精品高一数学必修4课时练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

必修四第3章 三角恒等变形3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.已知一元二次方程0332=--x x 的两个根为βαtan ,tan ，求)(cos 3)cos()sin(3)(sin 22βαβαβαβα+-++-+的值__________．2.已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值． 3.求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)． 4.函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1 5.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值 7．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8.已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D.24259．对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知π<θ<32π，则12＋1212＋12cos θ＝________．参考[答案]：1.【[答案]】-32.【[答案]】∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213. ∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 3.【[答案]】(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.[来源:Z,xx,] (2)原式＝tan [(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)]＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝ 3. 4.【[答案]】B5.【[答案]】A6.【[答案]】解：(1)由B ＝C ,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a ＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2 A －1＝－79. 故sin 2A ＝2sin A cos A ＝429. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 7.【[答案]】D8.【[答案]】A9.【[答案]】C10.【[答案]】sin θ4。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)限时练周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.163．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3 4．若tan 28°tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3m B.3(1－m ) C.3(m －1) D.3(m ＋1)5．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 6．已知tan α和tan ⎝⎛⎭⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝ab7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°二、填空题8.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 9．已知sin 2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12， 则tan(α＋β)＝________.10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝__________.11．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12， (1)求tan α的值；(2)求sin(α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos(α＋β)的值．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．答案精析1．A2．C [tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝35－141＋35×14＝723.] 3．B [a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2 ＝13.] 4．B [由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝3(1－m )．]5．C [∵α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a lg 1a， 1＝1－lg 10a lg 1a， ∴lg 10a lg 1a＝0. lg 10a ＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1.] 6．C [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－b a， tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝c a .tan ⎣⎡⎦⎤α＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1－tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－b a 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .] 7．D [由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝3 3.∴tan B ＝3，B ＝60°.] 8. 3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.9．－2解析 ∵sin 2α＝35，π2＜2α＜π， ∴tan 2α＝－34. tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)1＋tan 2αtan(α－β)＝－34－121＋⎝⎛⎭⎫－34×12＝－5458＝－2. 10.17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6.∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17. 11．1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 12．解 (1)∵tan(π4＋α)＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2， ∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin(β－α)cos(β－α) ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 13．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7， tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

课时提升卷(二十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·嘉兴高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)等于( )A. B.- C.3 D.-32.(2013·蚌埠高一检测)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( )A.tanβtanα<1B.sinα+sinβ<C.cosα+cosβ>1D.tan(α+β)<tan3.若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°= ( )A.mB.(1-m)C.(m-1)D.(m+1)4.(2013·菏泽高一检测)在△ABC中，∠C=120°，tanA+tanB=，则tanAtanB的值为( )A. B. C. D.5.已知sinα=且α为锐角，tanβ=-3且β为钝角，则角α+β的值为( )A. B. C. D.二、填空题(每小题8分，共24分)6.(2013·普宁高一检测)设tan(α+β)=，tan=，则tan= .7.若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β= .8.(2013·潍坊高一检测)化简的结果为.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.已知α，β均为锐角，且tanβ=，求tan(α+β)的值.10.已知A+B=45°，求证：(1+tanA)(1+tanB)=2，并应用此结论求(1+ tan1°)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°)的值.11.(能力挑战题)设tanα，tanβ是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0(a≠0)的两根，求证：tan(α+β)的最小值是-.答案解析1.【解析】选A.由于tanα=3，tanβ=，故tan(α-β)====.2.【解析】选D.取特例，令β=α=可得，tan(α+β)=，tan=，所以tan(α+β)>tan，所以D不正确.【变式备选】在△ABC中，若0<tanAtanB<1，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.因为0<tanAtanB<1，所以tanA>0，tanB>0，tanA+tanB>0，所以tanC=-tan(A+B)=-<0，所以角C为钝角，△ABC为钝角三角形.3.【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°===，所以tan 28°+tan 32°=(1-m).【变式备选】化简tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan10°tan60°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan10° D.tan20°【解析】选A.因为tan(10°+20°)=，所以tan20°+tan10°=tan30°(1-tan20°tan10°)，所以原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+tan60°tan30°(1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1.4.【解析】选B.∠C=120°，则A+B=60°，又tan(A+B)=，故=，tanAtanB=.5.【解析】选B.sinα=，且α为锐角，则cosα=，tanα=；所以tan(α+β)===-1，又α+β∈，故α+β=.6.【解析】因为tan=tan====.答案：7.【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1，即tan(α+β)= -1，所以α+β=kπ-，k∈Z.答案：kπ-，k∈Z8.【解析】原式===tanβ.答案：tanβ9.【解析】tanβ===tan，因为α，β均为锐角，所以-<-α<，0<β<，又y=tanx在上是单调函数，所以β=-α，即α+β=，tan(α+β)=1.10.【解题指南】由A+B=45°结合两角和的正切公式得(1+tanA)(1+tanB)=2，再利用所给式中两角和为45°的个数得结果即可.【解析】因为tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)，且A+B=45°，即tanA+tanB=1-tanAtanB，所以(1+tanA)(1+tanB)=tanA+tanB+1+tanAtanB=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2，即(1+tanA)(1+tanB)=2.因为1°+44°=45°，2°+43°=45°，…，22°+23°=45°，所以(1+tan1°)(1+tan44°)=2，(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…，(1+tan22°)(1+tan23°)=2，所以原式=2×2×2×…×2=222.11.【证明】由tanα，tanβ是方程的两根得Δ=(2a+1)2-4a(a+2)≥0，则a≤，a≠0，又tanα+tanβ=，tanαtanβ=，所以tan(α+β)==--a≥--=-.所以tan(α+β)的最小值是-.关闭Word文档返回原板块。

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标　1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈，sin α＝，则tan 的值等于( ) (π2，π)35(α＋π4)A. B ．7 C ．－ D ．－7 17172．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) 45A. B ．－ C ．－7 D ．－ 4343173．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( ) 1213π23π2A.B.C.D. π43π45π47π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.tan 20°36．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( ) 233A. B. C. D. 14131253题　号1 2 3 4 5 6 答　案二、填空题7.＝________. 1＋tan 75°1－tan 75°8．已知tan ＝2，则的值为________． (π4＋α)12sin αcos α＋cos 2α9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则＝________. sin (α＋β)cos (α－β)10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________. cos α－sin αcos α＋sin α三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，且tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，3333试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为，. 210255求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 121714．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝. 3515(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)　(2) tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)　tan(α＋β)　1－ tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)　tan(α－β)　－1 tan α－tan βtan (α－β)作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝，tan A ·tan B ＝， 5313∴tan(A ＋B )＝，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－， 5252∴C 为钝角．] 5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°33＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°) 333＝tan 30°＝1.]36．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝，3∴tan(A ＋B )＝＝，即＝，解得tan A ·tan B ＝.] tan A ＋tan B 1－tan A tan B 32331－tan A tan B3137．－38. 23解析　∵tan ＝2，∴＝2， (π4＋α)1＋tan α1－tan α解得tan α＝. ∴＝＝＝＝. 1312sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2αtan 2α＋12tan α＋119＋123＋1239．－ 32解析　＝＝＝＝－. sin (α＋β)cos (α－β)sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin βtan α＋tan β1＋tan αtan β31＋(－3)3210．1解析　tan β＝＝. cos α－sin αcos α＋sin α1－tan α1＋tan α∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. tan α＋tan β1－tan αtan β11．解　由tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，33得tan B ＋tan C ＝(1－tan B tan C )．3∴tan(B ＋C )＝＝， tan B ＋tan C 1－tan B tan C 3又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝. π3又tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，33∴tan A ＋tan B ＝－(1－tan A tan B )， 33∴tan(A ＋B )＝＝－， tan A ＋tan B 1－tan A tan B 33而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝，又∵A ＋B ＋C ＝π， 5π6∴A ＝，B ＝C ＝.∴△ABC 为等腰三角形． 2π3π612．解　由条件得cos α＝，cos β＝. 210255∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， 1－cos 2 α7210sin β＝＝. 1－cos 2 β55因此tan α＝＝7，tan β＝＝. sin αcos αsin βcos β12tan(α＋β)＝＝＝－3. tan α＋tan β1－tan α·tan β7＋121－7×1213．解　tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝>0. tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β13而α∈(0，π)，故α∈(0，)． π2∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π. 17π2∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0， 12∴－π<α－β<－. π2∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝1， tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)∴2α－β＝－. 3π414．(1)证明　∵sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝， 3515∴Error!⇒Error!⇒＝2，所以tan A ＝2tan B . tan A tan B (2)解　∵<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝，∴tan(A ＋B )＝－，即＝－. π23534tan A ＋tan B 1－tan A tan B 34将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2 B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝，舍去负值，得tan B ＝. 2±622＋62∴tan A ＝2tan B ＝2＋.设AB 边上的高为CD . 6则AB ＝AD ＋DB ＝＋＝. CD tan A CD tan B 3CD 2＋6由AB ＝3，得CD ＝2＋.∴AB 边上的高等于2＋. 66。

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课后提升作业二十七两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知α∈,sinα=,则tan的值等于()A. B.7 C.-D.-7【解析】选A.因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-,所以tanα==-,所以tan===.2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于()A. B.C. D.【解析】选C.tan=tan==.3.直线l1:x-2y+1=0,倾斜角为α,直线l2:x+3y-1=0,倾斜角为β,则β-α=()A. B.C.-D.-【解析】选B.由题意可知,tanα=,tanβ=-,所以0<α<,<β<π.所以0<β-α<π,所以tan(β-α)===-1,所以β-α=.【补偿训练】已知=,则tan的值为()A. B.- C. D.-【解析】选C.tan===.4.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)的值为()A. B. C.4D.12【解析】选C.因为(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,所以4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17,所以tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ),所以tan(α-β)==4.5.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】选A.因为tanA+tanB=,tanA·tanB=,所以tan(A+B)=,所以tanC=-tan(A+B)=-,所以C为钝角.6.(2016·成都高一检测)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为()A. B.C. D.【解析】选B.因为C=120°,所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC=-tan120°=.又因为tan(A+B)=,所以=所以1-tanAtanB=,tanAtanB=.7.(2016·石家庄高一检测)设tanα=(1+m),tan(-β)=(tanα·tanβ+m),且α,β为锐角,cos(α+β)的值为()A. B.C.-D.【解析】选D.由题意知tanα+tanβ=-tanαtanβ,即=,所以tan(α+β)=,又0<α+β<π,则α+β=,从而cos(α+β)=.8.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanAtanC,则角B=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解题指南】利用已知条件和tan(A+C)=构建关于tanB的方程,求tanB,再求角B.【解析】选C.因为A+B+C=180°,所以tan(A+C)=-tanB,又tanA+tanB+tanC=3,所以tanA+tanC=3-tanB,又tan2B=tanAtanC,所以由tan(A+C)=得-tanB=,tan3B=3,故tanB=,B=60°.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·江苏高考)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2,tan(α+β)=,所以上式==3.答案:310.已知α,β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=.【解析】因为tanβ==.所以tanβ+tanαtanβ=1-tanα.所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1.所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以=1,所以tan(α+β)=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知tan=2,tanβ=,(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开,转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开sin(α+β),cos(α+β),化简原式,然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切,并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2,所以=2,所以=2,解得tanα=.(2)====tan(β-α)===.12.已知tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.【解析】由已知有所以tan(α+β)===.所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.【能力挑战题】是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tanβ=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan==.又tan tanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根.解得:x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾.所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=.所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.关闭Word文档返回原板块。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7C ．－17D ．－7[答案] A2．已知tan (α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1323C.723D.16[答案] C[解析] tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723.3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 [答案] A[解析] ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13， ∴tan (A ＋B)＝52，∴tan C ＝－tan (A ＋B)＝－52， ∴C 为钝角．5.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. [答案] － 36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． [答案] 23[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求值：(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D .3tan 20°[答案] A[解析] 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.[答案] －105[解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13， 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－ 11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010， 则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan (α＋β)＝________. [答案] 1[解析] ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan (α＋β)＝1. 11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C 21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 三、探究与拓展是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又∵tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－3， ∴tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根， ∴x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵若tan α2＝1，但由于α是锐角，即0<α2<π4，故这是不可能的， ∴tan α2＝2－3，tan β＝1. ∵0<β<π2， ∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6， ∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一 两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？答案 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答案 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )． 知识点二 两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．思考1 直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝ ； (2)tan 75°＝ ；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33思考2 求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.解 方法一 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.方法二 ∵tan 20°tan 40°＝1－tan 20°＋tan 40°tan (20°＋40°)＝1－13(tan 20°＋tan 40°)， ∴原式＝tan 20°＋tan 40°＋3－(tan 20°＋tan 40°)＝ 3.题型一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.题型二 给值求值(角)例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.跟踪训练2 已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为() A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.33答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33. tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝－3＋331＋(－3)·(－33)＝－33.题型三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C .即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .忽视条件中隐含的角的范围而致错例4 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得： ⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1. ∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π. 错因分析 由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6tan αtan β＝7易知 tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ . 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ .5．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求： (1)tan(α＋β－π4)； (2)tan(α＋β)．一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1)6．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题7.1＋tan 75°1－tan 75°＝ . 8．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为 ． 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ . 三、解答题11．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．12．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．当堂检测答案1．答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 2．答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 4．答案 17解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 5．解 (1)∵(π12＋α)＋(β－π3)＝α＋β－π4， ∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)] ＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3) ＝2＋221－2×22＝321－4＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4， ∴tan(α＋β)＝tan (α＋β－π4)＋tan π41－tan (α＋β－π4)tan π4＝－2＋11＋2＝－(2－1)2＝22－3.课时精练答案一、选择题1．答案 A2．答案 C3．答案 C4．答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角．5．答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3， ∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )． 6．答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 二、填空题7.答案 － 3解析 原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.8．答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.9．答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 10．答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 三、解答题11．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.12．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34. ∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.13．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+4π)用tan2α表示出来. 解：tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =.7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα tan 2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =.8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=-++--+βαβαβαβα tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 2．两角和与差的正切公式的运用【例2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°; (2)︒+︒-15tan 115tan 1; (3)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan ; (4))6tan()3tan(1)6tan()3tan(παπαπαπα++++-+; (5).12tan 3112tan 3ππ+- 解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°) =︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1 =331331331331-+++-=13313113-+++-=2)13(2)13(22++- =2-3+2+3=4;(2)原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°) =tan30°=33; (3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3;(4)原式=tan ［(α+3π)-(α+6π)］ =tan 6π=33; (5)原式=12tan 3tan 112tan 3tan ππππ+-=tan(3π-12π) =tan 4π=1. 3.给值求角问题 【例3】 已知α,β,γ都是锐角，且tanα=21,tanβ=51,tanγ=81,求α+β+γ的值. 错解:因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan(α+β+γ)=819718197tan )tan(1tan )tan(⨯-+=+-++γβαγβα=1. ∵α、β、γ都是锐角，∴0＜α+β+γ＜π23, 故：α+β+γ=4π或45π. 正解:因为tan(α+β)=97.tan ［(α+β)+γ］=1.由已知γ＜β＜α.又因0＜21＜33, 所以0＜γ＜β＜α＜6π,得0＜α+β+γ＜2π. 故α+β+γ=4π. 各个击破题演练1 已知tanx=41,tany=-3,求tan(x+y)的值. 解：tan(x+y)=.711)3(411341tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+y x y x 变式提升1已知tanα=71,tanβ=31,求tan(α+2β). 解：tan(α+β)=21317113171tan tan 1tan tan =•-+=•-+βαβα, t an(α+2β)=tan ［(α+β)+β］ =312113121tan )tan(1tan )tan(•-+=•+-++ββαββα=1. 类题演练2利用和(差)角公式化简: (1)θθθθtan 2tan 1tan 2tan +-； (2)θθtan 1tan 1+-. 解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tanθ.(2)原式=θπθπtan 4tan1tan 4tan+-=tan(4π-θ). 变式提升2 (1)求tan50°-tan20°-33tan50·tan20°的值. 解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°(1+tan50°tan20°)-33tan50°·tan20° =tan30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33. (2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan ［(18°-x)+(12°+x)］ =33)12tan()18tan(1)12tan()18tan(=+︒-︒-+︒+-︒x x x x . ∴tan(18°-x)+tan(12°+x) =33［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］. ∴原式=1.温馨提示tanα±tanβ=tan(α±β)(1 tanαtanβ)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效.类题演练3已知α、β都是锐角,且tanα=21,tanβ=31,求α+β. 解：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.1312113121=•-+∵α、β均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升3已知tanα=3(1+m),3(tanα·tanβ+m)+tanβ=0,且α、β都是锐角，求α+β.解：由已知可得 tanα=3+3m,①tanβ=-3tanαtanβ-3m.② 由①+②可得 tanα+tanβ=3(1-tanαtanβ), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3. 又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴0＜α+β＜π,∴α+β=3π.。