中小学优质课件相交弦定理课件.ppt

解 : 设半径为r, PC PD PA PB (PO r)(PO r) PA PB
10.92 r 6 (6 8) 2 r 34.81 r 5.9
2
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C
A B
P
O
D
结束 铃
[应用举例]
例4.如图, 线段AB和圆O交于点 C、D, AC BD, AE、BF分别切圆O 与E、F. 求证: AE BF.
弦的一半是它分直径所 成的两条线 段的比例中项.
D A O
图1
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P
B C A
D
O P
B C
图2
下页 结束 铃
[知识要点]
PT PA PB.(图3) 1.切割线定理 :从圆外一点引圆的
2
切线和割线, 切线长是这点到割线与 从圆外一点引圆的两条 割线, 推论 : 推论:PA PB PC PD.(图4) 圆交点的两条线段长的 比例中项. 这一点到每条割线与圆 的交点的两 条线段长的积相等.
相交弦定理圆幂定理一知识要点二应用举例三课堂小结四练习作业五作业答案例3例1例2例4上页下页铃结束返回首页长的积相等
相交弦定理、圆幂定理
一、知识要点 二、应用举例
例1 例2 例3 例4
三、课堂小结 四、练习作业 五、作业答案
[知识要点]
PB ห้องสมุดไป่ตู้C PD(图1) 圆内的两条相交弦, 1.相交弦定理 :PA 被交点分成的两条线段 长的积相等. 如果弦与直径垂直相交 , 那么 2 推论 : 推论:PC PA PB(图2)
B O A
图3
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P D O B
图4

3. 邻补角与补角的区别： (1)互为邻补角是互为补角的特殊情况. 互为邻补角的两个
角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备两角相邻 的位置关系. (2)一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有多个.
感悟新知
例 1 如图5.1-1，直线AB，CD，EF相交于点O，请找出图 中∠ AOC，∠ EOB 的邻补角. 解题秘方：根据邻补角 定义的“两要素”找已 知角的邻补角.
相交线
感悟新知
知识点 1 邻补角
1. 相交线：只有一个公共点的两条直线是相交线，这个公 共点叫交点. 特别提醒： (1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系； (2)两条直线相交有且只有一个交点.
感悟新知
2. 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向 延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
感悟新知
2. 性质：对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角.
感悟新知
特别解读 对顶角的位置关系和数量关系： ●位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线. ●数量关系：对顶角相等.
感悟新知
例2 如图5.1-2，直线AE 与CD 相交于点O，OC 平分 ∠ AOB.
感悟新知
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角； 解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角； 解：∠ 3 的对顶角是∠ 2；
感悟新知
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数. 解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数. 解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°， 因为OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25°.
感悟新知
2-1. [中考·安顺] 如图，直线a，b相交于点O，如果∠ 1+ ∠ 2=60°，那么∠ 3 是( A ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°

AB是过点P的一条弦。设圆的半径为r,OP=d
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB

若两条弦中有一条弦变成直径，而另一条弦
与它垂直时，你又能得到什么新的结论？
推论：如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的
Ｃ
两条线段的比例中项．
Ａ 相交弦定理及推论说明，经过
Ｏ•
┍
Ｐ
Ｂ
圆内一定点作圆的弦可以作无
Ｄ
数条，但是这些弦被定点内分
的两条线段的乘积是一个确定
的值．
二、教学过程 (1)复习:
在相似三角形中,见过如下几个基本图形
A A
C
A
D
E BE
B
Байду номын сангаас
┍ DC
B
C
D
△ADE∽ △ABC △ABE∽ △DCE △BDA∽ △ADC
AD:AB＝AE:AC AE:DE＝BE:CE AD2 BD • CD
改变。在8年，布瓦尔（AlexisBouvard）出版了天王星的轨道表，随后的观测显示出与表中的位置有越来越大的偏差，使得布瓦尔假设有一个摄动体存在。 在8年约翰·柯西·亚当斯计算出会影响天王星运动的第八颗行星轨道，并将计算结果皇家天文学家乔治·艾里，他问了亚当斯一些计算上的问题，亚当斯虽然草 拟了答案但未曾回复。在8年，法国工艺学院的天文学教师奥本·勒维耶，在得不到同行的支持下，以自己的热诚独立完成了海王星位置的推算。但是，在同 一年，约翰·赫歇耳也开始拥护以数学的方法去搜寻行星，并说服詹姆斯·查理士着手进行。在多次耽搁之后，查理士在8年7月勉强开始了搜海王星（红弧） 完成一个围绕太阳运行的轨道（中心）海王星（红弧）完成一个围绕太阳运行的轨道（中心）寻的工作；而在同时，勒维耶也说服了柏林天文台的约翰·格弗 里恩·伽勒搜寻行星。当时仍是柏林天文台的学； 老域名：：老域名购买 ；生达赫斯特（Heinrichd'Arrest）表示正好完成了勒维耶预测天 区的最新星图，可以做为寻找新行星时与恒星比对的参考图。在8年9月日晚间，海王星被发现了，与勒维耶预测的位置相距不到°，但与亚当斯预测的位置 相差°。事后，查理士发现他在8月时已经两度观测到海王星，但因为对这件工作漫不经心而未曾进一步的核对。由于有民族优越感和民族主义的影响，使得 这项发现在英法两国余波荡漾，国际间的舆论最终迫使勒维耶接受亚当斯也是共同的发现者。然而，在998年，史学家才得以重新检视天文学家奥林·艾根 （OlinEggen）遗产中的海王星文件（来自格林威治天文台的历史文件，明显是被奥林·艾根窃取近三十年，在他逝世之后才得重见天日），在检视过这些文 件之后，有些海王星（卫星上看）海王星（卫星上看）史学家认为亚当斯不应该得到如同勒维耶的殊荣[]。发现之后的一段时间，海王星不是被称为天王星 外的行星就是勒维耶的行星。伽雷是第一位建议取名的人，他建议的名称是Janus（罗马神话中看守门户的双面神）。在英国，查理士将之命名为Oceanus； 在法国，阿拉贡（Arago）建议称为勒维耶，以回应法国之外强烈的抗议声浪。法国天文年历当时以赫歇耳称呼天王星，相对于以勒维耶称呼这颗新发现的行 星。同时，在分开和独立的场合，亚当斯建议修改天王星的名称为乔治，而勒维耶经由经度委员会建议以Neptune（海王星）作为新海王星海王星(张)行星的 名字。斯特鲁维（Struve）在8年月9日于圣彼得堡科学院挺身而出支持勒维耶建议的名称。很快

相交弦定理的证明
相交弦定理的证明可以通过应用两弧之间的关系以及圆内角和弧度的关系来推导得出。
相交弦定理的应用
相交弦定理可以用于解决各种几何问题，如计算未知角度、弦长以及解决实 际问题。
实例1：计算未知角度
已知
角A的度数为30°
已知
角B的度数为40°
求解
角C和角D的度数
实例2：计算未知弦长
已知
圆的半径为5cm
已知
弦AB的角度为60°
求解
弦AB的长度
实例3：解决实际问题
已知
一个轮胎上两个相交的弦的角度分别为50°和70°
求解
两条弦的长度
已知
轮胎的半径为30cm
结论和要点
相交弦定理是解决圆内角度和弦长问题的重要工具，应用广泛且具有实际价 值。
相交弦定理ppt课件
相交弦定理是一个关于圆的几何定理，用于求解未知角度和弦长，具有广泛 的应用价值。
什么是相交弦定理
相交弦定理是指在一个圆内，两个相交的弦所对的弧的两个角度之积等于另 一对相交的弦所对的弧的两个角度之积。
相交弦定理的公式
设AB、CD为两条相交的弦，分别对应的角为∠A

圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
三角函数与解三角形
01
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数在圆中的定义及性质，如正弦值等于对边
比斜边等。
02
解三角形
利用三角函数及圆的性质解决与三角形有关的问题，如求三角形的面积
、角度等。
03
三角形的内心与外心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心
相交弦定理是关于圆的两条相交弦的性质定理，即圆内的两条相 交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理的证明方法
通过相似三角形或者圆的性质进行证明，理解证明过程有助于加深 对定理的理解。
相交弦定理的应用
在几何题目中，相交弦定理常用于求解与圆有关的线段长度或角度 问题。
复习建议：如何巩固所学知识
1 2
回顾课堂笔记和教材
重新阅读课堂笔记和教材，加深对相交弦定理的 理解。
做相关练习题
通过做大量的练习题，熟练掌握相交弦定理的应 用。
3
与同学讨论
与同学一起讨论相交弦定理的相关问题，互相学 习，互相帮助。
思考题与练习题：检验学习效果
01
02
03
思考题
思考相交弦定理在实际生 活中的应用场景，提高学 习兴趣。
练习题
通过做练习题，检验自己 对相交弦定理的掌握程度 ，查漏补缺。
拓展题目
尝试解决一些与相交弦定 理相关的拓展题目，提高 自己的解题能力。
THANKS
感谢观看
相交弦定理的应用举例
通过具体的例题，展示相交弦定理在 解决实际问题中的应用，加深学生对 定理的理解和掌握。

B
2
1
3 4O
D
A
C
2
B
A
1
3 4O
D
两直线相交形成四个角中，有一条
公共边，另一条边互为反向延长线，这 样的两个角互为邻补角.
两直线相交形成四个角中，一个角 的两边分别是另一个角两边的反向延长 线，这样的两个角互为对顶角．
C
2
B
邻补角的两个角
A
1
3 4O
D
之间具有怎样的数量
关系？对顶角呢？ ∵ ∠1＋∠2＝1800
∠2＋∠3＝1800
1、邻补角互补 （邻补角定义）
2、对顶角相等
∴ ∠1＝∠3 （同角的补角相等）
∠1＝∠3 （对顶角相等）
1、∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
1
a
2
图（1）
1 2a 图（3）
1
2a
图（2） b
1 2a 图（4）
2、如图， ∠1= ∠2， ∠2与∠3的关系是___互__为__邻__补__角__, ∠1与∠3的关系是__互__为__补__角_.
相交 在同一平面内
平行
手中的剪刀可以抽象出什么 几何图形？
观察在此图形中还有哪些其 它几何图形？
∠1与∠2
B
∠1与∠3
C
2
∠1与∠4
1
3பைடு நூலகம்4O
∠2与∠3
D
A
∠2与∠4
∠3与∠4
活动要求:
1、独立思考，将这六对角按照某一标
准进行分类
2、组内交流，说说 你们分类的原则和 C 分类的结果
1
32
名称 特征 性质
有一公共
对顶角 顶点

利用平行线性质作图
总结词
操作复杂，适用于特定情况
详细描述
利用平行线的性质，通过平移、旋转等方法进行作图。这种方法操作较为复杂，适用于 需要绘制特定形状的相交线。
05
相交线的定理与证明
对顶角相等定理
总结词
对顶角相等定理是相交线的基本定理之 一，它表明在两条相交的直线中，相对 的两个角是相等的。
VS
要点二
详细描述
在两条相交的直线中，除了对顶角外，还会形成一些相邻 的角。这些相邻的角被称为邻补角。根据邻补角互补定理 ，这些邻补角的和总是等于180度。这个定理对于证明其 他相交线定理和解决几何问题也非常重要。
同位角相等定理和内错角相等定理
总结词
同位角相等定理和内错角相等定理是相交线 定理中的重要组成部分，它们分别表明在两 条平行线和被截线相交的情况下，同位角和 内错角是相等的。
详细描述
交通信号灯利用相交线的原理，通过不同颜色的灯光来控制交通流量的方向和速度。红灯表示停止，绿灯表示通 行，黄灯则作为警告信号，提醒行人和车辆注意安全。交通信号灯的设置有效地减少了交通事故的发生，保障了 交通秩序。
剪刀的交线
总结词
剪刀的交线是相交线在机械制造中的实例，通过两片剪刀的 交线形成剪切力，实现材料的剪切。
详细描述
根据两条直线相交形成的角度，可以将相交线分为垂直相交和平行相交两种类型 。此外，根据两条直线的位置关系，还可以将相交线分为一般位置和特殊位置两 种类型。这些分类有助于我们更好地理解和应用相交线的性质和特点。
02
相交线的角度关系
对顶角
对顶角
证明
如果两条直线相交，相对的两个角就 是对顶角。
可以通过全等三角形的性质来证明对 顶角相等。

θ
f
(M+m)g
例4 、如图，有一斜木块，斜面是光滑的，倾角为θ，放在水
平面上，用竖直放置的固定挡板A与斜面夹住一个光滑球，球
质量为m，要使球对竖直挡板无压力，球连同斜木块一起应向
(填左、右)做加速运动，加速度大小左是
.
gtanθ N
解: 画出小球的受力图如图示:
合力一定沿水平方向向左,
F=mgtanθ
BC
B、b球先落地
C、两球落地时速率相等
D、a球先落地
例1、物A、B、C均静止在同一水平面上，它们的质量分 别为mA,mB,mC，得到三个物体的加速度a与其所受拉力F 的关系如图所示，图中A、B两直线平行，则下列由图线 判断的关系式正确的是 （ ）
AB、、BmμDAA==μmB=B<μmC C C、mA>mB>mC D、μA<μB=μC
∴a= gtan θ
mg
例5 、一物体放置在倾角为θ的斜面上，斜面固定于加速上升
的电梯中，加速度为a，如图所示．在物体始终相对于斜面静
止的条件下，下列说法中正确的是 (
)
BC
（A）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的正压力越小 （B）当θ 一定时，a 越大，斜面对物体的摩擦力越大 （C）当a 一定时， θ 越大，斜面对物体的正压力越小 （D）当a 一定时，θ 越大，斜面对物体的摩擦力越小
证明：
EM=FN
EM+MN=FN+MN
A
EN=FM AM ·BM=EM ·FM CN ·DN =FN ·EN
AM ·BM=CN ·DN
E M
B
C NF D
练习3 如图，M是⊙O1与 ⊙O2 的公共弦AB上的一点， CE，DF 分别是⊙O1 ，⊙O2 的弦，他们相交于点M。 求证：MD ·MF=ME ·MC