2020高一数学必修一：函数的概念及其表示(1对1讲义)
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2020高一数学必修一：函数的概念及其表示(1对1讲义)
函数的概念及其表示
函数是数学中的重要概念，它用于描述两个非空数集之间的对应关系。具体来说，设A和B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，其中x∈A。此外，函数还有定义域、值域和对应关系这三要素。其中，x的取值范围A称为函数的定义域，与x的值相对应的y值称为函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域，显然，值域是集合B的子集。如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法。此外，映射也是一个重要的概念，它描述了两个非空集合之间的对应关系。具体来说，设A和B是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。
分段函数是一种特殊的函数，它在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系。尽管分段函数由几部分组成，但它表示的是一个函数。
区间是数学中一个重要的概念，它用于描述实数的取值范围。区间有开区间、闭区间、半开半闭区间和无穷区间等多种类型。其中，满足不等式a≤x≤b的实数的x集合叫做闭区间，表示为[ a。b ]；满足不等式a 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，其中“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。同时，可以把满足x≥a、x>a、x≤b、x 例1、能表示集合M到集合N的函数关系的图形是从M到N的单调递增的直线。 例2、函数y=x与y=x是同一个函数。 例3、表示同一个函数的函数f(x)与g(x)为f(x)=x，g(x)=x。 例4、(1) f()=-3，f(2)=1，f(5)=7；(2) f[f(x)]=2(2x-3)-3=4x-9；(3) 函数的值域为(-∞,+∞)。 例5、a+b=0，即a=-b。 例题精讲部分结束。 例1、求下列函数的定义域： ①f(x)=x+1/x-1，x≠1，定义域为R-{1}； ②f(x)=1/(1+x)+1/(1-x)，x≠1,-1，定义域为(-1,1)∪(1,+∞)∪(-∞,-1)； ③f(x)=1/(4-x)-1/(x-1)，x∈(-∞,1)∪(4,+∞)，定义域为(-∞,1)∪(4,+∞)； ④f(x)=x/(x-1),x≠1，定义域为R-{1}； ⑤y=x-2+3/(x+3)，x≠-3，定义域为R-{-3}。 例2、若函数y=ax^2-ax+1的定义域是R，a的取值范围为a≠0. 例3、已知f(x)的定义域为[-1,1]，则f(2x-1)的定义域为[0,1]。 例4、已知f(2x-1)的定义域为[0,1]，则f(x)的定义域为[1,2]。 例5、若函数y=f(x)的定义域为[-1,1]，则函数y=f(x+)·f(x-)的定义域为(-1,1)。 求函数的定义域是指确定函数的自变量x的取值范围，常见的有以下几种情况： ①如果函数f(x)是一个整式，则函数的定义域是实数集R。 ②如果函数f(x)是一个分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集。 ③如果函数f(x)是一个二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合。 ④如果函数f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。 ⑤如果函数f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题。 求函数的值域是指确定函数的因变量y的取值范围，其类型依解析式的特点分可分三类： ①直接法：利用常见函数的值域来求，例如一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R；反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b)/4a}，当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b)/4a}。 ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值。常转化为型如f(x)=ax^2+bx+c,x∈(m,n)的形式。 ③分式转化法（或改为“分离常数法”）。 ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想。 ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域。 ⑥基本不等式法：转化成型如y=x+k(k>0)，利用平均值不等式公式来求值域。 ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 ⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。常用来解，型如y=f(x)的函数。 例如： 例1、求函数y=x+2/(1-x)的值域。 例2、求函数y=x-3+5/(1-x)的值域。 例3、求函数y=x-3-x+1的值域。 例4、求函数y=13x/(3x+1)的值域。 例5、求函数y=3+1/(x-1)/(x+2)的值域。 例6、求函数y=(2x+1)/(x+1)的值域。 例7、求函数y=5/(2x^2-4x+3)的值域。 例8、求函数y=x+1/(x^2+2x+2)的值域。 求函数y=x+1的值域，其中x。-1. 例1：已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x^2，求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]。 解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15 f[g(x)]=4g(x)+3=4x^2+3 g[f(x)]=f(x)^2=x^2+8x+9 g[g(x)]=g(x)^2=x^4 例2：若f(x+1)=x+2x，求f(x)。 解：将x+1代入f(x+1)得f(x+1)=2x+3，即f(x)=2(x-1)+3=2x+1. 例3：(1)已知f(x+2)=(x+2)^2/2，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)。 解：(1)将x+2替换为x，得f(x)=(x^2-2x+2)/2. 2)由f(x)是二次函数可知f(x)=ax^2+bx+c，代入f(0)=1得c=1，代入f(x+1)=f(x)+x+1得a=1/2，b=1/2.因此f(x)=1/2x^2+1/2x+1. 例4：已知f(x)满足2f(x)+f(1)=3x，求f(x)。 解：将x=1代入得2f(1)+f(1)=3，得f(1)=3/3=1.将f(1)代入得f(x)=(3x-1)/2. 课堂练： 1.下列函数中，与函数y=x/3定义域相同的函数为（）。 A。y=lnx B。y=sinx/x C。y=xex D。y=sinxx 答案：B 2.已知f(x)的定义域为[-1,1]，求f(x^2)的定义域。 解：x^2在[0,1]中，因此f(x^2)的定义域为[0,1]。 3.已知f(3x-1)的定义域为[-1,2)，求f(2x+1)的定义域。 解：令3x-1=t，得f(t)的定义域为[-1,2)。令2x+1=t，得x=(t-1)/2，因此f(2x+1)的定义域为[-1,3)。 4.求下列函数的值域： 1) y=-x^2+4x-2，x∈[0,3)； 2) y=x^2/(2x+1)； 3) y=x-2x+1. 解：(1) 完成平方得y=-(x-2)^2+2，因此值域为(-∞,2]。 2) 分母不为0，因此值域为(-∞,∞)。 3) 化简得y=-x^2+1，因此值域为(-∞,1]。 5.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(x)=（）。 A。x-1 B。x+1 C。2x+1 D。3x+3 解：将x替换为-x得2f(-x)-f(x)=-3x+1，两式相加得f(x)=x+1. 6.已知f(x)=x^2+px+q满足f(1)=f(2)=3，则f(-1)=（）。 解：由f(1)=1+p+q，f(2)=4+2p+q，解得p=3，q=-5.因此f(-1)=1-3-5=-7. 7.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1. 1) 求f(x)的解析式； 2) 解不等式f(x)>2x+5.
