高中数学A选修2选修21第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件试题

1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.1．符号⇒与的含义命题真假“假设p那么q〞为真“假设p那么q〞为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q2.充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件(q是p的必要条件)p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p 思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] (1)一样，都是p⇒q(2)等价1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.]2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件B[假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a ＝b〞的必要条件．]3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[此题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．(4)“sin α>sin β〞是“α>β〞的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要〞．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要〞．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β〞是“α>β〞的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断件〞“充分必要条件〞“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否认形式， 可判断綈q 是綈p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，所 以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故假设a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．假设綈p ⇒綈q ，那么p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 假设綈p ⇒綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的必要不充分条件；假设綈p ⇔綈q ，那么p 与q 互为充要条件； 假设綈p綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(1)设a ，b 是实数，那么“a >b 〞是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b 〞不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b 〞，所以“a >b 〞是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，以下结论正确的选项是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②假设Δ＝b 2－4ac ＝0，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，那么充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔〞写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，那么充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，应选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >yxy， 即1x <1y.必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进展等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q 〞为真，又要证明“q ⇒p 〞为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件〞与“p 的充要条件是q 〞这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ∈(0,2) B ．x ∈[－1，＋∞) C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)〞是“不等式x(x－2)<0成立〞的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分、必要条件的应用[探究问题]1．假设集合A B，那么“x∈A〞是“x∈B〞的什么条件？“x∈B〞是“x∈A〞的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要条件，而“x∈B〞是“x∈A〞的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．假设A是B的充要条件，实数a的值确定吗，假设集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，那么实数m的取值范围为________．[思路探究] p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件〞改为“p 是q 的必要不充分条件〞，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .那么{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．假设本例题改为：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P 〞是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p 、q 两命题，2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 3．利用集合间的关系建立不等关系， 4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进展判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．(3)利用集合间的包含关系进展判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进展求解．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)如果p是q的充分条件，那么命题“假设p那么q〞为真．( )(2)命题“假设p那么q〞为假，记作“q⇒p〞．( )(3)假设p是q的充分条件，那么p是唯一的．( )(4)假设“p q〞，那么q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，那么当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，应选B.]3．假设“x＜m〞是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.]4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。

高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件练习（含解析）新人教A版选修21课时过关·能力提升基础巩固1若{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若数列{a n}为递增数列,则有a1<a2<a3;{a n}是等比数列,若a1<a2<a3,则数列{a n}为递增数列.答案:C2已知条件p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6>x2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:p:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3;q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0,则2<x<3.故q⇒p,但p q.答案:B3若φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,即cosφ=±1.故φ=kπ(k∈Z).故选A.答案:A4已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A5已知p:x2-x<0,则p成立的一个充分条件是()A.1<x<3B.-1<x<1C答案:C6不等式x2-3x+2<0成立的充要条件是.解析:x2-3x+2<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.答案:1<x<27条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是.答案:(-∞,1]8分别判断下列各题中,p是q的什么条件?(在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)(1)p(2)p:直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,q:a=1;(3)p:x-3(4)p:m<n,q解:(1),可x+y=0,因此p⇒q;当x=y=0时,显然满足x+y=0,但不满q p,故p是q的充分不必要条件.(2)当直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行时,显然a≠0,a=±1,不一定有a=1,故p q;当a=1时,必有直线ax+y-1=0与x+ay+2=0平行,即q⇒p,因此,p是q的必要不充分条件. (3)由x-3,可x=4或x=0,当x=0,舍去,故x=4,即p⇒q;当x=4时,显然x-3,即q⇒p,故p是q的充要条件.(4)当m<n时,不一定m=-2,n=-1,即p q;,也不一定有m<n,例如m=2,n=-1,即q p,故p是q的既不充分也不必要条件.9已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.分析:本题考查充分条件和必要条件的应用.分别求出集合M与N的范围,利用M⫋N构成a的不等式求解.解:令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a},由已知p⇒q,且q p,得M⫋N.≤a<2≤2,于≤a≤2,即所求a的取值范围能力提升1“常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若常数m是2与8的等比中项,则m2=16,解得m=±4.∴“常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的必要不充分条件.故选B.答案:B2设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3已知向量a=(x,y),b=(cos α,sin α),其中x,y,α∈R.若|a|=4|b|,则a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是()A.λ>3或λ<-3B.λ>1或λ<-1C.-3<λ<3D.-1<λ<1解析:由已知得|b|=1,所以|a|因此a·b=x cosα+y sinα因为a·b<λ2恒成立,所以λ2>4,解得λ>2或λ<-2.因此a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是λ>1或λ<-1.故选B.答案:B4在平面直角坐标系xOy内,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=.解析:x+(m+1)y=2-m与mx+2y=-8互相垂直⇔1·m+(m+1)·2=0⇔m=答案:5已知α,β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,p:a与b无公共点,q:α∥β,则p是q 的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)解析:p q,例如,当α与β相交,a与b异面时,也能满足条件a⊂α,b⊂β,a与b无公共点;若α∥β,而a⊂α,b⊂β,则a与b一定无公共点,即q⇒p.答案:必要不充分条件6设A[-1,1∈A”,q:“x∈B”,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是.解析:由题意知,A=(0,1),B p是q的必要不充分条件,故B⫋A,答案:7已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0,p≠1),求数列{a n}是等比数列的充要条件.解:a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).∵p≠0,p≠1,≥2).若{a n}为等比数列,又p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1.这是{a n}为等比数列的必要条件.下面证明q=-1是{a n}为等比数列的充分条件.当q=-1时,S n=p n-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-p n-1=p n-1(p-1),故a n=(p-1)p n-1(p≠0,p≠1),).于是当q=-1时,数列{a n}为等比数列,故数列{a n}是等比数列的充要条件为q=-1.★8已知条件p:A={x|2a≤x≤a2+1},条件q:B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0},若条件p是条件q 的充分条件,求实数a的取值范围.解:A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)·[x-(3a+1)]≤0},当a≥,B={x|2≤x≤3a+1}.当a,B={x|3a+1≤x≤2}.由p是q的充分条件,知A⊆B.于是1≤a≤3,a=-1.故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=-1}.。

高中数学人教A版选修（2—1）第一章1.2.充分条件与必要条件测试题（含解析答案）一、选择题1．“”是“”的（）(A) 充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件 A提示：或。

2．在中，，则是的（）(A) 充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件C提示：三角形中，大边对大角。

3．“或是假命题”是“非为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A提示：“或是假命题”即、都是假命题。

4．若非空集合，则“或”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B提示：“或”不一定有“”。

5．对任意的实数，下列命题是真命题的是（）（A）“”是“”的必要条件（B）“”是“”的必要条件（C）“”是“”的充分条件（D）“”是“”的必要条件B提示：，。

6．若条件，条件，则是的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件B提示：或，或。

7.若非空集合满足，且不是的子集，则（）A. “”是“”的充分条件但不是必要条件B. “”是“”的必要条件但不是充分条件C. “”是“”的充要条件D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件A提示：必有，但反之不一定成立。

8．对于实数，满足或，则是的（）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件A 提示： 且，显然有，，所以是的充分而不必要条件。

9．“”是“函数的值恒为正值”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件C 提示：的最小值为，令其大于零得。

10．已知条件，条件，则是的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件B 提示：由题意知是条件，是结论，，即条件推不出结论；，即结论能推出条件。

高中数学人教版选修2-1（理科）第一章常用逻辑用语1.2.1 充分条件与必要条件A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2016·北京理) 设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2018高二下·扶余期末) 给出下列四个五个命题：①“ ”是“ ”的充要条件②对于命题，使得，则，均有；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④函数只有个零点；⑤ 使是幂函数，且在上单调递减.其中是真命题的个数为：（）A .B .C .D .4. （2分）已知条件k=，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分也非必要条件5. （2分）如果那么是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高二上·莆田月考) 已知函数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A .B .C .D .8. （2分）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）A . p是q的充分条件，但不是q的必要条件B . p是q的必要条件，但不是q的充分条件C . p是q的充分必要条件D . p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________ ．10. （1分）(2014·四川理) 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3 ，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）11. （1分）某健康中心研究认为：身高为h（m）的人的其理想体重W（kg），应符合公式W=22h2（kg），且定义体重在理想体重±10%的范围内，称为标准体重；超过10%但不超过20%者，称为微胖；超过20%者，称为肥胖，微胖及肥胖都是过重的现象．对身高h，体重W的人，体重过重的充要条件为W＞ch2+dh+e，则（c，d，e）=________ ．三、解答题 (共3题；共25分)12. （10分） (2017高二上·四川期中) 已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．13. （10分） (2017高二上·莆田月考) 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“ 且”是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.14. （5分） (2017高二下·长春期末) 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、。

§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

1.2.2 充要条件一、选择题1．“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x (y －2)＝0，则x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，反之， 若x 2＋(y －2)2＝0，则x ＝0且y ＝2，一定有x (y －2)＝0，因此，“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A. 答案：A2．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＝1时，y ＝x1－4＋5＝x 2，是二次函数；反之，若y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数，则m 2－4m ＋5＝2，即m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝1或m ＝3，因此，“m ＝1”是“y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0D ．b <0解析：由于函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝－b2，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－b2≤0，即b ≥0，故选A.答案：A4．方程“ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实根”的充要条件是( ) A ．－1≤a <0 B ．a >－1C ．a ≥－1D ．－1≤a <0或a >0解析：a ＝0时，方程ax 2＋2x －1＝0有一正根，排除A 、D 两项；a ＝－1时，方程化为x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，x ＝1>0. 答案：C 二、填空题5．不等式x 2－3x ＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x 2－3x ＋2<0⇔(x －1)(x －2)<0⇔1<x <2. 答案：1<x <26．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或47．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．至少有一个负实根的充要条件．a <0； 则必须满足⎩⎪⎨－1a <0，Δ＝1－4a ≥0，⇒0<a ≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14.反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(充分性)当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，且n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p (p ≠0且p ≠1)，即{a n }为等比数列．(必要性)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0且p ≠1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，又{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p ，故p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，求得q ＝－1.综上可知，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．。

2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件优化练习新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件优化练习新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1.2 充分条件与必要条件［课时作业］[A组基础巩固］1．设a,b∈R，那么“错误!>1”是“a>b〉0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由错误!〉1得，错误!－1＝错误!〉0,即b(a－b）〉0，得错误!或错误!，即a>b>0或a<b<0,所以“ab〉1"是“a〉b>0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．“θ≠错误!"是“cos θ≠错误!”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“θ≠π3”是“cos θ≠错误!”的逆否命题：“cos θ＝错误!”是“θ＝错误!”的必要不充分条件，选B.答案：B3．命题p：错误!〉0;命题q：y＝a x是R上的增函数，则p是q成立的( ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:由错误!〉0得a〉1或a〈0；由y＝a x是R上的增函数得a>1。

因此，p是q成立的必要不充分条件，选A。

高中数学第一章常用逻辑用语１.２充分条件与必要条件素材新人教A版选修2－1编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第一章常用逻辑用语１．2 充分条件与必要条件素材新人教Ａ版选修2-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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12充分条件与必要条件判断下列命题的真假：（1）若ab x b a x2,22>+>则（2）若0,0==a ab 则如何理解(1)（2)命题的真假？导出概念:(一）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .我们就说:由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。

（二）一般地，如果既有p q ⇒,又有p q ⇒,就记作:q p ⇔此时,我们说,q p 是的充分必要条件，简称充要条件.课堂小结：判断命题中p 是ｑ的什么条件时，关键是判断p 与q 的关系,即：（1)如果p q ⇒， 但p q ≠>，称q p 是的充分不必要条件； 如果q p ≠>，但p q ⇒，称q p 是的必要不充分条件； （2）如果p q ⇒，又有p q ⇒，那么q p 是的充要条件，q 也是p 的充要条件.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展,这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了,但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候,阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。

1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件自主预习·探新知情景引入古代有一次考画师的题目是“深山藏古寺”，考生的画面上有的是崇山峻岭，松柏深处有座寺庙；有的是山峦之间露出寺庙的一角……而有一个考生的画面上只有起伏的山峦，密密的松林，一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山，却没有寺庙．最后，这幅画被评为第一名．和尚担水上山与深山古寺之间有什么逻辑关系呢？(如果有和尚担水上山，那么山里就有庙……)新知导学1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__p⇒q__，“若p则q”为假，记为__p⇒/q__.2．如果已知p⇒q，则称p是q的__充分条件__，q是p的__必要条件__.3．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的__充要条件__，记为__p⇔q__.4．如果p⇒/q且q⇒/p，则p是q的__既不充分也不必要条件__.5．如果p⇒q且q⇒/p，则称p是q的__充分不必要__条件．6．如果p⇒/q且q⇒p，则称p是q的__必要不充分__条件．预习自测1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( A ) A．－1＜m＜0 B．－4＜m＜2C．m＜1 D．－3＜m＜1[解析] 圆方程整理得(x －1)2＋y 2＝1， 即圆心为(1,0)，半径r ＝1.∵直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同交点，∴直线与圆相交，∴|1＋m |2＜1，即|m ＋1|＜2，解得－2－1＜m ＜2－1.故结合选项得直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是－1＜m ＜0，故选A ．2．(2020·天津卷，2)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a 2>a 得a >1或a <0，反之，由a >1得a 2>a ，则“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选A ．3．(2019·浙江卷，5)若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵ a >0，b >0，若a ＋b ≤4，∴ 2ab ≤ a ＋b ≤4. ∴ ab ≤4，此时充分性成立．当a >0，b >0，ab ≤4时，令a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5>4， 这与a ＋b ≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a >0，b >0时，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A ． 4．设点P (x ，y )，则“x ＝－3，y ＝1”是“点P 在直线l ：x －y ＋4＝0上”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x ＝－3，y ＝1⇒x －y ＋4＝0成立，而由x －y ＋4＝0⇒/x ＝－3，y ＝1成立，故选A ．5．已知p ：1－x ＜0，q ：x ＞a .若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__a ＜1__.[解析] p ：x ＞1，q ：x ＞a ，∵p 是q 的充分不必要条件．∴a ＜1.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶充分条件的判断典例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若x >1，则－3x <－3； (2)若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0； (3)若f (x )＝－x3，则f (x )为减函数；(4)若x 为无理数，则x 2为无理数； (5)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.[思路分析] 判断命题“若p ，则q ”的真假，从而判定p 是否是q 的充分条件． [解析] 由定义知：若p ⇒q (即原命题为真时)，则p 是q 的充分条件．易知(1)(2)(3)是真命题；当x ＝2时，x 2＝2，所以(4)是假命题；当l 1∥l 2时，可能斜率都不存在，故(5)为假命题．即命题(1)(2)(3)中的p 是q 的充分条件．『规律方法』 1.判断p 是q 的充分条件，就是判断命题“若p ，则q ”为真命题． 2．p 是q 的充分条件说明：有了条件p 成立，就一定能得出结论q 成立．但条件p 不成立时，结论q 未必不成立．例如，当x ＝2时，x 2＝4成立，但当x ≠2时，x 2＝4也可能成立，即当x ＝－2时，x 2＝4也可以成立，所以“x ＝2”是“x 2＝4”成立的充分条件，“x ＝－2”也是“x 2＝4”成立的充分条件．┃┃跟踪练习1__■下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( B ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0B ．1C．2 D．3[解析]①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．命题方向❷必要条件典例2 下列命题中是真命题的是( D )①“x>3”是“x>4”的必要条件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件；④“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．A．①②B．②③C．②④D．①④[思路分析]根据必要条件的定义进行判断．[解析]x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒/x＝1，故②是假命题；a＝0⇒ab＝0，ab＝0⇒/a＝0，故③是假命题；函数f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒/函数f(x)为奇函数，函数f(x)为奇函数⇒函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故④是真命题，∴选D．『规律方法』 1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立；2．p是q的必要条件理解要点：①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q⇒p成立，所以p是q的必要条件．因此只有一个命题“若p，则q”是真命题时，才能说p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．推出符号“⇒”只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p⇒q”．┃┃跟踪练习2__■函数f(x)＝a－22x＋1为奇函数的必要条件是__a＝1__.[解析]∵函数f(x)＝a－22x＋1为奇函数，定义域为R.∴f(0)＝0，即a－220＋1＝0，解得a＝1.命题方向❸充要条件典例3 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( A ) A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1[解析]∵f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为x＝－m2，∴－m2＝1，∴m＝－2，故选A．『规律方法』 1.充要条件一般地，如果有p⇒q，那么p是q的充分条件；如果还有q⇒p，那么p又是q的必要条件，则称p是q的充要条件．显然p和q能互相推出，所以q也是p的充要条件．记为：p⇔q(“⇔”表示p与q等价)．2．充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：条件p与结论q关系结论p⇒q，但q⇒/p p是q成立的充分不必要条件q⇒p，但p⇒/q p是q成立的必要不充分条件p⇒q，q⇒p，即p⇔q p是q成立的充要条件p⇒/q，q⇒/p p是q成立的既不充分也不必要条件┃┃跟踪练习3__(1)设a、b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( D )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D．(2)(2019·全国Ⅱ卷文，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[解析]若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之亦成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B．命题方向❹充要条件的证明典例4 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c ＝0.[思路分析]第一步，审题，分清条件与结论：“p是q的充要条件”中p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”中，p是结论，q是条件．本题中条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．第二步，建联系确定解题步骤．分别证明“充分性”与“必要性”先证充分性：“条件⇒结论”；再证必要性：“结论⇒条件”．第三步，规范解答．[解析]必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x －1)(ax＋a＋b)＝0.因此，方程有一个根为x＝1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.┃┃跟踪练习4__■已知ab≠0，证明：a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[解析]充分性：若a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，则(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a ＋b －1)[(a －b 2)2＋34b 2]＝0，由ab ≠0，得a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1，充分性得证． 必要性：若a ＋b ＝1，则由以上对充分性的证明知a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0， 故必要性得证．综上可知，a ＋b ＝1成立的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.学科核心素养求参数的值或取值范围的关键先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．典例5 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．『规律方法』 先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．注意：把充分条件或必要条件转化为集合间的关系后，集合端点处的等号易错． ┃┃跟踪练习5__■设集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝3－xx －22}，则A ⊆A ∩B 的充要条件为__a ≤9__；A ⊆A ∩B 的一个充分不必要条件可为__6≤a ≤9__(答案不惟一)．[解析] A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B ，B ＝{x |3≤x ≤22}．若A ＝∅，则2a ＋1>3a －5，解得a <6；若A ≠∅，则A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥3，3a －5≤22，3a －5≥2a ＋1，解得6≤a ≤9.综上可知，A ⊆A ∩B 的充要条件为a ≤9；A⊆A ∩B 的一个充分不必要条件可为6≤a ≤9.易混易错警示 忽视隐含条件致误典例6 在△ABC 中，A 、B 、C 分别为三角形三边所对的角，则“A >B ”是“sin A >sinB ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[错解] A >B ⇒/sin A >sin B ，如：A ＝150°，B ＝60°；sin A >sin B ⇒/A >B ，如：sin 45°>sin 150°⇒/45°>120°，故选D ．[错解分析] 错解的原因是忽视了A 、B 是△ABC 的内角这一条件.[正解] C 在△ABC 中，设角A 、B 所对的边分别为a 、b ，则A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sinB (其中R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A >sin B ，故选C ．。