2015-2016学年高中数学 2.1从平面向量到空间向量练习 北师大版选修2-1

鑫达捷从平面向量到空间向量 同步练习【选择题】1、下列说法中正确说法的个数是( ) ①空间向量不在任一个平面内 ②空间向量可用有向线段来表示 ③空间向量与起点无关 ④两个空间向量一定共面A 、1B 、2C 、3D 、42、两空间向量形成的夹角的范围是 ( )A 、)2,0(πB 、]2,0[πC 、),0(πD 、],0[π3、下列说法中正确说法的个数是( ) ①单位向量都相等②相反向量有相同的模③直线l 的方向向量必然在直线l 上④一组共面向量最终可以平移到同一个平面内 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【填空题】4、空间向量是在空间中既有____________又有______________的量.5、长度相等且方向相同的向量叫______________6、空间向量的大小也叫作_________________7、可记作垂直与向量向量,b a __________，可记作平行与向量向量,b a __________ 【解答题】.)2(.)1(,8平行的向量求与向量相等的向量求与向量中在正方体AE AE D C B A ABCD 、''''-(注：从已标出的实线与虚线来找这些向量.).)2(.)1(,,9平行的向量求与向量模相等的向量至少写出三个与向量边上的中点与分别为中在正方体B B A A F E D C B A ABCD 、''''''-A C ′C鑫达捷参考答案1、C2、D3、B4、大小 方向5、相等向量6、空间向量的模或长度7、⊥ //8、(1),,,,,,,BE EB DE ED CE EC EA (2) ,,,,,CA AC CE EC EA 9、(1),,,E B F A AF '' (2) ,,,A F F A BE '。

课时作业5 从平面向量到空间向量时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列说法中正确的是( D )A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量AB →和CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线 C ．在空间中，任意两个单位向量都相等 D ．零向量与任意向量平行解析：A 项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同；B 项错，若AB →和CD →共线，则AB →和CD →的基线平行或重合，所以A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上；C 项错，单位向量的模相等，但方向不一定相同；D 显然正确．2．对于空间任意两个非零向量a ，b ，a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：显然，〈a ，b 〉＝0⇒a ∥b .a ∥b 包括向量a ，b 同向共线和反向共线两种情形(即当a ∥b 时，〈a ，b 〉＝0或π)，因此a ∥b ⇒〈a ，b 〉＝0.故a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的必要不充分条件．3．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是( C ) A.AA 1→是平面ABCD 的法向量 B.AD 1→＝C 1B → C ．〈AB →，C 1D 1→〉＝π D.AD →与B 1C 1→不是共面向量解析：AB ∥C 1D 1，且向量AB →与向量C 1D 1→方向相反，∴〈AB →，C 1D 1→〉＝π. 4．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 为( B ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定解析：若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC →|＝|BD →|，即AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形．5．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么与直线AM 垂直的向量有( D ) →B ．BC 1→D.B 1C 1→解析：由于所求的是向量，所以首先排除B ，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D 项正确．6．在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→是( C ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量D ．不共面向量解析：先画出平行六面体的图像(图略)，可看出向量D 1A →、D 1C →在平面ACD 1上，由于向量A 1C 1→平行于AC →，所以向量A 1C 1→经过平移可以移到平面ACD 1上，因此向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→为共面向量．7．空间中，起点相同的所有单位向量的终点构成的图形是( D ) A ．圆 B ．球 C ．正方形D ．球面解析：根据模的概念知终点在以起点为球心，半径为1的球面上．8．已知正方形ABCD 的边长为4，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则向量AG →的模为( A ) A ．6 B ．9 C ．4 2D ．5解析：GC ⊥平面ABCD ，所以GC ⊥AC .在Rt △GAC 中，AC ＝42，GC ＝2，所以AG ＝AC 2＋GC 2＝6，即|AG →|＝6.二、填空题9．如图所示，a ，b 是两个空间向量，则AC →与A ′C ′→是相等向量，AB →与B ′A ′→是相反向量．解析：AB →＝A ′B ′→＝a ，AC →＝A ′C ′→＝b ，∴ABC ­A ′B ′C ′为三棱柱． ∴AB →＝－B ′A ′→.10．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以A 1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量BC 1→垂直的向量有A 1B 1→，A 1D →.解析：A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1B 1→⊥BC 1→；A 1D ⊥AD 1，而AD 1∥BC 1，∴A 1D →⊥BC 1→.11．如图，在正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1分别是对角线AC ，A 1C 1的中点，则〈AO →，OC →〉＝0°，〈AO →，O 1C 1→〉＝0°，〈OO 1→，A 1B 1→〉＝90°.解析：由题意得AO →，OC →方向相同，是在同一条直线AC 上，故〈AO →，OC →〉＝0°；O 1C 1→可平移到直线AC 上，与OC →重合，故〈AO →，O 1C 1→〉＝0°；由题意知OO 1是正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1的高，故OO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以OO 1⊥A 1B 1，故〈OO 1→，A 1B 1→〉＝90°.三、解答题12．一飞机从地面以45°倾角斜着升空，再水平向东飞行一段距离后，然后又水平向正北方向飞行，这样三次移动AB →、BC →、CD →是三个空间向量．问：(1)三个向量哪个与水平面平行？(2)〈AB →，BC →〉、〈BC →，CD →〉和〈AB →，CD →〉的值是多少？解：应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，如图．由图可知向量AB →与BC →在同一平面内，并且向量CD →垂直于这个平面．(1)飞机水平飞行时所经过的路线与水平面平行，因而三个向量中BC →和CD →平行于水平面α.(2)由于向量AB →与BC →在同一平面内，设为平面β，又由于CD →为正北方向，所以CD →垂直于平面β，即BC →⊥CD →和AB →⊥CD →.因为AB →与水平面的夹角为45°，所以得：〈AB →，BC →〉＝45°，〈BC →，CD →〉＝90°，〈AB →，CD →〉＝90°.13．如图所示，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的八个顶点为始点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量． (3)试写出与向量AB →相等的所有向量． (4)试写出向量AA 1→的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→、A 1A →、BB 1→、B 1B →、CC 1→、C 1C →、DD 1→、D 1D →都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→、D 1A →、A 1D →、DA 1→、BC 1→、C 1B →、B 1C →、CB 1→，共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→、DC →及D 1C 1→，共3个． (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →.——能力提升类——14．如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( B )A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC .又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .综上，〈PA →，AB →〉，〈PA →，BC →〉，〈PA →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°.15．如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中：(1)求〈AB →，AA 1→〉，〈AC →，A 1C 1→〉，〈AA 1→，C 1C →〉； (2)若AB ＝1，AC ＝1，BC ＝2，求〈AB →，C 1A 1→〉．解：(1)由向量夹角的定义及直三棱柱的性质可得〈AB →，AA 1→〉＝90°，〈AC →，A 1C 1→〉＝0°，〈AA 1→，C 1C →〉＝180°.(2)在△ABC 中，由勾股定理得∠BAC ＝90°. ∵C 1A 1→＝CA →，∴〈AB →，C 1A 1→〉＝〈AB →，CA →〉＝90°.。

2.1 从平面向量到空间向量[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量模的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B 不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D 正确．2.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( ) A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →解析：选D.因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以DO →＝OB →，AD →＝BC →，OA →＝CO →.3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定解析：选B.若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即AC ＝BD ， 所以四边形ABCD 为矩形．4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，则a ∥b解析：选D.依据平面向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．由立体几何知识可得a ，b 不一定平行．5.在正四面体A -BCD 中，如图，〈AB →，DA →〉等于( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →〉＝120°，故选D.6．在正四面体A -BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则AO →是平面BCD 的一个________向量．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD ，所以OA →是平面BCD 的一个法向量． 答案：法7.如图在平行六面体AG 中，①AH →与BG →；②AG →与EG →；③BH →与DF →；④AC →与HF →，四对向量中不是共线向量的序号为________．解析：因为AH →＝BG →，所以AH →与BG →共线，其他三对均不共线． 答案：②③④8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝________；〈AB →，C 1D 1→〉＝______；〈BA →，DD 1→〉＝________．解析：在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°；因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°；因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.答案：0° 180° 120°9.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB →相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC →的相反向量；(3)若E 是BB 1的中点，写出与向量AE →平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．10．如图，在三棱锥S ­ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O是BC 的中点，证明：SO →是平面ABC 的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形， 故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC .因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ，所以AO ＝22a .又SO ＝22a ，SA ＝a ，所以△ASO 是等腰直角三角形， 即SO ⊥OA .又OA ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC ，所以SO →是平面ABC 的一个法向量．[B.能力提升]1．空间两向量a ，b 互为相反向量，已知向量|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．|a |＝－|b |C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3解析：选D.a 与b 互为相反向量，即a 与b 方向相反且|a |＝|b |.2．在直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，已知AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，CC ′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．10解析：选C.向量AB →，A ′B ′→，AC ′→，CA ′→及它们的相反向量的模都等于5，共有8个． 3.如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC .又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB .由此知〈PA →，AB →〉，〈PA →，BC →〉，〈PA →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°.答案：54．下列命题中，真命题有________个．①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；②向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；③|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件．解析：对于②，|a |＝|b |，a ∥b 可知，a 和b 有可能为相反向量． 答案：25.如图，AB 是圆O 的直径，直线PA 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．证明：因为AB 是圆O 的直径， 所以AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ， 所以PA ⊥BM . 因为PA ∩AM ＝A ， 所以BM ⊥平面PAM . 又AN 平面PAM ， 所以BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， 所以AN ⊥平面PBM .所以直线AN 的方向向量是平面PMB 的法向量．6．(选做题)如图所示，正四面体A ­BCD 中，E 是AC 的中点，求BE →与CD →的夹角的余弦值．解：过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →的夹角的补角．设正四面体的棱长为1，则BE ＝32，EF ＝12，BF ＝32.由余弦定理得cos ∠BEF ＝|BE |2＋|EF |2－|BF |22|BE ||EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×32×12＝36. 所以BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.。

第二章空间向量与立体几何本章知识要览本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题．主要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础，也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行，夹角的计算和距离的计算．本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断．(1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示，由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、符号三种语言间的联系．(2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转化为平面几何问题的能力．(3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地运用空间向量基本定理进行转化．§1 从平面向量到空间向量知识点一 向量的概念[填一填](1)向量既有大小又有方向的量叫作向量． 在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、力等，这些量不但有大小，而且还具有方向．(2)空间向量在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量．过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA→和OB →，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，规定0≤〈a ，b 〉≤π.[答一答] 1．向量a ，b 的夹角是π2，0或π时，向量a ，b 应具备什么条件？ 提示：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行．2．思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．提示：在空间中，模为1的向量叫单位向量；模为0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．知识点二向量与直线[填一填]→为直线(1)l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称AB→平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直l的方向向量．与AB线的方向向量平行于该直线．(2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．[答一答]讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？提示：不是，只要是平行于直线的非零向量均可成为直线的方向向量，正是由于直线的方向向量的任意性，才可便于选取方向向量，才具有可操作性．知识点三向量与平面[填一填](1)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于该平面．(2)给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a的平面．[答一答]想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？提示：需要有一点和一个非零向量．过这一点且垂直于已知向量就可确定一个平面．1．向量无法比较大小．关于向量的比较，我们只限于研究它们是否相等，而不是研究它们谁大谁小．一般来说，向量不能比较大小．向量的模可以比较大小，应注意a ＝b ⇒|a |＝|b |，但反之不成立．2．(1)〈a ，b 〉表示a 与b 的夹角，书写一定要规范，不能误写为(a ，b )．(2)在图甲中，〈OA →，OB →〉＝∠AOB ，而图乙中，〈AO→，OB →〉＝π－∠AOB .向量夹角与向量大小无关，只与方向有关．3．平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．4．零向量与任意向量共线．5．平面法向量的性质：(1)若直线l ⊥平面α，则所有与直线l 平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行．(2)一个平面的单位法向量只有两个．(3)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，也就是平面的法向量垂直于该平面．题型一 向量的有关概念【例1】 给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AC→和A 1C 1→不但方向相同而且长度相等，故应有AC →＝A 1C 1→，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不对．【答案】 C规律方法 (1)只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就相等，与起点和终点位置无关．(2)熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键．下列命题错误的是( B )A ．空间向量AB→与BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：概念的理解是解决本题的关键．A 选项中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 选项错误；C 选项是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 选项正确．题型二 向量的夹角【例2】 如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，求：(1)〈AB →，A ′B ′→〉，〈AD →，D ′C ′→〉，〈AB →，C ′D ′→〉．(2)〈AD ′→，BC →〉，〈AD ′→，D ′C →〉．【思路探究】 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a ，b 夹角范围是[0，π]．【解】 (1)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ∥A ′B ′，AD ⊥D ′C ′，AB ∥C ′D ′.∴〈AB →，A ′B ′→〉＝0，〈AD →，D ′C ′→〉＝π2，〈AB →，C ′D ′→〉＝π.(2)∵在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ∥BC .∴〈AD ′→，BC →〉＝〈AD ′→，AD →〉＝π4.连接AC ，则△ACD ′为等边三角形．∴〈AD ′→，D ′C →〉＝2π3.规律方法 与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB →，AC →〉＝π4，而〈AB →，CA →〉＝3π4.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB＝60°，则〈AA 1→，CC 1→〉＝0°，〈AB →，C 1D 1→〉＝180°，〈BA →，DD 1→〉＝120°.解析：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→∥CC 1→，且方向相同，所以〈AA 1→，CC 1→〉＝0°.因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1→〉＝180°.因为AA 1→＝DD 1→，所以〈BA →，DD 1→〉＝〈BA →，AA 1→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.题型三 向量与平面【例3】 如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量；(2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量． 【思路探究】 (1)只要作出过F 与DE 平行的直线即可．(2)作出过F 与平面PBC 垂直的直线即可．【解】 (1)如图，连接EF .∵E ，F 分别是PC ，PB 的中点．∴EF 綊12BC .又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD .取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形，∴MF ∥DE .∴FM→就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC .又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD .∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC .又PD ＝CD ，E 为PC 中点，∴DE ⊥PC .从而DE ⊥平面PBC .∴DE→是平面PBC 的一个法向量． 由(1)可知FM→＝ED →， ∴FM→就是平面PBC 的一个法向量． 规律方法 直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，AA 1的中点．(1)分别给出平面ABCD ，平面ADD 1A 1的一个法向量；(2)写出平面AB 1C 1D 的法向量，你能写出几个？(3)图中与向量EF→共线的向量有哪些？ 解：(1)平面ABCD 的法向量可以是：AA 1→，BB 1→，CC 1→，DD 1→或A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →这8个向量中的任意一个．平面ADD 1A 1的法向量可以是：AB →，DC →，A 1B 1→，D 1C 1→或BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→这8个向量中的任意一个．(2)由正方体的性质可知EF ∥CD 1，EF ⊥平面AB 1C 1D ，CD 1⊥平面AB 1C 1D ，平面AB 1C 1D 的法向量可以是：D 1C →，CD 1→，EF →，FE →.(3)题图中与向量EF →共线的向量有：CD 1→，D 1C →，FE →.——易错警示——对向量概念理解的错误【例4】 下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb【误解】 A(或B 或D)【正解】 在选项A 中，若b ＝0，则结论不成立；在选项B 中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D 中，若a ＝b ＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b ＝0，a ≠0，则不存在λ使a ＝λb .【答案】 C下列说法中正确的是( B )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．如果两向量平行，则向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB→＋AD →＝AC → 解析：A 项，|a |＝|b |，只表示a ，b 的长度相同，而方向不确定；C 项，两向量平行，不能说明两向量相等；D 项，在平行四边形中具有该项结论．【例5】 下列命题是真命题的序号是________．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②向量AB →与AC →是共线向量，则A 、B 、C 必在一条直线上． 【误解】 ①②【正解】 命题①为假命题，因为AB→、CD →两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，因为AB→、AC →两个向量所在的直线有公共点A ，所以三点共线．故填②. 【答案】 ②下列命题是真命题的是( D )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．方向相反的向量是相反向量C ．若向量AB→，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → D ．若两个非零向量AB→与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → 解析：A 项向量可以平移到一个平面；B 项方向相反，大小相等的向量为相反向量；C 项，向量不能比较大小.1.AB→＝CD →的一个必要不充分条件是( C )A ．A 与C 重合B ．A 与C 重合，B 与D 重合 C ．|AB→|＝|CD →| D ．A 、B 、C 、D 四点共线解析：向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点位置无关．表示两个共线向量的两个有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．2．在等腰直角三角形ABC 中，角B 为直角，则〈BC →，CA →〉等于( B )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．不确定解析：如图，严格利用向量夹角定义，过空间一点作出两向量，明确夹角．3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，平面ACC 1A 1的法向量是( A ) A.BD → B.BC 1→ C.BD 1→ D.A 1B →解析：由正方体性质可知BD ⊥平面ACC 1A 1，故BD →为其法向量． 4．与向量a 共线的单位向量有2或者无数个．解析：当a 是零向量时，任何单位向量都与之共线；当a 是非零向量时，只有方向相同或者相反的两个单位向量与向量a 共线．5．如图，在长、宽、高分别为AB ＝5，AD ＝3，AA 1＝4的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点中，任选两点作为起点和终点构成一个向量，在这些向量中哪些向量．(1)与向量AD →平行； (2)与向量AB→相反； (3)是平面ABB 1A 1的法向量．解：(1)与向量AD →平行的向量有：BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB→，DA →，共7个． (2)与向量AB →相反的向量有BA →，CD →，B 1A 1→，C 1D 1→，共4个． (3)平面ABB 1A 1的法向量有AD →，BC →，B 1C 1→，A 1D 1→，D 1A 1→，C 1B 1→，CB →，DA→，共8个．。

1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量．即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，共线向量也不是向量必须在同一条直线上．——————————————————————————————————————————————————————————————————————————[A级基础夯实]1．下列说法正确的是()A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小．答案：D2．下列有关空间向量的说法中，正确的是()A．如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等B．如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C．如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量解析：相等向量要求模相等且方向相同，故A和B错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C错误；D显然正确．答案：D3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则FE →与GH →所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：因为FE →与BA 1→同向共线，GH →与BC 1→同向共线，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中△A 1BC 1为等边三角形，所以〈FE →，GH →〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝60°.答案：B4．给出下列命题：①若|a |<|b |，则a <b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若a ∥b ，则a ＝b ；④若|a |＝0，则a ＝0；⑤若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中，正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故①错；若a ＝b ，则a 与b 大小相等，方向相同，故a ∥b ，②正确；若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反，模不一定相等，故③错．④⑤显然正确．答案：②④⑤5．在正四面体A -BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则平面BCD 的一个法向量可以是________．解析：由于A -BCD 是正四面体，易知AO ⊥平面BCD .答案：AO → 6.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB →相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC →的相反向量；(3)若E 是BB 1的中点，举出与向量AE →平行的向量．解析：(1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1→.(2)向量AC →的相反向量有CA →，C 1A 1→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F ，则B 1F →，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．[B 级 能力提升]7．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量解析：依据平面法向量的概念可知A ，B ，C 都是正确的．当a 与b 共线时，n 就不一定是平面α的法向量，故D 错误．答案：D8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长，应用余弦定理可得△BCD 为锐角三角形． 答案：B9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA 1→的模相等的向量(AA 1→本身除外)共有多少个，与向量AA 1→相等的向量(AA 1→本身除外)共有多少个．解析：与AA 1→的模相等的向量有A 1A →，BB 1→，B 1B →，C 1C →，CC 1→，共5个，与AA 1→相等的向量有BB 1→，CC 1→，共2个． 10.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，在以长方体的八个顶点为起点和终点的向量中，。

§1 从平面向量到空间向量基础过关1.下列命题中的假命题是( ) A.任意两个向量都是共面向量B.空间向量的加法运算满足交换律及结合律C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. 答案 D2.在四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，能与向量AA ′→相等的向量有( )A.0个B.3个C.6个D.9个解析 BB ′→＝CC ′→＝DD ′→＝AA ′→.答案 B3.设A.b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解析 a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意. 答案 C4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA →与C 1A 1→是________向量，CB →与B 1C 1→是________向量.解析 因为CA 綉C 1A 1，CB 綉C 1B 1，所以CA →＝C 1A 1→，CB →＝－B 1C 1→. 答案 相等 相反5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是________.解析 易证AD 1⊥平面A 1B 1CD ，C 1B ⊥平面A 1B 1CD . 答案 AD 1→、C 1B →、D 1A →、BC 1→6.如图所示，四棱锥D 1-ABCD 中，AD ＝DD 1，底面ABCD 是正方形，DD 1⊥平面ABCD ，E 是AD 1的中点，求〈AC →，DE →〉. 解 取CD 1的中点F ，连接EF ，DF ，则EF→＝12AC →， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉， ∵AD ＝DD 1＝CD ， 且D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥CD ， ∴DE ＝DF ＝EF ＝22DD 1， ∴△EFD 为正三角形，∠FED ＝π3， ∴〈AC→，DE →〉＝〈EF →，DE →〉＝2π3. 7.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，D 是AB 的中点. (1)求〈AC →，BC 1→〉；(2)试以D 为起点作直线AC 1的方向向量. 解 (1)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 则AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， 又AC ⊥CC 1，BC ∩CC 1＝C ，且BC ，CC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，又BC 1平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥BC 1，∴〈AC →，BC 1→〉＝90°. (2)设BC 1交B 1C 于点O ，连OD ，则OD 綉12AC 1， ∴DO →就是AC 1的一个方向向量，如图所示.能力提升8.已知向量A.b 是两个非零向量，a 0、b 0是与A.b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( ) A.a 0＝b 0 B.a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C.a 0＝1D.|a 0|＝|b 0|解析 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反. 答案 D9.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|BC →|，那么四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.菱形 C.长方形D.正方形解析 若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形.又|AB →|＝|BC →|，则四边形ABCD为菱形，故选B. 答案 B10.下列命题中正确的有________个.①分别取自两条异面直线的两个向量不能转化为相等向量；②空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0；③因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小. 解析 ①③正确，②它们的和应该为零向量. 答案 211.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列结论正确的是________.①AB→＝AC →＋BC →； ②AB→＝－AC →－BC →； ③AC→与BC →同向； ④AC→与CB →同向. 解析 由|AB→|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向.答案 ④12.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，试写出AA 1→的相反向量，与AB →相等的向量及与AC→模相等的向量. 解 由于ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体. 故AA 1→的相反向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 与AB →相等的向量有DC →，A 1B 1→，D 1C 1→. 与AC →模相等的向量有CA →，A 1C 1→，C 1A 1→.13.(选做题)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，AP ＝AC ，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且BC ∥平面ADE .(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)当二面角A－DE－P为直二面角时，求A－BCED与P－AED的体积比. (1)证明∵BC∥平面ADE，BC平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC∥ED，∵PA⊥底面ABC，BC底面ABC，∴PA⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵PA与AC是平面PAC 内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，又BC∥ED，∴DE⊥平面PAC.(2)解由(1)知，DE⊥平面PAC，∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED是△PBC的中位线，AE⊥PC，又PC∩DE＝E，PC.DE平面PCD，∴AE⊥平面PCD，∴V A－BCEDV A－PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝31.。

从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。