对顶角余角补角

余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。

∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。

两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交,构成两对对顶角。

对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。

补角的性质：同角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。

比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

余角的性质：同角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。

比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。

如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。

只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。

余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。

对顶角余角和补角的定义
顶角、余角和补角是在几何学和三角学中常见的概念。

顶角指的是两条直线相交时，形成的相对的两个角，这两个角的顶点是同一个点。

余角是指一个角的补角，即与该角相加为90度的角。

而补角则是两个角的和为90度的角。

从几何学的角度来看，顶角是指两条直线相交时形成的相对的两个角，它们共享一个公共顶点。

例如，在一个三角形中，顶角通常指的是三角形的顶点所对的角。

余角是指一个角的补角，也就是与该角相加为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的余角就是90度减去x度。

补角是指两个角的和为90度的角。

例如，如果一个角的度数是x度，那么它的补角就是90度减去x度。

从三角学的角度来看，顶角、余角和补角也有特定的定义。

在三角函数中，余角是指角A的余角是90度减去角A的度数。

补角是指两个角的和为90度的角，例如，如果角A的度数是x度，那么角A的补角就是90度减去x度。

这些概念在解题和推导三角函数的过程中经常被用到。

总的来说，顶角、余角和补角是几何学和三角学中非常基础和
重要的概念，它们帮助我们理解角的关系，解决各种几何和三角学问题。

通过理解这些概念，我们能更好地应用它们解决实际问题，并且在数学推导和证明中起到重要的作用。

相交线与平行线重难点知识点拨一．余角、补角、对顶角1,余角：如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2,补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.3,对顶角：如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线.4,互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°,则∠1、∠2互余；反过来,若∠1,∠2互余,则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠2＝90°,∠1+∠ 3＝90°,则∠2＝∠3.5,互为补角的有关性质：①若∠A+∠B＝180°,则∠A、∠B互补；反过来,若∠A、∠B互补,则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°,∠A+∠B＝180°,则∠B＝∠C.6,对顶角的性质：对顶角相等.二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质7,同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.8,“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同,即“同旁”和“同位”；内错角要抓住“内部,两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.三．平行线的性质与判定9,平行线的定义：在同一平面内,不相交的两条直线是平行线.10,平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.11,两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.12,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行. 13,平行线的判定定理：（1）同位角相等,两直线平行；（2）内错角相等,两直线平行；（3）同旁内角互补,两直线平行.14,平行线的性质定理：（1）两直线平行,同位角相等；（2）两直线平行,内错角相等；（3）两直线平行,同旁内角互补.难题巧解点拨例1求证三角形的内角和为１８０度.例2如图,AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交,试问一共可以得到同旁内角多少对例3已知：∠Ｂ＋∠Ｄ＋∠Ｆ＝360o.求证：AB∥EF.AB C例4如图,∠１＋∠２＝∠BCD,求证AB∥D E.ＡＢＣＥＤ典型热点考题例１如图2—15,∠1=∠2,∠2+∠3=180°,AB∥CD吗AC∥BD 吗为什么例2 已知直线a、b、c在同一平面内,a∥b,a与c相交于p,那么b与c也一定相交．请说明理由．小试牛刀一、选择题1．图2—17中,同旁内角共有A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对2、光线a 照射到平面镜CD 上,然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射,光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°,∠3=75°,则∠2=A ．50°B ．55°C ．66°D ．65°3、如图3,把长方形纸片沿EF 折叠,使D ,C 分别落在D ',C '的位置,若65EFB =∠,则AED '∠等于A ．50B ．55C ．60D ．65第2题图 第3题图4．两条直线被第三条直线所截,如果所成8个角中有一对内错角相等,那么A ．8角均相等B ．只有这一对内错角相等C. 凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角也相等 D ．凡是内错角的两角都相等,凡是同位角的两角都不相等 5、如图,在ABC 中,已知AB=AC,点D 、E 分别在AC 、AB 上,且BD=BC,AD=DE=EB,那么A ∠的度数是 BA 、30°B 、45°C 、35°D 、60°6、一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上CABDE平行前进,则这两次拐弯的角度可以是 A.第一次向右拐40°,第二次向左拐140° B.第一次向左拐40°,第二次向右拐40° C.第一次向左拐40°,第二次向左拐140° D.第一次向右拐40°,第二次向右拐40° 7、已知：如图,AB A 、++=360 B 、++=180 C 、+-=180 D 、--=908、如图,把三角形纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCED 内部时,则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个 规律,你发现的规律是 ． A ∠A ＝∠1+∠2 B2∠A ＝∠1+∠2 C3∠A ＝2∠1+∠2 D3∠A=2∠1十∠2 二、填空题1、用等腰直角三角板画45AOB =∠,并将三角板沿OB 方向平移到如图17所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22,则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______ 2、如图2—30,直线CD 、EF 相交于点A,则在∠1、∠2、∠3、∠4、∠B 和∠C 这6个角中．1同位角有______； 2内错角有______； 3同旁内角有_____.OM BA22α第1题图第2题图3、如图2—31,直线a、b被直线AB所截,且AB⊥BC,1∠1和∠2是_______角；2若∠1与∠2互补,则∠1-∠3=_______.4、如图,图中有_________对同位角,_________对内错角,_________对同旁内角．三、解答题１、已知：如图2—33,∠ABC=∠ADC,BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2．求证：DC∥AB．2、在3×3的正方形ABCD的方格中,1+2+3+4+5+6+7+8+9之和是多少度解：３、已知：如图,CD 解：4、如图,哪些条件能判定直线AB ∥CD5、如图,已知DE 、BF 平分∠ADC 和∠ABC ,∠ABF ＝∠AED ,∠ADC ＝∠ABC ,由此可推得图中哪些线段平行并写出理由．6、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.1如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.14 32ADC B2在1中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.3由1、2,请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗７、潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的,如图所示,光线AB 经镜面反射后,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明,进入的光线AB 与射出的光线CD 平行吗为什么8、如图：已知DEF ABC ∆∆与是一副三角板的拼图,在同一条线上D C E A ,,,. 1、求证BC EF // ； 2、求21∠∠与的度数P OFBEACQ2 1 321nmba。

第一节 余角、补角与对顶角1.互为余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

注：互为余角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。

2.互为补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

注：和是平角，说明了互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关。

3.对顶角直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

注:(1)两条直线相交；(2)有公共顶点；(3)无公共边（4）对顶角是成对的，是具有特殊位置的两个角。

4.角的重要性质：（1）同角或等角的余角相等。

（2）同角或等角的补角相等。

（3）对顶角相等。

例1：判断题（1）.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余.（ ） （2）.若∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B =180°.（ ）（3）.若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补.（ ） （4）.若∠AOB +∠BOC =180°，则点A 、O 、C 必在同一直线上.（ ） （5）.若∠α+∠β+∠γ=90°，则∠α、∠β、∠γ互余.（ ）例2：如图1，直线l 1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________.图1 图2例3：如图2，直线AB 与CD 相交于O 点，且∠AOD =90°，则∠AOC =_________=_________=_________=_________.例4：如图3，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD =________.图3 图4 图5AOBCA BCODOBA C例5：如图4，直线AB 与CD 相交于O ，∠EOD =90°，正确填写下列两角关系的名称.∠1与∠2:______________________ ∠2与∠3:______________________ ∠2与∠4:______________________ ∠1与∠4:______________________ 例6：如图5，AO ⊥BO ，直线CD 经过点O ，∠AOC =30°，求∠BOD 的度数. 例7：两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对例8：下面说法正确的个数为（ ）①对顶角相等 ②相等的角是对顶角 ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角 ④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A.1个B.2个C.3个D.4个例9：若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（ ）A.40°B.130°C.50°D.140°例10：如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）A.（1）（3）B.（2）（3）C.（3）D.（3）（4）例11：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COB ，:4:1AOD DOC ∠∠=,AOF ∠的度数。

初中数学认识余角、补角、对顶角精讲精练【考点精讲】1. 互为余角与互为补角（1）概念：若，则称、互为余角；若则称、互为补角。

（2）记法的余角记作；的补角记作。

2. 余角（补角）的性质同角或等角的余（补）角相等。

3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。

OADBC4. 对顶角的性质：对顶角相等。

【典例精析】例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）A. 6对B. 7对C. 8对D. 9对思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，，，，。

答案：互补的角有：，，，，，共8对。

答案选C。

点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。

例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。

思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。

答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得，解得，所以这个角的度数为60度。

点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。

所设的未知数不同，所得到的方程也不同。

例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。

D（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分得∠AOD的两部分角的度数即可说明。

答案：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，∴∠2=180°－80°=100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=40°。

∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°－∠1－∠2=180°－40°－100°=40°。

余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】已知：∠A= 30○，则∠A的补角是________度．解：150○点拨：此题考查了互为补角的性质．【考题1－2】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF 平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角B ．一个角的补角一定比这个角大C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D ．相等的角一定互余4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ）A ．南偏西32○B ．东偏南32○C ．南偏西58○D ．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_8．如图 l －2－2，AB ⊥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个9．如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是____________10．已知∠A 和∠B 互余，∠A 与∠C 互补，∠B 与∠C 的和等于周角的13 ，求∠A+∠B+∠C 的度数．11．如图如图1―2―3，已知∠AOC 与∠B 都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD 的度数；（2）求∠AOB 和∠DOC 的度数；（3）∠A OB 与∠DOC 有何大小关系；（4）若不知道∠BOC 的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？。