高考中的反三角函数与简单三角方程

高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。

三角函数的反函数与解析式三角函数是数学中的重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

而三角函数的反函数则是三角函数的逆运算，它能够帮助我们求解三角函数方程的解析式，解决一些实际问题。

一、三角函数的反函数三角函数的反函数是指，对于任意给定的三角函数值，能够求得对应的角度值。

通常情况下，我们将反函数称为“反三角函数”。

1. 正弦函数（sin）的反函数正弦函数的反函数称为反正弦函数，记作arcsin或者sin^(-1)。

对于正弦函数sinx，在三角函数定义域内，其值域范围为[-1, 1]。

因此，反正弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。

2. 余弦函数（cos）的反函数余弦函数的反函数称为反余弦函数，记作arccos或者cos^(-1)。

对于余弦函数cosx，在三角函数定义域内，其值域范围为[-1, 1]。

因此，反余弦函数的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。

3. 正切函数（tan）的反函数正切函数的反函数称为反正切函数，记作arctan或者tan^(-1)。

对于正切函数tanx，在其定义域内，其值域范围为(-∞, +∞)。

因此，反正切函数的定义域为(-∞, +∞)，值域为(-π/2, π/2)。

二、解析式的求解通过三角函数的反函数，我们可以求解出一些三角函数方程的解析式。

以下是几个常见的例子：1. 求解sinx = a的解析式根据反正弦函数的定义，我们可以得出sin^(-1)(a) = x，其中x为满足条件的角度。

这样，我们就可以得到x = sin^(-1)(a)，其中a为给定的值。

2. 求解cosx = a的解析式根据反余弦函数的定义，我们可以得出cos^(-1)(a) = x，其中x为满足条件的角度。

这样，我们就可以得到x = cos^(-1)(a)，其中a为给定的值。

3. 求解tanx = a的解析式根据反正切函数的定义，我们可以得出tan^(-1)(a) = x，其中x为满足条件的角度。

三角公式总表⒈L 弧长=αR=错误! S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π⒉正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2RR 为三角形外接圆半径 ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=⒋S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CB A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径 ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θθcos sin =θθsec sin ⋅ ②θθθθθcsc cos sin cos ⋅===y x ctg ③θθθtg ry⋅==cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ⋅===tg x r ⑤θθθctg rx⋅==sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ⋅===ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅θθθθθθctg tg⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中辅助角ϕ与点a,b 在同一象限,且abtg =ϕ⒍函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质：0,0>>A ω 振幅A,周期T=ωπ2, 频率f=T1, 相位ϕω+⋅x ,初相ϕ⒎五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,20 求出x 与y, 依点()y x ,作图三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号；即：函数名不变,符号看象限三角函数值等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即：函数名改变,符号看象限 ⒐和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±⑤γβγαβαγβαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++=++1)( 其中当A+B+C=π时,有:i.tgC tgB tgA tgC tgB tgA ⋅⋅=++ ii.1222222=++C tg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：含万能公式 ①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=⒒三倍角公式：①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+︒-︒=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+︒-︒=+-=③)60()60(313323θθθθθθθ+⋅-⋅=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：符号的选择由2θ所在的象限确定 ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-=③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=± ⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg⒔积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin ⒕和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- ⒖反三角函数：最简单的三角方程1、遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集,因此B=∅时也满足B⊆A;解含有参数的集合问题时,要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况;2、忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,集合元素的三性中互异性对解题的影响最大,特别是带有字母参数的集合,实际上就隐含着对字母参数的一些要求;3、混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题p的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论;4、充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A,B,如果A⇒B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件；如果B⇒A成立,则A 是B的必要条件,B是A的充分条件；如果A⇔B,则A,B互为充分必要条件;解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断;5、“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真⇔p真或q真,命题p∨q假⇔p假且q假概括为一真即真；命题p∧q真⇔p真且q真,命题p∧q假⇔p假或q假概括为一假即假；非p真⇔p假,非p假⇔p真概括为一真一假;求参数取值范围的题目,也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解,通过集合的运算求解;6、函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”,学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法;对于函数的几个不同的单调递增减区间,切忌使用并集,只要指明这几个区间是该函数的单调递增减区间即可;7、判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性,首先要考虑函数的定义域,一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶函数;8、函数零点定理使用不当致误如果函数y=fx在区间a,b上的图像是一条连续的曲线,并且有fafb<0,那么,函数y=fx在区间a,b 内有零点,但fafb>0时,不能否定函数y=fx在a,b内有零点;函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题;9、复数的概念不清致对于复数a+bia,b∈R,a叫做实部,b叫做虚部；当且仅当b=0时,复数a+bia,b∈R是实数a；当b ≠0时,复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;解决复数概念类试题要仔细区分以上概念差别,防止出错;另外,i2=-1是实现实数与虚数互化的桥梁,要适时进行转化,解题时极易丢掉“-”而出错;10、忽视零向量致误零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线;它在向量中的位置正如实数中0的位置一样,但有了它容易引起一些混淆,稍微考虑不到就会出错,考生应给予足够的重视;11、向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题;数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素,能不能在解题时把这些因素考虑到,是解题成功的关键,如当a·b<0时,a与b的夹角不一定为钝角,要注意θ=π的情况;12、an与Sn关系不清致误在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2;这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点;13、对数列的定义、性质理解错误等差数列的前n项和在公差不为零时是关于n的常数项为零的二次函数；一般地,有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+ca,b,c∈R,则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2mm∈N是等差数列;14、数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数,要善于从函数的观点认识和理解数列问题;数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点,解题时要注意把n=1和n≥2分开讨论,再看能不能统一;在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定;15、错位相减求和项处理不当致误错位相减求和法的适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的,求其前n项和;基本方法是设这个和式为Sn,在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式,这两个和式错一位相减,就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的求和问题.这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理;16、不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确,特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时,一定要注意使其能够这样做的条件,如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误;17、忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a+b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时,务必注意a,b为正数或a,b非负,ab或a+b其中之一应是定值,特别要注意等号成立的条件;对形如y=ax+bxa,b>0的函数,在应用基本不等式求函数最值时,一定要注意ax,bx的符号,必要时要进行分类讨论,另外要注意自变量x的取值范围,在此范围内等号能否取到;18、不等式恒成立问题致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解,其中的主要方法有数形结合法、变量分离法、主元法;通过最值产生结论;应注意恒成立与存在性问题的区别,如对任意x∈a,b都有fx≤gx 成立,即fx-gx≤0的恒成立问题,但对存在x∈a,b,使fx≤gx成立,则为存在性问题,即fxmin≤gxmax,应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系;19、忽视三视图中的实、虚线致误三视图是根据正投影原理进行绘制,严格按照“长对正,高平齐,宽相等”的规则去画,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的原分界线,且分界线和可视轮廓线都用实线画出,不可见的轮廓线用虚线画出,这一点很容易疏忽;20、面积体积计算转化不灵活致误面积、体积的计算既需要学生有扎实的基础知识,又要用到一些重要的思想方法,是高考考查的重要题型.因此要熟练掌握以下几种常用的思想方法;1还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法;2割补法：求不规则图形面积或几何体体积时常用;3等积变换法：充分利用三棱锥的任意一个面都可作为底面的特点,灵活求解三棱锥的体积;4截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合问题,常画出轴截面进行分析求解;21、随意推广平面几何中结论致误平面几何中有些概念和性质,推广到空间中不一定成立.例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立;22、对折叠与展开问题认识不清致误折叠与展开是立体几何中的常用思想方法,此类问题注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量,不仅要注意哪些变了,哪些没变,还要注意位置关系的变化;23、点、线、面位置关系不清致误关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是高考全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握程度的理想题型,历来受到命题者的青睐,解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置如课桌、教室作出判断,但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致;24、忽视斜率不存在致误在解决两直线平行的相关问题时,若利用l1∥l2⇔k1=k2来求解,则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在;如果忽略k1,k2不存在的情况,就会导致错解;这类问题也可以利用如下的结论求解,即直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0平行的必要条件是A1B2-A2B1=0,在求出具体数值后代入检验,看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案;对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况;利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1时,要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在;利用直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0,就可以避免讨论;25、忽视零截距致误解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况；二是要明确截距为零的直线不能写成截距式;因此解决这类问题时要进行分类讨论,不要漏掉截距为零时的情况;26、忽视圆锥曲线定义中条件致误利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件;如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的：其一,绝对值；其二,2a<|F1F2|;如果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支;27、误判直线与圆锥曲线位置关系过定点的直线与双曲线的位置关系问题,基本的解决思路有两个：一是利用一元二次方程的判别式来确定,但一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零,当二次项系数为零时,直线与双曲线的渐近线平行或重合,也就是直线与双曲线最多只有一个交点；二是利用数形结合的思想,画出图形,根据图形判断直线和双曲线各种位置关系;在直线与圆锥曲线的位置关系中,抛物线和双曲线都有特殊情况,在解题时要注意,不要忘记其特殊性;28、两个计数原理不清致误分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理,故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提,在解题时,要分析计数对象的本质特征与形成过程,按照事件的结果来分类,按照事件的发生过程来分步,然后应用两个基本原理解决;对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理,又要用到分步乘法计数原理,一般是先分类,每一类中再分步,注意分类、分步时要不重复、不遗漏,对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外,还可以用间接法处理;29、排列、组合不分致误为了简化问题和表达方便,解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化,建立适当的模型,再应用相关知识解决;建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合问题,其依据主要是看元素的组成有没有顺序性,有顺序性的是排列问题,无顺序性的是组合问题;30、混淆项系数与二项式系数致误在二项式a+bn的展开式中,其通项Tr+1=Crnan-rbr是指展开式的第r+1项,因此展开式中第1,2,3,...,n项的二项式系数分别是C0n,C1n,C2n,...,Cn-1n,而不是C1n,C2n,C3n,...,Cnn;而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积;31、循环结束判断不准致误控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件;在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律,其次要看清楚循环结束的条件,这个条件由输出要求所决定,看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束;32、条件结构对条件判断不准致误条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的,其中没有遗漏也没有重复,在解题时对判断条件要仔细辨别,看清楚条件和函数的对应关系,对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值;。

1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。

2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

第九讲：反三角函数与三角方程原函数和反函数关于y=x 对称三角函数选特定区间也能找到反函数[]:arcsin :1,1;:,;:;:.22y x ππ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦什么样的函数具有反函数呢？答：定义域与值域之间存在一对一的关系的函数。

1、反三角函数定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数arcsin [1,1]y x x =∈-单调性的描述要注意：应该描述成在上单调递增。

[][][]()()arccos :1,1;:0,;:;:.121101023223arcta y x y x y ππππππ=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==定义域值域奇偶性非奇非偶单调性减函数注意：这是0,上的反函数，我们把它定为标准区间。

那么其它区间的反函数怎么表示呢？解题思路：非标准区间要转化成标准区间来解画出反余弦函数图像的方法：（1）描点法：，，，，，，，，，；（2）利用反函数图像与原函数关于对称作图。

()n :,;:,;:;:22x ππ⎛⎫-∞+∞- ⎪⎝⎭定义域值域奇偶性奇函数单调性增函数[][][][]2:sin(arcsin ),1,1;arcsin()arcsin ,1,1;cos(arccos ),1,1;arccos()arccos ,1,1;tan(arctan ),; arctan()arctan ,x x x x x x x x x x x x x x x R x x x Rπ=∈--=-∈-=∈--=-∈-=∈-=-∈、反三角函数的恒等式有arcsin(sin ),,;22x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦3.1(1)arcsin 12arccos k x k a x k a πππ⇔≤=+-⇔≤=±⇔最简三角方程：sinx=a 当a 时,cosx=a 当a 时,tanx=a x=k +arctanaa 提示：（1）要有字母观点，要根据的情况分类讨论； （2）这个解是一般解，适合所有情况，但对于某些特殊值（如0，1等），可以用更简洁的形式表示。

反三角函数的教材分析反三角函数是高中数学中的一个重要概念，也是高考中常见的考点，教材对于这一概念的讲解和应用具有很大的意义。

本文将从教材的角度出发，对反三角函数的教学进行分析。

一、基本概念的讲解在高中数学中，反三角函数的基本概念是很重要的，因此教材应该对于如何理解反三角函数进行深入的讲解。

其中，应该包含对于正弦、余弦和正切等三角函数的定义和图像，以及对于反三角函数的定义和图像的说明。

此外，还需要介绍反三角函数与三角函数之间的对应关系，例如正弦函数与反正弦函数、余弦函数与反余弦函数、正切函数与反正切函数等。

此外，教材还应该对反三角函数的定义域、值域、单调性以及特殊值等内容进行详细的讲解。

这些基本概念的理解和掌握是学习反三角函数的关键，也是进一步应用反三角函数的基础。

二、解三角方程与应用题的讲解反三角函数在解三角方程和应用问题中具有重要的作用，因此教材需要对于如何应用反三角函数解决问题进行详细的讲解。

这包括如何通过反三角函数将三角方程化简为代数方程的形式，以及如何应用反三角函数求解实际问题。

在此过程中，教材应该给出一些实际例子，例如求解角度、测量高度、角度问题等。

对于不同类型的问题，教材应该给出具体的应用方法和解题思路。

三、重点难点的突破在学习反三角函数的过程中，有一些概念和性质较为抽象，容易出现难以理解的情况。

这时，教材就需要针对这些重点难点进行渗透、分析与突破。

例如，对于反三角函数自变量的限制、反三角函数与三角函数之间的对应关系以及“余弦定理”与“正弦定理”等内容，教材应该进行深入分析和说明，以便学生能够更好地理解和应用。

此外，对于解三角方程和应用问题中出现的“多解问题”和“解的判定”等难点，教材也需要进行详细的讲解和分析。

这样，在学生学习反三角函数的过程中就会更加深入、全面和有效。

综上所述，反三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考的常见考点。

教材对于反三角函数的讲解和应用具有很大的意义。

通过对相关教材的分析，我们可以更好地理解和掌握反三角函数的基本概念、解题方法和重点难点。

高考数学常考知识点总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。

（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。

3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。

三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。

高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

三角函数与反三角函数三角函数是数学中一个重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题以及工程问题等方面起着不可替代的作用。

与之相对应的，反三角函数是解三角函数方程时经常使用的工具。

本文将介绍三角函数和反三角函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、三角函数的定义与性质三角函数是利用一个角的弧度或角度值，计算该角对应三角比值的函数。

常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

1. 正弦函数正弦函数sin(x)的定义是：在单位圆上，角x所对应点的纵坐标值。

正弦函数的性质有：- 周期性：sin(x)的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。

- 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

2. 余弦函数余弦函数cos(x)的定义是：在单位圆上，角x所对应点的横坐标值。

余弦函数的性质有：- 周期性：cos(x)的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。

- 偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

3. 正切函数正切函数tan(x)的定义是：在单位圆上，角x所对应点的纵坐标值与横坐标值的比值。

正切函数的性质有：- 周期性：tan(x)的周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。

- 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

除了这三个常见的三角函数，还有诸如余割函数csc(x)、正割函数sec(x)和余切函数cot(x)等函数，它们的性质可以通过正弦函数和余弦函数的倒数关系得到。

二、反三角函数的定义与性质反三角函数是三角函数的反函数。

在实际问题中，我们经常需要求解三角函数方程，即已知三角函数的值，求解相应角的值。

此时就需要用到反三角函数。

常见的反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)等。

1. 反正弦函数反正弦函数arcsin(x)的定义是：满足sin(y) = x的角y，其中y的取值范围是[-π/2, π/2]。

2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

下面是2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程，希望对考生有帮助。

它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满意一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先运用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[0，π]。

反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。

定义域R，值域(-π/2，π/2)。

反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。

定义域R，值域(0，π)。

小编为大家供应的2019高考数学复习重要学问点：反三角函数与简洁的三角方程大家细致阅读了吗?最终祝大家可以考上志向的高校。

三角函数的反函数与解三角方程在高中数学中，我们学习过三角函数及其性质。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

而与之对应的反函数，即反三角函数，是用来解决一些三角方程的重要工具。

本文将详细介绍三角函数的反函数以及如何利用反函数来解决三角方程。

一、正弦函数的反函数正弦函数的反函数称为反正弦函数，常用符号为sin^(-1)，也可用arcsin表示。

反正弦函数可以表示为y = sin^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[-π/2, π/2]。

反正弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正弦函数的值。

二、余弦函数的反函数余弦函数的反函数称为反余弦函数，常用符号为cos^(-1)，也可用arccos表示。

反余弦函数可以表示为y = cos^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[0, π]。

反余弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反余弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反余弦函数的值。

三、正切函数的反函数正切函数的反函数称为反正切函数，常用符号为tan^(-1)，也可用arctan表示。

反正切函数可以表示为y = tan^(-1)(x)，其中x的取值范围为(-∞, +∞)，y的取值范围为(-π/2, π/2)。

反正切函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正切函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正切函数的值。

四、解三角方程利用三角函数的反函数可以解决一些三角方程。

一般来说，解三角方程的步骤如下：1. 将方程转化为三角函数的方程；2. 利用三角函数的性质和恒等式进行等式变形，将方程化简为形如sin^(-1)(x) = a或cos^(-1)(x) = a的形式；3. 根据反函数的定义，得到x的值。

需要注意的是，在解三角方程时，需要根据具体的题目要求确定解的范围，并且考虑到周期性的特点。

1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。

2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2 ]．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2；tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x 2； tan(arcsin x )＝ x1－x 2； cos(arctan x )＝11＋x 2； tan(arccos x )＝ 1－x 2x． 证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2 ，即cos(arcsin x )＝1－x 2 ；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x 1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x 2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2－β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1] 解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2． ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β) 3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6]B ．[-π2，π3]C ．[π6，π]D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ＝113＋1211－113⨯121＝ 18 ．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数．说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0． ∴ cot[x ]＝1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })， ∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4]C ．(- 3π4，3π4)D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin n x ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1， n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1． 解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin n x ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin n x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解．⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin n x ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin n x ≥0，故只能在2k π＋3π2≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos n x －sin n x ＝|cos n x |＋|sin n x |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解．所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2}B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}第 11 页 共 11 页 4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4)，则α＝ ； 5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根； 6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根． 7．解方程：⎝⎛⎭⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos n x ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．。