a 和9a 的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，1)18()(++=n nS n S n f ，试问当n 为何值时，)(n f 最大？并求出)(n f 的最大值．【答案】(1) n a n =；(2) 当且仅当6=n 时，)(n f 取得最大值321． 【解析】试题分析：(1) 设出等差数列}{n a 的公差d ,利用3a 是1a 和9a 的等比中项列方程求出公差而得通项公式.(2)根据等差数列的前n 项和公式求出n S ,从而得出并化简()f n ,最后结合()f n 的特点,用函数的方法或不等式的方法求出的()f n 最大值.试题解析：解：(1)设等差数列}{n a 的公差为d ，则d a 213+=d a 819+= 2分 ∵3a 是1a 和9a 的等比中项∴9123a a a ⋅=，即)81(1)21(2d d +⨯=+ 3分∵0≠d∴1=d 4分 ∴n n a n =⨯-+=1)1(1 5分 (2)由(1)可得n a n =，2)1(n n S n += 6分 ∴1)18()(++=n nS n S n f2)2)(1()18(2)1(++++=n n n n n 20361++=nn 8分20121+≤321= 10分 当且仅当n n 36=，即6=n 时，)(n f 取得最大值321． 12分考点：1、等差数列概念、通项公式、前n 项和公式；2、等比中项的性质；3、基本不等式的应用.17．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）21n a n =- ，3nn b =；(Ⅱ) 227k ≥【解析】试题分析：（Ⅰ）根据数列的通项n a 与数列前n 项和n S 的关系，由21441n n a S n +=++ ，*n N ∈得2144(1)1n n a S n -=+-+；两式相减得数列{}n a 的递推公式()2212n n a a +=+，从而得出数列{}n a 通项公式21n a n =-.由此可求2514,,a a a 以确定等比数列{}n b 的首项和公比,进而得到数列{}n b 的通项公式. (Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求n T ,把3362n T k n ⎛⎫+⋅≥- ⎪⎝⎭变形为,3632n n k T -≥+,所以k 不小于3632n n T -+的最大值.只需探究数列3632n n T ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的单调性求其最大值即可.试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ 2分 ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 3分由条件可知，212145=4,1a a a =-∴= 4分21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 5分,数列{}n b 的通项公式为3nn b = 6分(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立243nn k -∴≥对*n N ∈恒成立， 9分令243n n n c -=，1124262(27)333n n n n nn n n c c -------=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<max 32()27n c c ∴==，227k ≥． 12分 考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法.18．设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，对于任意正整数m,n,1m n S +恒成立.(Ⅰ)若1a =1,求234,,a a a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若4212(1)a a a a =++,求证:数列{}n a 是等比数列.【答案】(Ⅰ) 22a =，344,8a a == ，)(2*1N n a n n ∈=- ；(Ⅱ)参考解析【解析】试题分析：(Ⅰ)通过令1m n ==，可求得2a .同理可以求出34,a a .由于所给的等式中有两个参数m,n.所以以一个为主元，让另一个m=1,和m=2取特殊值通过消去2n S 即可得到一个关于21n S ++与11n S ++的递推式.从而可求出n S 的通项式，从而通过1(2)n n n a S S n -=-≥，可求出通项n a .但前面两项要验证是否符合.(Ⅱ)因为已知4212(1)a a a a =++，所以令2m n ==.即可求得4a 与4S 的关系式.再利用443S a S =+.又得到了一个关于4a 与3S 的关系式.从而可得4a 与2a 的关系式.又根据q=与()()3211,(3,)n n a S q q n n N -*=+-≥∈.可求出()3212,(3,)n n a S n n N -*=+≥∈.再根据4212(1)a a a a =++及4342(1)2a S -=+⋅.即可求出结论.最后要验证前两项是否成立. 试题解析：（1）由条件，得1m n S ++=①在①中，令1m =，得11n S ++= ② 令2m =，得21n S ++③③/②得()2111n n S n N S *+++=∈+q =，则数列{}()12,n S n n N *+≥∈是公比为q 的等比数列。

1．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为正偶数时，n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．5D ．3或11 【答案】D 【解析】试题分析：在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.因为两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，所以n n a b 1212112121()27(21)452()2(21)32n n n n n n n a a a A n n b b b B n ----+-+====+-+ 71912711n n n +==+++，为使n n a b 为正偶数，则须1n +为4或12，所以3n =或11，选D. 考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.2．若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则=k （ ） A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A 【解析】试题分析：依题意有2(4)()3n n a n n =+，从而112(1)(5)()2(1)(5)323(4)(4)()3n n n n n n a n n a n n n n ++++++==++，所以当212(1)(5)1110133(4)n n a n n n n a n n +++≥⇒≥⇒≤⇒≤≤+ 当212(1)(5)111043(4)n n a n n n n a n n +++<⇒<⇒>⇒≥+ 所以12345a a a a a <<<>>L L ，所以此数列的最大项为第四项，所以4k =，选A. 考点：数列的单调性.3．等差数列{}n a 的公差0d <且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ）A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7 【答案】C 【解析】试题分析：因为数列{}n a 是等差数列，所以由22111a a =可得2211(10)a a d =+，展开整理得120(5)0d a d +=，因为0d <，所以150a d += 法一：由150a d +=可得15a d=-，所以21(1)(1)15(11)222n n n n n S na d dn d d n n --=+=-+=- 2111121[()]224d n =--，根据*0,d n N <∈，结合二次函数的图像可知当5n =或6n =时，n S 最大，选C ；法二：由150a d +=可得15a d =-，所以1(1)5(1)(6)n a a n d d n d n d =+-=-+-=-，要使n S 最大，则须满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩即(6)0(16)0n d n d -≥⎧⎨+-≤⎩，因为0d <，从中解得56n ≤≤，所以当5n =或6时，n S 最大；法三：由150a d +=可得60a =，而0d <，该等差数列{}n a 是单调递减数列，所以数列{}n a 的前六项非负，所以当n S 最大时，5n =或6，选C.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.5．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( )A ．3-B ．6-C ．3D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域及直线0x y +=，如图所示. 平移直线0x y +=，当其经过点(,)A k k 时，max 212,z k ==当直线经过点(2,)B k k -时，min ,z k =所以，6k =，min 6z =-.考点：简单线性规划6．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ． 【答案】9 【解析】 试题分析：因为9)16210(21)1610(21)22)(81(818=+≥++=++=+=+x y y x y x x y x y xy y x ，当且仅当22,16=+=y x x y y x 即31,34==y x 时取等号，所以8x y xy +的最小值为9. 考点：基本不等式求最值7．已知m=(2cos ,1)x x +，n=(cos ,)x y -，满足0⋅=m n ． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2Af ，且a=2，求b+c 的取值范围． 【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π. （2）(2,4]. 【解析】 试题分析：（1）利用平面向量的坐标运算及和差倍半的三角函数公式，化简得到()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π.（20A π<<，得到3A π=．c C =， 化简得到sin()6b c B π+=+， Θ利用⎪⎭⎫⎝⎛∈32,0πB ,进一步确定b c +的取值范围为(2,4]. 试题解析：（1）由0⋅=m n 得 2分即22cos cos =cos 221y x x x x x =+++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其最小正周期为π. 6分 （2）由题意得()32A f =， 所以2)(62A k Z k πππ+∈+=，因为0A π<<，所以3A π=． 8分由正弦定理得b B =，c C =，b c B C +=2sin()4sin()36B B B ππ=+-=+， 10分 Θ⎪⎭⎫⎝⎛∈32,0πB ,1sin()( 1]62B π∴+∈，，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4]. 12分考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质. 8．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =u u u r u u u r,求AD 的长．【答案】（1）1cos 3A =；（2）AD =． 【解析】试题分析：（1）由tan tan sin 3cos A C BC+=，首先对其进行切割化弦，得到sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=，去分母，化为整式，利用两角和与差的三角函数公式化简，再利用三角形内角和为180︒，利用诱导公式即可求出cos A 的值；（2）求AD 的长，由2b =，3c =，1cos 3A =，利用余弦定理可求出a 的值，发现ABC ∆是等腰三角形，从而得1cos 3C =，再由2CD DB =u u u r u u u r ，可求得2DC =，在ACD V 中利用余弦定理可求出AD 的长．试题解析：（1）∵ tan tan sin 3cos A C B C += ∴sin sin 3sin cos cos cos A C BA C C+=∴ 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= ∵sin 0B ≠ ∴3cos 1A = ∴ 1cos 3A =.6分（2）∵ 2b =，3c = ∴ 2222cos 9a b c bc A =+-= ∴ 2DC =， 1cos 3C =∴2221622222cos 3AD C =+-⨯⨯= ∴AD =12分 考点：解三角形．9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4sin b A =.（1）求sin B 的值；（2）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值.【答案】（1）sin 4B =；（2）cos cos 2A C -=.【解析】试题分析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力. 第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到sin B ；第二问，利用等差中项的概念得2b a c =+，再利用正弦定理将边转换成角，得到sin sin A C +=设cos cos A C x -=，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到cos()A C +，再利用内角和与诱导公式，将A C +转化成B π-，解方程求出x 的值，即cos cos A C -的值.试题解析：（Ⅰ）由4sin b A =，根据正弦定理得4sin sin B A A =，所以sin 4B =． 4分 （Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin sin A C +=① 设cos cos A C x -=， ② ①2＋②2，得2722cos()4A C x -+=+． ③ 7分 又a b c <<，A B C <<，所以0090B <<，cos cos A C >， 故3cos()cos 4A CB +=-=-． 10分 代入③式得274x =．因此cos cos 2A C -=．考点：1.正弦定理；2.等差中项；3.两角和的余弦公式；4.诱导公式.10．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：24(1)(1,2,3,)n n S a n =+=L .(1)求{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=⋅,求{}n b 的前n 项和n T ；(3)在(2)的条件下，对任意*n N ∈，23n mT >都成立，求整数m 的最大值. 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+；（3）整数m 的最大值为7. 【解析】试题分析：（1）用1n -代替等式24(1)n n S a =+中的n ，得到2114(1)(2)n n S a n --=+≥，两式相减并化简得到11()(2)0n n n n a a a a --+--=，进而依题意可得12(2)n n a a n --=≥，进而由等差数列的定义及通项公式可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）中求出的通项公式得到111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，从而根据裂项求和的方法可得到n T ；（3）对任意*n N ∈，23n m T >都成立，等价于min []23n mT >，只需要求出数列{}n T 的最小项的值即可，这时可用1n n T T +-的方法来探讨数列{}n T 的单调性，从而确定min 11[]3n T T ==，最后求解不等式1232333m m <⇒<，从而可确定整数m 的最大值. 试题解析：∵24(1)n n S a =+① ∴2114(1)(2)n n S a n --=+≥②①－②得22114()(1)(1)n n n n S S a a ---=+-+即2214(1)(1)n n n a a a -=+-+化简得11()(2)0n n n n a a a a --+--= ∵0n a >∴12(2)n n a a n --=≥∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列 ∴12(1)21n a n n =+-=-(2)111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+∴11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++L (3)由(2)知11(1)221n T n =-+11111111(1)(1)()022*********n n T T n n n n +∴-=---=->++++∴数列{}n T 是递增数列∴min 11[]3n T T == ∴1232333m m <⇒< ∴整数m 的最大值是7.考点：1.数列的前n 项和与通项公式的关系；2.等差数列的通项公式；3.裂项求和的方法；4.数列最小项的求法.11．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上.（1）求1a ，2a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3，求证数列}{n b 的前n 项和 【答案】(1)123,5a a == (2)21n a n =+ （3）见解析 【解析】 试题分析：(1)把点(),n n p n S 带入函数()f x 的解析式即可得到22n S n n =+,利用数列前n 项和的定义可得11122,a S a a S =+=,则分别令1,2n =带入式子22n S n n =+即可得到12,a a 的值.(2)由(1)可得22n S n n =+,则利用前n 项和n S 与n a 之间的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,令2n ≥时, 12 1.n n n a S S n -=-=+然后验证首项1a ,即可得到n a 的通项公式.(3)把(2)得到的21n a n =+带入即可得到n b 的通项公式,为求其前n 项和n T ,可以把nb 进行裂项进而采用裂项求和的方法即可得到n T ,再利用*n N ∈非负即可证明试题解析：（1）∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，∴2*2()n S n n n N =+∈， （1分）∴113a S ==， （2分）又21222228a a S +==+⨯=，∴25a =. （4分） （2）由（1）知，2*2()n S n n n N =+∈，当2≥n 时，12 1.n n n a S S n -=-=+ （6分） 由（1）知，11231+⨯==a 满足上式， （7分） 所以数列}{n a 的通项公式为21n a n =+. （8分）（3）由（2（11分）n n b b b T +++=Λ2112分）（13分）（14分） 考点：裂项求和 不等式 数列前n 项和12．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和413714,,,S a a a =且成等比. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11{}n n n T n a a +为数列的前项和，若*1n n T a n N λ+≤∈对一切恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）1n a n =+；（2）12【解析】 试题分析：数列问题要注意以下两点①等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；②数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．（1）由题知，4146=14S a d =+，又2317a a a =⋅，利用等差数列通项公式展开，得1,a d 方程，联立求1,a d ，进而求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式+111=(1)(2)n n a a n n ++，利用裂项相消法，求得n T ，再利用参变分离法，转化为求函数的最值问题处理．试题解析：（1）设公差为d,由已知得：121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，联立解得1d =或0d =（舍去）12a ∴=，故1n a n =+ 6分（2）11111(1)(2)(1)(2)n n a a n n n n +==-++++ 8分 11111111233412222(2)n nT n n n n ∴=-+-++-=-=++++…… 10分 1n n T b λ+≤Q ，(2)2(2)n n n λ∴≤++，22(2)42()8n n n nλ+∴≤=++又42()812n n++≥，λ∴的最大值为12 14分考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列前前n 项和；3、裂项相消法． 13．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且211=a ，n n a nn a 211+=+ （1）证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是等比数列 （2）求通项n a 与前n 项的和n S ；（3）设(),,2*∈-=N n S n b n n 若集合M={}*∈≥N n b n n ,λ恰有4个元素，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1()2n n a n =⨯，1112()()22n n n S n -=--⋅；（3）353322λ<≤. 【解析】 试题分析：（1）可以根据等比数列的定义证明，用后项比前项，即证11 1(1)n n n n a na n a n a n+++=+是常数，这由已知易得，同时要说明11a 0≠；（2）由（1）{}n a n 是公比为12的等比数列，因此它的通项公式可很快求得，即111()22n n a n -=⋅，从而1()2n n a n =⋅，这个数列可以看作是一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得，因此其前n 项和可用错位相减法求出；（3）这里我们首先要求出n b ，由（2）可得1211()()22n n n b n n -=+，集合M={}*∈≥N n b n n ,λ恰有4个元素，即n b 中只有4个不同的值不小于λ，故要研究数列{}n b 中元素的大小，可从单调性考虑，作差1n n b b +-211(3)()2n n +=-，可见21b b >，2345b b b b >L ＞＞＞，再计算后发现14b b =，因此λ应该满足54b b λ<≤．试题解析：（1）因为，当时，.又，（）为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由是以为首项，为公比的等比数列得，所以.由错项相减得.（3）因为，所以由于所以，，. 因为集合恰有4个元素，且， 所以. 考点：（1）等比数列的定义；（2）错位相减法求和；（3）数列的单调性．14．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >.（1）求证：数列}{n a 是等比数列； （2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥，*n N ∈)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）详见解析；（2）221n b n =-；（3）()12326n n T n +=-+ 【解析】试题分析：（1）用公式1n n n a S S -=-(2)n ≥将()1n n S m ma =+-化简可得1,n n a a -间的关系，根据等比数列的定义可证得数列}{n a 是等比数列。

1．在△ABC 中，ACBC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.【答案】B【解析】cos60°＝2222AB BC AC AB BC +-⋅＝12，∴AB ＝3，高为B项．2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12 a 3,2a 2成等差数列，则91078a a a a ++＝( ) A.1＋－【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q2－2q －1＝0，解得q又q>0，所以q ＝191078a a a a ++＝()27878q a a a a ++＝q2＝(12＝3＋C.3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2014，其前n 项和为S n ，若1212S －1010S ＝2，则S 2014的值等于 ( )A.－2011B.－2012C.－2013D.－2014 【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得数列{nS n}也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项11S ＝a 1＝－2014，公差d ＝1，故20142014S ＝－2014＋(2014－1)³1＝－1，所以S 2014＝－2014. 4．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝11n x +－1，则x 2014＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1 【答案】B【解析】x 1＝1，代入x n ＋1＝11n x +－1得，x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝11n x +－1得，x 3＝1，所以数列周期为2，x 2014＝x 2＝－12，选B 项．5．已知正整数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，若a 2＝4，则a 9＝( ) A.6 B.9 C.18 D.20 【答案】C【解析】∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝2a 4＋a 1＝4a 2＋a 1＝18. 6．数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=,n A 表示{}n a 前n 项之积，则2014A = （ ） A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】8．已知△ABC________．【答案】－4【解析】设△ABC 的最小边长为a(m>0)，故最大角的余弦值是cos θ()2222a a+-2＝－4. 9．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n ＝________.【答案】2n －1【解析】由a n ＋1＝a n ＋2n －1，得a n ＋1－a n ＝2n －1， 所以a 2－a 1＝1， a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝22，a 5－a 4＝23， …a n －a n －1＝2n －2(n≥2)，将以上n －1个式子相加，得b所以，2201311a a +=2013222013220132201311111()()(2)(22)2,222a a a a a a a a ++=++≥+=当且仅当201322201322013,1a a a a a a ===时，2201311a a +的最小值为2. 【考点定位】本题考查等差数列的性质、等差数列的求和公式及基本不等式等知识，意在考查考生的计算能力及应用数学知识解决问题的能力． 13．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集(,)(1,)a -∞+∞，则a 的值为_________．【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得，1,a 为方程2260tx x t -+=的两根，且0.t <由260t t -+=得 3.t =-又由61a t+=得： 3.a =- 考点：不等式解集与方程根的关系14．如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪， 图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上． (1)．设AD=x （x≥0），DE=y ，求用x 表示y 的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）[]()2,1,2422∈-+=x xx y ；（2）如果DE 是水管，DE 的位置在AD=AE=2处，如果DE 是参观路线，则DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长，证明过程详见解析． 【解析】试题分析：（1）在△ADE 中，利用余弦定理可得AE x AE x y ⋅-+=222，又根据面积公式可得2=⋅AE x ，消去AE 后即可得到y 与x 的函数关系式，又根据⎩⎨⎧≤≤≤≤2020AE AD 可以得到x的取值范围；（2）如果DE 是水管，则问题等价于当]2,1[∈x 时，求2422-+=xx y 的最C为 （①（故15，3AB AC ⋅=．，3AB AC ⋅=，可以求得，⋅=,得A B A C3得⊥，可得bcosm n即b⊥，得cosm nB由正弦定理得：sin cos∵π=++C B A ，∴π32=+C A ， ∴A A A A C A cos 23sin 23)32sin(sin sin sin +=-+=+π)6(sin 3π+=A ，∵320π<<A ，∴πππ6566<+<A ，∴1)6(sin 21≤+<πA ，∴3sin sin 23≤+<C A ．故sin A ＋sin C 的取值范围是]3,23(． 考点：1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积. 【答案】（1）详见解析；（2【解析】试题分析：（1）根据题意要证明2B π≤，结合在三角形中可想到运用余弦定理来证明：具体的由222c o s 2a c b B ac+-=，结合已知条件和不等式知识可得：2221()22a c a c ac +-+21()202a c ac-=≥，即可得证;（2）根据向量的数量积运算可得：2AB BC ⋅=-，可转化为边角关系：cos 2ac B =，再由余弦定理代入得：2222cos 12b a c ac B =+-=，即2216a c +=，又由已知条件a c +==求出：sin B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==（1）222cos 2a c b B ac +-=2221()22a c a c ac +-+=21()202a c ac-=≥，∴090B ≤（当且仅当a c =时取得等号）. 7分（2）2AB BC ⋅=-，∴cos 2ac B =，2222cos 12b a c ac B =+-=，∴2216a c +=， 11分又a c +==∴4ac =，∴1cos 2B =，∴sin 2B =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==分考点：1.余弦定理;2.面积公式;3.不等式知识18．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=. 又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又si n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分 由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.19．（2011•浙江）A 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinA+sinC=psinB （p ∈R ）ac=b （1）当p=，（2）若角【答案】c=或a=，）＜＜【解析】）解：由题设并利用正弦定理得故可知a ﹣x+=0进而求得c=或a=，（2）解：由余弦定理得﹣2ac ﹣2accosB=p 2b 2﹣b 2cosB ﹣，即p 2=+cosB 因为0＜所以p 2∈（，R ，所以＜＜或﹣＜p ＜﹣又由sinA+sinC=psinB 故＜＜即为所求20．已知数列1n a + （1）求（2）求证：的通项公式n a ； （3）数-)1}n 的前n 项和为n T ，若不等式)1(-n λ*N 的取值范围.【答案】232<<-λ【解析】试题分析：（1）分别令1,2n n ==代入13nn n a a a +=+，即可求出2a ，3a 的值 （2）根据需要求证的结果，由*111,()3nn n a a a n N a +==∈+构造数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a ，可得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（3）由（2）12-=n n n b ，利用错位相减法求得1224-+-=∴n n n T ，分类讨论当n 为偶数和n 为奇数时 的情况，可求λ的取值范围 （1）由*111,()3nn n a a a n N a +==∈+知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111311,222n a a ⎧⎫+=∴+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列， 111332=3,22231n n n nn a a -∴+⨯=∴=- （2）12-=n n n b ， 122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- ， 1224-+-=∴n n n T 1224)1(--<-∴n n λ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ考点：等比数列，错位相减法求和，分类讨论思想21．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,n n S a n n N *+=--∈，且2514,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）证明：数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）见解析； （2）13(1)3n n T n +=+-.【解析】试题分析：（1）根据递推关系式得12n n a a +=+，结合2514,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，得到结论. （2）先由23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-L 得到2331333(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯++-+-L ，两式相减，利用错位相减法求前n 项和. 所以13(1)3n n T n +=+-.（1）当2n ≥时，2144(1)1n n S a n -=---，则22114444n n n n n a S S a a -+=-=--，于是221(2)n n a a +=+，而，0n a >，故12n n a a +=+， 2分 所以2n ≥时，{}n a 为公差为2的等差数列，因为2514,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，所以25214a a a = 即2222(6)(24)a a a +=+，解得23a =， 3分 由条件知21245a a =-，则11a =， 4分 于是2112n n a a a a +-==-，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列； 6分（2）由（1）知21,n a n =-3n n b =， 8分 23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-L ，两边同乘以3得，23131333(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯++-+-L ， 9分 两式相减得2312132(333)(21)3n n n T n +-=⨯++++--L3=+所以n T 22试22(x ++⋅成立即 8>。