五、达朗伯原理
达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力学问题的普遍方法。
这种方法将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力学问题可以应用静力学写平衡方程的方法来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力
当质点受到其他物体的作用而改变其原来运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为
（二）达朗伯原理
在非自由质点M 运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F 、约束反力N 和该质点的惯性力FI 构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为
在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi 、约束反力N ，和该质点的惯性力FiI
构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即
（三）刚体运动时惯性力系的简化
对刚体动力学问题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，用力系简化的方法，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
具体结果见表4-3-9。
（四）动静法
根据达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的方法求解动力学问题，这种求解动力学问题的方法称为动静法。
必须指
出，动静法只是解决动力学问题的一种方法，它并不改变动力学问题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题
[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W ，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解]
(1)对象 以平板的为研究对象。
(2)受力分析 运动开始时板受重力w 、软绳约束反力T1、T2。
(3)运动分析并虚加惯性力。
由约束条件知平板作平动，在运动开始时板上各点法向加速度为零，切向加速度垂直于软绳，大小a τ=aA=aB=aC=l τ，ε
为软绳的角加速度，于是平板惯性力的合力
加于质心C 上。
如图4—3—37所示。
(4)选坐标系，列方程求解。
作用于板上的主动力W ，约束反力T 1、T 2及虚加的惯性力R I 构成平面平衡力系。
根据动静法列方程。
从此可求得T 1、T2及以及R I ，从R I 可得到薄板运动的加速度。
今设c=2b W=1kN ，从式(2)，得到
并得到板的加速度
代入式(1)，解得
从式(3)
可得
七、单自由度系统的振动 （一）自由振动
仅受恢复力(或恢复力矩)作用而产生的振动称为自由振动 1．振动方程·振动特性
一悬挂质量弹簧系统，现取系统静平衡位置为坐标原点O ，建立坐标轴x ，则以x 为独立参数的振体自由振动的运动微分方程、振动方程、特性参数等列于表4-3-11
中。
自由振动特性小结：
(1)由运动方程x=Asin(pt+α)可见，系统在恢复力作用下的自由振动是简谐振动。
(2)自由振动的固有圆频率p 仅决定系统本身的基本参数：质量m 和弹簧的刚性系数k 。
而与运动的初
始条件无关。
(3)自由振动的振幅A 和初位相α都由运动的初始条件xo 、vo 来决定。
2．振动系统固有圆频率的计算
(1)直接法：质量一弹簧系统，设已知质量m 和弹簧刚性系数k ，直接代入公式
m k
p
即可求得。
(2)平衡法：质量一弹簧系统，在乎衡时k δst=P=mg ，δst 是静变形，即k=P/δst=mg/δst
故：
(3)列出系统的运动微分方程，化为标准形式如
即可得到
式中 meq ——等效质量，表示系统的惯性。
keq ——等效刚性系数，表示系统的弹性。
q ——系统的广义坐标。
(4)能量法
T+V=C 或 Tmax=Vmax 式中 T 为动能，V 为势能。
3．并联或串联弹簧的当量刚性系数(等效刚度)
并联：
串联：
（二）强迫振动
由干扰力引起的振动，称为强迫振动。
若干扰力随时间而简谐变化，则称为谐扰力，其可表为S=Hsinωt。
现以系统的平衡位置为坐标原点，以坐标x为独立参数，将受谐扰力作用下的强迫振动的主要内容列于下表。
表中
2
,
,B
p
h
B
m
H
h=
=
表示系统在干扰力的最大幅值H静止作用下所产生的偏移；z=ω/p称为频率
比；n称为阻尼系数，γ=n/p称为阻尼比。
强迫振动特性小结：
(1)强迫振动的频率与干扰力的频率相同，与系统的固有圆频率p无关，且不受阻尼影响。
(2)在有关参数p、n、ω、h确定后，振幅B是一个常数，强迫振动是一个等幅的简谐振动，不会因阻尼而衰减。
(3)在有阻尼的情况下，强迫振动总是滞后于干扰力一个位相差ε。
(4)强迫振动的振幅B与位相差ε，都与运动的初始条件无关。
（三）例题
[例4-3-19] 图4-3-54所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体。
设在力P作用下弹簧的静伸长为δst，梁的自由端的静挠度为fst。
如给重物一初速度v0，试求重物的自由振动方程。
梁和弹簧的质量均忽略不计。
[解] 悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度fst 可算出此梁 在端点沿铅垂方向的刚性系数为
类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为
于是，图4—3—54(a)所示振动系统可以抽象为图4—3—54(b)所示的串联弹簧系统。
又因串联弹簧可用一等
效弹簧来替代，其当量刚性系数为
最终该系统可简化为图4—3—54(c)所示的质量弹簧系统。
现以此力学模型进行求解。
(1)对象。
取重物为研究对象。
(2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。
为了简便，选取重物的静平衡位置O 为坐标原点，x 轴向下为正。
t=0时x0=0，
0v x =∙。
(3)受力分析。
通常，将重物放在x 轴正向的任一位置上进行受力分析。
作用其上的力有重力P 和弹性力F ，力F 在x
轴上的投影为
(4)列运动微分方程，并求解振动规律。
由F=ma 得
因重物处于静平衡位置时，重力P 与静变形引起的弹性力F0
平衡，即有
故上式可简化为
即
式中
由表4—3—11所示的公式，可知式(3)
的通解为
根据初始条件x0=0，
0v x =∙
，可分别求得振幅A 及初位相α
为
此重物的自由振动方程可表示为。
