高一数学必修一函数及其表 示-函数的概念

1.2函数及其表示

§1.2.1函数的概念

【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数，并将自变量取值的集合叫做函数的定义域，和自变量的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

〖提问〗问题1：=1（∈）是函数吗？

问题2：=与=是同一函数吗？

〖投影〗观察对应：〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念（一）函数与映射

〖投影〗函数：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，

使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作=，∈A。

其中叫自变量，的取值范围A叫做函数=的定义域；与的值相对应的的

值叫做函数值，函数值的集合{|∈A}，叫做函数=的值域。

函数符号=表示“是的函数”，有时简记作函数。

函数的三要素：对应法则、定义域A、值域{|∈A}

注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映射.如果集合中的元素对应集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集合中元素叫合中的元素的象.映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.

映射函数

集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集

对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应

对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应

函数是特殊的映射,映射是函数的推广.〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应：A→B。这

里A，B为非空的数集。

（2）A：定义域，原象的集合；{|∈A}：值域，象的集合，其中

{|∈A}B；：对应法则，∈A，∈B

（3）函数符号：=，是的函数，简记〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：

1、一次函数=＋(≠0)：定义域，值域

2、反比例函数=(≠0)：定义域{|≠0}，值域{y | y≠0}

3、二次函数=2＋＋(≠0)：定义域，值域：当＞0时，｛|≥｝；当＜0时，

｛|≤｝。

（三）函数的值：关于函数值

例析：若=2＋3＋1，求。

解：=22＋3×2＋1=11

〖注意〗（1）在=中表示对应法则，不同的函数其含义不一样；

（2）不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；

（3）与是不同的，前者为变数，后者为常数，是的一个特殊值。

（四）区间的概念

〖投影〗设、是两个实数，而且＜，我们规定：

（1）满足不等式≤≤的实数的集合叫做闭区间，表示为[,]；

（2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为（,）；

（3）满足不等式≤＜或者＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，表示

为、；

（4）实数集可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式≥，＞，≤，

＜的实数的集合可以分别表示为[,＋∞，（,＋∞），（－∞,，（－

∞,）。

〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两

个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如≤≤。

三、实例提升

〖例析〗例1、设集合M={|0≤≤2}，N={|0≤≤2}，从M到N有4种对应如下

图所示：

其中能表示为M到N的函数关系的有 ② ③ 。

〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M到N的

函数关系。

〖例析〗例2、求下列函数的定义域：

①； ②=； ③=＋〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析

式=，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式

子有意义的实数的集合。

解：①∵－2=0，即=2时，分式无意义，

而≠2时，分式有意义

∴这个函数的定义域是{|≠2}。

②∵3＋2<0，即＜时，根式无意义

而3＋2≥0，即≥时，根式才有意义

∴这个函数的定义域是{|≥}。

③∵当＋1≥0且2－≠0，

即≥－1且≠2时，根式和分式同时有意义∴这个函数的定义域是{|≥－1且≠2}另解：要使函数有意义，必须：＋1≥0且2－≠0≥－1且≠2 ∴这个函数的定义域是：{|≥－1且≠2}〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。

求函数的定义域的常见类型：

（1）当为整式时，定义域为；

（2）当为分式时，定义域为使分母不为0的的集合；

（3）当为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的的集

合；

（4）当是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的的取

值的集合。

〖例析〗例3、已知函数=32－5＋2，求，，。

〖解析〗解：(3)=3×32－5×3＋2=14；

=3×(－)2－5×(－)＋2=8＋5；

=3(＋1)2－5(＋1)+2=32＋。

〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数？

（1）； （2）； （3）〖解析〗解：（1）=，≥0，≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；

（2）=，∈，∈，定义域值域都相同，是同一个函数；

（3）=||=，≥0；值域不同，不是同一个函数。

〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1） （定义域不同）

（2） （定义域不同）

（3） （定义域、值域都不同）

〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

四、演练反馈

1、函数的定义域是（ ）

A． B． C． D．

2、下列各组，函数与表示同一个函数的是（ ）

A．=1，=0 B．=0 ，=

C．=2， = D．=3，=

3、已知函数=2－3，求：

（1），，；

（2）；

（3）若∈{0，1，2，3}，求函数的值域。4、若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个

演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）=－3，=1，=7； （2）=4－9；

（3）值域为{－3，－1，1，3}

4、81,64,81五、课堂小结

本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应：A→B，其中

集合A，B必须是非空的数集；表示是的函数；函数的三要素是定义

域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；

判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函

数；表示在=时的函数值，是常量；而是的函数，通常是变量。【教后札记】

本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概

念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定

义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函

数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重

新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它

的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值

域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充

分理解函数的概念。〖板书〗函数的概念（一）函数与映射

函数的三要素：对应法则、定义域A、值域{|∈A}

注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。（二）已学函数的定义域和值域：

1、一次函数=＋(≠0)：定义域，值域

2、反比例函数=(≠0)：定义域{|≠0}，值域{y | y≠0}

3、二次函数=2＋＋(≠0)：定义域，值域：当＞0时，｛|≥｝；当＜0时，

｛|≤｝。

〖板书〗（三）函数的值：关于函数值

例析：若=2＋3＋1，求。

解：=22＋3×2＋1=11

〖板书〗（四）区间的概念

（1）满足不等式≤≤的实数的集合叫做闭区间，表示为[,]；

（2）满足不等式＜＜的实数的集合叫做开区间，表示为（,）；

（3）满足不等式≤＜或者＜≤的实数的集合叫做半开半闭区间，表示

为、；

（4）实数集可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式≥，＞，≤，

＜的实数的集合可以分别表示为[,＋∞，（,＋∞），（－∞,，（－

∞,）。