几何画板实验报告(函数y=Asin(ωx+φ)图象)

函数 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象与性质（习题） ➢ 例题示范例 1：把函数 y = tan x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 后， 3 再将其图象向左平移 π 个单位长度，所得函数的解析式为（ ） 4 A. y = tan(1 x + π) B. y = tan(1 x + π )3 4 C. y = tan(3x + π ) 3 12 D. y = tan(3x + 3π )例 2：为得到函数 y = sin(2x + π) 的图象，只需将函数 y = sin x 的 3图象（ ） A. 向左平移π 3 到原来的 1 2 B. 向左平移π 3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短 ，纵坐标不变个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍，纵坐标不变 C 1 π ．把各点的横坐标缩短到原来的 2 纵坐标不变，再向左平移 个单位长度， 3D ．把各点的横坐标伸长到原来的 2 度，纵坐标不变 倍，再向左平移π 3个单位长1， 思路分析：由 y = sin x → y = sin(2x + π) ，发现 A 不变，ω，ϕ发生变化，函3数图象既发生了伸缩变换，又发生了平移变例 3：已知函数 f (x ) = 2sin(ωx +ϕ)（ω> 0 ， π π）的部分- <ϕ< 2 2图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ． 2 ，- π 6思路分析：B ． 2 ，- π 3C ． 4 ，- π 6D ． 4 π3 观察图象，根据图象的周期可确定ω的值，再代入特殊点坐标， 结合ϕ的范围限制，可确定ϕ的值．由图象可得， 3 T = 5π - (- π) = 3π ，4 12 3 4∴ T = 2π= π，ω ∴ω= 2 ，f (x ) = 2sin(2x +ϕ) ，∵点(- π ，0) 在函数 y = 2sin(2x +ϕ) 的图象上，3代入可得sin(- 2π +ϕ)=0 ，3∴ - 2π +ϕ= k π，k ∈ Z ，即ϕ= 2π + k π，k ∈ Z ，33π π ∵ - <ϕ< ，2 2∴ϕ= - π ，3综上，ω= 2 ，ϕ= - π ，故选 B ．326 3 y = sin(2x + π) = sin 2(x + π) ，故选 A ．26 个单位长度 1 到原来的 ππ向左平移 6 横坐标缩短 y = sin x −−−−−→ y = sin 2x −−−−−→ y = sin 2(x + )3 1 到原来的 23 个单位长度 π横坐标缩短 π 3 y = sin x −−−−−→ y = sin(x + ) −−−−−→ y = sin(2x + )π向左平移， ， ， ➢ 巩固练习1. 将函数 y =sin x 的图象向左平移ϕ（ 0 ≤ϕ< 2π）个单位长度后，得到函数 y = sin(x - π) 的图象，则ϕ的值为（ ）6A ． πB ． 5πC ． 7πD ． 11π 6 6 6 62.为得到函数 y = sin(2x - π) 的图象，可以将函数 y = cos 2x 的图 6 象（ ） A. 向右平移π 6 C π 个单位长度 B. 向右平移 π 个单位长度 3 π．向左平移 6 个单位长度 D ．向左平移 3 个单位长度3. 将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移π 个单位长度后，所得3 2图象对应的函数（ ）A. 在区间[ π 7π] 上单调递减12 12 [ π 7π B. 在区间 ， 12 12] 上单调递增 C. 在区间[- π π] 上单调递减 6 3D.在区间[- π π] 上单调递增 6 34. 将函数 f (x ) = sin(2x +θ) （ - π < θ< π ）的图象向右平移2 2ϕ（ϕ> 1 ）个单位长度后，得到函数 g (x ) 的图象，若 f (x ) ，g (x )的图象都经过点 P (0 ， 3 ) ，则ϕ的值可以是（ ） 2 A ． 5π B ． 5π C ． π D ． π 3 6 2 35. 将函数 y = sin 2x 的图象向右平移π 个单位长度，再把各点横3坐标伸长到原来的 4 倍，所得函数的解析式为（ ）A. y = sin( 1 x - 2π)B. y = sin(8x - π) 2 3 6C. y = sin( 1 x - π)D. y = sin(8x - π) 2 6 36. 函数 f (x ) = sin(2x - π) 的图象的一条对称轴是直线（ ）4A. x = π 8B. x = - π 4C. x = π 4D. x = - π87. 若函数 y = 3cos(2x +ϕ) 的图象关于点( 4π ，0) 中心对称，则ϕ3的最小值为（ ）A ． πB ． πC ． πD ． π6 4 3 28.若函数 y = sin(ωx + π)（ω> 0 ）的图象上相邻两个对称中心间 3 的距离为 A ． 1 2π ，则ω的值为（ ） 2A.1 C ．2 D ．49. 若函数 y = sin(x +ϕ)（0 ≤ϕ≤π ）是 R 上的偶函数，则ϕ的值为（） A ．0 B ．π C ． π D ． π 4222⎨⎪⎧kx +1 （- 2 ≤x < 0 ）10.已知函数y =⎪8π2 sin(ωx +ϕ)（0 ≤x ≤⎩ 3的图象如图所示，则）（）A．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 6C．k =-1，ω=2 ，ϕ=π2 6B．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 3D．k =-2 ，ω=2 ，ϕ=π31.函数f (x) =A sinωx（A > 0 ，ω> 0 ）在一个周期内的图象如图所示，则f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =（）A.B．22C．2 +D．212. 已知函数y =A s in(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω> 0 ，ππ），在同-<ϕ<2 2一周期内，当x =π9时函数取最大值12，当x =4π时函数取最9小值-1，则该函数的解析式为（）2A．y = 2 s in(x-π)3 6C．y = 2 s in(3x -π)6B．y =1sin(3x +π)2 6D．y =1sin(3x -π)2 6213.已知函数f (x) = sin(ωx +π)（x ∈R ，ω> 0 ）的最小正周期为4π，将f (x) 的图象向左平移ϕ个单位长度，若所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能是（）A．πB．3πC．πD．π2 8 4 814. 已知函数f (x) =A sin(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω>0 ，ϕ<π）的最小2值为-2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为3π，且图象经过点(0，1)．（1）求f (x) 的解析式；（2）求f (x) 的单调区间．【参考答案】➢巩固练习1. D2. B3. B4. B5. A6. D7. A8. C9. C10.A11.A12.B13.D14. （1）f (x) =2 s in(1x +π)3 6（2）单调递增区间为[-2π+ 6kπ，π+ 6kπ]（k ∈Z ）单调递减区间为[π+ 6kπ，4π+ 6kπ]（k ∈Z ）。

第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6答案 C 3．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A 4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z)．∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C.5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． 规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)在求解中，一定要注意其定义域．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题． 【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．[解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－13．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是 A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝⎛⎭⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．12解析：将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π2ω所得图象与原图象重合，有ωx ＋φ＋π2ω＝ωx ＋φ＋2k π，得ω＝4k (k ∈Z)．5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2 D ．3解析：在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2.则ωx 的取值 ⎣⎡⎦⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2，∴ω的最小值等于32. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.解析：从图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4－3π4＝0. 7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)．对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 因为f (x )为偶函数，所以对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2，故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z)时，g (x )单调递减因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 得f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，故f ⎝⎛⎭⎫π6等于2或－2. 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m 的图象关于y 轴对移，所以π3＋m ＝k π，k ∈Z.即m ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝1时，m 取最小值为2π3. 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：数形结合法：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].由图象知：1<k <3.5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解(1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π∴ω＝2ππ＝2，故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)函数的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(3)由5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤0得2k π－π≤2x －π6≤2k π∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴使y ≤0的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos(2x ＋π6)．故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12.由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32.∵0＜x ＜π，∴－π12＜2x －π12＜2π－π12 ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6.一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .答案：B2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称知，f (43π)＝0，即3cos(8π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，∴φ＝kπ＋π2－8π3(k ∈Z)．|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋π4＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.5．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.12解析：由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)．f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝A cos(φ－14π)＝22(A cos φ＋A sin φ)＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是____(4)(2)或(2)(6)____(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin(x ＋π3)――→(2) y ＝sin(x 2＋π3)，或y ＝sin x ――→(2) y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π3)． 10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后纵坐标不变，把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32.令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1 (2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32.经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32.当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即x ∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题3．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R) 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．125．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32C ．2D ．3. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．. 5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π23．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋25．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.127．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．。

几何画板在三角函数图象教学中的应用与反思函数y =A sin(ω x+φ)的图象一节内容已经上了一课时,第二课时主要的问题是用五点法画函数y= 3sin(2x+ π/3) )的图象,并由此总结出由函数y=sin x的图象到函数y= A sin(ω x+φ)的图象的变化规律,这样就必然涉及到大量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效果,于是采用计算机辅助教学就成为必然的选择.本人在网上找到了几个有关的课件,发现都是严格按照课本上给出的方式进行演示,而这样并不一定符合学生的思维习惯,本人就课件制作的问题与同备课组的的老师进行了探讨.我们认为,计算机辅助教学必须充分体现“以学生发展为本”.以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求.仍然采用录像对课堂教学进行分析,对将函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到函数y =A sin(ω x+φ)的图象,课堂上学生经过,提出了只需三个步骤,共六种变换方式,以函数y =sin x的图象变换到函数y =A sin(ω x+φ)的图象的步骤为例,分别是:以上变换分别如图2-1—图2-6表示.12对学生在学习过程中出现的错误情况,本人先是让学生充分地说出自己的理由,并让学生找证据为自己的结论进行辩护,然后用几何画板演示,如果按照学生的思路去进行变换,将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误的结果与正确的结果之间进行比较,转变了学生的思维.如图2-7所示.建议在备课组讨论的几个问题:1.数学问题:点(x , y)在函数y =sin x的图象上,则点( x/2 - π/6, 3 y)在函数y =f (x)的图象上,写出函数y =f (x)的解析式.2.评价学生的思维:学生在猜想、讨论时思维的广阔性是否得到了培养,电脑演示对学生的思维活动起了怎样的促进作用?3.教学法问题: 函数y =A sin(ωx+φ)的图象的教学中,与过去一支粉笔一块黑板相比,现在的计算机辅助教学除了增大教学容量外,还体现了“以学生发展为本”.学生出错的思维机制怎样转变.4.背景问题:教师在课堂上并没有完全按照课本上的顺序进行教学,而是按照学生讨论的情况进行教学,这体现了教师怎能样的教学思想?5.课件的评价:借助计算机技术,在课堂教学中,很容易地得到丰富的函数图象.这样,学生就很容易通过自己的参与、探索与归纳,深刻理解A、ω、φ这三个系数对函数y=A sin(ω x+φ)的图象的影响,大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,提高了教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,学生的主体地位得到了较好的体现. “以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想..。

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。

例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。

揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。

一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。

如图1是大观览车的示意图。

设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。

在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。

在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。

OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。

例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。