2021年山西省高考文科数学压轴题总复习(附答案解析)

高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。

2021年山西省名校高考数学押题试卷（文科）（三模）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,−1,0，1}，B={x|x2+3x−4<0}，则A∩B=()A. {−2,−1,0}B. {−2,−1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0，1}2.已知复数z满足(√3+3i)z=3i，则z=()A. 32−√32i B. 34−√34i C. 32+√32i D. 34+√34i3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是等边三角形，则离心率为()A. √22B. 13C. √33D. 344.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为()A. 6√3πB. 8√3πC. 8πD. 4√2π5.已知△ABC的重心为O，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 23AB−+13AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC−D. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗6.某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如表：第x天12345使用人数(y)151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为ŷ=55x2+m，则据此回归模型相应于点(2,173)的残差为()A. −5B. −6C. 3D. 27.已知a∈R，设函数f(x)=ax−lnx+1的图象在点(1,f(1))处的切线为l，则l过定点()A. (0,2)B. (1,0)C. (1,a+1)D. (e,1)8.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(2π3−x)=f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ=()A. π3 B. −π3 C. π6 D. −π69. 如图，三棱锥P −ABC 的四个面都为直角三角形，PA ⊥平面ABC ，PA =√2，AC =BC =1，三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，现在球O 内任取一点，则该点取自三棱锥P −ABC 内的概率为( )A. √224π B. √216π C. √212π D. √28π10. 已知点A(1,m)，B(2,n)是角α的终边上的两点，若m −n =13，则sin2α−cos 2α1+cos2α的值为( )A. −53B. −56C. −16D. −3211. 已知函数f(x)=cosx −√x,g(x)=lnx ，用max{a,b}表示a ，b 中的最大值，则函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}(x >0)的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ，且U =k 0q 2(1R +1R+x1−x 2−1R+x 1−1R−x 2)，其中k 0为静电常量，x 1，x 2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且x 1⋅x 2的绝对值远小于R.当x 的值接近于0时，在近似计算中(1+x)−1≈1−x +x 2，则U 的近似值为( )A. −2k 0q 2x 1x 2R3 B. −k 0q 2x 1x 2R 3C. k 0q 2x 1x 2R 3D. 2k 0q 2x 1x 2R3 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，若f(m)=4，则m =______．14. 已知圆O 1：x 2+y 2=1和圆O 2：(x −4)2+y 2=4，过点P(x,y)分别作O 1，O 2的切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，且|PA|=|PB|，则动点P 的轨迹方程为______． 15. 《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为______里．16. 高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形ABCD 为等腰梯形，且AB//CD ，BC =CD ，∠ABC =60°，AB 为圆O 的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O 大小确定，OC 最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O 的半径与BC 长度的比值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是递增等比数列，且a 3=4，a 2+a 4=10，S n 为等差数列{b n }的前n项和，且b 1=a 1，S 2=a 2+1． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =4,AA 1=3√2,M,N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点E 在侧棱A 1A 上，且A 1E =2EA ．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求三棱锥C−BEM的体积．19.我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%.新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间(0,25]，(25,50]，(50,75]，(75,100]内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包(每包1kg)，得分数据如图．(1)试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如表所示：等级一级二级三级四级售价(万元/吨) 2.2 1.8 1.6 1.4若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由．20.已知直线l：y=kx+2与抛物线C：x2=2py(p>0)相交于A，B两点，当k=1时，．在C上有且只有三个点到l的距离为5√24(1)求C的方程：(2)若点P在直线y=−2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x0和x0+t(t>0)．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x0(t+2)<2．=1，以坐标原点为极点，x轴的非负22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y29半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ+15=0．(1)求曲线C1的参数方程与C2的直角坐标方程；(2)设点A，B分别为曲线C1与C2上的动点，求|AB|的取值范围．23.已知函数f(x)=|2x−m|+2|x+3m|．(1)若m=1，试求不等式f(x)≤8的解集；2(2)若f(x)≥7恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={−2,−1,0，1}，B={x|x2+3x−4<0}={x|−4<x<1}，∴A∩B={−2,−1,0}．故选：A．求出集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：z=√3+3i =3i(√3−3i)12=√3i+34=34+√34i．故选D．将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式．本题是基础题，注意变形后的化简：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi 的形式．3.【答案】C【解析】解：∵△F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．∴√3×b2a=2c，可得√3(a2−c2)=2ac，化为√3e2+2e−√3=0，0<e<1．解得e=√33．故选：C．△F1AB是等边三角形，由椭圆与等边三角形的对称性可得：AB⊥x轴．√3×b2a=2c，化简解出即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r ，因为圆锥的高为ℎ=2， 体积为13π⋅r 2⋅2=π⋅22⋅2，解得r =2√3； 所以圆锥的母线长为l =√r 2+ℎ2=√12+4=4， 如图所示：所以圆锥侧面积为S 侧=πrl =π×2√3×4=8√3π. 故选：B ．求出圆锥的底面圆半径r 和母线长l ，即可计算圆锥侧面积．本题考查了圆锥的侧面积与体积的计算问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：取AC 中点D ，连接OD ， ∵O △ABC 的重心，∴B 、O 、D 三点共线， 由重心特点得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．由△ABC 的重心为O ，为三条中线交点，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，取AC 中点D ，得BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0A ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )可求解． 本题考查平面向量基本定理、三角形重心，考查数学运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：令t =x 2，则y ̂=55t +m ， 由题意可得，t −=1+4+9+16+255=11，y −=15+173+457+842+13335=564，则样本中心为(11,564)， 故y ̂=55t +m 经过点(11,564)，所以564=55×11+m ，解得m =−41， 则y ̂=55x 2−41，当x =2时，y ̂=55×22−41=179， 所以残差为173−179=−6． 故选：B ．先计算出m 的值，然后求出估计值，最后计算残差即可．本题考查了线性回归方程的理解和应用，残差定义的理解，解题的关键是掌握回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数f(x)=ax −lnx +1的导数为f′(x)=a −1x ， 可得图象在点(1,f(1))处的切线斜率为a −1， 且f(1)=a +1，则切线l 的方程为y −a −1=(a −1)(x −1)， 即ax −(x +y −2)=0， ∴l 过点(0,2)． 故选：A ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再求出f(1)，由点斜式方程可得切线的方程，再结合直线系方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查直线系方程的运用，以及运算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)满足f(2π3−x)=f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=π3对称，结合图象，5π6−π3=12×2πω，∴ω=2．结合五点法作图可得，2×π3+φ=π2，∴φ=−π6，故选：D．由题意可得，函数f(x)的图象关于直线x=π3对称，结合图象，利用由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意知PB的中点是球的球心O，∵AC=BC=1，∴AB=√2，∵PA=√2，∴PB=2，即PO=1，即球的半径R=1，球的体积V=43π×13=4π3，三棱锥P−ABC的体积为13×S△ABC⋅PA=13×12×1×1×√2=√26，则在球O内任取一点，则该点取自三棱锥P−ABC内的概率P=√264π3=√28π，故选：D．根据条件求出球的体积和三棱锥的体积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出球的体积是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】B【解析】解：点A(1,m)，B(2,n)是角α的终边上的两点，m−n=13所以tanα=n−m2−1=−13，所以sin2α−cos2α1+cos2α=2sinαcosα−cos2αsin2α+cos2α+cos2α−sin2α=2tanα−12=−56．故选：B．直接利用同角三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，同角三角函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：分三种情况：①当x>1时，g(x)=lnx>0，所以ℎ(x)≥g(x)>0，故ℎ(x)无零点，②当x=1时，f(1)=cos1−1<0，g(1)=0，所以ℎ(1)=0，所以x=1是ℎ(x)的零点，③当0<x<1时，g(x)=lnx<0，所以f(x)的零点就是ℎ(x)的零点，所以f(x)=cosx−√x在(0,1)上单调递减，且f(0)=1>0，f(1)=cos1−1<0，所以f(x)在(0,1)内有唯一零点，即g(x)在(0,1)内有唯一零点，综上所述，函数ℎ(x)在x>0时有2个零点，故选：C．分三种情况：①当x>1时，②当x=1时，③当0<x<1时，讨论可得结果．本题考查函数的零点，最值，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得，U=k0q2(1R+1R+x1−x2−1R+x1−1R−x2)=k0p2R (1+11+x1−x2R−11+x1R−11−x2R)=k0p2R [1+(1−x1−x2R+(x1−x2)2R2)−(1−x1r+x12R2)−(1+x2R+x22R2)]−(1+x2R+x22R2)]=k0R [−x1−x2R+(x1−x2)2R2+x1R−x12R2−x2R−x22R2]=−2k 0q 2x 1x 2R 3．故选：A ．根据题意，由题中给出的公式进行变形分析，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，涉及了因式的变形化简，注意题目中公式的运用，属于中档题．13.【答案】0或2【解析】解：根据题意，函数f(x)={−x +4,x ≤0x 2,x >0，当m ≤0时，f(m)=−m +4=4，解可得m =0， 当m >0时，f(m)=m 2=4，解可得m =2或−2(舍)， 综合可得：m =0或2； 故答案为：0或2．根据题意，由函数的解析式，分析m ≤0与m >0两种情况讨论，求出m 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的应用，属于基础题．14.【答案】x =138【解析】解：因为|PA|2=|PO 1|2−|AO 1|2=x 2+y 2−1，|PB|2=|PO 2|2−|BO 2|2=(x −4)2+y 2−4，所以x²+y²−1=(x −4)²+y²−4，整理得x =138，即为P 点的轨迹方程．故答案为：x =138．利用P 点坐标分别表示|PA|，|PB|的长度，代入|PA|=|PB|化简求值． 本题考查圆的切线长，属于基础题．15.【答案】1146【解析】解：根据题意，良马的每日行程构成一个等差数列{a n }，且首项为a 1=193，公差d 1=13，令{a n }的前n 项和为S n ，则S8=8×193+8×72×13=1908，驽马的行程也构成一个等差数列{b n}，且首项为b1=97，公差为d2=−0.5，令{b n}的前n项和为T n，则T8=8×97+8×72×(−0.5)=762，所以S8−T8=1908−762=1146，即8天后两马之间的距离为1146里．故答案为：1146．根据题意可得良马的每日行程构成一个等差数列{a n}，且首项为a1=193，公差d1=13；驽马的行程也构成一个等差数列{b n}，且首项为b1=97，公差为d2=−0.5，从而分别计算出{a n}与{b n}的前8项和再相减即可得到8天后两马之间的距离．本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．16.【答案】√2【解析】解：过O作OE⊥DC于E，交AB于点F，过C作AB的垂线，垂足为G，设∠ABO=θ，θ∈(0,π2)，OB=r，∴BF=rcosθ，OF=rsinθ，∵BC=CD，∠ABC=60°，∴BF=rcosθ=BG+FG=1 2BC+12DC=BC，∴EF=√32BC=√32rcosθ，∴OC=√EC2+OE2=√14r2+(√32rcosθ+rsinθ)2=√r2+√3r2sinθcosθ=√r2+√32r2sin2θ．∴当sin2θ=1，即θ=π4时，|OC|min=√(2+√3)r22．此时BF=BC=rcosθ=√22r，则圆O的半径与BC长度的比值为r√22r=√2．故答案为：√2．过O作OE⊥DC于E，交AB于点F，过C作AB的垂线，垂足为G，设∠ABO=θ，θ∈(0,π2)，OB=r，得到EF=√32BC=√32rcosθ，OC=√r2+√3r2sinθcosθ=√r2+√32r2sin2θ，故当θ=π4时，|OC|最长，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4>0且数列{a n }是递增等比数列， ∴公比q >1，由a 3=4，a 2+a 4=10， 可得{a 1q 2=4a 1q +a 1q 3=10，解得{a 1=1q =2，∴a n =1⋅2n−1=2n−1，n ∈N ∗， 设等差数列{b n }的公差为d ， 则b 1=a 1=1，由S 2=a 2+1，可得b 1+b 2=2+1=3， 即2b 1+d =3，解得d =1，∴b n =1+(n −1)×1=n ，n ∈N ∗． (2)由(1)，可得c n =a n b n =n ⋅2n−1，∴T n =1+2×2+3×22+4×23+⋯+(n −1)⋅2n−2+n ⋅2n−1，① 2T n =2+2×22+3×23+4×24+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n .② ①−②，得−T n =1+2+22+23+24+⋯+2n−1−n ⋅2n =1−2n 1−2−n ⋅2n=(1−n)⋅2n −1， ∴T n =(n −1)⋅2n +1．【解析】(1)根据题意设等比数列{a n }的公比为q ，再判别出公比q >1，然后根据已知条件列出首项a 1与公比q 的方程组，解出a 1与q 的值，即可得到数列{a n }的通项公式；设等差数列{b n }的公差为d ，再根据已知条件分别计算出首项b 1与公差d 的值，即可得到数列{b n }的通项公式．(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，再运用错位相减法计算出前n 项和T n ．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法计算前n 项和．考查了方程思想，转化与化归，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，∴AA1⊥BN．∵N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，∴BN⊥AC．∵AA1∩AC=A，∴BN⊥平面AA1C1C，∵ME⊂平面AA1C1C，∴BN⊥ME．又∵AB=4,AA1=3√2,A1E=2EA，∴EA=√2,A1E=2√2，∴A1EA1M =ANAE=√2.∴△A1EM～△ANE，∴∠A1EM=∠ANE，∴∠A1EM+∠AEN=∠ANE+∠AEN=90°，∴∠MEN=90°，∴EN⊥ME．又∵EN∩BN=N，∴ME⊥平面BEN，∵ME⊂平面MEB，∴平面MEB⊥平面BEN．(2)∵S△MCE=S矩形ACC1A1−S△ACE−S△A1EM−S△MCC1=4×3√2−12×4×√2−12×2√2×2−12×2×3√2=5√2，∴三棱锥C−BEM的体积为：V C−BEM=V M−BCE=13×BN×S△MCE=13×2√3×5√2=10√63．【解析】(1)推导出AA1⊥BN，BN⊥AC，从而BN⊥平面AA1C1C，BN⊥ME.推导出△A1EM～△ANE，从而EN⊥ME.进而ME⊥平面BEN，由此能证明平面MEB⊥平面BEN．(2)S△MCE=S矩形ACC1A1−S△ACE−S△A1EM−S△MCC1，由V C−BEM=V M−BCE，能求出三棱锥C−BEM的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)得分在(0,25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为110；得分在(25,50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为310；得分在(50,75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为720；得分在(75,100]内的有76，79，83，85，92，共5个， 所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例14． (2)解答一：选用方案2，理由如下： 方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为x −万元/吨，则x −=2.2×14+1.8×720+1.6×310+1.4×110=1.8． 因为x −=1.8>1.79，所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2． 解答二：选用方案1，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨； 设方案2的彩棉售价平均值为x −．则x −=2.2×14+1.8×720+1.6×310+1.4×110=1.8， 因为x −=1.8>1.79，但1.8−1.79=0.01(万元)差别较小．所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．【解析】(1)根据茎叶图可分别求出答案；(2)分别讨论出两方案的平均单价，即可判断选择哪种方案． 本题考查频率分布直方图，茎叶图的识别，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C 相切且切点到直线y =x +2的距离为5√24． ∵y =x 22p，∴y′=xp =1，因此，切点坐标为(p,p2) ∴|p−p2+2|√2=5√24，∴p =1，或p =−9(舍去)，所以C 的方程为x 2=2y ．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则P(x 2,−2)，由{x 2=2y y =kx +2，得x 2−2kx −4=0，∴△>0，且x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4， ∴kx 1x 2=−2(x 1+x 2). 又直AP 的方程为y +2=y 1+2x 1−x 2(x −x 2)，令x =0，得y +2=x 2(y 1+2)x 2−x 1．∵y 1=kx 1+2，∴y +2=x 2(kx 1+4)x 2−x 1=−2(x 1+x 2)+4x 2x 2−x 1=2，∴y =0．故直线AP 恒过定点(0,0)．【解析】(1)求出函数的导数，求出切点坐标，利用点到直线的距离转化求解抛物线方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则P(x 2,−2)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线系方程，得到定点坐标．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x −a ．①当a ≤0时，f′(x)≥e x >0，所以f(x)在R 上单调递增， 故f(x)至多有一个零点，不符合题意；②当a >0时，令f′(x)<0，得x <lna ；令f′(x)>0，得x >lna ． 故f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(lna)=a −alna =a(1−lna)．(i)若0<a ≤e ，则f(x)min =a(1−lna)≥0，故f(x)至多有一个零点，不符合题意； (ii)若a >e ，则lna >1，f(x)min =a(1−lna)<0． 由(i)知e x −ex ≥0，∴e lna −lna =a −elna ≥0．∴a −2lna >a −elna ≥0，f(2lna)=a 2−2alna =a(a −2lna)>0，又∵f(0)=1>0，0<lna <2lna ，故f(x)存在两个零点，分别在(0,lna)，(lna,2lna)内．综上，实数a 的取值范围为(e,+∞)． (2)证明：由题意，得{e x 0=ax 0e x 0+t =a(x 0+t)，两式相除得e t =x 0+t x 0，变形得x 0=te t −1，要证x 0(t +2)<2，即证t(t+2)e t −1<2，即证t 2+2t+2e t<2．记ℎ(t)=t 2+2t+2e t(t >0)，则ℎ′(t)=(2t+2)e t −(t 2+2t+2)e te 2t=−t 2e t<0，故ℎ(t)在(0,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(0)=2， 即t 2+2t+2e′<2，所以x 0(t +2)<2．【解析】(1)对f(x)求导，分a ≤0和a >0两种情况，结合f(x)=e x −ax 有两个零点x 0和x 0+t ，求出a 的取值范围；(2)根据条件，可知要证x 0(t +2)<2，即证t 2+2t+2e t<2，记ℎ(t)=t 2+2t+2e t(t >0)，判断ℎ(t)的单调性，求出ℎ(t)的范围，进一步得到x 0(t +2)<2成立．本题考查了根据函数的零点求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1：x 2+y 29=1，转换为参数方程为{x =cosαy =3sinα(α为参数)；由x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程为 x 2+y 2−8x +15=0， 整理得(x −4)2+y 2=1．(2)由(1)可知C 2(4,0)，设A(cosθ,3sinθ)，则|AC 2|2=(cosθ−4)2+9sin 2θ=−8(cosθ+12)2+27． ∵−1≤cosθ≤1， ∴9≤|AC 2|2≤27， ∴3≤|AC 2|≤3√3， ∴2≤|AB|≤3√3+1，故|AB|的取值范围是[2,3√3+1]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用两点间的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当m =12时，f(x)=|2x −12|+|2x +3|，即f(x)={−4x −52,x ≤−3272,−32<x ≤144x +52,x >14， 所以f(x)≤8可化为{−4x −52≤8x ≤−32，或{72≤8−32<x <14，或{4x +52≤8x >14， 解得−218≤x ≤−32，或−32<x ≤14，或14<x ≤118，所以不等式f(x)≤8的解集为{x|−218≤x ≤118}．(2)因为|f(x)=2x −m|+2|x +3m|≥|(2x −m)−(2x +6m)|=|7m|，当且仅当(2x−m)(2x+6m)≤0时取等号，∴f(x)min=|7m|，又∵f(x)≥7恒成立，∴|7m|≥7，解得m≤−1或m≥1，所以m的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)．，去掉绝对值符号，转化为分段函数，分段求解不等式f(x)≤8，【解析】(1)若m=12最后取并即可；(2)利用绝对值不等式可得f(x)min=|7m|，依题意，解不等式|7m|≥7可得实数m的取值范围．本题考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题．。

2021年山西省太原市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每题5分，共60分.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3} 3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．25．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．210．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n ＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，SO2的浓度[0，150]（150，475]空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）解：∵＝，∴在复平面内与复数z对应的点的坐标为（1，1），故选：B．2．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{2，3}D．{﹣1，2，3}解：由题意可得：A∩B＝{0，1}，∴阴影部分表示的集合为：{2，3}，故选：C．3．设m∈R，则“m＞1”是“m2＞1”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解二次不等式m2＞1，得m＜﹣1或m＞1，∴“m＞1”是“m2＞1”的充分不必要条件，故选：A．4．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：第x周12345治愈人数y（单位：十人）38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A．﹣1B．0C．1D．2解：，，即样本点的中心坐标为（3，10），代入，可得10＝，解得，∴线性回归方程为，取x＝5，得，∴此回归模型第5周的残差为15﹣16＝﹣1．故选：A．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β解：若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故D正确．故选：D．6．古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（）A．B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为D．正八边形ABCDEFGH的面积为解：如图所示：对于A：，故A正确；对于B：以射线OF为终边的角的集合可以表示，故B正确；对于C：在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为，故C正确；对于D：正八边形ABCDEFGH的面积为，故D错误．故选：D．7．已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵3×2a﹣2b+1＝0，∴3×2a＝2b+1，∵3×2a＞2×2a＝2a+1，∴2b+1＞2a+1，∴b＞a，又∵≥c+1，∴a＞c，故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若N＝2021，则输出的p＝（）A．B．C．D．解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出p＝1+（）1+（）2+....+（）2021的值，由于p＝1+（）1+（）2+....+（）2021＝1+＝2﹣．故选：C．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．3D．2解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为3的直棱柱ABC﹣DEF，切去一个四棱锥体C﹣ABGH；如图所示：所以＝．故选：A．10．已知锐角α，β满足，则的最小值为（）A．4B．C．8D．解：因为锐角α，β满足，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，则x+y＝，由题意得x＞0，y＞0，则＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，当且仅当x＝y时取等号，此时的最小值8．故选：C．11．已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则该三棱台的体积为（）A．B．C．D．解：设S△ABC＝S1，，棱台的高为h，由已知，得，得，，则，∴三棱台ABC﹣A1B1C1的体积V＝＝＝．故选：B．12．已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．C．D．[﹣1，+∞）解：∵双曲线，∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称，∴|FA|＝|F2B|，∵由双曲线的定义，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，∴|FA|＝|FB|﹣4，设|FB|＝d，d≥a+c＝5，∴＝，设f（d）＝，d≥5，求导可得f'（d）＝，∴f（d）在[5，6）单调递减，在（6，+∞）单调递增，，又∵当d趋近于正无穷时，f（d）趋近于0，∴f（d）的取值范围为[﹣1，0），则的取值是[﹣1，0）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 80457424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为0.6．解：根据题意，在20组随机数中，表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；共12个，则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P＝＝0.6；故答案为：0.6．14．若命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．解：∵命题“任意的x∈R，x2+ax+1≥0”是假命题，∴△＝a2﹣4＞0，∴a＞2或a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．15．已知实数x，y满足，则的取值范围是[﹣1，3]．解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A（2，1），B（1，3），则t＝∈[，3]，∴＝，可知当t＝1时，有最小值﹣1；当t＝3时，有最大值3．∴的取值范围是[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．16．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝e x﹣x，若存在实数m，n，使得f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则实数m﹣n＝1．解：∵f（x）＝lnx﹣x，∴f'（x）＝（x＞0），令f'（x）＝0，则x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）在x＝1上取得极大值点，也为最大值点，即f（x）max＝f（1）＝﹣1，∵g（x）＝e x﹣x，∴g'（x）＝e x﹣1，令g'（x）＝0，则x＝0，当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在x＝0上取得极小值点，也为最大值点，即g（x）min＝g（0）＝1，∴任取m，n都有f（m）﹣g（n）≤f（1）﹣g（0）＝﹣2，∴若要使f（m）﹣g（n）≥﹣2成立，则必有m＝1，n＝0，∴m﹣n＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34m，BC＝85m．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．附：；．【解答】（Ⅰ）由题意知：∠BPC＝β﹣γ＝600﹣450＝150，∠PBC＝180°﹣β＝1200，所以∠PCB＝180°﹣150﹣1200＝450．在△PCB中，由正弦定理得：，＝，即PB＝m．（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝300，∠ABP＝β＝600，所以∠APB＝90°，所以AB＝2PB＝464，所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝464﹣100﹣34＝330m．18．为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：[0，50]（50，150]（150，475] SO2的浓度空气质量等级1（优）28622（良）578 3（轻度污染）3894（中度污染）11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好空气质量不好（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828解：（1）由表格可得，该市100天中空气质量为1的有28+6+2＝36天，空气质量为2的有5+7+8＝20天，空气质量为3的有3+8+9＝20天，空气质量为4的有1+12+11＝24，则该市一天的空气质量等级为1的概率为，该市一天的空气质量等级为2的概率为，该市一天的空气质量等级为3的概率为该市一天的空气质量等级为4的概率为．（2）由表格数据，可得列联表如下：[0，150]（150，475] SO2的浓度空气质量空气质量好4610空气质量不好2420（3）由（2）可得，∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．19．如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）若AB＝2，当三棱锥O1﹣APO2体积最大时，求点B到平面APO1的距离．解：（Ⅰ）证明：由题意可得O1O2⊥平面PAB，所以O1O2⊥PA，因为AO2为直径，所以AP⊥PO2，因为PO2∩O1O2＝O2，所以AP⊥平面PO1O2，又AP⊂平面APO1，所以平面APO1⊥平面PO1O2；（Ⅱ）由题意可得，当AP＝PO2时，三棱锥O1﹣APO2的体积最大，设点O2到平面APO1的距离为d，由（Ⅰ）可得AP⊥PO2，AP⊥平面PO1O2，因为AB＝2，所以AO2＝O1O2＝1，AP＝PO2＝，V＝V ，即S•O1O2＝S•d，所以d ＝＝＝＝＝，所以B到平面APO1的距离为．20．已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，其离心率，求椭圆C的标准方程．解：（Ⅰ）由题意可知点A与点B分别在直线y＝x和y＝﹣x上，不妨设A（m，m）（m＞0），则S△AOB＝m2＝16，所以m＝4，所以A（4，4），因为点A在抛物线y2＝2px上，所以p＝2，所以此抛物线的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ），得F（1，0），直线l的方程为x＝y+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由，得y2﹣2y﹣4＝0，所以y1+y2＝2，所以y0＝1，x0＝，所以M（，1），由题意可设椭圆C的方程为+＝1（a＞b＞0），由，解得，所以椭圆C的标准方程为+＝1．21．已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），∵f′（2）＝，∴a＝1，∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，令f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），由x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，得f（x1）＝f（x2）＝m，且0＜x1＜＜x2，∴x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））＝，令，x＞，∵，令t1′（x）＞0，得＜x＜2，令t1′（x）＜0，得x＞2，∴t1（x）在（，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，∴t1（x）≤t1（2）＝2ln2；令，0＜x＜，∵，令t2′（x）＞0，得0＜x＜1，令t2′（x）＜0，得1＜x ＜，∴t2（x）在（0，1）上单调递增，在[1，）上单调递减，∴，∴x2﹣x1﹣+4m≤＜0，∴x2﹣x1＜﹣4m．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB 面积的最大值．解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅱ）点A的极坐标为，设点B（ρ，α）（），则＝＝，当时，三角形的面积取得最大值2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．（1）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f（x）＝有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝2时，不等式f（x）＝f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，当x＜时，﹣（2x+1）﹣（1﹣2x）＜2，解得x＜，当时，2x+1﹣（1﹣2x）＜2，解得，当时，2x+1﹣（2x﹣1）＜2，无解，综上所述，原不等式f（x）＜2的解集为{x|x}．（2）设h（x）＝，则h（x）的图象对称轴为x＝，开口向下的抛物线，∵有最小值，∴m＞2时，当x＜﹣时，f（x）无最小值，即0＜m≤2，∵f（）＝，∴，∴，∴1＜m≤2．。

【方法综述】创新型问题主要包括：（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）. （Ⅱ）创新性问题①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.【解题策略】类型一 实际应用问题【例1】（2020·湖南长郡中学高考模拟（理））“军事五项”是衡量军队战斗力的一种标志，从1950年开始，国际军体理事会每年组织一届军事五项世界锦标赛．“军事五项”的五个项目分别为200米标准步枪射击、500米障碍赛跑、50米实用游泳、投弹、8公里越野跑．已知甲、乙、丙共三人参加“军事五项”．规定每一项运动队的前三名得分都分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c 且a 、b 、c ∈N*），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的投弹比赛获得了第一名，则50米实用游泳比赛的第三名是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．乙和丙都有可能【答案】B 【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，求得三个名次对应的分数,,a b c 的值，从而得到甲乙丙三人各自的得分，从而得到相应的名次，从而求得结果. 【详解】根据题中所给的五人的得分，可知5()40a b c ++=，所以有8a b c ++=，又因为a b c >>，且,,a b c N *∈，所以,,a b c 的值为5,2,1或4,3,1，创新型问题又因为乙投弹获得了第一名，且得分为9分，所以4,3,1不合题意， 所以得到乙的成绩为投弹第一，剩下的都是第三名， 因为甲得分22分，所以甲投弹第二，其余四项都是第一，所以丙投弹第三，剩下四项都是第二，从而得到50米实用游泳比赛的第三名是乙，故选B.【例2】某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.【来源】数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月22日） 【答案】3【解析】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，23CD =67.5CAD ∴∠=，则23AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，2CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得32sin 6023sin 4522CE BC ===在ABC 中，23AC =3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 【举一反三】1.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1212c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）A ． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B2.(2020北京市西城区一模)团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b ，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数____；____.【答案】70 40 【解析】∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a +b ≥51， （1）若51≤a +b ≤100，则11 （a +b ）＝990得：a +b ＝90，① 由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290 ② 解①②得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意．（2）若a +b ≥100，则9 （a +b ）＝990，得 a +b ＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290 ④， 解③④得：a ＝70人，b ＝40人， 故答案为：70，40．【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型． 类型二 创新性问题【例3】（2020·广东高考模拟（理））设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：将(1,1)y x --带入221x y +=，化简得1x y +=，显然不行，故集合A 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入1y x =-，即111x y -=--，整理得1x y +=，显然不行，故集合B 不满足关于运算*对称，将(1,1)y x --带入11x y -+=，即1111y x --+-=，化简得11x y -+=，故集合C 满足关于运算*对称，故只有一个集合满足关于运算*对称，故选B.【例4】对于向量(1,2,...,)i PA i n =，把能够使得12...n PA PA PA +++取到最小值的点P 称为(1,2,...,)i A i n =的“平衡点”.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD CD 、于,F G 两点.下列的结论中，正确的是（ ）A ．A C 、的“平衡点”为O .B ．DC E 、、的“平衡点”为DE 、的中点. C ．AFG E 、、、的“平衡点”存在且唯一. D ．A B E D 、、、的“平衡点”必为F 【答案】D【解析】对A ，A 、C 的“平衡点”为线段上的任意一点，故A 错误；对B ，D 、C 、E 的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为120︒的点，故B 错误； 对C ，A 、F 、G 、E 的“平衡点”是线段FG 上的任意一点，故C 错误；对D ，因为矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，延长BC 至E ，使得BC CE =，联结AE ，分别交BD 、CD 于F 、G 两点，所以A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F ，故D 正确．故选：D ． 【举一反三】1．对任一实数序列()123,,,A a a a =，定义序列()213243,,,A a a a a a a ∆=---，它的第n 项为1n n a a +-.假定序列()A ∆∆的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（ ） A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006【来源】湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题 【答案】D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ， 则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==⎡⎤-++---⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选：D2.（2020兰州高三联考）若数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称数列是“数列”．现有以下四个数列：①；②；③；④．其中是“数列”的有( ) A ．个 B ．个C ．个D ．个【答案】C 【解析】 令，则，所以数列是“数列”；令，则，，，所以，所以数列不是“数列”； 令，则，，，所以，所以数列不是“数列”；令，则 ，所以数列是“数列”．综上，“数列”的个数为． 本题选择C 选项.3．（2020·河南高考模拟）在实数集R 中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意；（2）对任意；（3）对任意.关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3； ②函数为奇函数； ③函数的单调递增区间为.其中所有正确说法的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】试题分析：在（3）中，令，可得，则，易知函数是非奇非偶函数，故②错；又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值.故①错.又，由可得函数单调递增区间为，故③对.故本题答案选C.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性与导数间的关系.【思路点晴】本题是新定义题型.主要考查函数的奇偶性，函数的单调性.基本不等式. 此种类型题目的关键在于对新定义的理解.如本题中运算.利用新定义将运算转化为常规运算.转化后就看对基本不等式的理解，利用基本不等式求最值时，一定要求各项必须为正数.本题中无此范围，故最值不能直接求，可利用函数的单调性讨论解决.【强化训练】一、选择题1．对于n ，*k ∈N ，若正整数组()12,,,k F a a a 满足12k a a a ≤≤≤，12k a a a n +++=，则称F为n 的一个拆，设F 中全为奇数，偶数时拆的个数分别为()S n ，()T n ，则（ ） A ．存在2021n ≥，使得()0S n = B ．不存在2021n ≥，使得()0T n = C ．存在2021n ≥，使得()()S n T n =D ．不存在2021n ≥，使得()()S n T n <【来源】浙江省宁波市宁海中学2021届高三下学期3月高考适应性考试数学试题 【答案】D【解析】对于任意的2021n ≥，至少存在一个全为1的拆分，故A 错误； 当n 为奇数时，()0T n =，故B 错误； 当n 为偶数时，()12,,,k a a a 是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了()1,1,,1和()121,1,,1,1,,1k a a a ---的均为奇数的拆，当2n =时，偶数拆为()2，奇数拆为()1,1，()()221S T ==； 当4n =时，偶数拆为()2,2，()4，奇数拆为()1,1,1,1，()1,3；n≥时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故故当6()()>，故C错误，D正确.S n T n故选：D2．（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））定义：如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由题意在上有两个不等实根，方程即为，令，则，解得．故选B．3．（2020·福建高考模拟）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设数列{}的前n项和为，则由题意可得，∴，，∴，∴．4．（2020北京市四中高考调研卷）若函数在其图象上存在不同的两点，其坐标满足条件：的最大值为0，则称为“柯西函数”，则下列函数：①；②；③；④．其中为“柯西函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由柯西不等式得对任意的实数都有≤0，当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点.①,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，，所以（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯西函数；②，曲线过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数不是；③；④．显然都是柯西函数.故选：B5．（2020·永安市第一中学高考模拟）在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ） A ．3972 B ．3974 C ．3991 D ．3993【答案】D 【解析】【分析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n 次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果． 【详解】第1此染色的数为1=11⨯ ，共染色1个， 第2次染色的最后一个数为6=23⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为15=35⨯，共染色5个， 第4次染色的最后一个数为28=47⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为45=59⨯，共染色9个， …∴第n 次染色的最后一个数为n 2n 1⨯-（），共染色2n-1个， 经过n 次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n 2个， 而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯，且相邻两个数相差2， ∴2019＝458912⨯-＝3993．故选D ．6．（2020·福建高考模拟（理））如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【解析】【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则1255414,...4()77nn a a a =⨯=⨯=⨯，，. 1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--. 令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯=⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个. 应选B.7．（2020·四川成都七中高考模拟（理））如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C 【解析】【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件， （1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个， 含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个. 含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共 2个， 含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个， 含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C. 8．（2020北京市清华大学附属中学一模）正方形的边长为1，点在边上，点在边上，．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( ) A ．4 B ．3C ．8D ．6【答案】D 【解析】根据已知中的点E ，F 的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，G 在DA 上，且DG ，第三次碰撞点为H ，H 在DC 上，且DH ，第四次碰撞点为M ，M 在CB 上，且CM，第五次碰撞点为N ，N 在DA 上，且AN ，第六次回到E 点，AE ．故需要碰撞6次即可． 故选：D ．9．几何中常用表示L 的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，L 分别对应其长度、面积和体积．在ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，P 为ABC 内部一动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（ ） A ．612π+B ．2263π+ C ．20123π+ D ．22123π+ 【来源】专题4.3 立体几何的动态问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题 【答案】D【解析】空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面ABC 的角度看，如下图所示：其中：BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为,,C B A ；ABC 区域内的几何体是高为2的直三棱柱. 四边形BCDF 和ACEI 为矩形，2DCB ECA π∴∠=∠=，2DCE ACB ACB πππ∴∠=--∠=-∠，同理可得：FBG ABC π∠=-∠，HAI CAB π∠=-∠，()332DCE FBG HAI ACB ABC CAB ππππ∴∠+∠+∠=-∠+∠+∠=-=，∴CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，则CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体的体积之和3144133V ππ=⨯=； 又BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体的体积之和()221134562V ππ=⨯⨯++=；ABC 区域内的直三棱柱体积31342122V =⨯⨯⨯=，4226121233L πππ∴=++=+.故选：D.10．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A 5B ．12C 25D ．2【来源】热点08 立体几何-2021年高考数学【热点�重点�难点】专练（山东专用） 【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP 交1BB 于H ， 则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===. 故选：D. 二、填空题11.（2020安徽省宣城市二调）数列的前项和为，定义的“优值”为 ，现已知的“优值”，则_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a 1+2a 2+…+2n ﹣1a n ＝n •2n ，①n ≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ﹣1，②①﹣②得2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1，即a n ＝n +1， 对n ＝1时，a 1＝2也成立，所以 .12．（2020·广西高考模拟（理））如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为【答案】154【解析】对圆柱沿底面直径进行纵切,如图所示:切点为,A A ',与圆柱面相交于,C C ',此时可知CC '即为椭圆的长轴2a ,在直角三角形ABO ∆ 中,2022212,8,sin 284AB AB BO AOB OB -⨯===∴∠===,又因为sin rAOB OC ∠=,所以28sin a OC AOB ===∠,由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长,即24b =,则求得22215c a b =-=15c e a ∴==,故选A.点睛:本题主要考查圆锥曲线与三角函数交汇处的综合应用,属于难题.此题的难点是如何求出长半轴a 的值,需要先利用切线性质求出AOB ∠,再利用相似求出OC 长,即为a ,短轴长为底面半径,故b 比较容易求出,根据椭圆中的关系式222a b c =+,得出c 值,进而求出离心率. 13.（2020山东省淄博实验中学一诊）定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______. 【答案】1 【解析】 若为线周期函数 则满足对任意，恒成立 即，即则本题正确结果：14．（2020四川省成都市二诊）在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.【答案】【解析】d （O ，C ）＝|x |+|y |＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB 的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF 的面积最大值为____m2.【答案】【解析】以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，设边缘线OM上一点，则，设EF与边缘线OM的切点为,因为，所以，故EF所在直线方程为，因此，其中，从而因为当时，，当时，，即当时取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值.16．（2020北京师范大学附属实验中学）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：①数列是等比数列；②数列是递增数列；③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.【答案】②④【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，，所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即④正确；③错误，综上可知正确的由②④.17．（2020河南省十所名校联考）若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）①；②；③.【答案】①②【解析】对于①中，的反函数为：，所以函数关于直线对称，故①是“旋转对称函数”.对于②，，所以函数是偶函数，它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”. 对于③，，当时，，则函数的图像只可能关于直线对称，又，当时，，这与函数的图像关于直线对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.18．（2020·四川高考模拟）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论： ①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=；③()322f π=；④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④【解析】1()2f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为12的圆弧长组成，因此13π()24f = (1)f 由如图三段相同的四分之一个圆心为A 半径为1 的圆弧长组成，因此3π(1)2f = 2)f 由如图三段相同的四分之一个圆心分别为1,,B D A 半径为1 的圆弧长组成，因此13π(2)32π142f =⨯⨯⨯= 21()3f 由如图三段相同弧长组成，圆心角为π6 ，半径为23 ，因此21π23π()33633f =⨯⨯=，因此选②③④ 19．（2020·辽宁高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE ＝α，∠ADE ＝β，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4米，大雁塔高度H ＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d ，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d 为_____米．【答案】1615【解析】由题意得46415BD d BD BD d =∴=+ ， 因此6460tan tan 4tan()646064601tan tan 646081512d d d d d d d dαβαβαβ---===≤=⨯+⨯+⋅+⋅， 当且仅当15d =时取等号，因此当15d =时，tan()αβ-取最大值，即αβ-取最大，即标杆到大雁塔的距离d 为1615【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20．（2020·山东省淄博实验中学高考模拟（理））定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点,,A B C 在半径为1的圆上，且3BAC π∠=，分别以ABC ∆各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC ∆构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的最大值是__________．【答案】332 【解析】设三个半圆圆心分别为G,F ，E ，半径分别为123r r r ,，，M,P,N 分别为半圆上的动点，则PM≤12r r ++GF= 12r r ++AC 2=123a b c r r r 2++++=，当且仅当M,G ,F,P 共线时取等；同理：PN ≤123r r r ,++MN≤123r r r ++,又ABC 外接圆半径为1，πBAC 3∠=，所以BC 2πsin 3=,∴BC=a=2sin π3=3,由余弦定理()2222b c b c bc 3,b c 33bc 3,2+⎛⎫+-=+-=≤ ⎪⎝⎭即解b+c≤23,当且仅当b=c=3取等；故123a b c 33r r r 22++++=≤21．（2020·首都师范大学附属中学高考模拟（理））定义：对于数列{}n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列{}n x 为“p ﹣摆动数列”.①若21n a n =-，(10)n n b q q =-<<，*n N ∈，则数列{}n a _____“p ﹣摆动数列”，{}n b _____“p ﹣摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p ﹣摆动数列”{}n c 满足111n n c c +=+，11c =.则常数p 的值为_____.【答案】不是 是12【解析】①由21n a n =-知道{}n a 是递增数列，故不存在满足定义的p又因为(10)nn b q q =-<<可知n b 正负数值交替出现，故0p =时满足定义②因为数列{}n c 是“p ﹣摆动数列”，故1n =时有()()210x p x p --< 可求得：112p <<又因为使对任意正整数n ，总有()()10n n c p c p +--<成立，即有()()210n n c p c p ++--<成立 则()()20n n c p c p +-->所以1c p >，3c p >，…，21n c p ->同理2c p <，4c p <，…，2n c p <所以221n n c p c -<<，即212111n n c c --<+，解得2112n c->，即12p ≤ 同理2211n n c c +>，解得2n c<p ≥综上，p =本题正确结果：不是；是；12。

压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e．已知直线l为曲线A B．10C．5D与函数()的图象都相切，则a b+=（）A．1-B．0C．1D．35．曲线22e24xy x-=⋅+在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．32B．3C．4916D．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-对于C ，1x -+∈R ，()1e xf x -+∴=的值域为()0,∞+；()1e x f x -+'=- ，()f x '∴的值域为(),0∞-；则()f x 的值域不是()f x '值域的子集，C 不满足性质Ω；对于D ，12x -∈R ，()()cos 12f x x ∴=-的值域为[]1,1-；()()2sin 12f x x '=- ，()f x '∴的值域为[]22-,，则[][]1,12,2-⊆-，D 满足性质Ω.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A 1-B ．15-C 1D ．15-二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()ln 12f x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．2因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数在区间,a b 上的导函数为f x ，f x 在区间,a b 上的导函数为f x ，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+【答案】C【详解】()2e xf x x =- ，()2e x f x ∴-'=，令()0f x ¢>，得ln 2x <，所以函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为(],ln2∞-.故选：C2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞=A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--，因为()e 1x f x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，4．若函数满足xf x f x >-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【答案】B【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()，若存在0使得00恒成立，则0的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【详解】由00()()f t x f x t =+-，可得00()()f t t x f x +=+，设函数()()e x h x f x x x =+=+，则()e 10xh x '=+>在R 上恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以0t x =，则0()b f x t =-()e tf t t t =-=-，[]1,2t ∈-，令()e t g t t =-，[]1,2t ∈-，则()e 1tg t '=-，当0=t 时，()0g t '=，令()0g t '>得：(]0,2t ∈，令()0g t '<得：[)1,0t ∈-，所以()()0min 0=e 01g t g =-=，又()11e 1g --=+，()22e 2g =-，其中21e 2e 1-->+，所以实数b 的取值范围是21,e 2⎡⎤-⎣⎦.故选：D.8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-【答案】BCD【详解】由()(1)e x f x x =+，得()(2)e x f x x '=+，当2x =-时，(2)0f '-=，B 正确；当<2x -时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，观察图象知，当210e a -<<时，直线所以函数()()g x f x a =-有两个不同的零点时，故选：BCD10．对于三次函数()3ax bx f x =+，给出定义：设f x 是函数的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．当0a =时，()20f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增；当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若(),0x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若()0,x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，()f x 在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.12．已知函数()222ln 12x x f x x -+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．10427．函数的定义域为R ，导函数f x 的图象如图所示，则函数f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()2h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥．若函数在1x =处有极大值，则实数的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3ln f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln x f x ax x =-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-观察图象知，当a<0或10a 4<<时，直线y a =与函数于是当a<0或10a 4<<时，2ln 1(ln )x a x -=在(0,1)(1,⋃+∞所以实数a 的取值范围是a<0或10a 4<<，即a 的值可以是三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln f x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.∴max ，∴，∴3e a =-③若e a -≥，即e a -≤时，在(0,e)上()0f x ¢>，∴()f x 在(0,e)上是增函数，故()f x 在(0,e]上的最大值为()()max e e 12f x f a ==+=，∴e a =不符合题意，舍去，综合以上可得e a =.。

一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}na 满足递推关系()12211,1,+3nn n aa a aan --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确；对于C ，可得()112nn n a aan +-=-≥，则()()()()1234131425311++++++++++nn n a a a a aa a a aa a a aa+-=----即212++1nnn n S a a aa++=-=-，∴202020221Sa=-，故C 正确；对于D ，由()112n n n a aan +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a aaa=---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3nn n a a a aan --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.2．已知数列{}na 中，11a =，1111n na a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212n at a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n =-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.3．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．13520192022a a a aa++++=D ．22212201920202019a a a aa+++=答案：ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n aaa ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n naaa ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018aaa=-，可得13572019a a a a a+++++=242648620202018a a a a a a a aa+-+-+-++-2020a=，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a aaaaaaa=-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a aaaa=+-+-+-+-20192020aa=，所以22212201920202019a a a aa+++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.4．已知数列{}na 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ） A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--； 32131a a==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．5．设数列{}na 的前n 项和为*()nS n N ∈，关于数列{}na ，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若1*()n naa n N +∈=，则{}na 既是等差数列又是等比数列B ．若2nS An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}na 是等差数列C ．若()11n nS =--，则{}na 是等比数列D ．若{}na 是等差数列，则nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈也成等差数列答案：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: ,得是等差数列，当时不是等比数列，故错; 选项B: ,,得是等差数列，故对; 选项C: ,,当时也成立，是等比数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】 选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n aa +∴-=得{}na 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2nS An Bn =+,12nn a aA -∴-=,得{}na 是等差数列，故对;选项C: ()11n nS =--,112(1)(2)n nn nS Sa n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n na -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}na 是等差数列，由等差数列性质得nS ，2n n SS -，*32()n nS S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.7．公差不为零的等差数列{}na 满足38aa =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的A ．110S =B ．10nnS S-=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5nS S ≥D ．当110S <时，5nS S ≥答案：BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =， 所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；8．设{}na 是等差数列，nS是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为nS 的最大值答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}na 的公差为d ，依次分析选项：{}na 是等差数列，若67SS =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a+>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为nS 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a=-C ．当且仅当10n =时，nS 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为22答案：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为nS，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222na n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102nS n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 10．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}na的公差0d >，则{}na 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列D ．若数列{}na是等差数列，则数列{}12++nn aa也是等差数列答案：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}na必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；D 选项：数列{}na是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)nn a aa n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.11．在下列四个式子确定数列{}na 是等差数列的条件是（ ）A ．na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈）； B ．2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈）.答案：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A 选项中na knb =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}na 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B 选项中2n naa d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C 选项中()*2120n n n aaa n ++-+=∈N ，对于数列{}na 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}na 的前n 项和21nSn n =++（*n N ∈），不符合2nS An Bn =+，所以{}na 不为等差数列．故错误． 故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．二、等差数列多选题13．在等差数列{}na 中，公差0d ≠，前n 项和为nS，则（ ）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2nS n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由nS 求出na 及1a ，根据数列{}na 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}na 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}na 递减，则12130,0aa ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2nS n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)nnn a S Sn n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.14．题目文件丢失！15．已知数列{}na 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n na -=-+C ．2sin 2n n a π=D ．cos(1)1na n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}na 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．7D ．8解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 17．已知数列{}na ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68S a = B ．733S =C ．13520212022a a a aa++++=D ．2222123202020202021a a a a aa++++=解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020aaa=-，可得13520212022a a a aa +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n aaa ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018aaaa-，220202020202120202019a aaaa=-，故2222123202020202021a a a a a a+++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n na aa ++=+对所给式子进行变形.18．已知等差数列{}na 的公差不为0，其前n 项和为nS，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ）A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD【分析】设等差数列{}na 的公差为d ，根据条件12a 、8S、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出na 、nS 的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列{}na 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122nnn d n n dS na --=+=.对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d S d -⨯==-，()2779772d S d -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和nS 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 19．定义11222n nna a a H n-+++=为数列{}na 的“优值”.已知某数列{}na 的“优值”2n nH =，前n 项和为nS ，则（ ）A ．数列{}na 为等差数列 B ．数列{}na 为等比数列C ．2020202320202S =D ．2S ，4S ，6S 成等差数列解析：AC 【分析】由题意可知112222n n nna a a H n-+++==，即112222n n na a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1na n =+，易知{}na 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出nS ，判断C ，D 的正误.【详解】 解：由112222n n nna a a H n-+++==，得112222n n na a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a an ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n na n n n ---=⋅--⋅=+⋅， 即2n ≥时，1na n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1na n =+．所以数列{}na 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错， 故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.20．数列{}n a 满足11,121n n naa a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2nS n =C ．数列{}na 的通项公式为21nan =-D ．数列{}na 为递减数列解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n naa a +=+，11a =， 所以121112n n nna a a a ++==+，即1112n na a+-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121nn a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.21．设等差数列{}na 的前n 项和为nS，若39S =，47a =，则（ ）A ．2nS n =B ．223nS n n =-C ．21na n =-D ．35na n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}na 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出na 与nS ．【详解】等差数列{}na 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221na n n ∴+-⨯=-=．()21212nn nS n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知数列{}na 满足：13a =，当2n ≥时，()21111nn a a-=++-，则关于数列{}na 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}na 为递增数列C ．数列{}na 为周期数列D ．22na n n =+解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】()21111nn a a-=++-得()21111nn a a-+=++，∴1111nn a a-+=++，即数列{}1na +是首项为112a +=，公差为1的等差数列，∴12(1)11na n n +=+-⨯=+，∴22na n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}na 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.23．无穷数列{}na 的前n 项和2nSan bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}na 可能为等差数列 B ．{}na 可能为等比数列 C ．{}na 中一定存在连续三项构成等差数列 D ．{}na 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC 【分析】由2nS an bn c =++可求得na 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S abc ==++．当2n ≥时，()()221112nnn a S San bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}na 是等差数列，则0.ab a bc c +=++∴=所以当0c时，{}na 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}na 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和nS 与通项公式na 的关系，利用nS 求通项公式，属于基础题．24．等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ）A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S>解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722aaa Sa <+⨯⨯===，()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故BD 正确.【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确；()1191019101921919022aaa S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.三、等比数列多选题25．题目文件丢失！ 26．题目文件丢失！27．在数列{}na 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k aa+++-=-（k 为常数），则称{}na 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0 C ．若32n na =-+，则数列{}na是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 解析：BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}na ，考虑121,1,1nn n aaa++===，211n n n na aa a+++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na aa a a a+++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32n n a =-+，2113n n n na aa a+++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n na q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.28．已知数列{}na 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n= C ．13(1)n a n n =--D ．{}3nS 是等比数列解析：ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求得nS ，利用nS 求出na ，并确定3n S 的表达式，判断D．【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以1113nn S S--=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；公差为3，又11113S a ==，所以133(1)3nn n S =+-=，13n S n =．B 正确； 2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-，但13a =不适合此表达式，因此C 错； 由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，∴{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．29．已知数列{}na 前n 项和为nS.且1a p =，122(2)nn S Sp n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}na 为等比数列 B ．1p =时，41516S = C ．当12p =时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D ．3856a a a a +=+解析：AC 【分析】 由122(2)nn S Sp n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n SSp ---=，相减可得120nn a a--=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 错误； 由A 可得mnm na a a+⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题．30．设等比数列{}na 的公比为q ，其前n 项和为nS，前n 项积为nT ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．8601a a <<C ．nS 的最大值为7SD ．nT 的最大值为6T解析：ABD 【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾；若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确；因为0na >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)na ∈，当16n ≤≤时，(1,)na ∈+∞，所以nT 的最大值为6T ，即D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.31．记单调递增的等比数列{}na 的前n 项和为nS，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ） A ．112n n nSS ++-=B ．12n naC ．21n nS =-D ．121n nS -=-解析：BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,nnn na S SS +-，进而判断出正确选项.【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}na 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q 或12q =．又因为数列{}na 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na，()1122112n nnS ⨯-==--，所以()1121212n n n n n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a 1＜1 B ．1＜b 12＜ C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n解析：ABC 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，分组法求出其前2n 项和的表达式，分析，即可得解.【详解】∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n+a n +1＝2n ，∴122324a a a a +=⎧⎨+=⎩； ∴12123212244a a aa a a a +⎧⎨+=-⎩＞＞ ∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n}为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3； ∵b n•b n +1＝2n∴122324b b b b =⎧⎨=⎩； ∴2132b b b b⎧⎨⎩＞＞； ∴1＜b 12＜，故B 正确．∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）()()()()121212122122nnn b b b b⋅--=+=+-()()122212221n n b b ≥-=-； ∴对于任意的n ∈N*，S 2n ＜T 2n；故C 正确，D 错误．故选：ABC 【点睛】本题考查了分组法求前n 项和及性质探究，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()f x x =D ．()ln f x x =解析：AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}na 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n nf a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n na a a n a nf a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C ，则111()()n n n nnnaf a aq f a aa+++=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n nnnnna a q a q q f a f a a a a a++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10解析：AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误； ∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ，由于910,a a 异号，因此90a <或100a<故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.35．等差数列{}na 的公差为d ，前n 项和为nS，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S解析：BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a aS a +==为定值，但()()11616891682a aS a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列{}na ，若存在正整数()2k k ≥，使得1kk aa-<，1kk a a+<，则称ka 是数列{}na 的“谷值”，k 是数列{}na 的“谷值点”，在数列{}na 中，若98nan n=+-，下面哪些数不能作为数列{}na 的“谷值点”？（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5解析：AD。

山西省太原市第二十四中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. ，则函数的大致图像为（）参考答案：A3. 函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则 ( )A． B． C． D．参考答案：B4. 设，，，则A. B. C. D.参考答案：B略5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所，则此几何体的体积是（A） 18cm3 （B） 24cm3 （C） 32 cm3（D） 36 cm3（参考答案：B6. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为（） A． B．C． D．参考答案：A7. 已知集合A={x||x|≤2，x∈Z}，，则A∩?R B=（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2] C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合B，再求出C R B，由此利用交集定义能求出A∩?R B．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，={x|x＜﹣1}，∴C R B={x|x≥﹣1}，∴A∩?R B={﹣1，0，1，2}．故选：C．8. 设则复数为实数的充要条件是A． B． C． D．参考答案：D9. 设函数（，为自然对数的底数）,定义在R上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.10. 下列关于函数的判断中，正确的是（）A. 函数f（x）的图象是轴对称图形B. 函数f（x）的图象是中心对称图形C. 函数f（x）有最大值D. 当时，f（x）是减函数参考答案：B【分析】A，B两个选项考查函数的奇偶性，所以必须先求出定义域；C,D两个选项考查函数的单调性，可以利用导数的知识对各选项进行分析、判断．【详解】函数的定义域为，且，函数f（x）是奇函数，所以B正确，A错误；，所以函数在上是减函数，所以函数f（x）没有最大值，且当，时，f（x）单调递减，但，，，所以C、D错误。

2021年高考数学压轴题精选精编附详细解答1、〔本小题满分是14分〕如图，点(4,0)N p -〔p >0,p 是常数〕，点T 在y 轴上，0MT NT ⋅=，MT 交x 轴于点Q ，且2TM QM =.〔Ⅰ〕当点T 在y 轴上挪动时，求动点M 的轨迹E 的方程；(4分) 〔Ⅱ〕设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点，过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线，垂足分别为12,,A A 求证：OF 是1OA 和2OA 的等比中项；〔5分〕(Ⅲ) 对于该轨迹E ，能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分？假设存在，求出直线CD 的方程；假设不存在，试说明理由。

〔5分〕2、〔本小题满分是14分〕设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有).()()(y f x f y x f =+ 〔Ⅰ〕求)0(f ；〔2分〕(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，假设存在，求出该最大值，假设不存在说明理由；〔5分〕〔Ⅲ〕设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--又设1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ，试比拟S n 与 n T 的大小.〔7分〕3、〔此题满分是13分〕椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限)，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如下图). 〔I 〕务实数t 的值；〔II 〕假设3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S =-⋅∠求直线l 的方程.4、〔此题满分是14分〕数列{}n a 的前n项和nS 满足11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式34().n b n n N *=-∈〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕试比拟n a 与n b 的大小,并加以证明；〔III 〕是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.5、(本小题满分是14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经历，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛完毕．设全局比赛互相间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数〔不计甲负乙的局数〕，求ξ〕．6、(本小题满分是14分)数列{}n a 的前n 项和为S n *()n N ∈，点〔a n ，S n 〕在直线y =2x -3n 上．〔1〕假设数列{}的值求常数成等比数列C c a n ,+；〔5分〕〔2〕求数列}{n a 的通项公式；〔3分〕〔3〕数列{}请求出一组若存在它们可以构成等差数列中是否存在三项,?,n a 合适条件的项；假设不存在，请说明理由．〔6分〕7、〔本小题14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 〔1〕问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；(5分) 〔2〕求n S 和n a ；(5分)〔3〕求证：nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++ (4分)8、〔本小题满分是14分〕函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. 〔Ⅰ〕假设b ＝2，且h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(7分) 〔Ⅱ〕设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. (7分)9、〔本小题满分是14分〕设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P . 〔Ⅰ〕当1m =时，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，假如弦长12A A 等于三角形12PF F 的周长，求直线l 的斜率.〔Ⅱ〕求最小实数m ，使得三角形12PF F 的边长是自然数．10、〔本小题满分是14分〕〔Ⅰ〕函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;〔Ⅱ〕证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；〔Ⅲ〕定理:假设123,,ka a a a 均为正数,那么有123123()n n nn n kka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明： 当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．11、本小题满分是14分〕如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．〔Ⅰ〕求双曲线M 的HY 方程；〔Ⅱ〕假设直线y kx m =+〔0k ≠，0m ≠〕与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，务实数m 的取值范围．12、本小题满分是14分函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+〔其中e 为自然对数的底，a ∈R 〕．〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式； 〔Ⅱ〕设ln ||()||x g x x =〔[,0)(0,]x e e ∈-〕，求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； 〔Ⅲ〕试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？假如存在，求出实数a 的值；假如不存在，请说明理由．13、〔小题满分是14分〕锐角α、β满足sin cos()m βαβ=+〔0m >，2παβ+≠〕，令tan y β=，tan x α=。

高三第一轮复习——函数的值域一、归纳总结：1、求解函数值域最值常用方法：直接法、配方法、换元法、单调性、数形结合、判别式法反解法、不等式法、分离常数、分类讨论；2、求解函数值域常见函数类型：一次函数、二次函数、分式函数、耐克函数、双增函数、绝对值函数、根式函数、幂指对函数、复合函数；二、例题讲解：1、直接法：可直接观察出值域问题例1：用直接法求下列函数的值域（1）112+=x y ；（2）21+=xy ；（3）12+=x y ；（4）11+=x y ；解析：（1）因为：(]1,0111122∈+→≥+x x ，所以值域为：(]1,0∈y ；（2）因为：01≠x，所以：2≠y ；（3）因为：112≥+x ，所以：1≥y ；（4）因为：011>+x ，所以：0>y ；2、配方法：用于求解跟二次函数有关的相关问题题型有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=++=c bx ax y c bt at y c bx ax y c bx ax y c bx ax y x x 2222421；3、换元法：我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，但一定要注意换元后新元的取值范围。

例1：求函数3y x =+解析：设520522t x t x t -=⇒≥-=，则6097655352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒+-⋅=t y t t y ；故：⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈6097,y ；例2：已知()[]3,2,1122∈+++=x x xx x x f 的值域。

解析：()2112-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x f ，再设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=+310,251t x x ；则：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=9112,427310,25,22y t t t t f ；例3：已知函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。

一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<.因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.2．对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正实数a ，b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（ ）A ．()xf x e =B ．()f x =C ．()()2sin f x x=D ．()sin f x x x =⋅【答案】BCD 【分析】假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 恒成立的条件，并判断,a b 的存在性，即可得出结论. 【详解】对于A. ()()f x a f x b +≤+可化为22()()11x a x a x x b ++++≤+++，22ax a a b ≤--+0a >，不等式在x ∈R 上不恒成立，所以2()1f x x x =++不是“控制增长函数”；对于B. ()()f x a f x b +≤+可化为，b ≤，即2||||2x a x b +≤++恒成立.又||||x a x a +≤+，故只需保证2||||2x a x b +≤++.20,2a b b b->≥ ，当220a b -≤时，b ≤恒成立，()f x ∴=“控制增长函数”；对于C.()21()sin 1,()()2f x x f x a f x -≤=≤∴+-≤，2b ∴≥时，a 为任意正数，()()f x a f x b +≤+恒成立， ()2()sin f x x ∴=是“控制增长函数”；对于D. ()()f x a f x b +≤+化为，()sin()sin x a x a x x b ++≤+，令2a π= ，则(2)sin sin ,2sin x x x x b x b ππ+≤+≤，当2b π≥时，不等式()sin()sin x a x a x x b ++≤+恒成立，()sin f x x x ∴=⋅是“控制增长函数”.故选：BCD 【点睛】本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.3．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1【答案】AD 【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，()[]1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1， 当01x ≤≤时，则当0x =时，则()[]0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=， 当1x =时，()[]11110f x =-=-=，故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.故选：AD ． 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．4．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2n nx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-. 所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.5．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.6．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数C ．存在圆O ，使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数【答案】BCD【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACEPCOPODDFBS SSS===，所以该函数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；对于C ，()()+12121+1+1+1x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()11111+11++1x xx x xxe e ef x f x e e e ------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称. 所以存在圆O ：221x y +=使得()11x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故C 正确；对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为()()210m x y x y -+--=，令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.7．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立,即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.8．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt ty -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=， 所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.9．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)1⎡⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.10．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC 【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xex x x +=-+∈-， 则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦， 故选：BC ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.二、导数及其应用多选题11．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；C 中，由函数()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．12．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||PQ =2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．13．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增，当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.14．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在302x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2-C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1-D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2e y =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-， 故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(2e y k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2ey =-，下面证明()2e h x ≤-， 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.15．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.16．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．17．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.18．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．fff <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x+=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x--=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cosxf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.20．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．三、三角函数与解三角形多选题21．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.。

专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。

山西省2021-2021年高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{1，2，3} D．{2，4}2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=05．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．66．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A．B．2 C．4 D．38．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（）A．﹣B．﹣C．D．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，] B．[﹣4，1] C．[，] D．[，1]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．312．已知f（x）=，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ln2] B．（﹣∞，﹣ln2] C．（﹣∞，﹣e] D．（﹣∞，﹣e]二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取名学生．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49=．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B 在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|，++=，则点B到直线AC的距离为．三、解答题17．（12分）（2021晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．18．（12分）（2021晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．19．（12分）（2021晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．20．（12分）（2021晋城三模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．21．（12分）（2021晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2021晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2021晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2021晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，则集合A∩B=（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{1，2，3} D．{2，4}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|x＞2}，∴A∩B={3，4}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数z=+（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】化简z，得到z=﹣i，从而求出z的模．【解答】解：z=+=+=﹣2i=﹣i，则|z|==，故选：A．【点评】本题考查了复数的化简求值，考查复数求模问题，是一道基础题．3．下列说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的必要不充分条件B．若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出特称命题的否定说明B错误；写出原命题的否命题说明C错误；由复合命题的真假判断及充要条件的判定方法说明D正确．【解答】解：对于A、由f（0）=0，不一定有f（x）是奇函数，如f（x）=x2；反之，函数f（x）是奇函数，也不一定有f（0）=0，如f（x）=．∴“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要的条件．故A错误；对于B、若p：∃x0∈R，x﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故B错误；对于C、命题“若x2﹣1=0，则x=1或x=﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”．故C错误；对于D、如命题p和命题q有且仅有一个为真命题，不妨设p为真命题，q为假命题，则￢p∧q为假命题，￢q∧p为真命题，则（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题；反之，若（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题，则￢p∧q或￢q∧p至少有一个真命题．若￢p ∧q真￢q∧p假，则p假q真；若￢p∧q假￢q∧p真，则p真q假；不可能￢p∧q与￢q∧p都为真．故命题p和命题q有且仅有一个为真命题的充要条件是（￢p∧q）∨（￢q∧p）为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判断方法，考查特称命题的否定，训练了复合命题的真假判断方法，是中档题．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据的等边三角形的性质，建立方程关系得到a，b的关系即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵右焦点F与虚轴的两个端点构成的三角形为等边三角形，∴tan∠OFB1=tan30°=，即，则b2=c2=（a2+b2），即a2=2b2，则a=b，即双曲线的渐近线方程为y==±x，则x±y=0，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据正三角形的边长关系建立a，b的关系是解决本题的关键．5．已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，则f（103）=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】抽象函数及其应用．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：∵定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+4）=f（x），∴f（x）为周期为4的周期函数，∴f（103）=f（26×4﹣1）=f（﹣1）=f（1）=f（1+4）=f（5），∵当x∈[4，5]时，f（x）=x+1，∴f（5）=5+1=6，故选：D．【点评】本题考点是函数的值，本题考查利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当T=，S=10时满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，T=40执行循环体，T=20，S=1，n=2不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=10，S=3，n=3不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=5，S=6，n=4不满足条件S﹣T＞2，执行循环体，T=，S=10，n=5满足条件S﹣T＞2，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．7．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a9=3，a6a10=9，则a7a8=（）A．B．2 C．4 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a7，a8的值，则a7a8可求．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{a n}中，由a5a9=3，a6a10=9，得，∴，则a7a8=．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于直线x=对称，则φ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】依题意知T，利用周期公式可求ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象和性质可得到φ=kπ﹣（k∈Z），结合范围|φ|≤，于是可求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）相邻两对称中心之间的距离为，∴T=，又ω＞0，∴T==π，∴ω=2；又∵g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+φ]=2sin（2x++φ）的图象关于直线x=对称，∴2×++φ=kπ+（k∈Z），∴φ=kπ﹣（k∈Z），又|φ|≤，∴φ=﹣．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．9．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（）A．6πB．12πC．8πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理建立方程，求出R，即可求出外接球O的表面积．【解答】解：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O=R﹣1，由勾股定理可得R2=（R﹣1）2+（）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：D．【点评】本题考查外接球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．10．已知实数x，y满足不等式组，则z=的取值范围是（）A．[﹣4，] B．[﹣4，1] C．[，] D．[，1]【考点】简单线性规划．【分析】根据分式的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的公式进行求解即可．【解答】解：z===1+，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，3）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知，AD的斜率最大，此时AD的斜率为0，即k=0，BD的斜率最小，此时B（0，﹣2），此时k==﹣5，则﹣5≤k≤0，则﹣4≤z≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，并画出直观图和对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的性质、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥P﹣ABCD，是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：∵平面PAC是正方体的对角面，∴中点B到平面PAC的距离是，由正方体的性质可得，几何体的体积V=V P﹣ACD+V P﹣ABC=V A﹣PCD+VB P﹣PAC==2，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，以及换底法求三棱锥的条件，由三视图和正方体正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知f（x）=，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ln2] B．（﹣∞，﹣ln2] C．（﹣∞，﹣e] D．（﹣∞，﹣e] 【考点】分段函数的应用．【分析】设f（a）=f（b）=f（c）=t，作出函数的图象，结合图象判断0＜t＜1，分别用t表示a，b，c，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可求a+3b+c的取值范围．【解答】解：先作出函数f（x）的图象如图：∵a＜b＜c．f（a）=f（b）=f（c），设f（a）=f（b）=f（c）=t，则0＜t＜1，则由f（a）=e a=t，得a=lnt，由f（b）=1﹣b=t，得b=1﹣t，由f（c）==t，得c=t2+1，则a+3b+c=lnt+3（1﹣t）+t2+1=t2﹣3t+lnt+4设g（t）=t2﹣3t+lnt+4，0＜t＜1，函数的导数g′（t）=2t﹣3+==，由g′（t）=0得t=，当0＜t＜时，g′（t）＞0，此时函数递增，当＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数递减，即当t=时，函数g（t）取得极大值同时也是最大值g（）=﹣+ln+4=﹣ln2，∴g（t）≤﹣ln2，即a+3b+c的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，设f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年级中抽取一个容量为30的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：5：6，则应从高一年级学生中抽取8 名学生．【考点】分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为4：5：6，∴从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为30的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．已知平面向量，，满足=+m（m为实数），⊥，=﹣2，||=2，则实数m=﹣2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可在的两边同乘以向量便可得出，而根据条件可得到，带入上式即可求出m的值．【解答】解：在两边同乘以得：；∵；∴，且；∴4=0﹣2m；∴m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，以及向量垂直的充要条件．15．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，则S49= 325 ．【考点】数列递推式．【分析】a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，可得a2n+a2n+1=n+1，于是S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）即可得出．【解答】解：∵a n+a2n=n，a2n+1=a n+1，∴a2n+a2n+1=n+1，则S49=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a48+a49）=1+（1+1）+（2+1）+…+（24+1）=1+2+…+25==325．故答案为：325．【点评】本题考查了递推关系、分组求和、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F（1，0），A，B，C是抛物线上不同的三点（其中B 在x轴的下方），且2|FB|=|FA|+|FC|，++=，则点B到直线AC的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由++=可知F为△ABC的重心，根据抛物线的性质和重心坐标公式求出A，B，C的坐标，得出AC方程，从而求出B到AC的距离．【解答】解：抛物线方程为y2=4x．准线方程为x=﹣1．∵++=，∴F为△ABC的重心．∴x A+x B+x C=3，y A+y B+y C=0．∴|FA|+|FB|+|FC|=x A+1+x B+1+x C+1=6．∵2|FB|=|FA|+|FC|，∴|FB|=2，|FA|+|FC|=2．∵B在x轴的下方，∴B（1，﹣2）．∴x A+x C=2，y A+y C=2．∵，x c=，∴，解得y A=1+，y C=1﹣．∴x A=1+，x c=1﹣．∴直线AC的方程为：y=2x﹣1．即2x﹣y﹣1=0．∴B到直线AC的距离d==．故答案为：【点评】本题考查了抛物线的性质，三角形重心的性质，点到直线的距离，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2021晋城三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2021晋城三模）为了解初三某班级的第一次中考模拟考试的数学成绩情况，从该班级随机调查了n名学生，数学成绩的概率分布直方图以及成绩在100分以上的茎叶图如图所示．（1）通过以上样本数据来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表的）；（2）从数学成绩在100分以上的学生中任选2人进行学习经验交流，求有且只有一人成绩是105分的概率．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】（1）由样本平均数的来估计这个班级模拟考试数学的平均成绩，（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，列举法易得．【解答】解：（1）数学的平均成绩为55×0.04+65×0.08+75×0.12+85×0.28+95×0.24+105×0.2+115×0.04=88.6分；（2）由茎叶图可知，100分以上的共有6人，从数学成绩在100分以上的学生中任选2人，共有（103，103），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（103，105），（103，105），（103，107），（103，112），（105，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112），（107，112）共有15种，其中有且只有一人成绩是105分的有（103，105），（103，105），（103，105），（103，105），（105，107），（105，112），（105，107），（105，112）共有8种，故有且只有一人成绩是105分的概率【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、概率等知识，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．19．（12分）（2021晋城三模）如图所示，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD 是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；（2）求三棱锥M﹣EFB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，而CD∥EF，故EF⊥平面PAD，于是平面BEF⊥平面PAD；（2）取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．则可证BN∥平面PCD，NQ⊥平面PCD，于是V M﹣EFB=V B﹣EFM=V N﹣EFM=．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，BC⊥CD，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．（2）解：取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．∵△PAD是边长为4的正三角形，∴ND=，PN=2，PN⊥AD∴NQ==．∵BC ND，BC⊥CD，∴四边形BCDN是矩形，∴NB∥CD，即NB∥平面PCD．∴V M﹣EFB=V B﹣EFM=V N﹣EFM．由（1）知CD⊥平面PAD，NQ⊂平面PAD，∴NQ⊥CD，又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD=D，∴NQ⊥平面PCD．∵EF是△PCD的中位线，∴S△EFM===2．∴V M﹣EFB=V N﹣EFM===．【点评】本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2021晋城三模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l1经过椭圆C的上顶点P且与圆x2+y2=4交于A，B两点，过点P作l1的垂线l2交椭圆C于另一点D，当△ABD的面积取得最大值时，求直线l1的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得：，=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．可得S △ABD．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．可得圆心O（0，0）到直线l1的距离d，于是|AB|=2．由l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．与椭圆方程联立解得x0，可得|PD|=|x0|．S△ABD=，即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：，=，又a2=b2+c2，联立解得b=c=1，a=．∴椭圆C的方程为+y2=1．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知直线l1的斜率垂直，当k=0时，直线l1的方程为y=1，|AB|=2，直线l2的方程为x=0，D（0，﹣1）．∴S△ABD==2．当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx+1．∴圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|=2=2．∵l1⊥l2，可得直线l2的方程为：x+ky﹣k=0．联立，化为：（2+k2）x2﹣4kx=0．解得x0=，∴|PD|==．S△ABD==．设t=，可得：k2=，则S△ABD==≤=，当且仅当t=，即k=时取等号．又，∴直线l1的方程为：y=x+1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2021晋城三模）已知f（x）=+﹣3，F（x）=lnx+﹣3x+2．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断出函数F（x）的大致图象，从而判断出函数的零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）F′（x）=f（x）=+﹣3，由（1）得：∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，使得f（x）在（0，x1）大于0，在（x1，x2）小于0，在（x2，+∞）大于0，即F（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，而F（1）=0，x→0时，F（x）→﹣∞，x→+∞时，F（x）→+∞，画出函数F（x）的草图，如图示：，故F（x）的零点有3个．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2021晋城三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明，，即可证明：=；（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，∴=，∠BAD=∠ADM，∵∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADM，∴AM=MD，∴，，∴，同理∴=；（Ⅱ）解：∵ADDE=BDCD，，∴DC=，∵△ADC∽△ABE，∴，∴ADAE=ABAC，∴AD（AD+DE）=ABAC，∴AD2=ABAC﹣ADDE=ABAC﹣BDDC=3×=，∴AD=．【点评】本题考查比例线段，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2021晋城三模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=6，圆C的参数方程是（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）分别求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（0＜α＜）与圆C的交点为O、P两点，与直线l的交于点M．射线ON：θ=α+与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）直线l的方程是y=6，利用y=ρsinθ可得极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），利用cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．可得=．同理可得：=，即可得出．【解答】解：（I）直线l的方程是y=6，可得极坐标方程：ρsinθ=6．圆C的参数方程是（φ为参数），可得普通方程：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．化为极坐标方程：ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）由题意可得：点P，M的极坐标方程为：（2sinα，α），．∴|OP|=2sinα，|OM|=，可得=．同理可得：==．∴=．当时，取等号．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数的单调性与值域、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2021晋城三模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜x+3；（Ⅱ）当a＞0时，证明：f（x）≥．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解出即可得出．（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．利用单调性即可证明．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）=|2x+1|+|x﹣1|=．由f（x）＜x+3，可得：，或，或，解得：，或，或．∴不等式f（x）＜x+3的解集为：．证明：（II）当a＞0时，f（x）=|2x+a|+|x﹣|=．当x＞时，f（x）＞+a．当x＜﹣时，f（x）＞+．当时，+≤f（x）≤+a．∴f（x）min=+≥=，当且仅当a=时取等号．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．精品Word 可修改欢迎下载。

山西省晋中市天星高级中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合则“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A2. 某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为A． B．C． D．参考答案：B3. 已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为，则该三棱锥的体积为(A) (B)(C) (D)参考答案：略4. 已知函数，则以下判断中正确的是（）A．函数f(x)的图象可由函数的图象向左平移而得到B．函数f(x)的图象可由函数的图象向左平移而得到C. 函数f(x)的图象可由函数的图象向右平移而得到D．函数f(x)的图象可由函数的图象向左平移而得到参考答案：A5. 《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.6. 在边长为1的正三角形ABC中，设，若则λ的值为（）A．B．2 C．D．3参考答案：D考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=2确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=﹣，即可求出λ的值．解答：解：由题意画出图象如右图：∵=2，∴D为BC的中点，则=，∵=λ，∴，则=﹣=﹣，∵=﹣，∴?[﹣]=，﹣+﹣=﹣+=，+，解得λ=3，故选：D．点评：本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．7. 已知上是单调增函数，则的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D略8. 函数，给出下列四个命题，其中命题正确的有：（ ）①函数在区间上是减函数；②直线是函数的图象的一条对称轴；③函数的图象可以由函数的图象向左平移而得到。

山西省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±14．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣145．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+69．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（）A．31 B．33 C．35 D．3712．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= ．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：联立得：，消去y得：2x﹣1=x2，即（x﹣1）2=0，解得：x=1，y=1，则A∩B={（1，1）}，故选：D．2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：若“”则“”一定成立若“”，则α=2kπ±，k∈Z，即不一定成立故“”是“”的充分不必要条件故选B3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±1【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到cosθ=0，sinθ=±1，即可求出直线l的方程．【解答】解：根据圆C：x2+y2=1，得到圆心坐标C（0，0），半径r=1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=1，解得：cosθ=0，sinθ=±1则直线l的方程为x=±1．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（3，﹣3）此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．故选：A．5．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=，由此能求出该球的表面积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，则OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为，∴O是该四棱锥的外接的球心，该球半径R====，∴该球的表面积为S=4=．故选：B．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】他从口袋中随意摸出2张，求出基本事件总数，再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数，由此能求出其面值之和不少于四元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==10，其面值之和不少于四元包含的基本事件个数m==5，∴其面值之和不少于四元的概率p==．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；且矩形的长为6，宽为2，四棱锥的高为4，如图所示：所以该四棱锥的表面积为S=S矩形ABCD+2S△PAB +2S△PBC=6×2+2××6×+2××2×=22+6．故选：D．9．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式先求出当x＜﹣1时的取值范围，然后根据函数f（x）的值域为R，确定当x≥﹣1时，函数f（x）的取值范围即可．【解答】解：当x＜﹣1时，则﹣x﹣1＞0，此时f（x）=2e﹣x﹣1＞2，若2a﹣1=0，则a=，此时当x≥﹣1时，f（x）=﹣1，此时函数f（x）的值域不是R，不满足条件．若2a﹣1＞0，即a＞时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为增函数，此时f（x）≥﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，此时函数的值域不是R，若2a﹣1＜0，即a＜时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为减函数，此时f（x）≤﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，若函数的值域是R，则1﹣4a≥2，即4a≤﹣1，即a≤﹣，故选：A．10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】延长OC 到D ，使OD=4OC ，延长CO 交AB 与E ，由已知得O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，推导出S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，由此能求出结果． 【解答】解：延长OC 到D ，使OD=4OC ， 延长CO 交AB 与E ， ∵O 为△ABC 内一点，且满足，∴=，∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，∴OD ：OE=2：1，∴OC ：OE=1：2，∴CE ：OE=3：2， ∴S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2， ∴=．故选：B ．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ）A．31 B．33 C．35 D．37【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i值是什么．【解答】解：模拟程序框图运行，如下；S=0，i=1，S≤30成立，S是整数，S=；i=3，S≤30成立，S不是整数，S=[]=0，S=；i=5，S≤30成立，S不是整数，S=[]=1，S=3；i=7，S≤30成立，S是整数，S=5；i=9，S≤30成立，S是整数，S=7；…i=31，S≤30成立，S是整数，S=29；i=33，S≤30成立，S是整数，S=31；i=35，S≤30不成立，终止循环，输出i=35．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，|z|=||，利用z•=|z|2，即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，|z|=||，∵z•=4，∴|z|2=4，则|z|=2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为[﹣3，3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，通过导函数大于0，解不等式即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣36≥0，解得：﹣3≤a≤3，故答案为：[﹣3，3]．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，=﹣，求得ω=2．再根据图象经过点（，0），可得2•+φ=kπ，k∈Z，求得φ=﹣，故函数f（x）=2sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故函数f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣1，故答案为：﹣1．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为36．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9，△AFH面积S=×（x+3）y，利用导数确定函数的单调性，即可求出△AFH面积的最小值．【解答】解：设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9△AFH面积S=×（x+3）y，t=S2=（x+3）2×12x=3x（x+3）2，t′=3（x+3）2+6x（x+3）=3（x+3）（3x+3）＞0，函数单调递增．∴x=9时，S最小，S2=3×9×122，S=36．故答案为：36．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由，3，a4，a10成等比数列．可得公比为2．再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，3，a4，a10成等比数列．∴公比为=2．∴a4=×22=6，a10==12．设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，于是a n=3+（n﹣1）=n+2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，于是S n=++…+=﹣=．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C，由题意可得△ABC是等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，利用菱形和等边三角形的性质可得A1D=DM，由面面垂直的性质可得BD⊥A1D，BD⊥DM，于是△A1DB≌Rt△MDB，于是BA1=BM；（II）根据等腰直角三角形的性质计算BD，以△A1C1M为棱锥的底面，则棱锥的高与BD相等．代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C．∵AB=BC，∴BD⊥AC．∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1ACC1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面A1ACC1，∵A1D⊂平面A1ACC1，DM⊂A1ACC1，∴BD⊥A1D，BD⊥DM．∵D，M是AC，CC1的中点，∴DM=，∵AC=AA1，∠A1AC=60°，∴四边形AA1C1C是菱形，△A1AC为等边三角形，∴A1D==DM，∴Rt△A1DB≌Rt△MDB．∴BA1=BM．（Ⅱ）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=2，∴BD=AD=AC=．∴A1D==．MC1==．S==．∵BB1∥平面AA1C1C，∴点B1到平面AA1C1C的距离h=BD=，∴V=V===．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）确定基本事件，即可求出径之差不超过1mm的概率．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，将直径为58，59，70，71，71，73的次品依次记为A，B，C，D，E，F从中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15种可能，而直径不超过1mm的取法共有AB，CD，CE，4种可能，由古典概型可知P=．…20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．（II）设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出△ABF2的面积．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…∵AF2⊥BF2，∴=0，∴=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4===0∴m2=7．…∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．…21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）求出g（x）的导函数g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0），当时，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0，则当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，从而可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．得，（x＞0）．若a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；若a＞0，时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，综上，若a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），若a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：g（x）=xf（x）+2=，（x＞0）．则g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0）．当时，g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1在（0，+∞）上单调递增，又g′（1）=﹣1＜0，，∴g′（2）=﹣a+ln2﹣1＞0，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0．则当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故而（a﹣2）x0+2．又g′（x0）=﹣ax0+lnx0+a﹣1=0，1＜x0＜2，∴．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA是⊙O的切线；（2）由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，利用AF：AB=1：，即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，∵A，E，F，C四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．∴∠DAC=∠FBE．∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切线．…（2）解：由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，∵AF：AB=1：．∴AF2：AB2=1：2．即过点A，E，F，C的圆的面积与⊙O的面积之比为1：2．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）先求出直线AB的方程，设P（4cosθ，3sinθ），求出P到直线AB的距离，由此能求出△ABP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144，由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144．即曲线C的直角坐标方程为．…（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：d==，当θ=时，d max=，∴△ABP面积的最大值为×|AB|×=6（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=5时，不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，移项平方，可得它的解集．（2）根据条件可得，由此求得a的范围，从而求得a的值．【解答】解：（1）当a=5时，不等式f（x）≥0可化为：|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，等价于（x﹣1）2≥（2x﹣5）2，解得2≤x≤4，∴不等式f（x）≥0的解集为[2，4]．（2）据题意，由不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，可得：，解得，∴9≤a＜10．又∵a∈Z，∴a=9．。

2021年山西省太原市高考数学模拟考试（文科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·广东省·月考试卷)已知复数z=2i1+i，则z的共轭复数z是()A. 1−iB. 1+iC. iD. −i2.(2021·山西省太原市·模拟题)已知集合A={x|x(x−1)=0}，B={x||x|=1}，则A∩B=()A. {−1,1}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {1}3.(2020·广西壮族自治区北海市·月考试卷)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是()A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差4.(2021·山西省太原市·模拟题)已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗))的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为()A. 169π4B. 21π2C. 13π2D. 4π5.(2021·山西省太原市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1=14，a2a4=2a3−1，则a5= ()A. 2B. 4C. 6D. 86.(2021·山西省太原市·模拟题)点P(m,√2m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点，且点P到该抛物线焦点的距离为3，则p=()A. 1B. 2C. 32D. 67. (2021·山西省太原市·模拟题)已知函数y =f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y =f(x)的解析式最可能是( )A. f(x)=cosxe x −e −x B. f(x)=sinxe x −e −x C. f(x)=cosx e x +e −x D. f(x)=sinx e x +e −x8. (2021·山西省太原市·模拟题)已知函数f(x)=a 2x 3−x 在点(1,f(1))处的切线经过点(2,6)，则实数a =( )A. ±1B. ±2C. ±√3D. ±√29. (2021·山西省太原市·模拟题)已知圆M ：(x −a)2+(y −b)2=3(a,b ∈R)与圆O ：x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则下列错误的结论是( ) A. MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值 B. 四边形OAMB 的面积是定值 C. a +b 的最小值为−√2D. a ⋅b 的最大值为210. (2021·山西省太原市·模拟题)在直角△ABC 中，a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是△ABC 的重心，若AG ⊥BG ，则cosC =( )A. √53B. √63C. 35D. 4511. (2021·山西省太原市·模拟题)已知三棱锥A −BCD 中，AB =BD =DA =2√3，BC ⊥CD ，BC =CD ，则当三棱锥A −BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为( )A. 48πB. 28πC. 16πD. 20π12. (2021·山西省太原市·模拟题)已知直线x −2y +n =0(n ≠0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，点P 的坐标为(n,0)，若|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是( )A. √2B. √3C. √153 D. √62二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·山西省太原市·模拟题)设a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则|a ⃗ −b ⃗ |=______ ．14. (2021·山西省太原市·模拟题)已知sinα+cosα=43，则sin2α= ______ ．15. (2021·山西省太原市·模拟题)已知点A(1,0)和B(2,m)，点M(x,y)是函数y =lnx 图象上的一个动点，若对于任意的点M(x,y)，不等式OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (其中O 是坐标原点)恒成立，则实数m = ______ ．16. (2021·山西省太原市·模拟题)已知矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，点E 是边CD上的动点，将△ADE 沿AE 折起至△PAE ，使得平面PAB ⊥平面ABC ，过P 作PG ⊥AB ，垂足为G ，则AG 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·山西省太原市·模拟题)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BAD =45°，AB =√2，△ABD 的面积为1+√22．(Ⅰ)求BD 的长；(Ⅱ)若∠BCD =120°，求BC +CD 的取值范围．18. (2021·山西省太原市·模拟题)2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个，如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区．(Ⅰ)根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值x −(精确到整数)； (Ⅱ)若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数．(Ⅲ)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．19.(2021·山西省太原市·模拟题)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，CE=DE，EF//DB，DB=2EF，平面CDE⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：平面BCF⊥平面ABCD；(Ⅱ)若直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥A−CEF的体积．20.(2021·山西省太原市·模拟题)已知函数f(x)=ax+1(a∈R)，g(x)=sinx+cosx．(Ⅰ)当a=1时，证明：不等式f(x)≥g(x)在[0,+∞)上恒成立；,+∞)上恒成立，求实数a取值的集合．(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)在[−π421. (2021·山西省太原市·模拟题)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是点A ，B ，直线l ：x =23与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB的斜率之积为−14，△ABD 的面积为4√23．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 是直线l ：x =23的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得|MN|为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22. (2021·山西省太原市·模拟题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2√2tt 2+1y =t 2−1t 2+1(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点A 在曲线C 上，且点A 到直线l 的距离为√22，求点A 的直角坐标．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|x+m2|+|2x−m|(m>0)．(Ⅰ)当m=1时，求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)若f(x)的最小值为3，且a+b=m(a>0,b>0)，求证：√a+2√b≤√5．2答案和解析1.【答案】A【知识点】共轭复数、复数的四则运算【解析】【分析】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，常考题型．复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi(a,b∈R)的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，所以它的共轭复数为1−i，故选A．2.【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】解：A={x|x(x−1)=0}={0,1}，B={x||x|=1}={1,−1}，则A∩B={1}．故选：D．分别求出A，B，然后结合集合交集运算即可求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数【解析】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故选：A．根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，分析可得答案．本题考查数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，属于基础题．【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13，对应的弧长l=2π×13×14=13π2，故选：C．根据题意，分析要求所对应的扇形的弧，所在圆的半径，由弧长公式可得答案．本题主要考查了斐波那契数的规律，扇形的弧长公式，属于基础题．5.【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，有a2a4=a32，则有a2a4=a32=2a3−1，解可得a3=1，又由a1=14，则a1a5=a32，解可得a5=4，故选：B．根据题意，由等比数列的性质可得a2a4=a32=2a3−1，解可得a3的值，结合等比中项的性质可得a1a5=a32，变形可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的通项公式，属于基础题．6.【答案】B【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：∵点P到该抛物线焦点的距离为3，∴p2+m=3，点P(m,√2m)(m≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点，可得2m2=2pm，解得p=2．故选：B．点P到该抛物线焦点的距离为3，把点P代入抛物线方程，解出p即可．本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【知识点】函数的解析式【解析】解：根据题意，由函数y=f(x)的图象，其定义域为{x|x≠0}，f(x)为奇函数，依次分析选项：，有e x−e−x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，对于A，f(x)=cosxe x−e−x=−f(x)，函数f(x)为奇函数，符合题意，且f(−x)=−cosxe x−e−x，有e x−e−x≠0，即x≠0，其定义域为{x|x≠0}，对于B，f(x)=sinxe x−e−x=f(x)，函数f(x)为偶函数，不符合题意，有f(−x)=sinxe x−e−x，e x+e−x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于C，f(x)=cosxe x+e−x，e x+e−x≠0恒成立，其定义域为R，不符合题意，对于D，f(x)=sinxe x+e−x故选：A．根据题意，由函数y=f(x)的图象，分析f(x)的定义域以及奇偶性，据此分析选项中函数的奇偶性和定义域，即可得答案．本题考查函数图象的分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，8.【答案】D【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数f(x)=a2x3−x的导数为f′(x)=3a2x2−1，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=3a2−1，，由切线经过点(2,6)，可得3a2−1=a2−1−61−2解得a=±√2．故选：D．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两点的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【知识点】圆方程的综合应用【解析】解：圆M 的圆心M(a,b)，半径r =√3，则△MAB 为边长为√3的等边三角形， ①：∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=√3×√3× 12=32，∴A 正确， ②：∵OA =OB =1，AB =√3，△OAB 的高ℎ=12， ∴S △ABO =12×12×√3=√34，∵S △MAB =√34×(√3)2=3√34， ∴S 四边形OAMB =√34+3√34=√3，∴B 正确，③：由②知 S 四边形OAMB =12×OM ×AB ，∴OM =2√3√3=2，即√a 2+b 2=2，∴a 2+b 2=4，∵2(a 2+b 2)≥(a +b)2，∴(a +b)2≤8，∴−2√2≤a +b ≤2√2，当且仅当a =b 时取等号，∴a +b 的最小值为−2√2，∴C 错误， ④：由③得，∵a 2+b 2=4≥2ab ，∴ab ≤2， 当且仅当a =b 时取等号，∴ab 的最大值为2，∴D 正确． 故选：C ．利用△MAB 为边长为√3的等边三角形判断A ，利用三角形的面积公式判断B ，利用相交两圆的性质和基本不等式判断C ，D ．本题考查圆与圆的位置关系，三角形的面积公式，基本不等式定理的应用，属于中档题..10.【答案】B【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设BC =m ，BA =n ，且m >0，n >0， 由G 是Rt △ABC 的重心，得G(m 3,n3)；所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗=(m 3,n 3)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 3,−2n3)， 因为AG ⊥BG ，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =m 29−2n 29=0，解得m =√2n ，又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−n)，所以cos∠ACB=m√m2+n2=√2n√2n2+n2=√2√3=√63．故选：B．根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求角的余弦值．本题考查了三角形的重心性质与应用问题，也考查了直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．11.【答案】C【知识点】球的表面积和体积【解析】解：∵BC⊥CD，BC=CD，BD=2√3，∴BC=CD=2√3√2=√6，又AB=AD=2√3，∴要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AC⊥平面BCD或平面ABD⊥平面BCD，当AC⊥平面BCD时，三棱锥A−BCD的高为√AB2−BC2=√12−6=√6，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A−BCD的高为√(2√3)2−(√3)2=3，故当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A−BCD的体积最大，如图，设△ABD的外心为O，则O到B、C、D的距离相等，即O为三棱锥A−BCD的外接球的球心，可得外接球半径R=OA=23√(2√3)2−(√3)2=2．∴其外接球的表面积为4π×22=16π．故选：C．由已知可得要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AC⊥平面BCD或平面ABD⊥平面BCD，进一步分析可得，当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A−BCD的体积最大，求解三角形可得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由题意，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，联立{y=baxx−2y+n=0，解得A(−ana−2b,−bna−2b)，联立{y=−baxx−2y+n=0，解得B(−ana+2b,−bna+2b)，AB的中点坐标为E(−a2na2−4b2,−2b2na2−4b2)，∵|PA|=|PB|，∴PE与直线x−2y+n=0垂直，即−2b2na2−4b2−a2na2−4b2−n⋅12=−1，整理得2a2=3b2，又b2=c2−a2，解得e=ca =√153．故选：C．分别联立双曲线的两条渐近线方程与已知直线方程求得A、B的坐标，再由中点坐标公式求得AB中点E的坐标，结合|PA|=|PB|，由PE所在直线斜率与已知直线斜率的关系列式求解．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】1【知识点】向量的数量积【解析】解：∵|a⃗|=|b⃗ |=1，|a⃗+b⃗ |=√3，∴(a⃗+b⃗ )2=1+1+2a⃗⋅b⃗ =3，∴2a⃗⋅b⃗ =1，∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√1+1−1=1．故答案为：1．根据条件对|a⃗+b⃗ |=√3两边平方即可求出2a⃗⋅b⃗ =1，然后根据|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2即可求出答案．本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】79【知识点】二倍角公式及其应用【解析】解：∵sinα+cosα=43，∴平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=169，∴sin2α=79，故答案为：79．由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦公式，计算求得结果． 本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦公式，属于基础题．15.【答案】−2【知识点】向量的数量积【解析】解：∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立， ∴2x +my ≥2，∵M(x,y)在y−=lnx 上，∴2x +mlnx −2≥0恒成立，设f(x)=2x +mlnx −2，(x >0)，①当m ≥0时，f(x)单调递增，∵f(1)=0，∴当0<x <1时，f(x)<0，不合题意， ②当m <0时，f′(x)=2+m x=2x+m x，当x >−m2时，f′(x)>0，当0<m <−m2时，f′(x)<0， ∴f(x)min =f(−m2)=−2−m +mln(−m2)≥0， 即−1−2m +ln(−m 2)≤0，令g(m)=−1−2m +ln(−m2)，则g′(m)=2m 2+1m =2+m m 2，当−2<m <0时，g′(m)>0，当m >−2时，g′(m)<0， ∴g(m)≥g(−2)=0，又∵g(m)≤0，∴g(m)=0，∴m =−2． 故答案为：−2．先把OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 恒成立，转化为2x +mlnx −2≥0恒成立，再分类讨论m 的值即可．考查向量坐标的数量积运算，考查恒成立问题，分类讨论方法的应用为解题的关键，属于中档题．16.【答案】[94,3)【知识点】面面垂直的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：设AG=x，DE=y，因为E为CD上的动点，平面PAB⊥平面ABC，因为PG⊥AB，PG⊂平面PAB，AB为平面PAB与平面ABCE的交线，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥AG，在△PAG中，PA=3，AG=x，所以PG2=PA2−AG2=9−x2，①因为EG2=9+(y−x)2，PE=y，△PGE中，PG2=PE2−EG2=y2−9−(y−x)2，②联立①②可得9−x2=y2−9−(y−x)2，即x=9y，因为3<y≤4，所以94≤x<3．故AG的范围是[94,3)．故答案为：[94,3)．设AG=x，DE=y，推得3<y≤4，由面面垂直的性质定理，可得PG⊥平面ABCD，运用勾股定理，求得x，y的关系式，即可得到所求范围．本题考查面面垂直的性质定理和勾股定理的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，△ABD的面积S=1+√22=12AB⋅AD⋅sin∠BAD，所以AD=1+√2，由正弦定理可得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠BAD=3，所以BD=√3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得BD=√3，设∠BDC=α，(0<α<60°)，由∠BCD=120°，利用正弦定理可得BCsinα=CDsin(60∘−α)=BDsin120∘=2，所以BC+CD=2[sinα+sin(60°−α)]=2sin(α+60°)，因为0<α<60°，所以√32<sin(α+60°)≤1，所以√3<BC+CD≤2，所以BC+CD的取值范围为(√3,2]．【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、余弦定理、正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABD中，由已知利用三角形的面积公式可求AD的值，由正弦定理即可求解BD的值．(Ⅱ)设∠BDC=α，(0<α<60°)，由∠BCD=120°，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求BC+CD=2sin(α+60°)，结合范围0<α<60°，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为：[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，∴估计当天这50个社区垃圾量的平均值为：x−=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08= 11.04≈11．(Ⅱ)由(Ⅰ)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，∴这200个社区中“超标”社区的概率为0.2，∴这200个“超标”社区的个数为200×0.2=40．(Ⅲ)由题意得样本中“超标”社区共有50×(0.12+0.08)=10个，其中垃圾量为[14,16)的社区有50×0.12=6个，垃圾量为[16,18)的社区有50×0.08=4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个基本事件为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10个，其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共7个，∴重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为：P=7=0.7．10【知识点】频率分布直方图、基本事件【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图能估计当天这50个社区垃圾量的平均值．(Ⅱ)由频率分布直方图求出该样本中“超标”社区的频率，由此能求出这200个“超标”社区的个数．(Ⅲ)先求出样本中“超标”社区共有10个，其中垃圾量为[14,16)的社区有6个，垃圾量为[16,18)的社区有4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为[14,16)的社区有3个，分别记为a，b，c，按垃圾量为[16,18)的社区有2个，分别记为d，e，从中选取2个，利用列举法能求出重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率．本题考查平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心数学素养，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：设点G、H分别是CD，CB的中点，连接EG，FH，GH，则GH//DB，且DB=2GH，因为EF//DB，且DB=2EF，所以EF//GH，且EF=GH，所以EFGH是平行四边形，可得FH//EG，因为CE=DE，所以EG⊥CD，因为平面CDE⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，因为FH⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面ABCD；(Ⅱ)连接BG，由(Ⅰ)可得EG⊥平面ABCD，因为直线BE与平面ABCD所成角为45°，所以∠EBG=45°，所以BG=EG，设AC∩BD=O，连接OE，可得OEFB是平行四边形，所以OE//BF，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是边长为2的等边三角形，所以BG=√3，S△ABC⋅EG所以V A−CEF=V F−ACE=V B−ACE=V E−ABC=13=13S△BCD⋅EG=13×√34×4×√3=1．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、面面垂直的判定【解析】(Ⅰ)设点G、H分别是CD，CB的中点，运用三角形的中位线定理和平行四边形的判断和性质，推得FH//EG，由面面垂直的性质和判定定理，即可得证；(Ⅱ)连接BG，由线面角的定义，推得∠EBG=45°，再由等积法，结合三棱锥的体积公式，即可得到所求值．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，以及直线和平面所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：当a=1时，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x+1−sinx−cosx，x∈R，则ℎ′(x)=1−cosx+sinx，当0≤x<π4时，ℎ′(x)=1−cosx+sinx>0，所以ℎ(x)在[0,π4)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以f(x)≥g(x)，当x≥π4时，ℎ(x)=x+1−√2sin(x+π4)≥π4+1−√2>0，所以f(x)≥g(x)．综上所述，当a=1时，不等式f(x)≥g(x)在[0,+∞)上恒成立．(Ⅱ)令t(x)=f(x)−g(x)=ax+1−sinx−cosx，x≥−π4，则t′(x)=a−cosx+sinx，(1)当x≥0时，由题意得t(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，因为t(0)=0，所以t′(0)=a−1≥0，所以a≥1，当a≥1时，由(Ⅰ)得t(x)=ax+1−sinx−cosx≥x+1−sinx−cosx≥0，所以当t≥0在[0,+∞)上恒成立时a≥1；(2)当−π4≤x<0时，由题意得t(x)≥0在[−π4,0)上恒成立，因为t(0)=0，所以t′(0)=a−1≤0，所以a≤1，当a≤1时，t(x)=ax+1−sinx−cosx≥x+1−sinx−cosx，由(Ⅰ)得ℎ′(x)=1−cosx+sinx=1+√2sin(x−π4)<0，所以ℎ(x)在[−π4,0)上单调递减，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以t(x)≥0，所以当t(x)≥0在[−π4,0)上恒成立时a≤1．综上所述，实数a的取值集合为{1}．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(Ⅰ)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，对ℎ(x)求导，利用导数求出ℎ(x)≥0，即可得证； (Ⅱ)令t(x)=f(x)−g(x)，对t(x)求导，分x ≥0，和−π4≤x <0两种情况求出a 的取值范围，最后取交集即可求得实数a 取值的集合．本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：(Ⅰ)设D(23,y 0)，由题意得{ k DA ⋅k DB =y 023+a ⋅y 023−a=−1412×2a ×|y 0|=4√2349a 2+y 02b 2=1， ∴{b 2=1a 2=4， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0)，由题意得TP ⊥BQ ， 设直线AP 的方程为：x =my −2，点Q(x 1,y 1)，P(32,t)， 由{x =my −2x 24+y 2=1得：(m 2+4)y 2−4my =0， ∴y 1=4m m 2+4或y 1=0(舍去)， ∴x 1=2m 2−8m 2+4，∴Q(2m 2−8m 2+4,4mm 2+4)， ∵23=mt −2，∴t =83m ，∴P(32,83m)∵TP ⊥BQ ，∴TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23−x 0)(x 1−2)+ty 1=0， ∴x 0=23+ty 1x1−2=23+83m ⋅4mm 2+4⋅m 2+4−16=0，∴直线PM 过定点T(0,0)，取OB 的中点N(1,0)，由OM ⊥BM 可知△MOB 为直角三角形， ∴|MN|=12|OB|=1，∴存在定点N(1,0)，使得|MN|=1．【解析】(Ⅰ)设D(23,y 0)，根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，得到椭圆C 的方程．(Ⅱ)假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点T(x 0,0)，由题意得TP ⊥BQ ，设直线AP 的方程为：x =my −2，与椭圆方程联立，求出点Q 的坐标，联立直线x =32与直线AP 的方程，求出点P 的坐标，代入TP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得x 0=0，所以直线PM 过定点T(0,0)，取OB 的中点N(1,0)，则|MN|=12|OB|=1，所以存在定点N(1,0)，使得|MN|=1． 本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的标准方程，考查了学生的计算能力，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =2√2tt 2+1y =t 2−1t 2+1(t 为参数)，转换为普通方程为x 22+y 2=1(y ≠1)．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x −y −1=0．(Ⅱ)由于(Ⅰ)得：曲线C 的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，利用点A(√2cosθ,sinθ)到直线l 的距离公式： d =√2cosθ−sinθ−1|√2=√22， 整理得√2cosθ=sinθ或√2cosθ−sinθ=√3cos(θ+α)=2， 所以cosθ=±√33，当cosθ=√33时，A(√63,√63)，当cosθ=−√33时，A(−√63,−√63).【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出t 的值．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出t 的值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当m =1时，原不等式为|x +1|+|2x −1|≤6，即{x <−1−(x +1)−(2x −1)≤6或{−1≤x ≤12x +1−(2x −1)≤6或{x >12x +1+2x −1≤6， 解得−2≤x <−1或−1≤x ≤12或12<x ≤2， ∴原不等式的解集为[−2,2]；(Ⅱ)证明：由题意可得f(x)={−3x −m 2+m,x <−m 2−x +m 2+m,−m 2≤x ≤m 23x +m 2−m,x >m2，∴f(x)min =f(m2)=m 2+12m =32，∴m =1或m =−32(舍去)，∴a +b =1，令{a =cos 2θb =sin 2θ(0<θ<π2)，∴√a +2√b =cosθ+2sinθ=√5sin(θ+φ)≤√5，当θ=π2−φ(0<φ<π2,且tanφ=12)时，取等号．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(Ⅰ)当m =1时，原不等式为|x +1|+|2x −1|≤6，分类讨论解不等式即可． (Ⅱ)由(Ⅰ)分析可得m =1，进而a +b =1，通过三角换元，结合三角函数的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的求解以及利用三角换元法证明不等式，同时也考查了三角函数的恒等变换及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．。

2021年山西省运城市郭家庄中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.34B.55C.78D.89参考答案：B 2. 设椭圆（）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交椭圆于P，B两点（点P在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线l1与直线l交于A点，且满足，设O为坐标原点，若（，），，则该椭圆的离心率为（）A．B． C．或D．参考答案：A∵、、三点共线，∴又∵∴或∵∴∵过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点（点在第一象限）∴，∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线与直线交于点∴直线的方程为为∴∵∴，即.∴，即.∴∵∴故选A.3. 已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（）A．B．C．D．参考答案：D略4. i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故选：A．5. 已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：A【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据两角和的正切公式，结合已知可得tanα=，代入万能公式，可得答案．【解答】解：∵tan（+α）==2，∴tanα=，∴sin2α==，故选：A6. 已知若或，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B略7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为A．B．C．或D．或参考答案：D8. 已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )(A). 若m//n，nα，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n,则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β参考答案：A选项，直线可能在平面内；B选项，如果直线不在平面内，不能得到；C选项，直线与可能平行，可能异面，还可能相交；故选.9. 如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是（）A.在区间(－2,1)内是增函数B.在(1,3)内是减函数C.在(4,5)内是增函数D. 在x=2时, 取到极小值参考答案：C10. 二项式的展开式中的常数项为（）A. －15B. 20C. 15D. －20参考答案：C 【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令幂指数为零，可求得，代入展开式通项可求得常数项.【详解】二项式展开式通项为：令得：常数项为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线y2=16x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的方程是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程即可．【解答】解：抛物线y2=16x的准线x=﹣4过双曲线的一个焦点（﹣4，0），双曲线的一条渐近线为，可得b=，c=，解得a=2，b=2，所求双曲线方程为：．故答案为：．12. 求值：_________．参考答案：1=1【点睛】考查对数的运算性质，比较简单。