高中数学奥赛系列辅导材料 数列奥赛竞赛练兵

高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)高中数学竞赛辅导讲座---数列一、学习目标数列是高中数学的重要内容之一，也是高考及高中数学联赛考查的重点。

而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。

近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

二、知识要点（一）、数列的基础知识1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn； 1.1 已知Sn求an(n?1)?S1对于这类问题，可以用公式an=?.S?S(n?2)n?1?n1.2 已知an求Sn这类问题实际上就是数列求和的问题。

数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。

?a?a2．递推数列：?1，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联a?f(a)n?n?1系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

（二）、等差数列与等比数列1．定义：数列{an}为等差数列?an+1-an=d?an+1-an=an-an-1；数列{bn}为等比数列?bn?1?q?bn?1?bn。

anbnbn?12．通项公式与前n项和公式：数列{an}为等差数列，则通项公式1（共16页）an=a1+(n-1)d, 前n项和Sn=n(a1?an)n(n?1)d=na1?.22(q?1)?na1?数列{an}为等比数列，则通项公式an=a1qn-1, 前n项和Sn=?a1(1?qn).(q?1)?1?q?3．性质：每连续m项的和若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 仍组成等差数列,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列每连续m项的和若m+n=p+q，则aman=apaq 仍组成等比数列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等比数列（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。

高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。

首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。

在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。

数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。

等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。

等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。

等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。

这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。

数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。

递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。

启东中学奥赛训练教程高中数学为了帮助同学们更好地准备奥赛，提高数学竞赛的成绩，以下是一些高中数学奥赛训练的重点内容和方法。

一、数列和数列极限1.1 数列的定义和常见性质数列是按一定顺序排列的一组数，常用a1, a2, a3,...,an表示。

了解数列的定义和常见性质对解决数学竞赛题目至关重要。

1.2 数列的通项公式数列通项公式可以将数列中的每一项表示为n的函数，了解常见数列的通项公式有助于快速计算和判断数列的性质。

1.3 数列极限的概念与性质数列极限是指当数列的项趋于无穷大或无穷小时，数列的极限值，了解数列极限的概念和性质能够帮助我们更好地理解数列的发展趋势。

二、函数与方程2.1 函数的概念与性质函数是将一个自变量映射到一个因变量的规则，在数学竞赛中，掌握函数的概念和性质能够帮助我们解决各种与函数相关的题目。

2.2 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是数学竞赛中经常出现的函数类型，了解它们的特点、性质和图像有助于我们在考试中迅速解题。

2.3 一元高次方程一元高次方程是一种常见的数学题型，它的解法需要掌握多项式的基本性质和求根方法。

对于数学竞赛来说，熟练解一元高次方程是考验数学能力的一项重要内容。

三、平面向量与解析几何3.1 平面向量的概念与运算平面向量是指具有大小和方向的量，在数学竞赛中，熟练掌握平面向量的加减、数量积和向量积等运算有助于解决与向量相关的问题。

3.2 点与直线的位置关系点与直线的位置关系是解析几何中的热门话题，了解点到直线的距离、点与直线的位置关系等概念和性质，可以帮助我们更好地理解几何问题。

3.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系也是解析几何中的重要内容，掌握圆的性质、相交关系和切线等概念，能够帮助我们解决与圆相关的问题。

以上就是启东中学奥赛训练教程高中数学的主要内容。

希望同学们通过学习和练习这些知识点，能够在数学竞赛中取得更好的成绩。

努力学习，勇攀高峰！。

新编高中数学奥赛指导
新编高中数学奥赛指导是针对高中数学奥林匹克竞赛的准备教材，旨在帮助学生在数学奥赛中取得较好的成绩。

以下是一些指导建议：
1. 熟悉竞赛内容：了解数学奥赛的题型和要求，包括选择题、填空题、证明题等。

查阅往年的数学奥赛试卷，对常见的题型进行整理和总结。

2. 系统地学习数学知识：奥赛题目通常会涉及广泛的数学知识点，建议系统地学习数学课本中的相关章节，并适时查阅其他进阶教材。

充分理解基本概念和定理，善于应用数学工具解决问题。

3. 解题技巧训练：数学奥赛强调思维的灵活运用和解题的巧妙方法。

通过反复练习典型题目，熟悉一些常见的解题技巧和思路，例如利用对称性、反证法、递推法等。

还可以参考数学竞赛教材，学习一些解题方法和技巧。

4. 开展团队合作：参加数学奥赛通常需要进行集体讨论和合作。

建立一个数学学习小组，互相交流和讨论解题思路，通过合作解题提高解题能力和思维能力。

5. 参加模拟测试和竞赛：定期参加模拟测试和真实的数学奥赛竞赛，通过实际的竞赛环境来检验自己的学习成果，并找出不足之处，有针对性地改进学习方法。

最重要的是要保持坚持和持续的努力，数学奥赛是一项需要长期积累和思维训练的竞赛，在学习过程中保持热情和耐心是取得好成绩的关键。

数学竞赛:从入门到国家队参考书籍推荐数学竞赛的学习过程是一个非常艰苦的过程，从刚开始的入门到最后的集中训练，不仅占取考生大量时间还有精力，最重要的还影响高考的进度复习。

一份好的参考资料可以给考生学习数学竞赛的考生减少众多的弯路。

一、入门首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。

接下来的书就是建立在此基础上的。

我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。

1)《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。

2)《奥数教程》经典奥数蓝皮书。

优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。

(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。

)二、提高1)《奥赛小丛书》专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。

如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用;其它的如函数、集合还好，可以看看。

这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。

至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。

对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。

总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。

2)《奥赛经典》内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们;代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。

几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。

组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。

3)《命题人讲座》适合系统学习，冲刺冬令营，但没必要每本都做，挑其中较好的做便可。

如《解析几何》、《函数迭代与函数方程》、《数列与数学归纳法》、《组合问题》、《三角函数与复数》、《向量与立体几何》、《初等数论》。

其中《初等数论》是目前数论方面非常系统、难度较高的一本书，很多学生读后也感觉受益匪浅。

又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。

《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。

每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。

共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。

《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。

《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。

2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。

二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。

力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。

2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。

高中数学竞赛数列专题（实用版）目录1.高中数学竞赛数列专题的重要性2.数列的基本概念和分类3.数列的性质和特点4.数列的解题方法与技巧5.典型例题解析6.参加高中数学竞赛的建议正文【高中数学竞赛数列专题的重要性】高中数学竞赛数列专题作为数学竞赛中的一个重要组成部分，对于提高学生的数学素养、培养学生的逻辑思维能力和解题技巧具有重要意义。

数列是数学中一个基本的研究对象，它与函数、极限、微积分等领域有着密切的联系，因此，掌握数列相关的知识对于高中生来说是十分必要的。

【数列的基本概念和分类】数列是一组按照一定顺序排列的数，其中每一个数称为这个数列的项。

数列可以按照项之间的关系分类，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列；等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列；斐波那契数列则是指数列的前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。

【数列的性质和特点】数列具有许多重要的性质和特点，如公比、公差、首项、末项等。

这些性质和特点对于数列的求和、求通项、证明数学结论等方面有着重要的应用。

在解决数列问题时，我们需要灵活运用数列的性质和特点，以便快速准确地解决问题。

【数列的解题方法与技巧】解决数列问题有许多方法与技巧，如列举法、通项公式法、错位相减法、等比数列求和公式等。

在实际解题过程中，我们需要根据题目的特点选择合适的方法与技巧，以便迅速找到解题思路。

同时，我们还需要积累大量的解题经验，以便在遇到类似问题时迅速找到突破口。

【典型例题解析】例题：已知等差数列的前三项分别为 1, 3, 5，求该数列的第 10 项。

解：根据等差数列的性质，可知该数列的公差为 3-1=2。

利用等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。

将已知条件代入公式，得到 a10=1+(10-1)×2=19。

因此，该数列的第 10 项为 19。

金牌学生推荐（可参照选择）一、第零阶段：知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛）1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星）3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星）5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几）6、《平面几何》浙江大学出版社7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著三、第二阶段：全国高中数学联赛一试0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社二试平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》4、浙大小红皮《平面几何》5、沈文选《三角形的五心》6、田廷彦《三角与几何》7、田廷彦《面积与面积方法》不等式8、《初等不等式的证明方法》韩神9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》。

高中竞赛奥赛专题（一）专题一记忆能力与运算能力一记忆能力记忆是系统化知识，形成方法,思想的先决条件，因而我们对记忆能力应引起足够的重视。

下面来试试你的记忆能力：1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．4．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！6.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.log符号的快捷方法吗？7.你知道判断对数ba8.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？10.在三角中，你知道1等于什么吗？（这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用．11.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）12.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是.②直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．14.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）15.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）16.利用重要不等式以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？17.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．18.等差数列中的重要性质：若，则；等比数列中的重要性质：若，则．19.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（时，；时，）20.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是（a, b为常数）其公差是2a.21.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）22.用求数列的通项公式时，你注意到了吗？23.你还记得裂项求和吗？（如 .）24. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．25. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.27. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 28. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）29. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见30. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。

高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型，掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。

本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论，包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。

一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用字母表示，如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。

数列的第一项记作$a_1$，第二项记作$a_2$，第$n$项记作$a_n$。

数列中的数字称为项，项之间的关系由递推关系式表示。

数列的性质包括有界性、单调性以及极限。

有界性是指数列的所有项都满足某个范围，可以是有上界、下界或者同时有上下界。

单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。

而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。

二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等，记作$a_n=a_1+(n-1)d$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$d$表示公差。

等差数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。

等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等，记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示第一项，$q$表示公比。

等比数列的性质包括：通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。

斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列，记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

其中，$a_n$表示第$n$项，$a_{n-1}$表示前一项，$a_{n-2}$表示前两项。

斐波那契数列的性质包括：递推关系式、通项公式、性质应用等。

三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。

通过解递推公式，可以确定数列中任意一项的值。

在数学竞赛中，递推公式的应用非常重要。

解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。

奥数竞赛类教辅汇总
以下是奥数竞赛类教辅汇总：
1. 《数学奥林匹克竞赛试题精选解析》：这本书详细解析了一
些数学奥林匹克竞赛的试题，通过解题思路和方法的讲解，帮助学生
更好地理解并掌握竞赛所需的数学知识和技巧。

2. 《奥数竞赛辅导教材》: 这本教材整理了奥数竞赛的相关知
识点，包括数学推理、证明、计算等内容。

教材中还提供了大量的练
习题和解析，帮助学生在竞赛中提高解题速度和准确性。

3. 《奥数竞赛习题集》：该习题集包含了多种难度级别的数学
奥林匹克竞赛题目，题型涵盖了数论、代数、几何等多个领域。

习题
集还配有详细的解析和解题技巧，适合学生进行自主学习和巩固知识。

4. 《奥数竞赛历年真题汇编》：这本汇编了数学奥林匹克竞赛
的历年真题，供学生进行真题训练和模拟考试。

通过解答真题，学生
可以了解竞赛的出题特点，提高解题能力和应试技巧。

5. 《奥数竞赛经典案例分析》：这本书通过对数学奥林匹克竞
赛经典案例的分析，探讨了解题思路和解题技巧。

通过学习案例，学
生可以提高自己的数学问题解决能力和创新思维能力。

以上是一些奥数竞赛类教辅汇总，这些教材和资料可以帮助学生
更好地准备奥数竞赛，并提高数学解题能力。

高中数学奥赛指导为了更好地帮助广大高中生备战数学奥赛，本文将从数学奥赛的准备方法、解题技巧和注意事项等方面进行指导，希望能够为大家带来帮助与启示。

1. 建立坚实的数学基础：高中阶段的数学基础是参加数学奥赛的重要基础。

要充分理解数学知识点，熟悉常见的解题方法和技巧，这有助于在奥赛中更加灵活应用。

2. 高效备考：合理安排学习时间，不仅要进行基础知识的学习和巩固，还要进行大量的题目练习。

可以选择参加各类模拟奥赛，积累经验和应对压力。

1. 分析题目：在解答数学奥赛题目时，首先要仔细阅读题目，理解题目的意思和要求。

可以边读题边在纸上画图，帮助更好地理解题意。

2. 灵活运用数学方法：数学奥赛中常常会涉及到不同领域的数学知识，要能够将不同知识点灵活地结合起来，运用合适的数学方法解决问题。

3. 注意细节和边界条件：奥赛题目往往会设置一些陷阱和复杂的条件，解题时要特别注意细节和边界条件，以免出现失误。

1. 定期总结归纳：参加数学奥赛是一个不断学习和成长的过程，要及时总结归纳每次奥赛经验，查漏补缺，整理思路和解题思路，以提升自己的水平。

2. 预留充足时间：数学奥赛的题目往往较为复杂，解答时间有限。

因此，要养成合理安排答题时间的习惯，合理分配时间，确保每个题目得到充分的解答时间。

数学奥赛不仅能够加深对数学知识的理解和应用，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过合理的准备方法、灵活运用解题技巧和注意事项的遵循，相信广大高中生在数学奥赛中能够取得优异的成绩。

希望本文提供的数学奥赛指导对广大高中生有所帮助，相信只要勤奋学习、持之以恒，就能够在数学奥赛中获得好成绩。

祝愿大家能够取得优异的成绩！。

高中数学奥赛辅导专题——数列一 准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{a n }，an n n n n －1有些数列不是用通项公式给出，而是用a n 与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：a n ＋1=2a n +3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题． 二 例题精讲例1．（裂项求和）求S n =222222)12()12(853283118+⨯-⨯++⨯⨯+⨯⨯n n n．解：因为a n =22)12()12(8+⨯-⨯n n n =22)12(1)12(1+--n n 所以S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-222222)12(1)12(151313111n n =1－2)12(1+n 例2．（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=53，a n +1=12+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=n a +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n练习1．已知数列{a n }中，a 1=1，S n =1211+--n n S S ，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n n S S S S ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴n S 1=1+2（n －1）=2n －1，即S n =121-n ． ∴a n =S n －S n －1=321121---n n =)32)(12(2---n n ∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例3．（求和法，利用公式a n =S n －S n －1，n ≥2）已知正数数列{a n }的前n 项和S n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n a a 121，求{a n }的通项公式． 解：S 1=a 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11121a a ，所以a 1=1． ∵a n =S n －S n －1 ∴2S n =S n －S n －1+11--n n S S∴S n +S n －1=11--n n S S ，即S n 2－S n －12=1∴{}2nS 是以1为首项，公差为1的等差数列．∴S n 2=n ，即S n =n∴a n =S n －S n －1=n －1-n （n ≥2） ∴a n =n －1-n ．例4．（叠加法）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3×（－21）n －1（n ≥3），且S 1=1，S 2=－23，求{a n }的通项公式． 解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以S 2n =－2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n ．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n ＋1=2－)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数，为奇数n n n n 112134,2134，即a n =（－1）n －1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n ． 例5．（a n +1=pa n +r 类型数列）在数列{a n }中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{a n }的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n ∴a n =2n +3．练习2．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，求{a n }的通项公式．解：a n +12=21a n 2+21 ∴a n +12－1=21（a n 2－1）∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列． ∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n =1231-+n例6（a n +1=pa n +f （n ）类型）已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：（待定系数法）设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n－1比较可知p =－21． 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且a 1－23=－21．所以23n n a -=－21，即a n =213-n ．练习3．已知数列{a n }满足S n +a n =2n +1，其中S n 是{a n }的前n 项和，求{a n }的通项公式． 解：∵a n =S n －S n －1 ∴S n +S n －S n －1=2n +1 ∴2S n =S n －1+2n +1（待定系数法）设2（S n +pn +q ）=S n －1+p （n －1）+q化简得：－pn －p －q =2n +1，所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ，即⎩⎨⎧=-=12q p∴2（S n －2n +1）=S n －2（n －1）+1，又∵S 1+a 1=2+1=3，∴S 1=23，S 1－2+1=21 ∴{S n －2n +1}是以21为公比，以21为首项的等比数列．∴S n －2n +1=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，即S n =n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21+2n －1，a n =2n +1－S n =2－n⎪⎭⎫⎝⎛21．例7．（a n +1=pa n r 型）（2005年江西高考题）已知数列{a n }各项为正数，且满足a 1=1，a n +1=)4(21n n a a -．（1）求证：a n <a n +1<2；（2）求{a n }的通项公式． 解：（1）略．（2）a n +1=－21（a n －2）2+2 ∴a n +1－2=－21（a n －2）2∴2－a n +1=21（2－a n ）2∴由（1）知2－a n >0，所以log 2（2－a n +1）=log 221（2－a n ）2=2·log 2（2－a n ）－1 ∴log 2（2－a n +1）－1=2［log 2（2－a n ）－1］即{log 2（2－a n ）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log 2（2－a n ）－1=－1×2n －1 化简得a n =2－1212--n ．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--（0x ≠）．在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭，从而有1111ln4ln 11n n n n a a a a ++++=--，由此及111lnln 301a a +=≠-知： 数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln 3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln 4ln331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）。

数列奥赛竞赛练兵一、选择题1．（2000年全国高中数学联赛）给定正数022=+-c ax bx 3log 2+a 3log 4+a 3log 8+a n S n +++= 211)32()(++=n nS n S n f E）试题第九题）在一圆周上给定2000个点，取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3（如图3－3），继续这个过程直到1，2，3，…，1993都被标记到点上，圆周上这些点中有些会标记上不止一个数，也有一些点未标记上任何数，在标上1993的那一点上所有标数中最小的数是什么6．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产＝500个产品，可销售q ＝400个产品，未售出的产品存入库房，每件产品在库房内每过一夜将支付存储费用r ＝元。

该流水线在开机生产一段时间后将停机销售，待所有库存产品销完再开机生产，流水线启动的费用是c ＝1000元（与产品数量无关）。

这样，开机生产——停机销售——产品售完构成了一个产销周期。

为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排。

请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每件产品用于流水线启动和存储的费用最少参考答案1．A 由题意知2a pq =，2b ＝＋c ，2c ＝q ＋b ，由后二式得32q p b +=，32q p c +=。

于是有23232)(31)(31a pq q p pq q p p q q p bc ==⋅≥++⋅++=。

因为≠q ，故2a bc >，方程的判别式0442<-=∆bc a 。

因此方程无实根。

故选A 。

2．31 设公比为q ，由已知条件知，3log 3log 3log 3log 4824++=++=a a a a q ， 由比例性质，313log 213log 3log 313log 213log 3log 3log 3log )3log (3log )3log (3log 222242844284=--=--=+-++-+=a a a a q 。

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a}的一般形式通常记作a, a, a,…，a或a, a, a,…，a…。

其中a叫做数13nn12n132列的首项，a是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

n定理1 若S表示{a}的前n项和，则S=a, 当n>1时，a=S-S.-1n1nn1nn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a-a=d（常数），则{a}称为等差数列，d nnn+1叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a=a+(n-1)d；2）前n项和公式：1n n(a?a)n(n?1)n1?na?d；3）a-=Sa=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，mnn122则a+a=a+a；5）对任意正整数p, q，恒有a-a=(p-q)(a-a)；6）若A，B至少有一个不1ppnqqm22+BnAn. 是等差数列的充要条件是Sn=为零，则{a}n a n?1?q，则{，都有a}称为等比数列，q叫做公比。

定义3 等比数列，若对任意的正整数n n a nn)?qa(1n-11?；当=1时，）前n项和S，当qSa定理3 等比数列的性质：1）=aq；2nnn1q?12?0)，则b叫做a, c的等比中项；4））如果a, b, c成等比数列，即bac=(b=q=1时，Sna；31n若m+n=p+q，则aa=aa。

qmpn?>0，存在M，对任意的n>M(n ∈{a}和实数A，若对任意的N),都定义4 极限，给定数列n?lima?A.的极限，记作n→+∞时数列{a}有|a-A|<，则称A为nn nn??定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数n a1（由极限的定义可得）。

课程名称：高中数学奥赛辅导课程目标：1. 培养学生对数学奥赛的兴趣和热情，提高他们的数学思维能力。

2. 帮助学生掌握数学奥赛的基本题型和解题技巧。

3. 提升学生的逻辑思维能力和创新意识。

课程内容：一、课程概述1. 介绍数学奥赛的基本概念和意义。

2. 分析高中数学奥赛的特点和考试范围。

二、奥赛题型分析1. 计算题2. 推理题3. 应用题4. 综合题三、解题技巧与方法1. 计算题的解题技巧2. 推理题的解题技巧3. 应用题的解题技巧4. 综合题的解题技巧四、典型例题讲解1. 计算题典型例题2. 推理题典型例题3. 应用题典型例题五、模拟试题训练1. 模拟试题一2. 模拟试题二3. 模拟试题三教学过程：第一课时一、导入1. 介绍数学奥赛的基本概念和意义。

2. 引导学生了解高中数学奥赛的特点和考试范围。

二、课程内容讲解1. 计算题的解题技巧2. 推理题的解题技巧三、典型例题讲解1. 计算题典型例题讲解2. 推理题典型例题讲解四、课堂练习1. 学生独立完成练习题，教师巡视指导2. 学生展示解题过程，教师点评第二课时一、课程内容讲解1. 应用题的解题技巧2. 综合题的解题技巧1. 应用题典型例题讲解2. 综合题典型例题讲解三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，教师巡视指导2. 学生展示解题过程，教师点评第三课时一、模拟试题训练1. 学生独立完成模拟试题一，教师巡视指导2. 学生展示解题过程，教师点评二、课程总结1. 总结课程内容，强调解题技巧的重要性2. 鼓励学生在课后进行自主练习，提高解题能力教学评价：1. 学生对数学奥赛的兴趣和热情是否有所提高。

2. 学生是否掌握了基本的解题技巧和方法。

3. 学生在模拟试题训练中的表现。

课后作业：1. 复习课程内容，总结解题技巧。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 预习下一节课的内容，为接下来的学习做好准备。

备注：1. 教师应根据学生的实际情况调整教学内容和进度。

启东中学奥赛训练教程高中数学
启东中学奥赛训练教程高中数学可以包括以下内容：
1. 基础知识巩固：包括代数、函数、三角函数、数列等基本概念和性质的复习和强化训练。

2. 解题方法与技巧：介绍奥赛中常用的解题方法，如分类讨论法、反证法、递推法、置换法等，并通过实例讲解如何运用这些方法解题。

3. 原理与推理：介绍奥赛中经常涉及的数学原理、定理和推理方法，如直接证明法、反证法、数学归纳法等，并通过实例讲解如何运用这些方法证明数学命题。

4. 经典题型分析：针对奥赛中常见的高难度题型，如不等式、平面几何、立体几何、概率统计等进行详细解析和训练，提供解题思路和技巧。

5. 科学竞赛技巧：介绍奥赛中常见的技巧和策略，如时间管理、选题技巧、答题顺序、心理调节等，帮助学生提高解题速度和正确率。

6.模拟训练与复习：提供大量的奥赛模拟试题，根据不同难度
进行分层训练，帮助学生熟悉奥赛的考查方式和题型，并针对性地进行复习和巩固。

除了书籍和讲义形式的教材，还可以结合在线资源和奥赛培训
班进行学习和训练。

可以选择参加各类数学竞赛，与其他高手一起交流学习，不断提升自己的数学水平。

此外，掌握奥赛数学的关键在于多做题，在训练过程中积累解题经验和技巧，形成自己的解题思维和方法。