当前位置：文档之家 › 高数课件7高阶导数

高数课件7高阶导数

  • 格式：ppt
  • 大小：768.00 KB
  • 文档页数：21

下载文档原格式

  / 21

合集下载

《高阶导数数分教案》课件

《高阶导数数分教案》课件

《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。

高数课件7高阶导数

高数课件7高阶导数

例8 设f ( x ) arctan x，求 f (0) 1 2 解 由 f ( x ) 得 (1 x ) f ( x ) 1 1 x2
(n )
由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有
[(1 x 2 ) f ( x )]( n) 0
[ f ( x )]( n ) (1 x 2 ) n[ f ( x )]( n1) (1 x 2 ) n( n 1) [ f ( x )]( n 2 ) (1 x 2 ) 0 2! (1 x 2 ) f ( n1) ( x ) 2nxf ( n ) ( x )
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
求 f (a ) .
思考题解答
g( x ) 可导
f ( x ) 2( x a ) g ( x ) ( x a )2 g( x )
g( x ) 不一定存在
故用定义求 f (a )
f ( x ) f (a ) f (a ) lim f ( a ) 0 x a xa f ( x ) lim lim[2 g( x ) ( x a ) g( x )] 2 g(a ) x a x a x a
d 1 dx ( ) dx y dy
3
1 1 y 2 y y ( y ) ( y ) 3
2
d x d d x d [ y ] ② ( 2) 3 dy ( y )3 dy dy dy

高中数学导数课件

高中数学导数课件

高中数学导数课件一、课件概述本课件适用于高中数学导数部分的教学，涵盖了导数的概念、几何意义、求导法则以及导数在解决实际问题中的应用等内容。

本课件旨在帮助学生更好地理解和掌握导数知识，为后续的微积分学习打下基础。

二、课件内容1. 导数的概念导数是高等数学中的一个重要概念，是描述函数变化快慢的重要概念。

在高中阶段，我们需要理解导数的定义、可导与不可导的条件，以及导数的几何意义。

2. 求导基本法则（1）函数的和、差、积、商的求导法则；（2）复合函数的求导方法；（3）基本初等函数的导数公式；（4）高阶导数的概念。

3. 导数的几何意义导数在几何上可以用来描述曲线在一点的变化趋势，如切线的斜率、曲线凹凸性的变化等。

通过求导，可以更加直观地理解函数的形状，为函数图像的绘制提供帮助。

4. 导数在解决实际问题中的应用导数可以用来解决一些实际问题，如最优化问题、速度与加速度问题等。

通过求导，可以找到函数在给定条件下的极值点、最值等重要信息，为解决实际问题提供指导。

三、课件示例及讲解1. 已知函数f(x) = x^3 - x^2 + 2，求f‘(x)解：根据导数的定义和求导法则，可得f‘(x) = 3x^2 - 2x。

讲解：本题是求导的基本示例，通过本题可以让学生掌握求导的方法和步骤。

同时，也可以引导学生思考导数在解决实际问题中的应用。

2. 某物体运动的速度v(t)与时间t的关系可以表示为v = 3t^2 + 2t，求v‘(2)并解释其实际意义解：根据题目描述，可得到v = 3t^2 + 2t，求导后可得v‘(t) = 6t + 2。

因此，该物体在2秒时的速度为v = 6x^2 + 4 = 16。

实际意义方面，该速度表示物体在特定时间内移动的速度，即物体在2秒内移动的距离与时间的比值。

通过这个数值，可以预测物体未来的运动趋势。

讲解：本题不仅让学生掌握了求导的方法，还让他们了解了导数在实际问题中的应用。

通过解释实际意义，可以加深学生对导数概念的理解。

高阶导数PPT

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
首页
上页

高等数学高阶导数

高等数学高阶导数
第四节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )

数学分析课件-高阶导数

数学分析课件-高阶导数

y (5 ) = e x (cos x - 5 sin x - 10 cos x + 10 sin x + 5 cos x - sin x) = 4e x (sin x - cos x ).
例3 解
y = x 2 sin x, ( x 2 ) = 2 x,
求 y (80 ) . ( x 2 ) = 2, ( x 2 ) = = ( x 2 ) ( n ) = 0; (sin x) (79 ) = - cos x, (sin x ) ( 78 ) = - sin x.
(n -1) (1) 2 (n- 2) (2) (n- k) (k) (uv) (n) = u (n) v (0) + C1 v + Cn u v + + Ck v + + u (0) v nu nu
例1
设
y = x 3 e x 求 y (50 )
利用萊布尼兹公式 ， 取 u = e x , v = x 3 y
§ 4
一、 高 阶导数 的概念 我们知道，加速度 a (t ) = lim
t t 0
高 阶导 数
v (t ) - v(t 0 ) t -t0
因此加速度函数是速度函数的导数，从而是路程函数的导数的导数，这就 产生了高阶导数的概念。 定义 : f ( x 0 ) = lim 0
Dx
f ( x 0 + Dx) - f ( x0 ) . Dx f

d2 y y = b sin t. 求 . 2 dx d2y b = = . 2 2 3 dx a sin t
解
求 三.
f ( x) .
高阶导数的运算性质: n 阶可导. 则

《高数导数公式》课件

《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。

高数上第二章-高阶导数

高数上第二章-高阶导数

5、2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 )； 6、207360；
7、n ! ；
8、(n 1)! .
二、1、4
3
5
x2
8 x 3 ；
4
2、
2cos 2x
ln
x
2sin 2x x
cos 2 x2
x
；
3、
x.
3
(1 x 2 )2
六、1、( 2)n e x cos(x n )；
例4 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
2. 高阶导数的运算法则:
1、 y e x cos x；
2、y 1 x ； 1 x
3、 y
x2
x3 3x
; 2
4、y sin x sin 2x sin 3x .
练习题答案
一、1、 2e t cos t ；
2、2 sec2 x tan x ；
3、2arctan x 2x ； 1 x2
4、2 xe x2 (3 2 x 2 ) ；
3、设 y (1 x 2 )arctan x ，则y =________. 4、设 y xe x2 ,则y =_________. 5、设 y f ( x 2 ), f ( x) 存在，则y =_________. 6、设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2) =_________. 7、设 x n a1 x n1 a2 x n2 an1 x an

高阶导数

高阶导数

首页
上页
返回
下页
结束
铃
例2
设 y x 2 e 2 x , 求y ( 20 ) .
( 20 )
解 设u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y
(e )
2x
( 20 )
x 20(e )
2 2x
( 19 )
( x )
2
20( 20 1) 2 x (18 ) 2 (e ) ( x ) 0 2! 2 20 e 2 x x 2 20 219 e 2 x 2 x 20 19 18 2 x 2 e 2 2! 20 2 x 2 2 e ( x 20 x 95)
cos(x 2 ) sin(x 2 ) sin(x 3 ) y 2 2 2 2 一般地 可得 y(n) sin(x n ) 即 (sin x)(n) sin(x n ) 2 2
cos(x ) sin(x ) sin(x 2 ) y 2 2 2 2
y (2 y 2 y ) 2 3 x ( y 1)
2
首页 上页 返回 下页 结束 铃
法2 直接对 e y y y xy 0 利用隐函数求导发求 二阶导数
)2 e y y y y xy 0 e (y
y
2 y e ( y) y y e x

1 . 16
结束 铃
首页
上页
返回
2.参数方程的二阶导数， x j (t ) ( t ) 具有二阶导数 , 如果函数 y (t ) dy ( t ) 由一阶导数 和 x j(t ) 还可以组成 dx j ( t )

第四节高阶导数ppt课件

第四节高阶导数ppt课件

3、 y ln( x 1 x 2 ).
三、试从dx 1 ，导出： dy y
1、d 2 x dy 2
(
y y)3
；
2、
d3x dy3
3(
y)2 yy ( y)5
.
四、验证函数 y c1e x c2e x ( ,c1 满足关系式 y 2 y 0.
,c2 是常数）
五、下列函数的 n 阶导数：
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x),
y(n) ,
dny dxn
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
y(5) 1 [ 5! 5! ] 2 ( x 1)6 ( x 1)6
1
1
60[
]
( x 1)6 ( x 1)6
例8 设 y sin6 x cos6 x, 求y(n) .

第7章 高阶导数

第7章 高阶导数

第7章 高阶导数 一、一阶导数和二阶导数∙ 函数y=f(x) （一）一阶导数xx f x x f dx dy x f x ∆-∆+=='→∆)()(lim )(0（二）二阶导数∙ 若函数y=f(x)的导数)(x f '仍为可导函数，则称)(x f '的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记为)(x f ''，即dx dx dyd dxyd x x f x x f x f x )()()(lim )(220==∆'-∆+'=''→∆【例题】126)(9123)(496)()1(223-=''+-='∴++-=x x f x x x f x x x x f【练习】P122的例8.1 （三）高阶导数∙ 二阶以上的导数都称为高阶导数。

∙3322)(dxyd dx dx y d d =【例】求高阶导数∙ )(ln )(x f x x x f ''=，求【xx f 1)(=''】∙)()(2x f e x f x ''=-，求【)24()(22-=''-x e x f x 】【例】求n 阶导数∙)1ln()(x x f +=【nn n x n x f )1()!1()1()(1)(+--=-】∙ xex f =)(【x n ex f=)()(】∙ x x f ln )(=【n n n x n x f)!1()1()(1)(--=-】∙)1,0()(≠>=a a a x f x【x n n a a x f )(ln )()(=】【例8.4】P130。

二、高阶导数的数学应用——了解函数的性质（一）单调性若函数y=f(x)在闭区间【a ，b 】内连续，在开区间（a ，b ）内可导，那么 1. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＞0，则f （x ）在【a ，b 】内单调增加； 2. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＜0，则f （x ）在【a ，b 】内单调减少； 3. 若x ∈（a ，b ），有)(x f '=0，则称x 为函数f （x ）的驻点。

第五节 高阶导数

第五节 高阶导数

d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例 2 设 y = ex，求 y(n). 解 y = ex，y = ex， ···，y(n) = ex .
例 3 设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y(0)， y(0)， ···，y(n)(0).
y(4) (0) (1)(2)(3) (1)3 3!；

y(n) (1)(2)(3)[(n 1)](1 x)n , y(n)(0) (1)(2)[(n 1)]
(1)n1(n 1)!.
二、隐函数的二阶导数
dy = ydx .
如果对 y 再求微分，那么根据微分与导数 的关系，知 dy 应等于 y 的导数乘 dx，即
一、显函数的高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2 y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作 f (x) 或
d3 y dx 3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或
解 y 1 ， 1 x
y(0) 1； y [(1 x)1] (1)(1 x)2，
y(0) 1； y (1)(2)(1 x)3，
y(0) (1)(2) 2!；
y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 ,
.
将 dy x dx 代 入, 得 y
dy


x2
y3
y2
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
54356621
d3 y . 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′( x), y′′′, 3 dx4 d y ( 4) ( 4) 三阶导数的导数称为四阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数 f ( x), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x), y′′, 2 或 2 dx dx
2x ( பைடு நூலகம்0 ) 2
20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例8 设f ( x) = arctan x，求 f (0) 1 2 解 由 f ′( x ) = 得 (1 + x ) f ′( x ) = 1 2 1+ x
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n(n − 1) ( n− 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
n( n − 1) ⋯ ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + ⋯ + uv ( n ) + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
ax
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
n 2 2
b (ϕ = arctan ) a
2. 高阶导数的运算法则 高阶导数的运算法则:
设函数 u和v具有n阶导数 , 则
(1) ( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) ( 2) (Cu) ( n ) = Cu ( n ) (αu + βv )( n ) = αu( n ) + βv ( n )
⇒
y ( n ) = n!a0
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
注意: 阶导数时 求出1-3或 阶后 阶后,不要急于合并 注意: n阶导数时 求出 或4阶后 不要急于合并 求 阶导数时,求出 ,分析结果的规律性 写出 阶导数 数学归纳法证 分析结果的规律性,写出 阶导数.(数学归纳法证 分析结果的规律性 写出n阶导数 逐阶求导，寻求规律， 明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 设 y = ln(1 + x), 求y(n) . 1 1 y ′′ = − 解 y′ = 1+ x (1 + x ) 2
例9 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例10 设 y = sin6 x + cos6 x, 求y( n) .
高阶导数
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
∵ 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
定义 如果函数 ( x)的导数f ′( x)在点x处可导,即 f f ′( x + ∆x) − f ′( x) ( f ′( x))′ = lim ∆x→0 ∆x , ( 存在 则称 f ′( x))′为函数f ( x)在点x处的二阶导数. 营口地区成人高等教育 QQ群
2 3 2 3 解 y = (sin x ) + (cos x )
= (sin x + cos x )(sin x − sin x cos x + cos x )
2 2 4 2 2 4
= (sin 2 x + cos 2 x ) 2 − 3 sin 2 x cos 2 x
3 2 3 1 − cos 4 x = 1 − sin 2 x= 1 − ⋅ 4 4 2 5 3 = + cos 4 x 8 8 3 n π (n) ∴ y = ⋅ 4 ⋅ cos(4 x + n ⋅ ). 8 2
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数 阶导数. 运算 变量代换等方法 求出 阶导数 常用高阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x ( n)
=e
x
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ⋅ ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2
y′′ = n( n − 1)a0 x n− 2 + ( n − 1)( n − 2)a1 x n− 3 + ⋯ + 2an− 2
⋯⋯⋯
y ( k ) = n( n − 1)⋯( n − k + 1)a0 x n− k + ( n − 1)( n − 2)⋯( n − k )a1 x n− k −1 + ⋯ + k ! an− k
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) ⋯ (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
= ( −1)
n −1
( n − 1)! xn
1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
1 ( 5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解∵y= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
v
(k )
莱布尼兹公式
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例7
设 y = x e , 求y
2 2x
2x 2
( 20)
.
2x ( 19 ) 2
解 设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
y
( 20 )
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x
若 α 为自然数 n, 则
y
(n)
= ( x ) = n! ,
n (n)
y
( n + 1)
= ( n! )′ = 0.
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例3 解
y = a0 xn + a1 xn−1 +⋯+ an−1 x + an 求y(n)
y′ = na0 x n−1 + ( n − 1)a1 x n− 2 + ⋯ + 2an− 2 x + an−1
2! y ′′′ = (1 + x ) 3 y
(4)
3! =− (1 + x ) 4
⋯⋯ (n) n −1 ( n − 1)! y = ( −1) (1 + x ) n
( n ≥ 1, 0! = 1)
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例5
设 y = sin x, 求y(n) . ′ = cos x = sin( x + π ) 解 y 2 π π π π ′′ = cos( x + ) = sin( x + + ) = sin( x + 2 ⋅ ) y 2 2 2 2 π y ′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ π ) 2 2 ⋯⋯ π (n) y = sin( x + n ⋅ ) 2 π (n) 同理可得 (cos x ) = cos( x + n ⋅ ) 2
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
例6 设 y = eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解
y ′ = ae ax sin bx + be ax cos bx = e ax (a sin bx + b cos bx )
b = e ⋅ a + b sin( bx + ϕ ) (ϕ = arctan ) a
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 直接法
例1 设 y = arctan x, 求f ′′(0), f ′′′(0). 解
y′ = 1 1+ x2 y ′′ = ( 1 − 2x ′ = ) 2 1+ x (1 + x 2 ) 2
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
dx 1 导出 例11 试从 = dy y′ d2 x y′′ ① dy2 = − (y′)3
′′)2 − y′ ⋅ y′′′ d x 3( y ② 3 = dy ( y′)5
3
解
y = y( x ) ⇒
dx 1 ①由 = 得 dy y′
x = ϕ ( y)
(n)
公式， 阶导数， 由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有 公式
[(1 + x 2 ) f ′( x )]( n ) = 0
⇒ [ f ′( x )]( n ) (1 + x 2 ) + n[ f ′( x )]( n−1) (1 + x 2 )′ n( n − 1) [ f ′( x )]( n− 2 ) (1 + x 2 )′′ = 0 + 2! (1 + x 2 ) f ( n+1) ( x ) + 2nxf ( n ) ( x )