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高中数学 3.1二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

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高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件

高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件

≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2

＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()

A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B

高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45

高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45
Leabharlann 即a=b时，等号成b 立. a
即 11 4 .
a b ab
第十五页，共34页。
类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用
【典型例题(lìtí)】
1.已知a＞b＞c,若 1 1 恒k 成立，则k的最大值
是______.
ab bc ac
2.已知
求函数
说明等号x成立(0的, 2条)，件.
的最大值，并
而
α 3, 2 ，β x－1, 5－x .
y＝3 x 1＋ 10 2x
＝3 x 1＋ 2 5 x
| α β || α | | β |
2
32 2 ( x 1)2 ( 5 x )2
第二十一页，共34页。
＝ 11 x 1 5 x＝2 11，
当且仅当
3 5x 2
即 x＝时4，7 取等号． 所以(su1ǒ1 yǐ)y的最大值为
第五页，共34页。
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时
b=______.
【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜,
所以
｜a b｜ 22 22 6 12 2,
当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立(chénglì)，
所以 所以a·1b2的2最小a 值b 为12 2,
们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式，再证另一侧.同
时要注意向量模的计算公式
对数学式子的影响. a ＝ x2 y2
第二十页，共34页。
【变式训练】求函数(hánys＝hù3) x 1＋ 10 2x 的最大值．
【解析】由题可知函数(hánshù)的定义域满足x 1 0,
即x∈［1,5］，令
10 2x 0,

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。

高中数学 3.1二维形式的柯西不等式 新人教A版选修4-5

高中数学 3.1二维形式的柯西不等式 新人教A版选修4-5

(2－b)．
编辑课件
栏 目 链 接
编辑课件
点评：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达
式适当的变形，这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题
栏
目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、 目
链
变量代换、数形结合等方法才能找到证题的突破口．
接
编辑课件
►变式训练
1．已知 a＞b＞c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
证明：原不等式可变形为(a－c)a－1 b＋b－1 c≥4.
又 a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．
栏
∵(a－c)a－1 b＋b－1 c
目 链 接
＝[(a－b)＋(b－c)]a－1 b＋b－1 c
＝[( a－b)2＋( b－c)2]
a－1 b2＋
1 2 b－c
≥ a－b a－1 b＋ b－c b－1 c2＝4.
1· x－1＋(－1)· 2－x.
由柯西不等式得：
栏
|1· x－1＋(－1)· 2－x|
目 链
接
≤ 12＋（－1）2· （ x－1）2＋（ 2－x）2
＝ 2×1＝ 2，
即 x－1－ 2－x≤ 2.
∴y＝ x－1－ 2－x的最大值为 2.
编辑课件
x－6＝ 12－x即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
编辑课件
►变式训练 2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大 值是( D )
栏 目 链 接
A．2 6 B. 6 C．6 D．12
编辑课件
求函数 y＝ x－1－ 2－x的最大值．
【错解】 x－1－ 2－x＝

高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教版选修4-5

高中数学 第三讲 二维形式的柯西不等式课件 新人教版选修4-5
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
补充例题:
例1
已知x,
y,a,b
R
,
且
a x
b y
1,求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得
x12 x22
x2 x3
x2 n1
xn2
xn x1
( x2 x3
xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
xn1 xn
2
xn x1
2
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x1
y2
x2
y1
时,等号成立. y
y
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
. 当 且仅 当
P1(x1, y1)
O
P2 (x2 , y2 )
x
P2 (x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
2
x2
2
x3
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
x2 x3
x3
xn1 xn
xn
xn x1
x1

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)


柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[பைடு நூலகம்]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[研一题] [例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用． 解答本题需
要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 4 25(x ＋y )≥4，所以 x ＋y ≥ . 25
[通一类] 3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方 形，使这3个正方形的面积和最小？ 解：设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个
正方形的面积和 x2 y2 z2 1 2 2 2 S＝( ) ＋( ) ＋( ) ＝ (x ＋y ＋z )． 4 4 4 16 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， m 等号当且仅当 x＝y＝z＝ 时成立，所以 x2＋y2＋z2 有最小值 3 m2 m2 ，从而 S 有最小值 . 3 48 把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
a c 提示：不可以．当 b· d＝0 时，柯西不等式成立，但b＝d不 成立．
2 2．不等式 x2＋y2＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22 1 1 2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立．

高中数学人教A版选修4-5课件：3-1二维形式的柯西不等式


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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
解: ∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,
1 2 2 ∴4x +9y ≥ , 2
当且仅当 2× 2x=3y× 2,即 2x=3y 时,等号成立. 又 2x+3y=1,得 x= , ������ = . 故当 x= , ������ = 时,4x2+9y2 的最小值为 .
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典例透析
1
2
2.柯西不等式取等号的条件 剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系 来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点 像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中 |α· β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从 向量的数量积的角度来理解和记忆.
,此
∴|a· b|≤ (-2)2 + 12 + 22 × 6 = 18,
当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立. ∴-18≤a· b≤18. ∴a· b的最小值为-18, 此时b=-2a=(4,-2,-4). 答案：-18 (4,-2,-4)
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2
3Байду номын сангаас
3.二维形式的三角不等式
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题型一

高中数学 3.1 二维形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45[1]


当堂(dānɡ
tánɡ)检测
例 1 设 a,b∈R+,且
2
2

a+b=2.求证: + ≥2.
2-
2-
思路分析:利用柯西不等式前,要观察不等式的结构特点,本题可以
2
2

看作是求 + 的最小值,因而需出现(a2+b2)·
(c2+d2)的结构,把
2- 2-
2
2

+ 视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b).
预习(yùxí)
引导
1.二维形式的柯西不等式
(1)定理 1:若 a,b,c,d 都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,
当且仅当 ad=bc 时,等号成立.
(2)二维形式的柯西不等式的推论:
(a+b)(c+d)≥( + )2(a,b,c,d 为非负实数);
2 + 2 · 2 + 2 ≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);
2- 2-
第八页，共21页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
证明:由柯西不等式,有
2
[(2-a)+(2-b)]
2

+
2- 2-
2
=[( 2-)2+( 2-)2]

2

+
1
+ =|m·

人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)

力。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
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(2－b)．
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4
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栏 目 链 接
5
点评：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达
式适当的变形，这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题
栏
目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、 目
链
变量代换、数形结合等方法才能找到证题的突破口．
接
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( 12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，即 x－6＋ 12－x≤2 3，故当
x－6＝ 12－x即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
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8
►变式训练
2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大
值是( D )
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A．2 6 B. 6
a－1 b2＋
1 2 b－c
≥ a－b a－1 b＋ b－c b－1 c2＝4.
∴原不等式成立．
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7
最值问题
求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
分析：利用二维柯西不等式，可以先平方，再开方，变形的目的
栏
是为了能利用柯西不等式．
目
链
解析：由柯西不等式得( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋ 接
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．1 二维形式的柯西不等式
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1
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栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.
栏
求证：|ax＋by|≤1.
目
链
分析：利用柯西不等式的代数形式证明．
接
证明：由柯西不等式得
(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，
∴|ax＋by|≤1.
6
►变式训练
1．已知 a＞b＞c，求证：a－1 b＋b－1 c≥a－4 c.
证明：原不等式可变形为(a－c)a－1 b＋b－1 c≥4.
又 a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．
栏
∵(a－c)a－1 b＋b－1 c
目 链 接
＝[(a－b)＋(b－c)]a－1 b＋b－1 c
＝[( a－b)2＋( b－c)2]
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3
Hale Waihona Puke 设 a，b∈R＋，且 a＋b＝2.求证：2－a2a＋2－b2b≥2.
分析：利用柯西不等式前，要观察不等式的结构特点，本题可看
栏
作求2－a2 a＋2－b2 b的最小值，因而需出现
(a2＋b2)·(c2＋d2)的结构，把
目 链 接
2－a2 a＋2－b2 b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a)＋
C．6 D．12
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