2017届高三数学问题：3.4-与向量、数列等相结合的三角问题含答案

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编江西理5）等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）A ．62 B. 92 C. 122 D. 1522．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）A ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(湖北理2）BACDA第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题3．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为2,36ππ4．已知集合(){}(){}1,,,+====x a y y x Q k y y x P ,且φ=Q P .那么k 的取值范围是5．若将函数()y f x =的图象按向量(,1)6a π=平移后得到函数52sin()16y x π=-+的图象，则函数()y f x =单调递增区间是6．如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD = 则AD BC =__________.评卷人得分三、解答题7．已知向量)1,(sin -=x m ，)21,cos 3(-=x n ，函数2)(2-⋅+=n m m x f ． (Ⅰ)求)(x f 的最大值，并求取最大值时x 的取值集合；(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且()1f B =，求CA tan 1tan 1+的值．8．已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2b ac =，向量()()c o s ,1m A C =-和 ()1,cos n B =满足32m n ⋅=． （1）求sin sin A C 的值；（2）求证：ABC ∆为等边三角形．9．已知向量()()cos 2,sin 2,cos 2,sin 2a A A b B == -B ，其中,A B 为锐角三角形的两个内角．（1）求a b ⋅及a b +； （2）设函数()2a b f x a b⋅=+，求()f x 的值域．10．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量(c o s,s m A A =,(c o s ,n B B =,3s i n c o s .mn B C ⋅=- （1）求角A 的大小； （2）若3a =，求ABC ∆面积的最大值.11．记f (x )=lg(3－|x －1|)的定义域为A ，集合B ={x |x 2－(a +5)x +5a <0}. (1）当a =1时，求A ∩B ；(2）若A ∩B =A ，求a 的取值范围．12．不等式2|1|x x a ->+的解集为M ，若M ≠∅，且(,0)M ⊆-∞，求实数a 的取值范围。

2017高考真题分类汇编：三角与向量1．【2017课标II 3】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π2．【2017课标II 4】设非零向量,a b 满足||||a b a b +=-，则（ ）（A ）a b ⊥ （B ）||||a b = （C ）//a b （D ）||||a b >3．【2017课标III 4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） （A ）7- （B ）29- （C ）29 （D ）794．【2017山东 4】已知3cos 4x =，则cos2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）15．【2017课标III 6】函数()1sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） （A ）5 （B ）1 （C ）3 （D ）156．【2017北京 7】设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．【2017天津 7】设函数()()()2sin f x x x R ωϕ=+∈，其中0ω>，||ϕπ<，若()52f π=， ()1180f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==8．【2017山东 7】函数2cos2y x x =+ 最小正周期为（ ）（A ）2π （B ）32π （C ）π （D ）2π9．【2017浙江 10】已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I O A O B =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD =⋅，则（ ） （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）213I I I <<10．【2017课标I 11】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）（A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π11．【2017江苏 5】 若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= 。

1．函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象中相邻对称中心的距离为2π，若角ϕ的终边经过点(，则()f x 图象的一条对称轴为（ ） A. 6x π=B. 4x π= C. 3x π=D. 6x π=-【答案】A2．如图所示为函数()()2sin (0,)2f x x πωφωφ=+>≤的部分图象，其中,A B 两点之间的距离为5，则函数()()2cos g x x φω=+图象的对称轴为（ ）A. ()128x k k Z =-∈B. ()62x k k Z =-∈C. ()68x k k Z =-∈D.()122x k k Z =-∈【答案】B【解析】如图，结合图形可知22||425A B x x -+=，则3A B x x -=，因此236T =⨯=，则23T ππω==，即()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图形可得()02sin 1f ϕ==，则6πϕ=，所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2c o s 63g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为63x k πππ+=，即()62x k k Z =-∈，应选答案B ．3．如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m 的基线AB ，若在点A 处测得P 点的仰角为30︒，在B 点处的仰角为45︒，且30AOB ∠=︒，则建筑物的高度为（ ）A. 20mB.C.D. 40m 【答案】D4．已知4sin 85πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 8πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 45- B. 45 C. 35- D.35【答案】A【解析】依题意可得34cos cos sin 88285ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ． 5．已知ABC ∆的外接圆半径为R ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A.25 B. 45 C. D.125【答案】C【解析】依题意， 32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23c o s 42a b C c +=，故2222a 3422b c ab c ab +-⋅+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC ∆的面积为S ，则42sin S ab C =②，将①②平方相加可得()()()22222222228316482c S a b a b c -+=≤+=-，故()222264161655S c c ≤-≤，即24S 5S ≤≤，，当且仅当285c =时等号成立.选C. 6．函数()()sin ()2f x x ππθθ=+<的部分图象如图，且()102f =-，则图中m 的值为（ ）A. 1B. 43C. 2D.43或2 【答案】B7．已知向量()()2,,1,2a m b ==-，若a b ⊥，则在向量c a b =+上的投影为（ ）A.B. C.【答案】D【解析】向量()()2,,1,2a m b ==-，若a b ⊥，则220a b m ⋅=-+=，得1m =，()1,3c a b =+=,在向量c a b =+上的投影为13a c c ⋅==+，故选D.8．在ABC ∆中， 13AN NC =， P 是直线BN 上的一点，且34AP mAB AC =+ ，则实数m 的值为（ ）A. -2B. -4C. 1D. 4 【答案】A 【解析】因为13AN NC =，所以14AN AC =；因为P 是直线BN 上的一点，所以设BP nBN =,则()AP AB n AN AB-=-，即()()31144n AP n AB nAN n AB AC mAB AC =-+=-+=+，则 3,12n m n ==-=-；故选A.9．已知向量,a b ，且23,a a =与b 的夹角为(),36a ab π⊥-，则b =（ ）A. B. C. 12D. 【答案】C【解析】()2333623cos06a ab a a b b π⋅-=-⋅=-⨯⨯=，解得：12b =，故选C.10．在ABC ∆中， Q P 、分别在,AB BC 上，且11,33AP AB BQ BC ==，若a ,b A B A C ==，则PQ =（ ） A. 11a b 33+B. 11a b 33-+C. 11a b 33- D. 11a b 33-- 【答案】A【解析】()2121111133333333PQ PB BQ AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+，故选A ．11．已知边长为的菱形ABCD 中，120BAD ∠=，若(01)AP AC λλ=<<，则BP PD ⋅的取值范围为（ ）A. []0,3B. []2,3C. (]0,3 D. (]2,3 【答案】D12．设0ω>，将函数sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是__________． 【答案】32【解析】由题设可知该函数的最小正周期是426343423T ππωπ=⇒===，故应填答案32．13．函数()2242sin 12x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于________. 【答案】214．已知向量， b 满足1a =， 3b =， 22a b -=，则2a b -=__________． 【答案】3【解析】因为1a =， 3b =， 22a b -=，所以2228a a b b -⋅+=，即1a b ⋅=，则222444493a b a a b b -=-⋅+=-+=.15．已知()()()()1,3,2,,m n t m n m n ==+⊥-,则t =_________．【答案】【解析】由题意得222,104,m n t t ==+=16．设ABC ∆中的内角,,A B C 的边分别为,,a b c ，若2sin c B A ==. （1）若3C π=,求,a b 的值；（2）若1cos 4C =,求ABC ∆的面积.【答案】(1) 2,4a b ==. 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， sin 2sin 2B A b a =⇒=，再根据余弦定理，2222cos c a b ab C =+-,求解,a b ；(2)根据余弦定理求和，再根据面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求解.试题解析：(1) 3C π=,由正弦定理知sin 2sin B A =即2b a =，当c =得2222cos c a b ab C =+-，即2221242a a a =+-，解得2,4a b ==.(2)由1cos 4C =得sin C =，又2b a=，由余弦定理可得22222222cos 44c a b ab C a a a a =+-=+-=，即2c a =，因为c =，所以,3a b ==11sin 22ABC S ab C ∆===.17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ()cos 2cos A b C =． （1）求角C ；（2）若,6A ABC π=∆D 为AB 的中点，求sin BCD ∠．【答案】（1）6C π=（2所以CD =，在DBC ∆中，由正弦定理可得sin sin CD DBB BCD =∠1sin BCD=∠，所以sin BCD ∠=． 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 2sin a B b A =. （1）求B ；（2）若b = 512A π=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3B π=；（219．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C +++=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若c =ABC ∆周长的最大值. 【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可得222a b c ab +-=-，再根据余弦定理得结果；（Ⅱ）根据正弦定理可得2sin 2sin 2sin 2sin 3l a b c A B A A π⎛⎫=++=+=+- ⎪⎝⎭再利用两角和与差的正弦公式化简，根据三角函数的有界性求解. 试题解析：（Ⅰ）由已知，得()()222222a b c a b b a c R R R+⋅++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴23C π=；（Ⅱ）∵c =sin sin a bA B==，∴2sin ,2sin a A b B ==.设周长为，则2sin 2sin 2sin 2sin 3l a b c A B A A π⎛⎫=++=+=+-+⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 33A A A A A ππ=+++=2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵03A π<<,∴2sin 3A π⎛⎫<+⎪⎝⎭∴ABC ∆周长的最大值为220．在ABC ∆中， ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若)tan tan tan tan 1A C A C +=-. （1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）3B π=。

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．设定义域为为R的函数()l g 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x b f x c++=有7个不同的实数解得充要条件是（ ） (A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ≥且0c =(汇编上海理)2．（汇编江西理5）等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）A ．62 B. 92 C. 122 D. 152第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题3．已知集合Ａ＝{}|2x x <，集合Ｂ＝{}22|log log 5x x <，全集Ｕ＝Ｒ，则()U C A B = ▲ ．4．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．(){}20，5．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．实数x 满足3log 1sin x =+θ，则()2log 19x x -+-= ▲ . 评卷人得分三、解答题7．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点34(,)55B -，AOB α∠=，2παπ<<，||1OP =，AOP θ∠=，02πθ<<．(1)若16cos()65αθ-=-，求点P 的坐标； (2)若四边形OAQP 为平行四边形且面积为S ，求OQ OA S ⋅+的最大值．xOyBAPQ(第19题图)8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 。

2）因为3⋅=，BA BC=）可知cos Bac2017届高三数学专题练习解三角形解析【重点把关】1．解析：由正弦定理可得sin A===．因为a=<b=，所以0<A<，所以A=，故选B．2．解析：已知等式利用正弦定理化简得=，即c2-b2=ac-a2，所以a2+c2-b2=ac，所以cos B==，因为B为三角形的内角，所以B=．故选C．3．解析：因为bcos B=acos A，所以sin Bcos B=sin Acos A，所以sin 2A=sin 2B，所以A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，即△ABC为等腰或直角三角形，故选C．4．解析：因为△ABC中，asin Asin B+bcos2A=a，所以根据正弦定理，得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A，可得sin B(sin2A+cos2A)=sin A，因为sin2A+cos2A=1，所以sin B=sin A，可得=．故选C．5．解析：因为在锐角△ABC中，sin A=，S△ABC=，所以bcsin A=bc×=，所以bc=3，①又a=2，A是锐角，所以cos A==，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即(b+c)2=a2+2bc(1+cos A)=4+6(1+)=12，所以b+c=2，②由①②得解得b=c=．故选A．6．解析：因为b2+c2+bc-a2=0，所以cos A==-，所以A=120°．由正弦定理可得====．故选B．7．解析：因为82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D⇒cos D=-，所以AC==7．答案：78．解析：因为∠A=60°，所以∠BOC=120°．又·=-，设△ABC外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以·=R2·cos∠BOC=-．所以R=1．由正弦定理得，=2R，所以a=2×sin 60°=．由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2，所以b+c≤2，所以a+b+c≤3，即三角形ABC周长的最大值为3．答案：39．【能力提升】10．解析：依题意可知1-cos Acos B-cos2=0，因为cos2===，所以1-cos Acos B-=0，整理得cos(A-B)=1，所以A=B，所以三角形为等腰三角形．故选B．11．解析：因为BD=2DC，所以设CD=x，AD=y，则BD=2x，因为cos ∠DAC=，cos C=，所以sin ∠DAC=，sin C=，则由正弦定理得=，即=，即y=x，sin ∠ADB=sin(∠DAC+∠C)=×+×=，则∠ADB=，∠ADC=，在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2AD·BDcos ，即2=4x2+2x2-2×2x×x×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=，在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos =2+1-2××(-)=5，即AC=．答案：。

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍在知识点的交汇处命题，是当前高考的热点，三角函数也不例外.三角函数本身就属于代数与几何的结合体，其函数的思想、几何的思想、数形结合的思想随处可见.本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起.一、三角与向量的交汇现行高中数学教材中，向量是继函数之后的一条主线，贯穿整个高中数学教学，也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇，通常题目以三角函数为主体，但条件中涉及一些向量只是，如向量的坐标中包含三角表达式，然后给出向量之间的平行、垂直关系，或者用向量的数量积表示函数等等，这种情况在当前的试题中还很常见.例1、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2015120aBC bCA cAB ++=uu u r uu r uu u r r ，则△ABC 最小角的正弦值等于___________________.例2、已知向量()1,3cos m α=u r ，()1,4tan n α=r ，()22ππα∈-,，且5m n ⋅=u r r ． (1)求m n +u r r ；(2)设向量m u r 与n r 的夹角为β，求tan()αβ+的值．【变式1】已知向量3(sin ,)2a x =r ，(cos ,1)b x =-r (1)当b a //时，求22cos sin 2x x -的值；(2)求()()f x a b b =+⋅r r r 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【变式2】若向量2),(sin 2,2)2m a x b x =+=v v . (1)当[0,]2x π∈时a b ⋅v v 的最大值为6，求m 的值； (2)设()f x a b =⋅v v ，当x R ∈时，求()f x 的最小值及对应的x 的取值集合.例3、已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量m u r ＝(2sinB ，2－cos 2B )，2(2sin (),1)42B n π=+-r ，m n ⊥u v v ，a =1b = (1)求角B 的大小；(2)求c 的值．【变式】在ABC ∆中，角B 为锐角，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12cos 2,2cos ,3),sin(22B B C A 且向量,共线． (1)求角B 的大小;(2)如果1b =，且ABC S ∆=，求a c +的值. 二、三角与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题相对较少，但如果解题中条件使用得当，往往可以事半功倍.如：等比中项或等差中项性质的应用，三角形三内角A ，B ，C 成等差数列，则B ＝3π；三角形三边a ，b ，c 成等比数列，则B ∈(0，3π]等. 例4、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，则角B 的取值范围是__________.【变式】在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为________. 例5、△ABC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.(1)若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；(2)若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.【变式】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列(1)若2b c ==，求ABC ∆的面积(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ∆的形状三、三角与其他知识点的交汇例7、在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x αy α=+⎧⎨=⎩(α为参数，0απ≤≤)． (1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.例8、已知椭圆C ：221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，求PAB ∆面积的最大值.例9、已知：复数1cos () z b C a c i =++，2(2)cos 4 z a c B i =-+，且12z z =，其中B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．(1)求角B 的大小；(2)若b =，求△ABC 的面积.总体来看，三角函数可能交汇的知识点众多，相应的考点、解题思想方法也就千变万化，我们在解决这类问题时，既要考虑三角函数方面的方法，也要关注其他知识点的思想，有时候两者结合起来还可能出现一些巧妙的思路，如数形结合、参数思想等，这对于我们解决进一步问题都将会有很好的启迪.【迁移运用】1. 【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试数学（理）试题】已知向量(sin(),1)6a πα=+，(4,4cos b α=，若a b ⊥，则4sin()3πα+= . 2．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，2】已知向量()()1,3,sin ,cos a b αα==且//a b ，则tan α= ．3．【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】若20π<≤<x y ，且y x tan 3tan =，则y x -的最大值为 ．4．【2016届江西省南昌二中高三上学期第一次考试】已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ．5．【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】设0＜θ＜2π，向量a =（sin2θ，cos θ），b =（1，-cos θ），若a ⊥b ，则tan θ= ．6．【2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期初联考】如图，水平地面ABC 与墙面BCD 垂直，E,F 两点在线段BC 上，且满足4EF =，某人在地面ABC 上移动，为了保证观察效果，要求他到E,F 两点的距离和恰好为6，把人的位置记为P ，点R 在线段EF 上，满足RF=1，点Q 在墙面上，且QR BC ⊥,2QR =,由点P 观察点Q 的仰角为θ，当PE 垂直面DBC 时，则tan θ= ．7．【2016届学年江西省新余一中等校高三联考模拟】设函数()x x f 2sin π=的导函数()x g 的图像位于y 轴右侧的所有对称中心从左到右依次为 n A A A 21,，O 为坐标原点，则n A O A O A O +++21的坐标为： ．8．【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ．（1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，判断△ABC 的形状；（2）设向量(2sin ,s C =，2(cos 2,2cos 1)2C t C =-，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3B π-的值． 9．【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分) 已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ． (1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．10．【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分14分）在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥.(1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u r，AD△ABC 的面积．12．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考数学（理）试题】(本小题满分12分）已知向量cos ,12x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23sin ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎭，函数()1f x m n =⋅+ ()I 若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()x f 的最小值及对应的x 的值； ()II 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()1011=x f ，求sin x 的值. 13．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,)4cos ,4(sin x x ππ=,b a x f ⋅=)(． （1）求)(x f 的单调递减区间; （2）若函数)2()(x f x g -＝，求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值．14．已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图像关于直线4x π=对称，当4x π≥时，函数sin y x =． （1）求(),()24f f ππ--的值； （2）求()y f x =的表达式；（3）若关于x 的方程()f x a =有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得的所有解的和记为a M ，求a M 的所有可能取值及相应a 的的取值范围．15．向量m ＝()x a sin ,1+，n ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos 4,1πx ，设函数()x g ＝n m ⋅（a ∈R ，且a 为常数）． （1）若a 为任意实数，求()x g 的最小正周期；（2）若()x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．。

2017高考真题分类汇编：三角与向量1．【2017课标III 6】设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） （A ）()f x 的一个周期为2π- （B ）()f x 的图像关于直线83x π=对称 （C ）()f x π+的一个零点为6x π=（D ）()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 2．【2017北京 6】设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．【2017天津 7】设函数()()()2sin f x x x R ωϕ=+∈，其中0ω>，||ϕπ<，若()52f π=，()1180f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ== 4．【2017课标I 9】已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）（A ）把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C （B ）把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C （C ）把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C （D ）把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．【2017山东 9】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。

若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A =6．【2017浙江 10】已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD =⋅，则（ ）（A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）213I I I <<7．【2017课标III 12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）（A ）2- （B ）32-（C ）43- （D ）1- 8．【2017课标III 12】在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编江西理7）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）A. 1627B. 23C. 33D. 342．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =. A.3 B.7 C.22 D.23第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题3． 设集合{211}A x x x =-<<->或,{},B x a x b =≤≤若{2},A B x x ⋃=>- {13}A B x x ⋂=<≤,则a = ,b = .4．已知集合{}2l o g 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = ▲5． 设x x x f sin cos )(-=，把)(x f 的图象向右单位平移m （m>0）个单位后，图象恰好为函数)(x f y '-=的图象，则m 的最小值为________.6．已知m ∈R ，设P ：不等式2|53|3m m --≥；Q ：函数6)34()(23++++=x m mx x x f 在(－∞,+∞)上有极值．求使P 正确且Q 正确的m的取值范围．评卷人得分三、解答题7．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知),2(a c b m -=，)cos ,(cos C A n -=，且n m ⊥. 1.求角A 的大小；2.若3=a ，ABC ∆面积为433，试判断ABC ∆的形状，并说明理由. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第二小题满分7分.8．已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==.(1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； (2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a c o s c o s )2(=-，求函数f (A )的取值范围.9．已知()()4cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 5cos OM ON x x PQx x ααα⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭（1）当4cos 5sin xα=时，求函数y ON PQ =⋅的最小正周期；（2）当12,13OM ON OM ⋅=∥,,PQ x x αα-+都是锐角时，求cos 2α的值.10．已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，j i AB 22+=（j i ,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g 。

2017年高考数学全国卷分类汇编三角与向量全国1理（2小1大）9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .17．（12分） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.全国1文（4小）8．函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π313．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________.15．已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。

全国2理（2小1大）12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1-14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 全国2文（4小）3.函数()f x =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a13.函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 .16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=全国3理（2小1大）6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．217．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =0，a =27,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．全国3文（4小）4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ． 29 D ．796．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin x x 的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m = .15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量一、单选题（共8题；共16分）1、（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A、a=2bB、b=2aC、A=2BD、B=2A2、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A、ω= ，φ=B、ω= ，φ=﹣C、ω= ，φ=﹣D、ω= ，φ=3、（2017•北京卷）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、（2017•新课标Ⅰ卷）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（）A、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C、把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D、把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C25、（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ +μ ，则λ+μ的最大值为（）A、3B、2C、D、26、（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（）A、f（x）的一个周期为﹣2πB、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C、f（x+π）的一个零点为x=D、f（x）在（，π）单调递减7、（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（）A、I1＜I2＜I3B、I1＜I3＜I2C、I3＜I1＜I2D、I2＜I1＜I38、（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A、﹣2B、﹣C、﹣D、﹣1二、填空题（共9题；共10分）9、（2017·浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=________．10、（2017•江苏）若tan （α﹣ ）= ．则tanα=________．11、（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是________．12、（2017·天津）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为________．13、（2017•浙江）已知△ABC ，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，com ∠BDC=________． 14、（2017•北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=，则cos （α﹣β）=________．15、（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若 =m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．16、（2017•新课标Ⅰ卷）已知向量 ，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=________．17、（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=sin 2x+cosx ﹣（x ∈[0，]）的最大值是________．三、解答题（共10题；共57分）18、（2017•山东）设函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+sin （ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（12分） （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）在[﹣，]上的最小值． 19、（2017·天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．20、（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．21、（2017•浙江）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是________，最大值是________．22、（2017•北京卷）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）(1)求sinC的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．23、（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．24、（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（Ⅰ）若∥，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．25、（2017•新课标Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（12分）(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．26、（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．27、（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．2、【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴，φ= ．故选：A．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．3、【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律【解析】【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件．故选：A．【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．4、【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，故选：D．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．5、【答案】A【考点】向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= =∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ +μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．6、【答案】D【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的图象，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（+ ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，C当x= 时，f（+π）=cos（+π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+ ＜，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，故选：D【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．7、【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞• ＞• ，• ＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．8、【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+ ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．二、填空题9、【答案】【考点】模拟方法估计概率【解析】【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6× ×1×1×sin60°= ．故答案为：．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．10、【答案】【考点】两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan（α﹣）= = =∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= ，故答案为：．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可11、【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：，是互相垂直的单位向量，∴| |=| |=1，且• =0；又﹣与+λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ ）=| ﹣|×| +λ |×cos60°，即+（﹣1）• ﹣λ = × ×，化简得﹣λ= × × ，即﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．12、【答案】【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ，∴= += += + （﹣）= + ，又=λ ﹣（λ∈R），∴=（+ ）•（λ ﹣）=（λ﹣）• ﹣+ λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．13、【答案】；【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE= BC=1，AE⊥BC，∴AE= = ，∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ，∵BD=2，∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ，故答案为：，【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC= S 即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出△ABC14、【答案】﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣方法二：∵sinα= ，当α在第一象限时，cosα= ，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出15、【答案】3【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin （α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B ．∵ =m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+ n ，解得n= ，m=．则m+n=3．故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，sinα= ．C ．可得cos （α+45°）= ．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m ，n ∈R ），即可得出．16、【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2 ．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．17、【答案】1【考点】二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数间的基本关系，三角函数的最值【解析】【解答】解：f（x）=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．三、解答题18、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（﹣ωx）= sinωx﹣cosωx= sin（ωx﹣），又f（）= sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin （x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y= sin（x+ ﹣）的图象，∴函数y=g（x）= sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣× =﹣．【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g （x）的最小值．19、【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB= ，可得cosB= ．由已知及余弦定理，有=13，∴b= ．由正弦定理，得sinA= ．∴b= ，sinA= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+ ）= = ．【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．20、【答案】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2× + ）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+ ∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z．【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间21、【答案】4；【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |= ，| ﹣|= ，令x= ，y= ，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=﹣x+z，则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max= × = ．综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |= 、| ﹣|= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．22、【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= × = ，（2）解：a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC= ，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．23、【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，根据正弦定理得：= ，∴sin ，cos ，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，∴EN= = =20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG 于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．24、【答案】解：（Ⅰ）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx+3sinx=0，∴tanx= ，∵x∈[0，π]，∴x= ，（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣sinx=2 （cosx﹣sinx）=2 cos（x+ ），∵x∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出25、【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= ；（2）解：∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= ，∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，∵= = =2R= =2 ，∴sinBsinC= • = = = ，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+ ．【考点】两角和与差的余弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．26、【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB= ；（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，∵S△ABC= ac•sinB=2，∴ac= ，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．27、【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，∴tanA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，∴cosC= ，∴sinC= ，∴tanC=在Rt△ACD中，tanC= ，∴AD= ，∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ，∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣=【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD 的面积．。

专题三 三角函数与解三角形问题四：与向量、数列等相结合的三角形问题一、考情分析在知识点的交汇处命题,是当前高考的热点,三角函数即是基本的函数,也是解决数学问题的有效工具,在代数与几何中有着广泛的应用.其中解三角形与三角函数、向量、数列的交汇较为多见二、经验分享(1)解题中要灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(2)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(3)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(4) 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．(5) 向量在解三角形问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”.(6) 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．三、知识拓展1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 2.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0. 3.在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．4. 在△ABC 中，若,,a b c 成等差数列，则60B ≤；若,,a b c 成等比数列，则60B ≤；若,,A B C 成等差数列，则60B =.5.在锐角△ABC 中，090A <<，90A B +>，sin cos ,sin cos A B B A >>.四、题型分析(一) 三角与向量的交汇现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见.【例1】【2017辽宁盘锦市高三11月月考】已知△ABC 的面积S 满足231S ≤≤,且2AC CB ⋅=-,ACB θ∠=．（1）若(sin 2,cos 2)m A A =,(cos 2,sin 2)n B B =,求|2|m n +的取值范围；【分析】（1）由已知数量积可得cos 2ab θ=,代入θsin 21ab S =,可得[]1,32tan -∈θ,从而求出θ的范围,再由向量模的公式可得θ2sin 4522-=+n m ,从而求得答案；（2）化简函数()24cos cos sin 344sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθθθπθθf ,令sin cos θθ=+,然后利用配方法求得函数()θf 的最大值．【解析】（1）由2CA CB ⋅=,ACB θ∠=,得cos 2ab θ=,1sin tan 23,12S ab θθ⎡⎤==∈⎣⎦, 所以tan 23,1θ⎡⎤∈⎣⎦,而(0,)θπ∈,所以124ππθ≤≤,∵(sin 2,cos 2)m A A =,(cos 2,sin 2)n B B =,∴22||sin 2cos 21m A A =+=,||1n =,sin 2cos 2cos 2sin 2sin(22)sin(22)sin 2sin 2m n A B A B A B C C πθ⋅=+=+=-=-=-, 222|2|||44||54sin 2m n m m n n θ+=+⋅+=-,因为124ππθ≤≤,所以262ππθ≤≤,[]54sin 21,3θ-∈,所以|2|1,3m n ⎡-∈⎣．（2）()sin()43sin cos cos()244f ππθθθθθ=+-+--2(sin cos )43sin cos 2θθθθ=+--, 设sin cos t θθ=+2sin()4πθ=+,因为124ππθ≤≤,所以342πππθ≤+≤,所以6,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,2124322t y t -=-⋅-2232232t t =-++-,【点评】(1)平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．(2)求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型,可化为22sin()y a b x φ=++求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值.本题是利用方法①的思路解答的.【小试牛刀】【2018届河北省定州高三上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-，,c 60a c b --=︒，则c 的最大值等于（ ）A. 4B. 2C.2 D. 1(二) 三角与数列的交汇数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类：一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角A ,B ,C 成等差数列；三边a ,b ,c 成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和.【例2】设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且c b a ,,成等比数列,则角B 的取值范围是( )A ．]6,0(πB ．),6[ππC ．]3,0(π D ．),3[ππ【分析】利用c b a ,,成等比数列,得ac b =2,再利用余弦定理,将边与角联系,最后用基本不等式求出cos B 的范围.【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件,所以,解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来.【小试牛刀】△ABC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. (1)若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. (三)三角与三角函数的交汇【例3】【2018届山东省、湖北省部分重点中学高三12月联考】设函数()32sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【分析】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求解增区间即可；（Ⅱ）由32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3A π=，由题意可知： ABC ∆的内切圆半径为1，根据切线长相等结合图象得23b c a +-=()4334bc b c =+，利用均值不等式求最值即可.【解析】(Ⅰ) ()3313132sin cos 2sin2cos23222222f x x x cosx sinx cosx x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6. 令也可以这样转化： 31r a b c =⇔++=代入2223b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭；[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6.【牛刀小试】【2018届江西省抚州高三上学期教学质量检测】已知ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若5cos 45cos b A c B a +=，则222tancos 22cos sin tan 22A AA A B=⎛⎫- ⎪⎝⎭__________．(四)解三角形与其他知识的交汇【例4】已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =,其中B 、C 为△ABC 的内角,a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． (1)求角B 的大小；学+科网 (2)若22b =,求△ABC 的面积.【解析】(1)12z z =,B c a C b cos )2(cos -=①,4=+c a ②；由①得B c C b B a cos cos cos 2== ③; 在ABC ∆中,由正弦定理得B C C B B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=【点评】本题其实就是利用复数相等建立两个边角关系,而复数与三角函数也有密切关系,只是现行教材的范围限制,对复数的三角形式暂不作要求,但应该注意与其相关的试题出现.【牛刀小试】已知椭圆C ：221169x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ,动点P 是椭圆上任一点,求PAB ∆面积的最大值.五、迁移运用1．【2018届福建省莆田高三上学期第二次月考】在ABC 中，三个内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，若ABC 的面积为S ，且()224S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A. 1B. 22-C. 22D. 32A.34 B. 12 C. 56 D. 453．【2018届河北省大名高三上学期第一次月考】已知函数()y f x =是()1,1-上的偶函数,且在区间()1,0-是单调递增的, ,,A B C 是锐角ABC 的三个内角,则下列不等式中一定成立的是 ( ) A.()()sin cos f A f A > B. ()()sin cos f A f B > C. ()()cos sin f C f B > D.()()sin cos f C f B >4.已知A ,B ,C ,D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A ⎝⎛⎭⎫－π6，0,B 为y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,CD →在x 轴上的投影为π12,则ω,φ的值为( )A ．ω＝2,φ＝π3B ．ω＝2,φ＝π6C ．ω＝12,φ＝π3D ．ω＝12,φ＝π65.【2017山西临汾一中等五校高三第三联考】如图,在ABC ∆中,,3,1AD AB BC BD AD ⊥==,则AC AD 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6.【2017福建厦门一中上学期期中】如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°,点C 在AB 上,且030COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+=____________．7.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如图所示，在平面四边形ABCD 中， 1AB =，2BC =，为ACD ∆正三角形，则BCD ∆面积的最大值为__________．8．【2018届内蒙古呼和浩特市高三年级质量普查】如图，现有一个AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB . 现欲在弧AB 上取不同于,A B 的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中//CD OA ），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I 和养殖区域II. 若1OA cm =， 3AOB π∠=， AOC θ∠=. 求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD长度之和）的最大值为______.9．【2018届四川省双流中学高三11月月考】在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若4a b +=，23c =23CA CB ⋅=，则ABC 的面积是__________． 10．【2018届宁夏银川一中高三第五次月考】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若a 、b 、c成等比数列，且4cos 5B =，则11tan tan A C+的值是___________.学科=网 11．【2018届山东省济南外国语学校高三12月考试】在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ，c ，若2sin sin c ba B C+=， 2b =，则ABC ∆面积是__________． 12．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】如图， ,,A B C 是直线l 上的三点， P 是直线l 外一点，已知112AB BC ==， 90CPB ∠=， 4tan 3APB ∠=．则PA PC ⋅=_____13．【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11sin tan tan B A B-+的取值范围是__________． 14． ABC ∆中,内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ,已知,,a b c 成等比数列,且3cos 4B =．（1）求11tan tan A B+的值； （2）设32BA BC ⋅=,求a c +的值．15.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34,b ＝(cos x ,－1)． (1)当a ∥b 时,求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ,已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝3,b ＝2,sin B ＝63,求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围． 16.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知函数()3cos f x x x c ωω=++（0ω>,x R ∈,c 是常数）图象上的一个最高点为(,1)6π,与其相邻的最低点是2(,3)3π-． （1）求函数()f x 的解析式及其对称中心；（2）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且12AB BC ac ⋅=-,试求函数()f A 的取值范围． 17.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅=,求ABC ∆的面积； （2）设向量(2sin ,3)x B =-,2(cos 2,12sin )2By B =-,且//x y ,求角B 的值． 18. 【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】设向量2(2,3cos 2)a λλα=+-,(,sin cos )2mb m αα=+,其中λ,m ,α为实数． （1）若12πα=,求||b 的最小值；（2）若2a b =,求mλ的取值范围．19.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且,,A B C 成等差数列 (1)若23,2b c ==,求ABC ∆的面积(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列,试判断ABC ∆的形状20.【2018届四川省德阳市高三三校联合测试】在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-.学&科网（1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=， 32AM =,求ABC ∆的面积.。

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于（ ）.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π(汇编湖北理) 2．设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分 二、填空题3．向量(cos10,sin 10),(cos 70,sin 7==a b ，2-a b = ． 4．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．(){}20，5．已知集合P ＝{（x ，y ）|y ＝m }，Q ＝{（x ，y ）|y ＝1+x a ，a ＞0，a ≠1}，如果P Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．6．已知函数2()23cos 2sin cos 3f x x x x =--，若将其图象按向量(,0)3π-平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为 ． 评卷人得分 三、解答题7．已知向量()()11,cos ,,sin ,0,3a x b x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭。