广义Burgers-BBM方程波前解的持续性

BBM-Burgers方程解的适定性研究中期报告
BBM-Burgers方程是描述非线性波动现象的一类偏微分方程，其具有重要的应用背景和科学意义。

在对该方程解的适定性展开的研究中，我们遵循了定性分析和定量分析相结合的思路，深入探讨了该方程解存在性、唯一性、以及长时间行为等方面的问题。

首先，我们通过变量变换，将BBM-Burgers方程化为一个更为常用的形式，即KdV-Burgers方程。

接着，我们利用能量估计方法，推导了KdV-Burgers方程解的存在性定理。

利用相对熵的概念，我们还给出了该方程解的渐近稳定性定理。

在此基础上，我们进一步研究了KdV-Burgers方程解的唯一性和长时间行为问题。

通过对斯托克斯方程的分析，我们证明了KdV-Burgers 方程解的唯一性，并且证明了解的稳定性，即任意两个解之间存在稳定性差距。

此外，我们还利用Gilbert-Strang定理证明了解的全局存在性和长时间演化行为的存在性。

总体来说，我们在该方程的适定性研究中取得了一定的成果。

在未来的研究中，我们将继续深入探讨该方程解的各种性质，探索其更为深刻的数学结论和物理意义。

一类广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题张能伟;陈翔英【摘要】The existence and uniqueness of the global generalized solution ν∈C([0,∞ ) ; Hs ( R) ) ∩C1 ( [0,∞ ) ;Hs-2(R) ) (s≥4) and the global classical solution of a generalized BBM-Burgers equationrnvt -avxxt -βvxx + γvxxxx +f(v)x =G(v) +h(vx)x +g(v)xx ,x ∈ R,t >0,rnv(x,0) =vo(x) , x ∈ Rrnwere proved. Moreover, the decay estimate of the solution was given.%证明了广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R,t＞0,v(x,0)=v0(戈),x∈R存在唯一整体强解v∈C([0,∞)；Hs(R))∩C′([0,∞)；Hs-2(R))(s≥4)和唯一的整体古典解,并给出解的衰减估计.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(044)002【总页数】7页(P24-30)【关键词】广义BBM-Burgers方程;Cauchy问题;整体解;解的衰减估计【作者】张能伟;陈翔英【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院河南安阳455002;郑州电力高等专科学校经济贸易系河南郑州450004【正文语种】中文【中图分类】O175.29;O175.260 引言文[1]研究了具有耗散项的多维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题(1)u(x,0)=u0(x), x∈RN(2)解的最优瞬间衰减估计，其中，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T是未知向量值函数，fj(u)=(fj1(u),…,fjn(u))T(j=1,2,…,N)是定义在是以某一固定点为球心，l为半径的闭球，而l>0为任意固定常数)上的任意n×1光滑向量值流量函数.文[2]证明了具有耗散项的一维广义BBM-Burgers方程组Cauchy问题ut+f(u)x-αuxxt-βuxx+γuxxxx=0, x∈R, t>0,(3)u(x,0)=u0(x), x∈R(4)整体光滑解的存在性和收敛性，其中，α,β,γ>0为常数，u(x,t)=(u1(x,t),…,un(x,t))T和f(u)=(f1(u),…,fn(u))T为光滑向量值函数.文[3]研究了多维的Cauchy问题(3)，(4)整体光滑解的存在性和收敛性，所得结果推广了Cauchy问题(3)，(4)的结果.作者研究下列广义BBM-Burgers方程的Cauchy问题vt-αvxxt-βvxx+γvxxxx+f(v)x=G(v)+h(vx)x+g(v)xx,x∈R, t>0,(5)v(x,0)=v0(x), x∈R,(6)其中，v(x,t)表示未知函数，等,α,β,γ>0为常数，f(s),h(s),G(s)和g(s)为给定的非线性函数，v0(x)是定义在R上的已知初值函数.作者采用以下记号：Lp(1≤p≤∞)表示所有定义在R上Lp可积函数的空间，并赋予范数‖·‖Lp=‖·‖p,‖·‖L2=‖·‖;Hs(R)表示R上的Sobolev空间，赋予范数其中，是单位算子,表示u(x,t)对x的Fourier变换.1 Cauchy问题(5),(6)局部解的存在性和唯一性为了讨论方便起见，对方程(5)和初值条件作尺度变换(7)于是方程变为(8)而初值变为若令则Cauchy问题(5)，(6)变为ut-uxxt-uxx+uxxxx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx,x∈R, t>0,(9)u(x,0)=u0(x), x∈R.(10)所以作者只需研究Cauchy问题(9)，(10)整体强解和整体古典解的存在性、唯一性和解的衰减性质，因为通过变换(7)可得Cauchy问题(5)，(6)的结果.为了将Cauchy问题(9)，(10)转化为积分方程，引入常微分方程的基本解和几个引理.令F(x)是常微分方程w(x)-wxx(x)=δ(x)(11)的基本解，其中,δ(x)为Dirac函数，即易证基本解满足下面的引理.引理1 ① F(x)在R上有意义、连续且F(x)>0;② F(x)∈Lq,其中，1≤q≤∞且‖F‖1=1；③其中，是F(x)的Fourier变换；④‖F*f‖Hs(R)=‖f‖Hs-2(R),∀s∈R,其中，F*f(x)表示函数F和f的卷积.引理2[4] 假设f(u)∈Ck(R),f(0)=0,u∈L∞∩Hs(R)且k=[s]+1,s≥0.如果‖u‖L∞(R)≤M,则‖f(u)‖Hs(R)≤C1(M)‖u‖Hs(R),其中，C1(M)是依赖于M的常数.引理3[5] 假设s≥0,f(u)∈Ck(R)(k=[s]+1),u,v∈L∞∩Hs(R),如果‖u‖L∞(R)+‖u‖Hs(R)≤M,‖v‖L∞(R)+‖v‖Hs(R)≤M,则‖f(u)-f(v)‖Hs(R)≤C2(M)‖u-v‖Hs(R),其中，C2(M)是依赖于M的常数.设u(x,t)∈C1([0,T];Hs(R))(s≥4)是问题(9)，(10)的强解，则方程(9)可写为ut-uxx-[ut-uxx]xx+f(u)x=G(u)+h(ux)x+g(u)xx.(12)令f(0)=h(0)=g(0)=G(0)=0,由方程(12)和基本解F(x)可知=F*[G(u)+h(ux)x-f(u)x+g(u)xx].(13)定义1 对于任意T>0，如果s≥2,函数u(x,t)∈C([0,T);Hs(R))∩C1([0,T);Hs-2(R))是问题(13)，(10)的解，则称u(x,t)是问题(9)，(10)的强解.如果T<∞，则称u(x,t)为问题(9)，(10)的局部强解;如果T=∞,则称u(x,t)为问题(9),(10)的整体强解.为了应用压缩映射原理证明问题(13),(10)存在唯一的整体解,首先考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],(14)u(x,0)=u0(x), x∈R.(15)引理4 令s∈R.设对任意的T>0，u0∈Hs(R),φ∈L1([0,T];Hs(R)),则问题(14)，(15)存在唯一强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R))且有估计(16)证明类似于文献[6],证明波动方程的Cauchy问题utt-uxx=φ(x,t), (x,t)∈R×[0,T],u(x,0)=u0(x), ut(x,0)=u1(x), x∈R解的存在唯一性，可以证明问题(14)，(15)存在唯一的强解u(x,t)∈C([0,T];Hs(R)).下面证明估计式(16)成立.方程(14)两边作Fourier变换，有(17)(17)式两端同时乘以eξ2t,得从0到t积分可知(18)其中，是u0(x)的Fourier变换.因为e-ξ2t≤1,由(18)式得(19)引理证毕.对于s≥2,u0∈Hs(R),定义函数空间X(T)={w|w∈C([0,T];Hs(R))},其范数定义为显然X(T)是一个Banach空间.对于任意M，T>0,定义集合P(M,T)={w|w∈X(T),‖w‖X(T)≤M},显然P(M，T)是X(T)中一不空有界闭凸集，对于w∈X(T)，u0∈Hs(R),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1，考虑下列线性方程的Cauchy问题ut-uxx=F*[G(w)+h(wx)x-f(w)x+g(w)xx], x∈R, t>0,(20)u(x,0)=u0(x), x∈R.(21)令S表示由w到问题(20)，(21)的唯一解的映射，由引理4知，S映X(T)到X(T). 定理1 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1.如果T相对于M充分小，则S：P(M，T)→P(M，T)是严格压缩的.证明当s≥2时，由Sobolev嵌入定理推得其中，是由定义在R上的连续函数和一阶有界连续导数全体组成的空间且C3是一嵌入常数.令由引理1和引理2得(22)其中，故所以由引理4知(23)如果M和T满足(24)则由(23)式推出‖u(·,t)‖Hs(R)≤M.因此，如果(24)式成立，则S映P(M，T)到P(M，T).下证S:P(M,T)→P(M,T)是严格压缩的.给定w1,w2∈P(M,T).令u1=Sw1,u2=Sw2,u=u1-u2,w=w1-w2,则u(x,t)满足下列Cauchy问题ut-uxx= F*[G(w1)-G(w2)+h(w1x)x-h(w2x)x-(f(w1)x-f(w2)x)+g(w1)xx-g(w2)xx],x∈R, t>0,(25)u(x,0)=0, x∈R.(26)由引理1和引理3推出‖F*[f(w1)x-f(w2)x]‖Hs(R) ≤‖f(w1)-f(w2)]‖Hs-1(R)(27)类似可知(28)(29)(30)所以由引理4和(27)～(30)式有(31)如果T满足(24)式和(32)则由(31)式得定理证毕.定理2 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一的局部强解u(x,t)∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)),其中，[0，T0)是解存在的最大时间区间，同时如果(33)则T0=∞.证明由定理1和压缩映射原理知，对于适当选择的T>0,S有唯一不动点u(x,t)∈P(M,T),显然它是问题(9)，(10)的局部广义解，易证对于每一T′>0,问题(9)，(10)至多有一解u∈X(T′).下面证明u∈C1([0,T0);Hs-2(R)).由方程(13)和引理1，2推出所以Cauchy问题(9)，(10)存在唯一强解u∈C([0,T0);Hs(R))∩C1([0,T0);Hs-2(R)). 令[0，T0)是解u∈X(T0)存在的最大时间区间，利用文献[7]中的标准方法可证如果(33)式成立，则T0=∞.定理证毕.下面将解的延拓条件(33)转化为以下定理3中的(34)式.定理3 设u0∈Hs(R)(s≥2),g,f,h,G∈Ck(R),f(0)=g(0)=h(0)=G(0)=0且k=[s]+1，又设[0，T0)是问题(9)，(10)解u(x,t)存在的最大时间区间，如果(34)则T0=∞.证明由(34)式可知‖u(·,t)‖L∞(R)<λ,t∈[0,T0).令由引理1和引理2得≤C1(λ)‖u‖Hs-2(R)+C1(λ)‖ux‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs-1(R)+C1(λ)‖u‖Hs(R)≤4C1(λ)‖u‖Hs(R) =C5(λ)‖u‖Hs(R).由引理4推出利用Gronwall不等式给出由定理2知T0=∞.定理证毕.2 Cauchy问题(9) ，(10)的整体解为了证明问题(9)，(10)存在唯一的整体强解和整体古典解，先引入下面一个有用的引理.引理5[8] 设是一个非负整数集合)，则Hs(R)嵌入Cm,λ(R)和对于任意w∈Hs(R)有|Dkw(x)|→0(|x|→∞), ∀k∈N, 0≤k≤m,其中，Cm,λ(R)表示Hölder空间和定理4 设u0∈Hs(R)(s≥4),g,f,h,G∈Ck(R)且k=[s]+1,h(0)=0且h′(z)≥0,∀∀z∈R,g′(z)≥0;G(0)=0且存在常数γ0>0,使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0.则Cauchy问题(9)，(10)有唯一的整体强解u(x,t)∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R)).证明根据定理3，只需证明(34)式成立即可.方程(9)两端同乘以2u，并在R上积分可得(35)其中，(·，·)表示L2(R)中的内积.利用引理5和中值定理有(36)(h(ux)x,u)=-(h′(θ1ux)ux,ux)≤0,(37)(g(u)xx,u)=-(g′(u)ux,ux)≤0,(G(u),u)=(G′(θ2u)u,u)≤γ0‖u‖2,(39)其中，0<θ1,θ2<1.将(36)～(39)式代入(35)式后，对t积分可得利用Gronwall不等式有由嵌入定理可得定理证毕.注1 如果则Cauchy问题(9)，(10)存在唯一整体古典解3 Cauchy问题(9)，(10)解的衰减性质定理5 设以下条件成立：①② G∈C1(R),G(0)=0且存在常数γ0>0，使得∀z∈R成立G′(z)≤-γ0;③1 h∈C1(R),∀z∈R,h(z)z≥0;③2 h∈C1(R)，h(0)=0,存在常数α0>0,使得∀z∈R成立h′(z)≥α0;④ g∈C2(R),存在常数β0>0,使得∀z∈R成立g′(z)≥β0.如果条件①，②，③1和④成立，min(γ0,1+β0)=σ0，则Cauchy 问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σ0t,t≥0.(40)如果条件①，②，③2和④成立，min(γ0,1+α0+β0)=σ，则Cauchy问题(9)，(10)的整体强解u∈C([0,∞);Hs(R))∩C1([0,∞);Hs-2(R))(s≥4)和整体古典解u(x,t)有衰减性质‖u‖2+‖ux‖2≤(‖u0‖2+‖u0x‖2)e-2σt,t≥0.证明利用引理5和对x进行分部积分，如果对于任意的z∈R,h(z)z≥0,得(h(ux)x,u)=-(h(ux),ux)≤0;(42)如果h′(z)≥α0,利用中值定理有(h(ux)x,u)=-(h(ux)-h(0),ux)=-(h′(θ3ux)ux,ux)≤-α0‖ux‖2,(43)其中，0<θ3<1;又有(g(u)xx,u)=-(g′(ux)ux,ux)≤-β0‖ux‖2.(44)和(G(u),u)=(G′(θ4u)u,u)≤-γ0‖u‖2,(45)其中，0<θ4<1.将(36)，(42)，(44)和(45)式代入(35)式，得(46)解不等式(46)，推知(40)式成立.将(36)，(43)～(45)式代入(35)式,有(47)解不等式(47)，推知(41)式成立.定理5得证.致谢此文在郑州大学数学系陈国旺教授的指导下完成，特此感谢！参考文献：[1] Zhao Huijiang.Optimal temporal decay estimates for the solution to the multidimensional generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Applicable Analysis,2000,75(1/2):85-105.[2] Zhao Huijiang,Xuan Benjin.Existence and convergence of solutions for the generalized BBM-Burgers equations with dissipative term[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods & 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报告编号：L06-0科技查新报告项目名称：与项目名称这四个字的字体大小一致，不要改委托人：同上，不要改委托日期：二○○七年月日查新机构（盖章）：教育部科技查新工作站(L06)查新完成日期：二○○七年月日中华人民共和国科学技术部二○○○年制填写说明一、在填写本报告之前，应当仔细阅读《科技查新规范》的第9部分。

二、查新报告格式说明本报告采用A4纸，左、右页边距为28mm，上、下页边距为30mm。

每栏的大小，可随内容调整。

三、报告内容应当打印；签字使用钢笔或者炭素笔。

四、“报告编号”的填写方法报告编号为十四位，左起第一至四位为公历年代号，第五、六位为省、自治区、直辖市编码，第七、八、九位为查新机构编号，第十至十四位为报告序号，以上编号不足位的补零。

各省、自治区、直辖市的编码按GB/T 2260—1995规定填写。

（报告序号由各查新机构自行编排）五、查新目的可分为立项查新、成果查新等。

立项查新包括申报各级、各类科技计划，科研课题开始前的资料收集等；成果查新包括为开展成果鉴定、申报奖励等。

六、查新项目的科学技术要点本报告中的科学技术要点应当以查新合同中的科学技术要点为基础，参照查新委托人提供的科学技术资料做扼要阐述。

七、查新点与查新要求本报告中的查新点和查新要求应当与查新合同中的一致。

查新点是指需要查证的内容要点。

查新要求是指查新委托人对查新提出的具体愿望。

一般分为以下四种情况：（1）希望查新机构通过查新，证明在所查范围内国内外有无相同或类似研究；（2）希望查新机构对查新项目分别或综合进行国内外对比分析；（3）希望查新机构对查新项目的新颖性作出判断；（4）查新委托人提出的其他愿望。

八、文献检索范围及检索策略应当列出查新员对查新项目进行分析后所确定的手工检索的工具书、年限、主题词、分类号和计算机检索系统、数据库、文档、年限、检索词等。

九、检索结果应当根据查新项目的科学技术要点，将检索结果分为密切相关文献和一般相关文献。

几类非齐次偏微分方程周期行波解的存在性本文分四章,主要讨论了几类非齐次偏微分方程周期行波解的存在性.第一章,叙述了各种广义BBM方程和KdVB方程以及广义Boussinesq方程的周期行波解存在性的研究现状,并给出了本文的主要研究方法.第二章,研究了一类广义非齐次BBM方程(p(u))t +(f(u))x + ∈uxx + δuxxt + ku = h(x-βt),x ∈
R,t&gt;0,和KdVB方程(p(u))t +(f(u))x + ∈uxx + δuxxx + ku = h(x-βt),x ∈R,t&gt;0,的周期行波解的存在性,其中∈,和β是非零常数;p,f ∈C1(R),g,h ∈ C(R);不恒为0,以2T为周期(T&gt;0),且具有以下性质(?)通过求解格林函数,将周期边值问题转化为相应的积分方程来研究.最后使用不动点定理得到了上述方程周期行波解的存在性,推广并改进了相应文献中的已有结果.第三章,研究了一类广义非齐次Boussinesq方程utt+[f(u)]tt-uxx +[9(u)]xx + uxxxx = h(x —βt)的周期行波解的存在性,其中u = u(t,x),f,p,h ∈ C2(R);h不恒为0,以2T为周期(T&gt;0),且具有以下性质(?)通过使用格林函数方法及不动点理论,
得到了该方程周期行波解的存在性.第四章,总结前两章研究得到的结果,并给出自己对后续工作的想法.。