下载文档原格式
对数函数和对数
`对数函数与对数是数学中的基本概念，它们经常出现在我们的日常生活中。
在互联网领域，对数函数与对数可以应用到计算机编程、图像处理和复杂计算等多领域。
对数函数是一类类似于指数函数的函数，只不过它以常数b,称作底数代替以e
为底数的指数函数，它以b为底的对数是定义在一切正实数上的函数，并且满足关系式：b^x = y ==> x = 对数b y，其中，b>0且b≠1。
当b=10时，x叫做以10
为底的常用对数，记作log10x；而当b=e时，x叫做以e为底的自然对数，记作lognx。
对数的应用很广泛，A/B测试就是其中一个典型的应用。
A/B测试是将两组A
和B群体进行比较，评估两者之间在同一特定测量指标上的差异，以检验某种处理是否有效。
通常在A/B测试中，会使用“对数变换”来确保统计模型的准确性。
这种变换是对A/B测试测量指标的数量进行不同的底数变换，从而获得一个更完整的数据模型。
另外，在空间平面坐标系中，对数也有重要的应用。
在复杂的地理信息系统中，利用微分计算的功能，可以以一些求解算法得到一般输入点的准确位置，而这种算法正是基于对数函数实现的。
例如，常见的地理坐标系统有经纬度坐标系、等经坐标系等，这些坐标系统都是基于对数曲线而构建的，也就是它们都使用到了对数函数和对数。
总而言之，对数函数和对数在互联网领域有着广泛的应用，在计算机编程、图
像处理、复杂计算等领域都有着实际的作用，它们的应用范围甚至远远超出了互联网领域。
对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。
对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。
下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。
一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。
a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。
对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。
2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。
常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。
二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。
2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。
b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。
c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。
d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。
三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。
例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。
对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。
对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。
对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。
在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。
具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。
用符号表示就是log_a(b) = x。
在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。
1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。
因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。
2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。
3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。
对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。
对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。
对数函数的图像呈现出一些特点。
当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。
对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。
对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。
1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。
例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。
通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。
2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。
计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。
对数与对数函数1．对数定义域为(0，＋∞)[小题体验] 1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0 C ．(1,0)D ．(0,1)2．(教材习题改编)计算：(1)log 35－log 315＝______.(2)log 23·log 34·log 45·log 52＝______.3．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．1．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[小题纠偏]1．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．2．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是______．考点一 对数式的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 32＋log 34＝________.3．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012－＝______. 4．(2016·山东乳山市模拟)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________.[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．考点二 对数函数的图象及应用(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题] 作函数y ＝|log 2(x －1)|的图象．[类题通法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[越变越明][变式1]试写出函数y＝|log(x－1)|的减区间________．2[变式2]函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是()[变式3](2014·山东高考)已知函数y＝log(x＋c)(a，c为常数，a其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <考点三 对数函数的性质及应用角度一：求函数的定义域1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]角度二：比较对数值的大小2．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( ) A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c角度三：简单对数不等式的解法3．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是__________．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·南昌一模)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 3．(2016·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c4．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 5．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．二保高考，全练题型做到高考达标1．(2014·天津高考)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)2．(2016·江西八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5 B ．3 C ．－1 D.723．(2016·皖北联考)设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<16．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______.8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．。
§2.5 对数与对数函数考纲解读分析解读1.对数函数在高考中的重点是图象、性质及其简单应用,同时考查数形结合的思想方法,以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主.2.以选择题、填空题的形式考查对数函数的图象、性质,也有可能与其他知识结合,在知识的交会点处命题,以解答题的形式出现.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.五年高考考点一 对数的概念及运算1.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093答案 D2.(2014四川,7,5分)已知b>0,log 5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c答案 B3.(2013陕西,3,5分)设a,b,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.log a b ·log c b=log c a B.log a b ·log c a=log c b C.log a (bc)=log a b ·log a c D.log a (b+c)=log a b+log a c 答案 B教师用书专用(4—8)4.(2015浙江,9,6分)计算:log 2 22= ,2log 23+log 43= .答案 -12;3 35.(2015四川,12,5分)lg0.01+log 216的值是 . 答案 26.(2015安徽,11,5分)lg 52+2lg2- 12-1= . 答案 -17.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lgx=a,则x= . 答案 108.(2013四川,11,5分)lg 的值是 . 答案 1考点二对数函数的图象与性质1.(2016浙江,5,5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1.若log a b>1,则()A.(a-1)(b-1)<0B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0D.(b-1)(b-a)>0答案D2.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2015陕西,10,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C4.(2014安徽,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案B5.(2014山东,6,5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D6.(2013湖南,6,5分)函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3答案C教师用书专用(7—10)7.(2014辽宁,3,5分)已知a=2-13,b=log213,c=lo g1213,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b答案D8.(2013重庆,3,5分)函数y=1log2(x-2)的定义域是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)答案C9.(2013课标全国Ⅱ,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案D10.(2013天津,7,5分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo g12a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.0,12C.12,2 D.(0,2]答案C考点三对数函数的综合应用1.(2014福建,8,5分)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案B2.(2013辽宁,7,5分)已知函数f(x)=ln(2则f(lg2)+f lg1=()A.-1B.0C.1D.2答案D教师用书专用(3)3.(2014天津,4,5分)设a=log2π,b=lo g12π,c=π-2,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一对数的概念及运算1.(2018广东深圳高级中学月考,6)设a=log54-log52,b=ln2+ln3,c=1012lg5,则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b 答案B2.(2017山西重点协作体一模,8)已知log7[log3(log2x)]=0,那么x-12等于()A.13B.36C.33D.24答案D3.(2017安徽黄山二模,9)已知a=-21−log23,b=1-log23,c=cos5π,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a答案C4.(2018湖北荆州中学月考,13)化简:lg27+lg8−3lg10lg1.2=.答案35.(人教A必1,二,2,例4,变式)计算:27- 13+log2(log216)=.答案83考点二对数函数的图象与性质6.(2018山东师大附中模拟,10)已知函数f(x)=lnx+ln(4-x),则()A.f(x)在(0,4)上单调递增B.f(x)在(0,4)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=2对称D.y=f(x)的图象关于点(2,0)对称答案C7.(2017河南新乡二模,4)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a答案B8.(2017广东韶关南雄模拟,4)函数f(x)=x a满足f(2)=4,那么函数g(x)=|log a(x+1)|的图象大致为()答案C9.(2017天津红桥期中联考,9)函数f(x)=lg|x|x的图象大致是()答案D10.(2018江西一模,15)若函数f(x)=log a x+ax-4(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是.答案(0,1)∪(1,4]考点三对数函数的综合应用11.(2018河南新乡一模,7)若log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案D12.(2018广东模拟,12)已知函数h(x)的图象与函数g(x)=e x的图象关于直线y=x对称,点A在函数f(x)=ax-x21e≤x≤e,e为自然对数的底数的图象上,A关于x轴对称的点A'在函数h(x)的图象上,则实数a的取值范围是()A.1,e+1e B.1,e-1eC.e-1,e+1D.e-1,e答案A13.(2017江西九江七校联考,7)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4]∪[2,+∞)D.[-4,4)答案D14.(2016福建四地六校第一次联考,19)已知函数f(x)=log31−x1+x.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)当x∈-12,12时,函数g(x)=f(x),求函数g(x)的值域.解析(1)要使函数f(x)=log31−x1+x有意义,自变量x需满足1−x1+x>0,解得x∈(-1,1),故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称,∵f(-x)=log31+x=log31−x -1=-log31−x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)令u=1−x,则u'=-2(1+x)2<0,故u=1−x1+x 在-12,12上为减函数,则u∈13,3,又∵y=log3u为增函数,∴g(x)∈[-1,1],故函数g(x)的值域为[-1,1].B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018山东师大附中模拟,4)若a>b>0,c>1,则()A.log a c>log b cB.a c<b cC.c a<c bD.log c a>log c b答案D2.(2017辽宁沈阳二中期中,12)若函数f(x)=log2x在[1,4]上满足f(x)≤m2-3am+2恒成立,则当a∈[-1,1]时,实数m的取值范围是()A.-13,1 3B.-∞,-13∪13,+∞∪{0}C.[-3,3]D.(-∞,-3]∪[3,+∞)∪{0}答案D3.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,10)已知函数f(x)=log2(ax2+2x+3),若对于任意实数k,总存在实数x0,使得f(x0)=k成立,则实数a的取值范围是()A.-1,13 B.0,13C.[3,+∞)D.(-1,+∞)答案B二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017辽宁沈阳一模,16)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则n=.答案95.(2016广东深圳一模,15)下列四个函数:①y=- x ;②y=log 2(x+1);③y=-1x +1;④y= 12x -1.在(0,+∞)上为减函数的是 .(填上所有正确选项的序号) 答案 ①④C 组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 对数函数的图象及其应用1.(2018广东广州执信中学月考,5)设a,c 为正数,且3a=lo g 13a, 13 b=9, 13c =log 3c,则( )A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c 答案 A2.(2017山东烟台期中,6)函数y=log a (|x|+1)(a>1)的图象大致是( )答案 B3.(2017北京海淀期中,5)已知函数y=x a,y=log b x 的图象如图所示,则( )A.b>1>aB.b>a>1C.a>1>bD.a>b>1 答案 A方法2 对数函数的性质及其应用4.(2017辽宁沈阳二中期中,4)下列关于函数f(x)=ln|x|的叙述,正确的是( ) A.是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 答案 D5.(2017安徽蚌埠二中等四校联考,7)已知lo g 12a<lo g 12b,则下列不等式一定成立的是( )A.ln(a-b)>0B.1a >1bC. 14a < 13b D.3a-b<1答案 C6.(2016河南南阳示范高中五校联考,7)已知f(x)= (3-a )x -a (x <1),log a x(x ≥1)在(-∞,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(-∞,3)C. 3,3D.(1,3)答案C7.(2018福建龙岩期中,19)已知对数函数f(x)的图象过点(4,1).(1)求f(x)的解析式;(2)若实数m满足f(2m-1)<f(5-m),求实数m的取值范围.解析(1)依题可设函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),∵f(x)的图象过点(4,1),∴f(4)=1⇒log a4=1⇒a=4,∴f(x)=log4x.(2)∵函数f(x)=log4x在定义域内单调递增,∴不等式f(2m-1)<f(5-m)即2m-1>0,5−m>0, 2m-1<5-m,∴m>12,m<5,m<2⇒12<m<2,∴m的取值范围是12,2.。
