高一数学新教材知识讲学 数学 必修1专题07 函数的概念及表示(知识精讲)(解析版)

函数的概念及表示知识精讲一知识结构图二.学法指导1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．3．函数求值的方法（1）已知f x的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f a的值.（2）求f g a的值应遵循由里往外的原则.4.对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．5.函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.6.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．7.求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.8.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．9．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内三.知识点贯通知识点1 函数的概念1.定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

2.三要素：对应关系，定义域，值域。

例1.下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝x2－1 x－1B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2【答案】B【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.知识点二函数的定义域1.求函数定义域的常用方法：1若f x是分式，则应考虑使分母不为零.2若f x是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若f x是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若f x是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若f x是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.例题2：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.【答案】(1){x|x≠2} (2){x|x>－1且x≠1} (3){x|1≤x≤3}(4){x|x≤1且x≠－1}【解析】(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数f (x )＝2＋3x －2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}． (3)函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．知识点三 求函数的解析式1.求函数解析式的四种常用方法1待定系数法：若已知fx 的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.2换元法：设t ＝g x ，解出x ，代入f gx，求ft的解析式即可. 3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示出来，再用x 代替两边所有的“gx ”即可.4方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.例题3 .(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________. 【答案】(1)f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)f (x )＝23x －1【解析】(1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)2x ＋83或－2x －8 (3)23x －1 [(1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8， 即⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－8. 所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎨⎧f x －2f －x ＝1＋2x ，f－x －2fx ＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.]知识点四 分段函数的求值问题1.如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．例题4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．【解析】(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32， 而－2<－32<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去． 当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0， 解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2. 五 易错点分析易错一 函数的定义域例题5.将函数y ＝31－1－x 的定义域用区间表示为________．【答案】(－∞，0)∪(0,1]【解析】由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，函数的定义域用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．． 误区警示求函数的定义域应使得解析式有意义，式子有意义的几条准则应考虑全面。

PAtR的T变化1 范函围数是的数集概A念={t|0≤t≤24}，
问 你题认I对 都的为2有于变这唯A如化中里一图范的的确，围任空定是是一气的北数时质I京集和刻量市它Bt指，=2对0{数按I1应|60I照年<是。I曲1<时11线月5刻0所2}t3的。给日函的的数对空吗应气？关质系量，指在数B变中化图。
{x|a≤x<b}
半开半闭 区间
[a，b)
ab
{x|a<x≤b}
半开半闭 区间
(a，b]
ab
PART 4 区间
2.无穷概念及无穷区间表示
“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”， “+∞”读作“正无穷大”。
定义
R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
x 1
题型五 求函数值
1.已知 f (x) 1 (x R, x 2)，g ( x) x 4( x R)
2x
(1)求f(1)，g(1)，g(f(1))的值
1；5；5
(2)求f(2x＋1) f (2x 1) 1
1 2x
(3)求f(g(x)) f (g(x)) 1
x2
由内到外
题型五 求函数值
PART 1 函数的概念
问题yA的=3{取2国0值0际6范,上20围常07是用,2数0恩0集8格,2尔00系9,2数01r0,(2r011食,总2物0支1支2出,出2总0总1额3额,201140,02%0)15}， 反映r的一取个值地范区围人是民数生集活B质={量r|0的<r高≤1低}。，恩格尔系数越低，生活质量 越高对。于下A中表的是任我一国年某份省y城，镇按居照民表恩格格中尔的系对数应变关化系情，况在，B中你都认为该 表给有出唯的一对确应定关的系r和，它恩对格应尔。系数r是年份y的函数吗？

高一数学一函数知识点数学作为一门重要的学科，占据着教育体系中不可或缺的一席之地。

而高一数学中的函数则是数学学科中的一个重要知识点。

通过对函数的学习，可以帮助学生建立起数学思维的逻辑框架，培养他们的推理能力和问题解决能力。

今天我将结合高一数学一中的函数知识点，为大家进行详细讲解。

一、函数的基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种特殊的关系，即输入和输出之间的对应关系。

函数通常用字母表示，并以输入和输出的自变量、函数值为要素。

我们可以用一个简单的方程来表示一个函数，例如：y = f(x)。

其中，y表示函数的值，x表示自变量，f(x)表示函数的表达式。

在函数中，输入x的取值范围叫做定义域，输出y的取值范围叫做值域。

二、函数的分类根据函数的性质和特点，我们可以把函数分为多种不同的类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

这些函数在数学中都有着重要的应用。

1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数类型，它的图像是一条直线。

线性函数的表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是截距。

通过研究线性函数，我们可以学习到直线的性质，例如斜率和截距对图像的影响。

2. 二次函数：二次函数是一种常见的函数类型，它的图像是一个抛物线。

二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a不等于0。

通过研究二次函数，我们可以学习到抛物线的性质，例如顶点坐标和对称轴。

3. 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数类型。

指数函数的表达式为y = a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。

对数函数的表达式为y = loga x，其中a是大于0且不等于1的常数。

指数函数和对数函数在科学和工程领域有着广泛的应用，例如在计算复利、解决指数方程等方面。

三、函数的性质除了了解函数的类型之外，我们还需要掌握函数的一些重要性质。

这些性质可以帮助我们更好地理解和应用函数。

高一数学必修1函数知识点总结在高一数学学习中，函数是一个非常重要的概念。

函数概念的引入更好地揭示了数学的内在联系和规律。

在这篇文章中，我将总结高一数学必修1中与函数相关的知识点，包括函数的定义、函数的性质以及常见的函数类型。

一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，是两个集合之间的一种对应关系。

对于集合A和B，如果每一个元素a ∈ A都对应一个元素b ∈ B，且每一个元素a在A中都只有一个对应的元素b，在B中也只有一个对应的元素a，则称函数f为从A到B的映射。

函数的定义可以表示为f: A→B，其中A为定义域，B为值域。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有满足函数定义的自变量的取值范围；值域则是函数对应的因变量的所有可能取值。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数的变化趋势。

若对于A中的任意两个元素a1和a2，若a1 < a2，则有f(a1) ≤ f(a2)，此时函数为单调递增函数；若f(a1) ≥ f(a2)，则函数为单调递减函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的公式或图像来确定。

若对于函数中的任意一个元素x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的任意一个元素x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

4. 对称轴与原点对称性：与偶函数相关的对称轴为y轴，函数图像关于y轴对称；与奇函数相关的对称轴为原点，函数图像关于原点对称。

5. 零点：函数的零点是指函数取零值的自变量值。

三、常见的函数类型1. 一次函数：一次函数的普通形式为y = kx + b，其中k和b为常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，其斜率k表示了函数的变化速率，截距b表示了函数的位置。

2. 二次函数：二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。

3. 幂函数：幂函数的形式为y = x^a，其中a为常数。