【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第25讲 反三角函数与三角方程教案

高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数一、引言三角函数的反函数与反三角函数是高中数学中非常重要的概念，它们在解决三角函数方程、研究三角函数性质以及求解实际问题等方面发挥着重要作用。

本教案旨在帮助学生全面理解三角函数的反函数与反三角函数的概念、性质以及应用。

二、教学目标1. 理解三角函数的反函数与反三角函数的概念；2. 掌握三角函数的反函数与反三角函数的性质；3. 能够应用反函数与反三角函数解决实际问题。

三、教学内容1. 三角函数的反函数（1）概念与定义在定义域上，对于任意的三角函数y=f(x)，如果存在一个单调严格增函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么g(x)被称为函数f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。

（2）性质①函数f(x)和反函数f^(-1)(x)关于y=x对称；②如果y=f(x)在[a,b]上是单调递增或单调递减的，则反函数f^(-1)(x)在[f(a),f(b)]上也是单调递增或单调递减的；③若f(x)在[a,b]上连续，则反函数f^(-1)(x)也在[f(a),f(b)]上连续。

2. 反三角函数（1）概念与定义对于三角函数y=f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么函数g(x)被称为反三角函数，记作g(x)=sin^(-1)(x)或arcsin(x)。

同样地，我们还可以定义反余弦函数arccos(x)，反正弦函数arctan(x)等。

（2）性质①反三角函数的定义域和值域；②反三角函数的图像和性质；③反三角函数的基本关系式及推导；④反三角函数与三角函数之间的互换关系。

四、教学方法1. 导入新知识：通过练习与生活实例，引导学生思考三角函数的反函数与反三角函数的实际应用；2. 理论讲解：通过板书和讲解，向学生介绍三角函数的反函数与反三角函数的定义和性质；3. 示例演练：以典型例题为例，引导学生掌握如何求解反函数与反三角函数的具体步骤；4. 练习巩固：组织学生进行相关练习，巩固所学的知识点；5. 拓展应用：设计一些生活实例或综合应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

学习必备欢迎下载第 4 节反三角函数（ 2 课时）第1课时[ 教材分析 ] ：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。

内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

[ 课题引入 ] ：在辅助角公式中，我们知道a sin x bcosx a 2b2sin x，其中cos a, sin b，这a 2b2 a 2b2样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。

[教学过程 ]：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。

师：我们知道正弦函数y sin x 在定义域R上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。

但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：y sin x, x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x, y ）（这里我们使用符号arcsin表示反解）反解得x arcsin y ，互换得 y arcsin x ，其中x1,1 , y, ，这就是要求的反正弦函数。

221．反正弦函数的图象反正弦函数 y arcsin x， x1,1与函数 y sin x, x2, 互为反函数，因此两2个函数图象关于直线y x 对称。

2．反正弦函数的性质（由函数图象可得）①定义域为1，1 ，值域为,2；2② y arcsin x 在定义域1，1上单调递增；③ y arcsin x 是奇函数，即对任意x1,1 ，有 arcsin x arcsin x3．反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1 ，在,上都有唯一对应的角22arcsin x ，使得它的正弦值为 x ，即得恒等式 sin arcsin x x, x1,1 ；②由“一一对应” 的性质知： 对任意角 x, ，在 1，1 上都有唯一对应的值 sin x ，2 2使得它的反正弦值为x ，即得恒等式 arcsin sin xx, x2 ,。

第十一讲 三角问题选讲三角既是一个数学分支，同时也是一种数学方法．三角函数是沟通形与数的联系的有力工具，在各数学分支中有着广泛的应用．三角方法是指主动地、有意识地实施三角代换，将一些代数、几何问题迁移到三角函数情境中来，利用三角体系完整的公式去简化、解决问题．同时，借助于三角公式，也可将三角问题转化为代数或其他问题进行求解．另外，三角原于测量与解三角形，三角函数理论在解决生产、科研和日常生活中的实际问题中也有着广泛的应用．A 类例题例1 函数 |cos ||cos2|(y x x x =+∈R ) 的最小值是 .（2005年江苏省数学竞赛）分析 题中函数含x 与2x 的三角函数，可考虑先用三角公式化为x 的三角函数，再寻求解题方法． 解 令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-． 当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得 2y ≤≤； 当 0t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得 98y ≤≤ 又 y 可取到, 故填 ． 说明 三角函数的问题有时也可通过变量代换的方法将其转化为代数问题进行求解，实施转化的前提是熟练掌握和深刻理解三角的公式，如本题抓住二倍角的余弦可表示为单角余弦的二次式这一特征，从而作出相应的变量代换．例2 求方程xy +=的实数解．分析 这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根号，化有三角方程求解，由于根号里面为x -1与y -1，故联想公式sec 2α-1=tan 2α，可进行如下变换：x =sec 2α，y =sec 2β．解 由题意知x >1，y >1，可设x =sec 2α，y =sec 2β，其中0,2παβ<<，从而x -1= sec 2α-1=tan 2α，y -1= sec 2β-1=tan 2β，原方程可化为：sec 2α·tan β+ sec 2β·tan α=sec 2α·sec 2β，即2222sin sin 1cos cos cos cos cos cos βααββααβ+=， 因此有sin β·cos β+sin α·cos α=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin2β=1，sin2α=1，4παβ==，因此x =y =2，经检验，x =2，y =2是原方程的解．说明 施行适当的三角代换，将代数式或方程转化为三角式或方程求解，这是三角代换应用的一个重要方面，充分体现了三角与代数之间的内在联系．例3 已知正三角形ABC 内有一条动线段，长为a ，它在△ABC 三边AB 、BC 、AC 上的射影长分别为l 、m 、n ．求证：222232l m n a ++=．分析 动线段在三角形各边上的射影可由动线段的长a 和动线段与各边所成角表示出来，因此问题的关键是如何表示出动线段与各边所成角．解 设动线段为PQ ，长为a ，设PQ 与BC 所成角为θ（0°≤θ≤90°），则PQ 与AC 所成角为60°-θ，PQ 与AB 所成角为60°+θ，于是有l =a cos(60°+θ)，m =a cos θ，n =a cos(60°-θ)，因此有l 2+m 2+n 2=a 2[cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ)]， 而cos 2(60°+θ)+ cos 2θ+ cos 2(60°-θ) =1cos(1202)1cos21cos(1202)222θθθ+︒+++︒-++=313(cos120cos2cos2cos120cos2)222θθθ+︒++︒=，∴222232l m n a ++=． 说明 本题也可以利用向量知识求解，读者不妨一试．情景再现1．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是A ． [2, 2]-B ． [1, 1]-C ．D ． [（2005年浙江省数学竞赛）2．求所有的实数x ∈[0,2π],使(2sin 2)sin()14x x π-+=,并证明你的结论． 3．△ABC 的三条边长分别为a 、b 、c ．求证：222222||||||a b b c c a c a b---+≥．（2005年江西省数学竞赛）B 类例题例4 △ABC 的内角满足222cos sin 1,cos sin 1,cos sin 1a A b A a B b B a C b C +=+=+= 试判断△ABC 的形状．分析 所给三式结构相同，可将222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 视为1ax by +=的三组解，而1ax by +=又可看作直线方程，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 又可看作曲线21x y +=上的三个点，因此本题可考虑用解析几何的方法去求解．证明 由题意，222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 为方程1ax by +=的三组解，因此以其为坐标的三点M 、N 、P 都在直线1ax by +=上，又222(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )A A B B C C 都满足方程21x y +=，因此三点M 、N 、P 又都在曲线21x y +=上，所以三点M 、N 、P 都为曲线21x y +=与直线1ax by +=的交点，而直线与抛物线至多有两个交点，因此M 、N 、P 至少有两个点重合，不妨设M 与N 重合，则由22cos cos ,sin sin A B A B ==得A =B ，故三角形ABC 是等腰三角形．例5已知三个锐角,,αβγ满足222cos cos cos 2αβγ++=．求tan tan tan αβγ的最大值． 分析 注意到条件222cos cos cos 2αβγ++=，联想长方体的性质，构造长方体来求解． 解 构造长方体，使,,αβγ分别为对角线与三个面所成角，则222cos cos cos 2αβγ++=，b 、c 、l ，则22cos a b lα+=，设长方体长、宽、高、对角线分别为a 、22cos b c l β+=，22cos c a lγ+=， 22tan c a bα=+，22tan a b cβ=+，22tan b c aγ=+，从而222222tan tan tan abca b b c c a αβγ=+++24222abc ab bc ac≤=，当且仅当a b c ==时取等号，因此tan tan tan αβγ的最大值为24． 说明 构造几何模型，使三角关系形象化、具体化，构造法是用几何方法解决三角问题的常用方法． 例6 给定正整数n 和正数M ，对于满足条件a 12+a n +12≤M 的所有等差数列{a n }，求S =a n +1+ a n +2+…+ a 2n +1的最大值．（1999年全国联赛一试）分析 本题有多种解法，由条件a 12+a n +12≤M ，也可考虑作三角代换，利用三角函数的有界性求解．解 设11cos ,sin (01,02)n a M r a M r r θθθπ+==<≤≤<，则 12111111111()(2)(3)222n n n n n n n n S a a a a a a a ++++++++=+=+-=- 111(3sin cos )1010222n n n M r M r M θθ+++=-≤⋅≤⋅，因此最大值为1102n M +⋅． 例7 设△ABC 内有一点P ，满足∠P AB =∠PBC =∠PCA =θ． 求证：cot θ=cot A +cot B +cot C. 分析 设三边为a 、b 、c ，P A 、PB 、PC 分别为x 、y 、z ，可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，进而证明本题． 解 对三个小三有形分别使用余弦定理得：y 2=x 2+c 2-2xc cosθ，z 2=y 2+a 2-2ya cosθ，x 2=z 2+b 2-2zb cosθ，三式相加得：2(ay +bz +cx )cosθ=a 2+b 2+c 2，又由正弦定理知，S △ABC = S △ABP +S △PBC +S △PAC =12(xc +ay +bz )sinθ，两式相除得：222cot 4ABCa b c S θ∆++=，又在△ABC 中，由余弦定理有a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，b 2=c 2+a 2-2ca cos B ，c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，相加得，a 2+b 2+c 2=2ab cos C +2bc cos A +2ac cos B ，从而2cos 2cos 2cos cot 444ABC ABC ABCab C bc A ca BS S S θ∆∆∆=++， z y x c b a θθθP A又4S△ABC=2ab sin C=2bc sin A=2ac sin B，分别代入上式右边的三个分母即得：cotθ=cot A+cot B+cot C.说明合理利用正弦定理、余弦定理可解决平面几何中的一些边角关系式的证明．情景再现4．如图，一块边长为20cm的正方形铁片ABCD已截去了一个半径为r cm（r∈（0，20]）的扇形AEF（四分之一个圆），用剩下部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩形面积最大？最大面积为多少？5．求满足下式的锐角x：4=6．P是△ABC的内心，R、r分别为△ABC外接圆和内切圆的半径．求证：6r≤PA+PB+PC≤3R.C类例题例8 给定曲线族22(2sin cos3)(8sin cos1)0x yθθθθ-+-++=，θ为参数，求该曲线在直线2y x=上所截得的弦长的最大值．（1995年全国联赛二试）分析显然，该曲线族恒过原点，而直线2y x=也过原点，所以曲线在直线2y x=上所截得的弦长仅取决于曲线族与2y x=的另一交点的坐标．解法一把2y x=代入曲线族方程得：2(2sin cos3)(8sin cos1)0x xθθθθ-+-++=，又2sin cos330θθ-+≥，故x≠0时，就有8sin cos12sin cos3xθθθθ++=-+，令22221sin,cos11u uu uθθ-==++，则281221uxu u+=++，得2xu2+2(x-4)u+(x-1)=0，由u∈R知，当x≠0时，△=[2(x-4)]2-8x(x-1)=4(-x2-6x+16)≥0，从而-8≤x≤2且x≠0，因此|x|max=8，由2y x=|x，从而弦长的=．解法二曲线族与直线2y x=相交于（0，0）及另一点00(,)x y，且x满足000(28)sin(1)cos13x x xθθ--+=-，故存在ϕ，使得00(28)sin(1)cos)x xθθθϕ--+=-|13|x-，解得82x-≤≤|x，从而弦长的最大值为=．说明方法一主要是应用万能公式，将三角问题转化成代数问题求解，方法二利用sin cosa xb x+的CMFDBA有界性求解，方法更为巧妙．例9 求证：sin n 2x +(sin n x -cos n x )2≤1，其中n ∈N*.(2000年俄罗斯数学竞赛题)分析：即证2n sin n x cos n x +sin 2n x +cos 2n x -2 sin n x cos n x ≤1，即证sin 2n x +cos 2n x +(2n -2) sin n x cos n x ≤1，显然可考虑将右边的1代换成(sin 2x +cos 2x )n ，并展开进行证明．证 1=(sin 2x +cos 2x )n =021*******sin sin cos sin cos n n n nn n C x C x x C x x --++ 326612222sin cos sin cos cos n n n nn n n n C x x C x x C x ---++++，同理1=( cos 2x +sin 2x )n =0212222244cos cos sin cos sin n n n nn n C x C x x C x x --++ 326612222cos sin cos sin sin n n n nn n n n C x x C x x C x ---++++，两式对应项相加得：2=022(sin cos )n n nC x x +1222222(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++ 2244244(sin cos cos sin )n n n C x x x x --++22(cos sin )nn n n C x x +++，保留第一个括号与最后一个括号内的式子不动，由基本不等式得 22sin cos cos sin 2sin cos n k k n k k n n x x x x x x --+≥，其中k 为偶数．因此其它各个括号内的式子均不小于2sin cos n n x x ，从而有2≥222(sin cos )n n x x ++2sin cos n n x x 121()n nn n C C C -+++，即1≥22(sin cos )n n x x ++sin cos (22)n n n x x ⋅-，即有2n sin n x cos n x +sin 2n x +cos 2n x -2 sin n x cos n x ≤1，即sin n 2x +(sin n x -cos n x )2≤1．情景再现7．三棱锥V -ABC 的三条棱VA 、VB 、VC 两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为,,αβγ．求证：222111cos cos cos ()cos cos cos αβγαβγ++≥8．设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a ≤b ≤c ，R 和r 分别为△ABC 的外接圆半径和内切圆半径．令f =a +b -2R -2r ，试用C 的大小来判定f 的符号．习题1．若,,a b c 均是整数（其中090c <<）sin a b c =+︒，则a bc+的值是 Ａ．1 Ｂ．12 Ｃ．23 Ｄ．132．设n ∈N ，n sin1>5cos1+1，则n 的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．求证：|sin ||sin |nx n x ≤，*n N ∈4．设凸四边形ABCD 之对角线交于点P ，∠APB =θ，求证：2222cos 2AD BC AB CD AC BDθ+--=⋅（四边形的余弦定理）5．在直角三角形ABC 中，c 为斜边长，,S r 分别表示该三角形的面积和内切圆的半径，求crS的取值范围．6．若x 、y 、z 中的每个数恰好等于其余两数和的余弦．求证：x =y =z ．7．已知集合T 222{(,)|,,(7)}x y x y R x y r =∈+-≤且，集合{(,)|,,,cos2cos 0}S x y x y R R x y θθθ=∈∈++≥且对任何都有，试求最大正数r ，使得集合T 为集合S 的子集．8．已知ABC ∆中，,,x y z 为任意非零实数，求证：2222cos 2cos 2cos x y z xy C yz A zx B ++≥++，其中当且仅当::sin :sin :sin x y z A B C =时等号成立．9．求函数y =10．已知0a b >>，用三角方法证明：22ab a ba b +<+11．点P 在△ABC 内．求证：a cos A +b cos B +c cos C ≤PA ·sin A +PB ·sin B +PC ·sin C ．12．设0,,2παβγ≤≤，222cos cos cos 1αβγ++=．求证：2242(1cos )sin αα≤+224224(1cos )sin (1cos )sin ββγγ++++222(1cos )(1cos )(1cos )αβγ≤+++本节“情景再现”解答：1．解：设 cos cos x y t +=， ∴ 222cos 2cos cos cos x x y y t ++=． 又由 sin sin 1x y +=，故 22sin 2sin sin sin 1x x y y ++=． 因此有 22(cos cos sin sin )1x y x y t +=+，即 22cos()1x y t -=+由于1cos()1x y -≤-≤，所以有 23t ≤，即t ≤ ∴选D ．2．解：令sin()4x t π+=，即sin cos x x +=，于是2sin 221x t =-从而有2(32)1t t -=，即32310t t -+=，注意1t =是上述方程的解，故2(1)(221)0t t t -+-=，由于02x π≤≤1t ≤≤，于是21221221122t t +-≥⨯+⨯->．从而，方程有唯一解1t = 故原方程有唯一解4x π=．3． 证明：即证：222222222|sin sin ||sin sin ||sin sin |sin sin sin A B B C C A C A B---+≥， 注意到：22sin sin sin()sin()sin sin()A B A B A B C A B -=+-=-，故只要证|sin()||sin()||sin()|A B B C C A -+-≥-而|sin()||sin[()()]|C A A B B C -=-+-|sin()cos()cos()sin()||sin()||sin()|A B B C A B B C A B B C =--+--≤-+-当且仅当A =B =C 时等号成立．4．解 以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，设∠P AE =θ，则C (20，20)，P (r cos θ，r sin θ)，θ∈[0，2π]．令矩形PMCN 面积为S ，则 S =（20-r cos θ）(20-r sin θ) =400-20r (cos θ+sin θ)+r 2sin θcos θ，令cos θ+sin θ=a ，则sin θcos θ=212a -，a ∈，则S =2220[()1]2002r a r--+，（1）当201[1,2r ∈即40,20]r ∈时，若S 取得最大值，则4a πθ=，222max 20)1]20040022r r S r =-+=-+．（2）当20r =，即40r =时，若S 取得最大值，则222max1]2002002r S =-++． （3）当20)r ∈+∞，即40)r ∈时，若S 取得最大值，则22max 20[(1)1]200400202r S r r=--+=-．5．解：将原式变为余弦定理的形式：4据此，可作共边的两个三角形△ACD 、△BCD ，（如图），使BCD =2x π-，依题意有ACCDBC =2，∠ACD =x ，∠AB4，故点AD +BD =4，连AB ，在Rt △ABC 中，D 在AB 上，有面积等式S △ACD +S △BCD =S △ABC ，即CMFDBADCB2sin()2x x π-=1cos 12x x +=，即sin()16x π+=，又 x 为锐角，故3x π=． 6．证明：∠APB =()222AB Cππ+-+=，由正弦定理得：2sin 4sin sin 2sin cos cos 222AP AB AB R C CR B C C APB ====∠，于是4sin sin 22B C AP R =， 同理可得4sin sin 22A C BP R =，4sin sin 22A BCP R =， 故PA +PB +PC =4R (sin sin 22B C +sin sin 22A C +sin sin 22A B ) ≤4R (sinsin sin 222A B C ++)2≤4R 2=3R ． 再作PH ⊥AB 于H ，则PH =r ，PA =sin 2r A，同理：PB =sin 2r B ，PC =sin2r C从而PA +PB +PC =sin 2r A +sin 2r B +sin 2r C ≥r ·336r =． 综上所述，6r ≤PA +PB +PC ≤3R .7．证明：可先证222cos cos cos 1αβγ++=，作V O ⊥平面ABC 于O ，OD ⊥AB 于D ，则∠VDO =α．令VA =a ，VB =b ，VC =c ，则2222222222211cos 1tan 1()a b c a b b c c a VDαα===++++，同理可得222222222cos b c a b b c c a β=++，222222222cos c a a b b c c aγ=++，所以222cos cos cos 1αβγ++=，再证222≥8．解：由三角形相关知识有：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，4sin sin sin 222A B Cr R =，因此f =2R (sin sin 14sinsin sin )222A B CA B +-- 2[2sin cos 12(cos cos )sin ]22222B A B A B A B A CR +-+-=-+- 24cos (cos sin )24sin 2222B A C C C R R R -=--+ 224cos (cos sin )2(cos sin )22222B A C C C CR R -=--- 2(cossin )(2cos cos sin )22222C C B A C C R -=--- ∵A B C ≤≤，∴0B A B C ≤-<≤，又0B A B A ≤-<+，因此coscos ,cos cos sin 22222B AC B A B A C--+>>=，故2coscos sin 222B A C C ->+，则()0cos sin 222C C f x C π>⇔>⇔<；()0cos sin 222C C f x C π=⇔=⇔=， ()0cossin 222C C f x C π<⇔<⇔>． “习题”解答：1．解：选B ．98sin5098sin108sin108sin50-︒=+︒-︒-︒ 98sin108[sin(3020)sin(3020)]=+︒-︒-︒+︒+︒ 298sin108cos2098sin108(12sin 10)=+︒-︒=+︒--︒ 2216sin 108sin101(4sin101)=︒+︒+=︒+ 所以1,4,10a b c ===，12a b c +=． 2．解：由sin3π>sin1,cos1>cos 3π得，n ·sin 3π>n ·sin1>5cos1+1>1+5cos 3π，因此n 4=>，因此n 的最小值是5，选B ． 3．解：这是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法来证明．当1n k =+时，证明如下：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k x kx x kx x kx x kx x +=+≤+ |sin ||sin |(1)|sin |kx x k x ≤+≤+4．证明：不妨设PA 、PB 、PC 、PD 的长分别为a 、b 、c 、d ，则有 AD 2=a 2+d 2+2ad cosθ，BC 2=b 2+c 2+2bc cosθ， AB 2=a 2+b 2-2ab cosθ，CD 2=c 2+d 2-2cd cosθ，前两式之和减去后两式之和得：AD 2+BC 2-AB 2-CD 2=2(ad +bc +ab +cd )cosθ，又凸四边形ABCD 中，AC ·BD =ad +bc +ab +cd ，因此AD 2+BC 2-AB 2-CD 2=2 AC ·BD cosθ，∴2222cos 2AD BC AB CD AC BDθ+--=⋅．5．解：22()(sin cos 1)sin cos 1sin cos sin cos cr c a b c c A A A A S ab c A A A A+-+-+-===22sin cos 1)14A A A π==++++，由(0,)2A π∈知cr S 的取值范围是1),1)．6．证明：依题意有x =cos (y +z )，y =cos (z +x )，z =cos (x +y )，则x -y =cos (y +z )-cos (z +x )=22sin sin22x y z x y++- ① ∵2|||sin |1,|sin |()222x y z x y x y x y ++--≤<≠∴当x y ≠时，由①式有||2|sin |||2x yx y x y --≤<-，产生矛盾．因此x =y ，同理可证y =z ，于是x =y =z ．7．解法一：S 集即为由直线cos cos2y x θθ=--确定的上半平面的交集（θ不同，相对应的上半平面一般也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含这条直线），而半径为r 的圆的圆心（0，7）到直线cos cos2y x θθ=--r 应满足r ≤27cos 21cos θθ++，故r 的最大值是27cos 21cos θθ++的最小值．222227cos 22cos 6421cos 421cos 1cos 1cos θθθθθθ++==++≥+++，当且仅当cos 1θ=±时，r 的最大值为42．解法二：（二次函数方法）把cos2θ+x cos θ+y ≥0改写为2cos 2θ+x cos θ+y -1≥0，令t =cos θ问题等价转换为2t 2+xt +y -1≥0(-1≤t ≤1)恒成立，求x ,y 的关系．可按对称轴位置分两种情况讨论：①若对称轴t =4x -<-1或t =4x->1（即x >4或x <-4）时，只须t =cos θ=±1时，恒有2t 2+xt +y -1≥0即可，从而可得：10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或； ②若对称轴t =4x-∈[-1，1]，即-4≤x ≤4时，只须判别式△≤0即x 2≤8(y -1), (-4≤x ≤4)．综上可得：S 对应的平面点集为10(44)10x y x x x y ++≥⎧><-⎨-++≥⎩或或x 2≤8(y -1), (-4≤x ≤4)，设圆x 2+(y -7)2=r 2与抛物线x 2=8(y -1)相切，消去x 得8(y -1)+(y -7)2-r 2=0，即y 2-6y +41-r 2=0，令△=0得r =42，此时x =±4, y =3，而点（0，7）到直线y +x +1=0的距离为42，∴r 最大值为42．8．证：作差，222(2cos 2cos 2cos )x y z xy C yz A zx B ++-++ =222(2cos 2cos )2cos()x y z xy C zx B yz B C ++-+++=222(2cos 2cos )2(cos cos sin sin )x y z xy C zx B yz B C B C ++-++-（配方） =22(cos sin )(sin sin )0x y C z B y C z B --+-≥．等号成立的充要条件是cos cos 0sin sin 0x y C z B y C z B --=⎧⎨-=⎩，易得:sin :sin y z B C =，则y =k sin B ，z =k sin C ，代入得x =k sin(B +C )=k sin A ，∴::sin :sin :sin x y z A B C =．9．解：函数的定义域为[4，5]，可设24sin (0)2x πθθ=+≤≤，则有22sin 153(4sin )sin 3cos 2sin()3y πθθθθθ=+-+=+=+，又02πθ≤≤，因此值域为[1，2]．10．证明 引进平均值三角变换，222cos ,2sin ,(045,0)a b λθλθθλ==<<︒>，则资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 2a b λ+=，sin 2λθ=，2222sin 2sin 2ab a b λθλθλ==+，=21sin 2sin 2θθ>>得22ab a b a b +<+11．证明：过P 作三边垂线，分别交BC 、AC 、AB 于D 、E 、F ，设AP =x ，BP =y ，CP =z ，∠PAE =α，则cosα=AE x ，cos(A -α)= AF x ， 则cos cos cos cos cos()cos AE AF B C B A C x xαα+=+-， 下证cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤，即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤．cos cos cos()cos cos cos()(cos cos sin sin )cos B A C A C A A Cααααα+-=-+++=sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin cos sin A C A C A C A C αααα-++=sin (sin cos cos sin )sin sin()sin A C C A C A ααα+=+≤． ∴cos cos cos()cos sin B A C A αα+-≤，即cos cos sin AE B AF C x A ⋅+⋅≤成立．同理，cos cos sin BE C BD A y B ⋅+⋅≤，cos cos sin CD A CE B z C ⋅+⋅≤，三式相加即得所证不等式成立．12．证明 设222cos ,cos ,cos a b c αβγ===，则0,,1a b c ≤≤，且1a b c ++=，从而原不等式等价于 44422202()1a b c a b c ab bc ca abc ≤++-+++≤+++ ①令 ,ab bc ca u abc v ++==，则22212a b c u ++=-，44422441a b c u u v ++=-++，于是①等价于2024u v u v ≤+≤+2024u v ≤+显然成立，等号当,,αβγ中两个取2π，一个取0时成立． 224u v u v +≤+等价于223u u v -≥， 由2222()33a b c a b c a b c ++++++≥=， ∴22222(12)()()u u u u ab bc ca a b c -=-=++++()333a b c ab bc ca abc v ++≥++≥== 故原不等式成立．。

高中数学教学备课教案三角函数的逆函数与解三角方程高中数学教学备课教案三角函数的逆函数与解三角方程一、引言在高中数学教学中，三角函数的逆函数与解三角方程是一个重要的内容。

它们是数学中的基础概念，对于学生的数学素养和解题能力的培养具有重要意义。

本文将从三角函数的逆函数的概念、性质以及解三角方程的方法进行探讨和讲解，帮助教师们更好地备课和教学。

二、三角函数的逆函数1.概念在三角函数中，我们首先需要了解什么是逆函数。

逆函数是指如果一个函数 f(x)的定义域为 A，值域为 B，且存在另一个函数 g(x)，其定义域为 B，值域为 A，并且满足对于 A 中的任意元素 x 和 B 中的任意元素 y，有 f(x) = y 当且仅当 g(y) = x。

也就是说，逆函数是将一个函数的自变量和因变量进行互换的操作。

2.性质三角函数的逆函数具有以下性质：（1）定义域和值域互换：若函数 f(x) 的定义域为 A，值域为 B，则其逆函数 g(x) 的定义域为 B，值域为 A。

（2）函数图像互换：若函数 f(x) 的图像为图像 f，那么逆函数 g(x) 的图像为图像 f 关于直线 y = x 的对称图像。

（3）函数的复合：对于三角函数 f(x) 和它的逆函数 g(x)，有 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x。

三、解三角方程的方法1.基本思路解三角方程的基本思路是利用三角函数的性质和逆函数的概念，通过将三角方程转化为代数方程来求解。

具体的方法分为以下几种：2.解三角方程的常用方法（1）换元法：通过假设一个新的变量来替换原方程中的某一部分，从而简化问题。

（2）三角恒等变换：利用三角函数的基本性质进行代换和变形，使方程达到易于求解的形式。

（3）平方消去法：通过平方的性质将方程中含有平方的部分消去，从而得到一个简化的方程。

（4）裂项配方法：将方程中的多项式进行因式分解，再将方程分解为多个简单的方程进行求解。

（5）借用三角函数的图像：通过观察三角函数的周期性和图像变化，找到方程的解区间，从而得到所有解的范围。

反三角函数的教学方法论反三角函数是高中数学中的一项重要内容，也是很多学生感觉比较难以理解的一部分。

在教学反三角函数的时候，我们需要注重培养学生的思维能力，使他们能够理解和运用反三角函数的概念和性质。

本文将就反三角函数的教学方法论进行探讨，希望对广大教师有所帮助。

一、重点概念的讲解在教学反三角函数的时候，首先要强调反三角函数与三角函数的关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

讲解应该包括基本概念的解释，如：在什么情况下我们需要使用反三角函数？反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别代表什么意义？为什么反三角函数称为“反函数”？等等。

在讲解过程中，可以通过图形、公式、例题和应用等方式，生动形象地呈现概念，激发学生的思维和兴趣。

例如，让学生画出正弦函数或余弦函数的图像，提出反函数的定义等。

二、基础技能的训练在教学的过程中，也需要注重反三角函数基础技能的训练。

包括：反三角函数的定义域、值域和单调性等重点领域的概念深化，如何运用反三角函数解决三角方程、三角不等式等解题技能，以及基本公式和恒等式等基础技能的掌握。

在这些基础技能的训练中，可以通过讲解公式、例题、分组自主学习等方式，让学生透彻了解反三角函数的基本技能，并强化技能运用能力，同时培养学生分析问题和解决问题的思维能力。

三、拓展思维的学习随着学生对反三角函数的掌握，应该进一步拓展思维，加深学生对反三角函数的理解和掌握。

这一部分应该涉及反函数的性质、反函数的图形和导数等内容。

在这一部分的学习中，可以通过探究性学习、综合运用案例等方式，进一步挖掘难点概念，同时提高学生的推理能力、创新能力和探究能力，培养学生的跨学科思维能力和解决实际问题的能力。

四、思维方法的引导在反三角函数的教学过程中，教师还应根据学生的个性特点和基础能力水平，合理设计教学过程，引导学生形成科学学习习惯和思维方法。

例如，帮助学生理清思路，鼓励学生通过多种途径理解概念，激发学生自主学习动力和自我思考能力，同时留出时间引导学生多做思考性的练习和作业。

反三角函数教案教案标题：反三角函数教案教案目标：1. 了解反三角函数的定义、性质和应用。

2. 能够使用反三角函数解决实际问题。

3. 掌握反三角函数的图像和基本变换。

4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学重点：1. 反三角函数的定义和性质。

2. 反三角函数的应用。

3. 反三角函数的图像和基本变换。

教学难点：1. 反三角函数的应用问题解决。

2. 反三角函数的图像和基本变换的理解和应用。

教学准备：1. 教材：包含反三角函数的相关知识点和例题的教材。

2. 教具：黑板、白板、多媒体设备。

3. 学具：直尺、三角板、计算器。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）引导学生回顾正弦、余弦和正切函数的定义和性质，以及它们在三角函数中的应用。

激发学生对反三角函数的学习兴趣。

Step 2：引入反正弦函数（10分钟）介绍反正弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过简单的例题，让学生理解反正弦函数的概念和求解方法。

Step 3：引入反余弦函数（10分钟）介绍反余弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过例题，让学生掌握反余弦函数的概念和求解方法。

Step 4：引入反正切函数（10分钟）介绍反正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过例题，让学生掌握反正切函数的概念和求解方法。

Step 5：应用实例（15分钟）结合实际问题，引导学生运用反三角函数解决实际问题，如三角形的边长和角度的求解、航空导航中的角度计算等。

Step 6：反三角函数的图像和基本变换（15分钟）通过图像展示和讲解，介绍反三角函数的图像和基本变换，如平移、伸缩和翻转等。

引导学生观察和分析图像，理解基本变换的规律。

Step 7：练习与巩固（15分钟）提供一些练习题，让学生巩固所学的知识和技能。

鼓励学生积极参与，解答问题并互相交流讨论。

Step 8：拓展与应用（10分钟）提供一些拓展题目，让学生进行思考和探究，拓宽对反三角函数的理解和应用。

第24讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题例1 已知α、β为锐角，且()02x παβ+->，求证对一切0x ≠，有(cos )(sin )x x αβ<分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数()f x x α=的单调性，因此首先应比较cos α与sin β的大小，而函数()f x x α=的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x >0，则2παβ+>，则022ππβα>>->，由正弦函数的单调性，得0sin()sin 12παβ<-<<，即0cos sin 1αβ<<<，又x >0，故有(cos )(sin )x x αβ<．（2）若x <0，则2παβ+<，则022ππβα<<-<，由正弦函数的单调性，得0sin sin()12πβα<<-<，即0sin cos 1βα<<<，又x <0，故有(cos )(sin )xx αβ<．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组2πα±的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知0απ<<，试比较2sin2α和cot 2α的大小．分析 两个式子分别含有2α与2α的三角函数，故可考虑都化为α的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一 2sin 21cos 4sin cos tan 4sin cos 2sin cot2ααααααααα-== =2214cos 4cos4(cos )12ααα-=--+，∵0απ<<，所以当1cos 2α=，即3πα=时，上式有最大值1，当0απ<<且3πα≠时，上式总小于1．因此，当3πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且3πα≠时，2sin2α<cot2α．解法二 设tan 2tα=，由0απ<<得022απ<<，故tan 02t α=>，则1cot2tα=，2224(1)22sin 24sin cos (1)t tt ααα-⋅==+，于是有cot 2α-2sin2α=2422222222214(1)2961(31)0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t t -⋅-+--==≥+++ 因此，当πα=时，2sin2α=cot 2α；当0απ<<且πα≠时，2sin2α<cot2α．例3 已知[0,]x π∈，求证：cos(sin x )>sin(cos x )分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sin x )小，同时比sin(cos x )大，即可证明原不等式．证法一 （1）当0,,2x ππ=时，显然cos(sin x )>sin(cos x )成立．（2）当2x ππ<<时，0sin 12x π<<<，cos 02x π-<<，则cos(sin x )>0>sin(cos x )．（3）当02x π<<时，有0<sin x <x <2π，而函数y =cos x 在(0,)2π上为减函数，从而有cos(sin x )>cos x ；而0cos 2x π<<，则sin(cos x )<cos x ，因此cos(sin x ) >cos x >sin(cos x )，从而cos(sin x )>sin(cos x )． 分析二 cos(sin x )可看作一个角sin x 的余弦，而sin(cos x )可看作一个角cos x 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当02x π<<时，有0<sin x <1，0<cos x <1，且sin x +cos x)4x π+2π≤，即0<sin x <2π-cos x <2π，而函数y =cos x在(0,)2π上为减函数，所以cos(sin x )>cos(2π-cos x )=sin(cos x )，即cos(sin x )>sin(cos x )．x 在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cos x 来比较，证法二利用有界性得sin x +cos x 2π<，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至x R ∈.情景再现1．在锐角△ABC 中，求证： sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++. 2．已知,(0,)2x y π∈，tan 3tan x y =，求证：6x y π-≤.3．当[0,]2x π∈时，求证：coscos sinsin x x >.B 类例题例4 在ABC ∆中，证明： sin sin sin A B C ++≤分析一 本题中有三个变量A 、B 、C ，且满足A +B +C =180°，先固定其中一个如角C ，由于A +B =180°- C ,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A －B 有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C 是常量，于是A +B =π-C 也是常量.sin sin sin 2sincos sin 22A B A B A B C C +-++=+2cos cos sin 22c A BC -=+， 显然，对于同一个C 值，当A =B 时，上式达到最大值．同样，对同一个A 或B ，有类似结论；因此,只要A 、B 、C 中任意两个不等，表达式sin sin sin A B C ++就没有达到最大值，因而，当A =B =C =3π时，sin sin sin A B C ++，∴原不等式得证．说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证sin sin sin 3A B C ++≤用琴生不等式进行证明．证法二 函数sin y x =是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量123,,(0,)x x x π∈，总有123123sin sin sin sin()33x x x x x x ++++≥，等号当123x x x ==时成立．因此有sin sin sin sin()33A B C A B C ++++≥，从而有sin sin sin 180sin 33A B C ++︒≤=，因此原不等式成立．说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．（122x x +）≥12[f (x 1)+f (x 2)]，则称f (x )是上凸函数，等号当x 1=x 2时成立． 其几何意义是，不等式①表示定义域中任意两点x 1、x 2，中点M 所对应的曲线上点Q 位于弦上对应点P 的下面，不等式②则有相反的意义．定理：若f (x )是在区间I 内的下凸函数，则对区间I 内的任意n 个点x 1，x 2，…,x n ，恒有f （12nx x x n+++）≤1n[f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )]，等号当x 1=x 2=…=x n 时成立．若f (x )为上凸函数，不等号反向．上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen )于1905～1906年建立的．三角函数如y =sin x ，y =cos x 在（0，2π）是上凸函数；y =tan x ,y =cot x 在（0，2π）是下凸函数． 例5 已知,,x y z R ∈,02x y z π<<<<．求证：2sin cos 2sin cos sin 2sin 2sin 22x y y z x y z π++>++（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4x y y z x x y y z z π++>++即证明sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos 4x x y y y z z z π>-+-+注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而4π为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 已知不等式62(23)cos()2sin 24sin cos a πθθθθ+-+-+x 1 x 2M P Qx 1 x 2M PQ36a <+对于[0,]2πθ∈恒成立．求a 的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，cos()cos )4πθθθ-+，sin22sin cos θθθ=，因此考虑令sin cos x θθ+=进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 214x πθθ-==-，当[0,]2πθ∈时，x ⎡∈⎣．从而原不等式可化为： 26(23)2(1)36a x x a x ++--<+，即26223340x ax x a x ---++>，222()3()0x x a x a x x +--+->，()2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭∴原不等式等价于不等式（1），1,,230x x ⎡∈∴-<⎣ （1）不等式恒成立等价于()2x a x x⎡+-<∈⎣恒成立． 从而只要max 2()()a x x x⎡>+∈⎣．又2()f x x x=+在⎡⎣上递减，max 2()3(1)x x x⎡∴+=∈⎣，所以3a >． 例7 三个数a ,b ,c ∈(0,)2π，且满足cos a a =，sincos b b =，cossin c c =，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a ,b ,c 三数的大小，cos a a =，sincos cos b b b =<，cossin cos c c c =>，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a 与b ，由cos sin cos a ab b ==，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若a b =，则cos sincos a a =，但由cos a (0,)2π∈，故有cos sincos a a>矛盾，即a ≠b ．（2）若a b <，则由单调性可知cos cos a b >，又由a b <及题意可得cos sincos a b <，而sincos cos b b <，因此又可得cos cos a b <，从而产生矛盾．综上，a b >．类似地，若c a =，则由题意可得cos cossin a a =，从而可得sin a a =与sin a a >矛盾；若c a <，则sin sin c a a <<，即sin c a <，cossin cos c a ∴>，即c a>矛盾．综上可得：b a c <<．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC 中，求证：（1）3sin sin sin 2222A B C ++≤；（2）sin sin sin A B C ．5．设12x y z π≥≥≥，且2x y z π++=，求乘积cos sin cos x y z 的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥（2004年福建省数学竞赛题）C 类例题例8 已知当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0xx x x θθ--+->恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出θ的取值范围．解法一 设22()cos (1)(1)sin f x xx x x θθ=--+-， 则由[0,1]x ∈时()0f x >恒成立，有(0)sin 0f θ=>，(1)cos 0f θ=>，22()([(12(12(1f x x x x x x ∴=+----(1)x x --21[(12(1)(02x x x =--->，当x =时，(10x -=，令0x ，则001x <<，0001()2(1)02f x x x =->12>，即1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，所求范围是：522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈，反之，当522,1212k k k Z ππθππ+<<+∈时，有1sin 22θ>，且sin 0,cos 0θθ>>，于是只要[0,1]x ∈必有()0f x >恒成立．分析二 不等式左边视为关于x 的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出θ的取值范围．解法二 由条件知，cos 0,sin 0θθ>>，若对一切[0,1]x ∈时，恒有()f x =22cos (1)(1)sin 0x x x x θθ--+->，即2()(cos 1sin )(12sin )sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[0,1]x ∈时恒成立，则必有cos (1)0,sin (0)0f f θθ=>=>，另一方面对称轴为12sin 2(cos sin 1)x θθθ+=++[0,1]∈，故必有24(cos sin 1)sin (12sin )04(cos sin 1)θθθθθθ++-+>++，即4cos sin 10θθ->，1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．分析三 原不等式看作关于x 与1-x 的二次齐次式，两边同除x (1-x )．解法三 原不等式化为：x 2cos θ+(1-x )2sin θ>x (1-x )，①x =0得sin θ>0，x =1得cos θ>0；②当x ≠0且x ≠1时，上式可化为：1xx -cos θ+1x x -sin θ>1对x ∈(0,1)恒成立，由基本不等式得1x x-cos θ+1x x-sin θ≥，∴1x x-cos θ+1x x-sin θ的最小值为，等号当1x x-cos θ=1x x-sin θ即x =时取到，因此>1．∴1sin 22θ>，又由于cos 0,sin 0θθ>>故522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈．例9已知,,,a b A B 都是实数，若对于一切实数x ，都有()1cos sin cos2sin 20f x a x b x A x B x =----≥，求证：222a b +≤，221A B +≤．（1977第十九届IMO ）分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成()1))0f x x x θϕ=++≥，其中x 为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x ，故考虑用特殊值方法．证明 若220a b +=，220A B +=，则结论显然成立； 故下设220a b +≠，220A B +≠： 令sin θθϕϕ====()1))f x x x θϕ=++，即对于一切实数x ，都有()1))0f x x x θϕ=++≥（1）()1))02f x x x πθϕ+=++≥ （2）（1）+（2）得：2)cos()]0x x θθ+++≥，即sin()cos()x x θθ+++≤对于一切实数x≥222a b +≤．()1))0f x x x πθϕ+=++≥ （3）（1）+（3）得：2)0x ϕ-+≥，即sin(2)x ϕ+1≥，∴ 221A B +≤．例10 设αβγπ++=，求证：对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z 有222sin sin sin 0yz zx xy αβγ++≤分析 由0x y z ++=消去一个未知数z ，再整理成关于y 的二次不等式，对x 恒成立，即可得证．证明 由题意，则将()z x y =-+代入不等式左边得， 不等式左边=2222222[sin sin (sin sin sin )]yx xy αβαβγ-+++-（1）当sin 0α=，易证不等式左边0≤成立．； （2）当sin 0α≠，整理成y 的二次方程，证△≤0．左边2222(sin sin sin )[sin ]2sin x y αβγαα+-=-+22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--+， 由222222(sinsin sin )4sin sin αβγαβ+--2224sin sin [1cos ()]0αβαβ=--+≤，∴22222222[(sin sin sin )4sin sin ]4sin x αβγαβα+--0≤，∴不等式左边0≤成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC ，不等式a cos A +b cos B +c cos C ≤p 成立，其中a 、b 、c 为三角形的三边，A 、B 、C 分别为它们的对角，p 为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设,,αβγ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sin sin sin tan tan tan 2αβγαβγπ+++++>习题1．求证：对所有实数,x y ，均有22cos cos cos 3xy xy +-<．2．在锐角三角形ABC 中，求证： tan tan tan 1A B C > 3．在锐角三角形ABC 中．求证： sin sin sin 2A B C ++>4．求证：222sin (cos(sin )sin(cos )2sin (44x x ππ≤-≤5．已知,(0,)2παβ∈，能否以sin ,sin ,sin()αβαβ+的值为边长，构成一个三角形？6．已知,αβ为锐角，求证：2222119cos sin sin cos ααββ+≥ 7．已知A +B +C =π，求证：222tantan tan 1222A B C++≥ 8．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：3π≥++++c b a cC bB aA ．9．设A 、B 、C 为锐角三角形之内角，n 为自然数，求证：12tan tan tan 3nnnnA B C +++≥．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知02πθ<<，,0a b >，求证：223332()sin cos a b a b θθ+≥+11．设P 是三角形ABC 内任一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于30°．12．解方程coscoscoscos sinsinsinsin x x =（1995年全俄竞赛题） 本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相加得证．2．证明：由已知得tan 3tan tan x y y =>及,(0,)2x y π∈知，x y >，从而(0,)2x y π-∈，要证6x y π-≤，只须证明tan()tan 6x y π-≤=2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan x y yx y x y y--==++，于是问题归结为证22tan 13tan y y +21)0y -≥，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x ∈(0,2π)时，∵0<sin x <x <2π,∴sinsin x <sin x ,再比较sin x 与coscos x 的大小，由sin x =cos(2π-x )，即比较(2π-x )与cos x ，而cos x =sin(2π-x ),因此(2π-x )＞cos x ，从而cos(2π-x )<coscos x ，即sin x <coscos x ，从而得证． 证法二： sin x +cos x2π≤<，即0<cos x <2π-sin x <2π，所以cos(cos x )>cos(2π-sin x )=sin(sin x )．4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2sin sin sin sin 33A B C A B C ++++≤≤=，从而得证．5．解：由条件知，312x y z ππ≥≥≥≥，()222123x y z ππππ=-+≤-⨯=，sin()0y z -≥，于是cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2x y z y z ++-1cos sin()2x y z ≥+22111cos cos 2238x π=≥=，当,312x y z ππ===时取等号，故最小值为18（y 与z 相等，且x 达到最大时，乘积有最小值）．又cos sin cos x y z =1cos [sin()sin()]2z x y x y +--211cos sin()cos22z x y z ≤+=21cos 212π≤，且当5,1224z x y ππ===时等号成立，故cos sin cos x y z 的取大6．证明：设()|sin cos tan cot sec csc |f x x x x x x x =+++++，sin cos t x x =+，则有21sin cos 2t x x -=，2222()||11t f x t t t =++--22|||11|11t t t t =+=-++--当1t >时，2()1111f x t t =-++≥-；当1t <时，2()(1)111f x t t =--+-≥- 因此|sin cos tan cot sec csc |1x x x x x x +++++≥．7．证明：因为cos x （x ∈（0，π））递减，所以a -b 与cos A -cos B 异号，从而（a -b ）（cos A -cos B ）≤0．即a cos A +b cos B ≤a cos B +b cos A =C （l ）当且仅当a =b 时等号成立．同理a cos A +c cos C ≤b （2） b cos B +c cos C ≤a （3），1[(1)(2)(3)]2⨯++即得所要证的不等式． 8．证明：2242tan 2tan 4tan222sin tan 4tan 21tan1tan1tan 222ααααααααα+=+=>+--，0,tan,sin tan 4tan22222πααααααα<<∴>∴+>>，同理得另两个，命题得证．“习题”解答： 1．证明：22cos cos cos 3xy xy +-≤显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则22cos 1,cos 1,cos 1x y xy ===-，则222,2,,*x k y n k n N ππ==∈，则2224,,*x y nk k n N π=∈，则,,*xy k n N =∈，不可能为奇数，因此cos 1xy ≠-，因此等号不成立．2．证明：锐角三角形可知A+B 2π<，从而A 2π<-B ，从而sin cos A B >，同理sin cos ,sin cos B C C A >>，三式相乘得sin sin sin cos cos cos A B C A B C >．从而可得tan tan tan 1A B C >．3．解：22sin sin ,sin sin A A B B >>，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+22cos cos cos cos cos cos B B A A B A >+=+，三式相加得证．4．证明：cos(sin )sin(cos )cos(sin )cos(cos )2x x x x π-=--又cos sin 2x x ±≤cos sin 4424x x πππ±≤-≤，又04π>，4π2π<，由正弦函数在[0,]2π上的单调性可知，原不等式成立．5．证法一：sin sin 2sin cos 2sincossin()2222αβαβαβαβαβαβ+-+++=>=+|sin sin |2cos|sin|2cossinsin()2222αβαβαβαβαβαβ+-++-=<=+，因此可以构成三角形．证法二：在直径为1的圆内作内接三角形ABC ，使,A B αβ∠=∠=，()C παβ∴∠=-+则sin ,sin ,sin()BC AC AB αβαβ===+，因此可构成三角形．6．解： 左222222214145tan 4cot 9cos sin sin 2cos sin ααααβαα=+≥+=++≥． 7．证：左tan tan tan tan tan tan 222222A B B C C A ≥++8．分析：注意到π可写成A +B +C ，故即证：3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )π,即证3(aA +bB +cC )≥(a +b +c )（A +B +C ），即证(a -b )(A -B )+(b -c )(B -C )+(c -a )(C -A )≥0，由大边对大角得上式成立．9．证明：设tan ,tan ,tan x A y B z C ===，则,,0x y z >，x y z xyz ++=，而x y z ++≥323xyz ≥，故123n nn n xy z +++≥≥．10．证明：要证原不等式，即证222333()()sin cos a b a b θθ+≥+，即2222222sin cos sin cos a b aba b θθθθ++≥++上式中将θ看作变量，,a b 看作常数，考虑从左边向右边转化即证222222sin cos cot tan 2sin cos a b abθθθθθθ+++≥即2222cot tan 2tan 2cot a b ab ab θθθθ+++≥因为2222cot 2tan cot tan tan a ab a ab ab θθθθθ+=++≥，同理可得22tan 2cot b ab θθ+≥11．证明：如图，PA sin 1θ=PB sin θ5，PB sin θ2=PC sin θ6，PC sin θ3=PA sin θ4，三式相乘得sin 1θsin θ2 sin θ3= sin θ4 sin θ5sin θ6，因此有(sin 1θsin θ2 sin θ3)2= sin 1θsin θ2 sin θ3 sin θ4 sin θ5 sin θ6661234561sin ()62θθθθθθ+++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而sin 1θsin θ2 sin θ331()2≤，因此sin 1θ、sin θ2 、sin θ3中至少有一个小于或等于12，不妨设sin 1θ12≤，则1θ≤30°或1θ≥150°，此时三个角中至少有一个角小于30°．12．解：考虑周期性，只要先解决[0,2)x π∈的解的情况，而当[,2)x ππ∈时，左边为正，右边非正，因此方程无解．由于[0,]2x π∈时有coscos sinsin x x >，将x 换成cos cos x 得（换成sinsin x 也可以）：coscoscoscos sinsincoscos x x >，又由于sin sin y x =在[0,]2x π∈时为增函数，因此有sinsincoscos sinsinsinsin x x >，综上可得：coscoscoscos sinsinsinsin x x >，因此原方程无解．当(,)2x ππ∈时，令2y x π=-，则(0,)2y π∈，在coscos sinsin x x >，[0,]2x π∈中，将x 换成cossin y 得，coscos(cossin )sinsin(cossin )sinsin(sin cos )y y y >>，将2y x π=-代入得，coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程也无解．综上所述，对x R ∈，恒有coscoscoscos sinsinsinsin x x >，原方程无解．。

反三角函数的教学设计近年来，随着高考数学分值的不断提升，反三角函数在学生中间的重要性越来越凸显。

然而，反三角函数是一门相对较难掌握的数学知识，许多学生常常因对其理解不透彻而造成成绩下滑。

因此，为了有效地帮助学生掌握反三角函数，我们需要从教学设计的角度入手，采取切实可行的方法进行指导。

一、培养学生对反三角函数的兴趣在开始教授反三角函数之前，教师应该让学生充分了解这一知识的实际应用。

例如，在物理学和工程学领域中，反三角函数有着广泛的应用。

让学生了解这些实际问题与反三角函数之间的联系，可以帮助他们对知识的掌握更加感兴趣，并提高学习的积极性。

二、注重理解概念和解决方法许多学生对反三角函数的概念不够清晰，或者对于解题方法有所困惑。

因此，教师应该注重理解概念和解决方法的讲解，并提醒学生注意比较问题。

例如，正切函数和正切方程是截然不同的两个概念，或者三角函数和反三角函数之间的关系也需详细讲解。

三、熟练掌握基本公式与推导反三角函数推导过程中，伴随着各种公式的运用。

这些公式不仅在理解反三角函数的概念和解决方法中占着主要角色，而且在实际应用中也同样至关重要。

因此，教师不能只关注反三角函数的公式，还需要引导学生熟练掌握其他三角函数的推导过程，形成知识的累积。

四、以实际问题和案例为核心在反三角函数的教学中，实际问题和案例是必不可少的教学资源。

老师可以通过引导学生探究实际问题，或提供一些与反三角函数相关的案例来分析学生的理解和运用能力。

这有助于学生更好地将理论知识应用到实际问题的解决中。

五、注重学生练习和巩固反三角函数的学习需要大量的练习和巩固，为了帮助学生有效地掌握知识，教师可以自编或者选择一些相关练习题来进行检验和巩固。

同时，通过引导学生做一些创新性的题目或任务，可以提高其对知识点的理解掌握，同时也有助于其运用能力和创新意识的培养。

总之，反三角函数作为高中数学中的重要内容，需要我们从教学设计的角度出发，采取切实有效的方法来进行指导。

第1讲 三角函数的定义、图像与性质本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头．A 类例题例１ 角,αβ的终边分别是OA 和OB ，OA 过点(sin ,cos )M θθ-，且02πθ<<，OA和OB 关于直线y x =对称，则角β的集合是( )Ａ．}{2,k k Z ββπθ=-∈ Ｂ． }{2,k k Z ββπθ=+∈ Ｃ．}{,k k Zββπθ=-∈ Ｄ．}{,k k Z ββπθ=+∈(2001年第12届“希望杯”全国数学邀请赛) 分析 根据角的终边所在的象限确定选项． 解 由02πθ<<知(sin ,cos )M θθ-位于第二象限，从而M 点关于直线y x =的对称点在第四象限，即角β是第四象限角．故选(A )．例2 若()sin f x x ⋅是周期为π的奇函数，则()f x 可以是( ) Ａ．sin x Ｂ．cos x Ｃ．sin 2x Ｄ．cos 2x(1999年全国高考卷)分析 采用分析验证和用定义求解的方法．解法一(分析验证) 因为sin x 是奇函数且不恒为零，所以()f x 必须是偶函数，由此排除,A C 项，进而验证知B 选项满足题意．故选(B )．解法二(定义求解) 依题意函数()sin f x x ⋅满足()sin()()sin ()sin()()sin f x x f x xf x x f x x ππ++=⎧⎨--=-⎩，由x 的任意性得 ()()()()f x f x f x f x π-+=⎧⎨-=⎩， 所以()()()[()](2)f x f x f x f x f x ππππ-==-+=--++=+，即函数()f x 是周期为2π的偶函数，只能选B说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的()f x ．例３ 示波器荧屏上有一正弦波，一个最高点在(3,5)B ，与B 相邻的最低点(7,1)C -，则这个正弦波对应的函数是 ．(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解．解 设sin()y A x B ωϕ=++，由正弦函数图像的性质可得振幅5(1)32A --==，周期2(73)8T =-=，频率24T ππω==，5122B -==，将(3,5)B 坐标代入，得初相4πϕ=-，故所求表达式为3sin()244y x ππ=-+．说明 在本题中函数的表达式不唯一．情景再现1．方程tan(2)3x π+=[0,2)π上解的个数是( ) .5A .4B .3C .2D２． 当[,]22x ππ∈-，求函数()sin f x x x =的最大值和最小值． ３．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．B 类例题例４ 方程21log sin(5)5x x π=的实根有多少个?分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解． 解 原方程实根的个数即为两个函数21log 5y x =和sin(5)y x π=图像的交点的个数． 由于sin 1x ≤，所以只需考虑13232x ≤≤． (1)当1132x ≤<时，由于函数sin(5)y x π=的最小正周期是25，所以在其范围内函数sin(5)y x π=的图像出现两次，在x 轴下方有四个交点;(2)当132x <≤时，其范围的长度是周期的1552倍，由于1x =时sin 50x π=所以有772154⨯=个交点;(3) 1x =时两个函数也有一个交点．综上所述原方程共有41541159++=个实根．说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程sin x x =的解只有一个（当(0,)2x π∈时，sin x x <）．例５ 在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是 ．(2004年全国高中数学联赛) 分析 利用正弦函数图像的对称性补形转化求解． 解1()),arctanf x ax aϕϕ=+=，它的最小正周期为2a π，．由()f x 的图像与()g x 的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为2aπ，宽为． 例６ 若5,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则2t a n ()t a n ()c o s ()366y x x x πππ=+-+++的最大值是 ．(2003年全国数学联赛) 分析 化弦后利用单调性求解． 解22tan()cot()cos()336y x x x πππ=+++++2cos()6sin(2)3x x ππ=-+++，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当3x π=-． 例７ 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，求ω和ϕ的值．分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解．解法一 由偶函数关于x 轴对称，知当0x =时函数()f x 取最大值或最小值，所以sin 1,ϕ=±又0ϕπ≤≤所以2πϕ=;另一方面函数()f x 的图像关于点3(,0)4π对称，此点是函数图像与x 轴的一个交点，所以当34x π=，3sin()042ππω+=，即33cos 0,,442k πππωωπ==+，2(21)3k ω=+，0,1,2,k =．当0k =时，22,()sin()332f x x πω==+在[0,]2π上是减函数;当1k =时，2,()sin(2)2f x x πω==+在[0,]2π上是减函数;当2k ≥时，10()sin()3f x x ωωϕ≥=+在[0,]2π上不是减函数．综上所述23ω=或2,2πωϕ==． 解法二 由()f x 是偶函数，得()()f x f x -=即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，所以cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立，只能是cos 0ϕ=，又0ϕπ≤≤，所以2πϕ=．由()f x 的图像关于点3(,0)4π对称，得33()()44f x f x ππ-=-+，令0x =得3()04f π=，以下同解法一． 例８．已知,[,],44x y a ππ∈-∈R ，且 33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则cos(2)x y += ． 分析 构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解． 解法一 由已知得33sin 2(2)sin(2)x x a y y +==-+-，现构造函数3()sin f t t t =+，由此得()(2)f x f y =-，而函数()f t 在[,]44ππ-上是增函数，所以有2,20x y x y =-+=，即cos(2)x y +=1． 解法二记3()sin 2f x x x a =+-，3(2)(2)sin(2)2g y y y a =++，于是3()sin 2g x x x a =++，又(),()y f x y g x ==分别是R 上的增函数，所以它们的图像与x 轴只有一个交点，而3()sin 2g x x x a =++3[()sin()2]x x a =--+--()f x =--，即()()f x g x -=-，所以函数()y f x =与()y g x =的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称． 记()0,()0f x g x ==的根分别是,2x y ，则1(2)02x y +=， 所以cos(2)x y +=1．情景再现４．函数42cos sin y x x =+的最小正周期是 ．５．已知x ∈R ，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和是 ．６．若函数s i n (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 ．C 类例题例９． 两个周期函数12,y y 的最小正周期分别为,a b ，且b na =，其中2,n n N ≥∈．如果函数12y y y =+的最小正周期为t ，那么下列5种情形：①t a <， ②t a =， ③t b =， ④t b >， ⑤a t b <<．可能出现的情形是 ．（填写序号）分析 周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答．解 由题意知b 是12y y y =+的周期，所以t b ≤，情形④不可能出现；由21y y y =-知如果t a =，那么a 也是2y 的最小正周期，矛盾，所以情形②不可能出现；其它三种情形都有可能出现．下面的例子说明其它三种情形是可能的：取22sin sin3xy x =+，则其最小正周期是6b π=．令12s i n 3xy =-，此时3,2,a t t a ππ==<；令1s i n y x =-，此时2,3,a t a t b ππ==<<；令1sin y x =，此时2,6,a t t b ππ===．所以可能出现的情形是①③⑤例1０． 函数22()cos 2sin cos sin F x x x x x Ax B =+-++，当3[0,]2x π∈时的最大值M 与参数,A B 有关，问,A B 取什么值时M 为最小?证明你的结论(1983年全国数学联赛)分析 在M 是最大值的前提下通过特殊值构造不等关系， 并结合函数图像直观分析． 解法一(数形结合分析)（1）若0A B ==，|)42sin(2|)(π+=x x F 则当89,85,8πππ=x 时，)(x F 的最大值M 为2．（2）若0,0A B =≠，|)42sin(2|)(B x x F ++=π，此时M=2|}2||,2max{|>-+B B（3）若0,0A B ≠=，|)42sin(2|)(Ax x x F ++=π，若0A >时，|82|)8(ππ⋅+=A F >2，此时2>M ；若0A <时，2|852|)85(>⋅+-=ππA F ，此时也有2>M ．（4）若0,0A B ≠≠如图，直线B Ax y +=必有一部分在第一或第四象限，与射线321,,l l l 中至少一条相交，交点处两函数B Ax y +=与)42sin(2π+=x y 函数值同号，其和的绝对值必小于2，因此也有2>M ．说明 问题的关键就是考察三个函数值59(),(),()888F F F πππ的值，从而得：解法二 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++-=++=|892|)89( |852|)85( |82|)8(B A F B A F B A F ππππππ，将这三个函数值综合起来考虑． 当0A =时同上，当A ≠0时讨论如下：（1）若B A +85π<0，则2)85(>πF ； （2）若B A +85π≥0，A B A B A 84)85(89πππ++=+与A B A B A 84)85(8πππ-+=+至少有一个大于0，即2)89(>πF 或2)8(>πF 至少有一个成立，因此总有2>M ．从而当且仅当0A B ==时，2=M ，其他情况下均有2>M ．情景再现７．已知当]1,0[∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）习题１． 若角α是第四象限的角，则πα-是( )Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ２．关于函数()4sin(2)3f x x π=+()x R ∈，有下列命题：①()y f x =是以2π为最小正周期的函数；②()y f x =的表达式可以改写为4cos(2)6y x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）３．若,A B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在第 象限．４．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若 cos ,(0)()2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩，则15()4f π-的值是 ． ５．设关于x 的方程222sin (2cos3)0x x θθ--+=，其中[0,]2πθ∈，则该方程实根的最大值是 ，实根的最小值是 ．６．关于θ角的函数cos 22cos 43y a a θθ=-+-，当[0,]2πθ∈时恒大于0，则实数a 的取值范围是 ．７．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足()(1)(2)f x f x f x =+-+．若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是 ．８．已知函数sin 2cos 2y x a x =+，在下列条件中分别求实数a 的值． (1)函数图像关于原点对称; (2)函数图像关于直线8x π=-对称．９．设,αβ分别是方程cos(sin )x x =和sin(cos )x x =在区间(0,)2π上的解，确定,αβ的大小关系．１０．三个数a,b,c ∈)2,0(π，且满足a a =cos ，b b =cos sin ，c c =sin cos ，按从小到大的顺序排列这三个数．（16届全苏竞赛题）１１．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体;存在非零常数T ，对任意x R ∈，有()()f x T Tf x +=成立．若函数()sin f x kx M =∈,求实数k 的取值范围．１２．已知：定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且在),0[+∞上是增函数．若不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 对任意R ∈θ恒成立．求实数m 的取值范围．本节“情景再现”解答：1．解 本题实质是函数周期性的应用．函数tan(2)3y x π=+的最小正周期2T π=，而区间长度是2π，是周期的4倍，而正切函数在每个周期内是单调的，故解的个数为4．选B ． ２．解 化成一个角的一个三角函数形式，用函数的单调性求解．()2sin()3f x x π=+，[,]22x ππ∈-，由5[,]366x πππ+∈-及正弦函数的单调性知其最大值为2，最小值为1-．３．解3sin ,[0,]()sin ,(,2]x x f x x x πππ∈⎧=⎨-∈⎩，作出其图像，可知有两个交点时的k 的范围为31<<k ．４．解42cos sin y x x =+222cos (1sin )sin x x x =-+2221711sin cos 1sin 2cos 4488x x x x =-=-=+．所以函数42cos sin y x x =+的最小正周期为2π． ５．解 注意到sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭max sin ,cos ,sin()4x x x π⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然()f x 的最大值为1，可以通过作出sin y x =和cos y x =的图像得到{}max sin ,cos x x 的最小值是2-，在524x k ππ=+时取得，而此时sin()4x π+的值为1-，所以()f x 的最小值是2-，从而最大值与最小值的和是12-． ６．解 函数在一个周期内只能取得一个最大值，其图像从原点开始并注意到可在端点1处取到最大值，所以在区间[0,1]内至少有49周期再加14个周期，由21(49)14πω+=得1972πω=，即ω的最小值是1972π．７．解设θθsin )1()1(cos )(22x x x x x f -+--=， 则由]1,0[∈x 时0)(>x f 恒成立，有0sin )0(>=θf ，0cos )1(>=θf ，22()([(12(1f x x x x ∴=+---2(1(1)x x x x +--0)cos sin 21)(1(2]sin )1(cos [2>-----=θθθθx x x x ，当θθθcos sin sin +=x 时，0sin )1(cos =--θθx x ，令θθθcos sin sin 0+=x ，则100<<x ，0)21cos sin )(1(2)(000>--=θθx x x f ，故212sin 21>θ，即212sin >θ，且0cos ,0sin >>θθ，所求范围是：Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ反之，当Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ时，有212sin >θ，且0cos ,0sin >>θθ，于是只要]1,0[∈x ，必有0)(>x f 恒成立．“习题”解答：１．解 利用诱导公式推导的方法确定选项．角α和角α-的终边关于x 轴对称，所以角α-的终边在第一象限，又角α-和角πα-的终边关于原点对称，所以角πα-的终边在第三象限． 故选(C )．２．解 作出函数()y f x =的图像，由其直观性可知正确命题的序号是②③３．解 由正弦函数的单调性和诱导公式求解．因为ABC ∆是锐角三角形，所以090A B +>，即090,90A B B A >->-，所以sin cos A B >，sin cos B A >，点P 应在第二象限．４．解 由周期性和诱导公式求解．15()4f π-1593()()424f f πππ=-+=3sin 42π==． ５．解 数形结合求解．设两实根分别为,αβ，则22sin 2cos αβθαβθ+=⎧⎨=-⎩，于是222()210αβαβαβ+=+-=，又由[0,]2πθ∈知02αβ≤+≤．于是满足条件2210αβ+=且02αβ≤+≤)在如图所示的弧AB 或CD 上．由此可知实根的最大值为3D B x y ==是A C x y ==６．解 可以转化为二次函数求最小值，由最小值大于0求出a 的范围．现用分离变量的方法求解．由cos 22cos 430,[0,]2a a πθθθ-+->∈，得22cos 2cos a θθ->-，而22cos 2[(2cos )]42cos 2cos θθθθ-=--++--，由基本不等式得其最大值是4-4a >-７．解 发现函数()f x 的周期性，运用周期变换求解． 由()(1)(2)f x f x f x =+-+得(1)(2)(3)f x f x f x +=+-+，两式相加得(3)()f x f x +=-，即得(6)()f x f x +=，从而可知()f x 是以6为周期的函数，所以(9)A f x =+(3)(3)f x f x =+=-(9)f x B =-=，即A 与B 的大小关系是A B =．８．解 sin 2cos2)y x a x x ϕ=+=+，其中tan a ϕ=， (1)关于原点对称则有sin 0,k ϕϕπ==，所以tan 0a ϕ==; (2)关于直线8x π=-对称则有sin()14πϕ-+=±，即34k πϕπ=+，所以tan 1a ϕ==-． ９．解 构造函数，运用其单调性求解． 记()cos(sin ),02f x x x x π=-≤≤，因为(0)101f =-=，()cos1022f ππ=-<，所以()0f x =在(0,)2π上有根，又()f x 在(0,)2π上单调递减，所以()0f x =在(0,)2π上的根α是唯一的．同样记()sin(cos )g x x x =-，由(0)0,()02g g π><及()g x 在(0,)2π上单调递减，所以()0g x =在(0,)2π上的根β存在且是唯一的．由cos(sin )αα=两边取sin 得 sin[cos(sin )]sin αα=由于sin(cos )x x =的解是唯一的，所以sin αβ=，故sin βαα=<．１０．解 运用单调性结合分类讨论求解．（1）若b a =，则a a c os sin c os =，但由a cos )2,0(π∈，故有a a cos sin cos >矛盾，即a≠b ．（2）若b a <，则由单调性可知b a cos cos >，又由b a <及题意可得b a cos sin cos <，而b b cos cos sin <，因此又可得b a cos cos <，从而产生矛盾．因此b a >．类似地，若a c =，则由题意可得a a sin cos cos =，从而可得a a sin =与a a sin >矛盾；若a c <，则a a c <<sin sin ，即a c <sin ，a c cos sin cos >∴，即a c >矛盾．综上可得：c a b <<．１１．解 运用等式恒成立的条件求解．当0k =时，()0f x =显然()f x M ∈；当0k ≠时，因为()sin f x kx M =∈所以存在非零常数,T对x R ∈任意，有成立，即sin()sin kx kT T kx +=对x R ∈恒成立．即sin cos cos sin sin kx kT kx kT T kx +=，sin (cos )cos sin 0kx kT T kx kT -+=恒成立，由等式恒成立知只能有cos 0kT T -=，且sin 0kT =，从而1T =±，进而求得()k m m Z π=∈．本题也可用特殊值求解．１２．解 先证明函数在R 上是增函数，运用单调性去掉()f x 后转化为不等式恒成立求解． 设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则),0(,21+∞∈--x x ，且21x x ->-．∵)(x f 在),0[+∞上是增函数，∴)()(21x f x f ->-又)(x f 为奇函数∴)()(21x f x f <．∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．即函数)(x f 在)0,(-∞和),0[+∞上是增函数，且)(x f 在R 上是奇函数，所以)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．∵0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ，∴)sin 2()32(cos θθ-->-m f f ，)2(sin )32(cos m f f ->-θθ， m 2sin 32cos ->-θθ，2sin sin 222++>θθm ，161541sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+>θm 。