2.1 函数的零点

二次函数与一次函数的关系知识点1. 介绍：二次函数和一次函数是高中数学学习中经常涉及的两种函数类型。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0；而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k、b为常数且k≠0。

本文将探讨二次函数与一次函数之间的关系及其相关知识点。

2. 二次函数的特点：2.1 函数图像：二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，可以是开口向上或开口向下的。

开口向上的二次函数在最低点取得最小值，而开口向下的二次函数在最高点取得最大值。

2.2 零点和顶点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在二次函数中可以使用求根公式或配方法求得。

函数的顶点是指函数图像的最低点或最高点，在二次函数中可以通过计算x坐标的中点来找到顶点。

2.3 对称性：二次函数的图像具有关于顶点的对称性，即关于x=a的直线对称于关于y=b的直线。

3. 一次函数的特点：3.1 函数图像：一次函数的图像通常呈现直线的形状，具有斜率的概念。

斜率为正值时，函数图像呈现上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈现下降趋势。

3.2 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，在一次函数中可以通过令y=0来求解，得到x的值。

3.3 截距：一次函数的截距是指函数图像与y轴相交的点，在一次函数中可以通过令x=0来求解，得到截距的值。

4. 二次函数与一次函数的关系：4.1 平移：二次函数与一次函数可以通过平移进行相互转换。

平移是指将函数图像沿x轴或y轴进行上下左右的移动。

通过改变二次函数或一次函数的系数或常数，可以实现平移操作。

4.2 对应点：对于二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=kx+b，当二次函数的顶点(x, y)和一次函数的某一点(x, y')对应时，有如下关系： y = y' + (c - y')其中，y表示二次函数的值，y'表示一次函数的值。

4.3 一次函数的特殊情况：当二次函数的系数a=0时，二次函数就变成了一次函数。

函数的零点与函数像的关系函数的零点与函数值的关系在数学中，函数的零点指的是使得函数的值为零的输入值。

而函数的像则是函数映射的结果，即函数的输出值。

函数的零点与函数值之间有着密切的关系，本文将探讨这种关系以及相关的数学概念。

一、零点的定义函数的零点，又称为函数的根，是指使得函数等于零的输入值。

对于一个函数f(x)，若存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数f(x)的零点。

二、零点与函数值的关系2.1 零点与函数图像的交点在函数的图像中，函数的零点对应于曲线与x轴的交点。

当函数在某一区间内的函数值由正数变为负数时，就意味着函数在该区间内存在一个零点。

同理，当函数的函数值由负数变为正数时，也意味着函数在该区间内存在一个零点。

2.2 零点与函数的性质函数的零点是函数的一个重要性质。

在函数的零点处，函数的值为零，因此零点是函数图像与x轴相交的点，也是函数曲线上的特殊点。

在函数图像中，零点将曲线分割成不同的区域，对于函数的增减性以及图像的凹凸性等有着重要的影响。

三、零点的求解方法3.1 图像法通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的零点所在的位置。

根据图像的形状，可以初步估计函数的零点所在的区间，并使用逼近法等方法进一步求解。

3.2 利用方程求解对于给定的函数f(x)，可以将函数转化为方程，然后使用代数方法求解零点。

例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以将方程f(x)=0转化为求解二次方程ax^2+bx+c=0的根的问题。

3.3 数值逼近法当函数的解析解难以求得或不存在时，可以使用数值逼近法求得函数的零点。

常用的数值逼近方法包括二分法、牛顿法和割线法等。

四、零点的应用领域函数的零点在数学和实际应用中具有广泛的应用。

在代数方程求解、物理学中的运动学问题、金融学中的根据收益率求解等领域都需要使用到零点的概念和求解方法。

五、总结函数的零点与函数的像有着密切的关系。

零点是使得函数的值为零的输入值，而函数值描述了函数映射的结果。

学士学位论文题目浅谈函数的零点问题浅谈函数的零点问题摘要：浅谈函数零点问题实质上就是说，函数零点的存在性，零点唯一性，零点的个数问题及其应用的问题。

本文运用零点定理、罗尔定理及其推广和微分中值定理、介值定理等多个重要定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答，结合典型例题分析、讨论并证明相关问题，得出解决此类问题的解决方法，使得今后在学习函数零点的过程中得到了简便、全面的答题策略。

关键词：函数零点定理 罗尔定理 唯一性 存在性 零点个数 一、预备知识1. 概念及定理函数零点定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

二、零点的存在性问题2.1 在数学学习中，函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点可课题。

可以用零点定理解决，也能用罗尔定理、函数最值、函数的幂级数展开式及微分中值定理解决此问题。

（1）零点定理 ：若函数在区间[,]a b 上的图像时连续不断的一条曲线，且满足()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。

这个c 也就是方程()0f x =的实根。

零点定理的证明：不妨设()0,()0.f a f b <> 令{|()0,[,]}.E x f x x a b =<∈由()0f a <知,E ≠∅ 且b 为E 的一个上界， 于是 根据确界存在原理， 存在sup [,]E a b ξ=∈ ，下证()0f ξ=（注意到()0,()0,f a f b ≠≠ 故此时必有(),a b ξ∈）事实上，()1若()0,f ξ<则[,)a b ξ∈。

由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξξσ∈+<存在11,sup x E x E ∈>,这与sup E 为E 的上界矛盾;()2若()0,f ξ>则(,].a b ξ∈仍由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξσξ∈->存在1x 为E 的一个上界，且1,x ξ< 这又与sup E 为E 的最小上界矛盾。

函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根↔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点↔函数y=f(x)有零点注意：零点是一个实数,不是点。

练习：函数23)(2+-=x x x f 的零点是（ ）Ａ．()0,1Ｂ．()0,2Ｃ．()0,1，()0,2Ｄ.１，２方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。

方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x ³-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x ²-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3xⅡ结合函数的图像判断函数f(x)=x ³-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数例，当a>0时，方程ax ²+bx+c=0的根与函数y=ax ²+bx+c 的图象之间的关系如下表： 判别式 △=b2－4ac △＞0△=0△＜0函数y= ax ²+bx+c(a>0)的图象函数的图象与 x 轴的交点 (x 1,0), (x 2,0)(x 1,0)没有交点方程ax ²+bx +c=0(a ≠0)的根两个不相等的实数根x 1 、x 2 有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根练习：如果函数f(x)= ax ²-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。

3、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

评审编号（ ） 评审等级（ ）函数的零点与极值点摘要：函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。

关键词 零点 极值点 极值函数的零点和极值点是高中数学研究函数时两个重要的概念，正确理解它们，可以帮助我们更好的研究函数问题。

对于函数的零点，在《函数的零点和不动点》一文中，我有详细论述（本文不再赘述）。

本文主要论述如何从函数极值的概念来理解函数的极值点以及函数的零点与极值点之间的关系。

1. 函数的极大值与极小值、极值点1.1函数极值和极值点的一般定义设函数()f x 在其定义域内某一点0x 附近总有定义。

如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，那么0()f x 是函数的一个极大值，记作；0=()y f x 极大值。

点0x 叫做函数()f x 的极大值点。

如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，那么0()f x 是函数的一个极小值，记作；0=()y f x 极小值。

点0x 叫做函数()f x 的极小值点。

函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点。

1.2对函数极值定义的理解函数的极值反映了函数在其定义域内某一点附近的大小情况，刻画的是函数的一个局部性质。

极值点不是一个点，而是函数定义域内的一个实数，是函数取极值时相应的一个自变量的值。

注意函数的极值和最值的区别。

最值是考察函数在定义域内的函数值的一个有界性问题，是考察函数的整体性质，不是局部性质。

利用求函数极值的方法有时可求出函数的最值。

2．可导函数的极值、极值点2.1利用导函数可以研究函数的极值、极值点设函数()f x 在其定义域内某一点0x 附近总有定义，并且处处可导。

如果对于0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，且'0()0f x =，那么0()f x 是函数的一个极大值，记作；0=()y f x 极大值。

罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用本科毕业论文题目罗尔定理在函数零点问题中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级级2班姓名学号年 5 月 10 日目录摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?引言……………………………………………………………………………………… (1)1概念及定理 (1)2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用 (4)2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用 (5)2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)2.4.2 Hermite多项式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用 (9)结束语……………………………………………………………………………………… (10)参考文献……………………………………………………………………………………… (11)致谢……………………………………………………………………………………… (12)摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理在复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题中的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Thentheconclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At thesame time,on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined witha typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theoremand the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry isproved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application引言对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活跃的方向.根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.1 概念及定理1.1 函数零点的定义如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.1.2 罗尔定理[7]若函数满足如下条件:1 在闭区间上连续;2在开区间内可导;3,则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.1.3 推广的罗尔定理推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:1可导;2 .则在内至少存在一点,使得.推广2:若函数满足:1在上连续;2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;3.则在中至少存在一点,使得.推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存在一点,使得(注意到为矩阵),即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.2 罗尔定理在函数零点问题中的应用零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.证明:令,则.那么 (因为),所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔定理就显示出了它的优越性.例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令得所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.同理可知在至多有三个零点.综上所述,方程在恰好有三个零点.将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化归的思想,是一种常用的解题策略.2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.证明:首先证明存在性.过定点做曲线的切线:,则切线与轴的交点,由(向上凸的),显然有.下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.2.4.1 Laguerre多项式在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,其表达式为.例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.设函数,则.由广义罗尔定理知,存在,使得.现设至少有个零点,且.分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,其中是一个多项式.则,由广义罗尔定理知,存在,使得.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.2.4.2 Hermite多项式在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达式为.例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分析的结构可知.因为有个相异的实根,因此可令,即,其中为一个非零常数.又由于,根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.又由于,根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得.综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.2.4.3 勒让德多项式伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.由于,由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.假设至少有个实零点.分析的结构可将写为以下结构 ,其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在,使得,即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.例7 设定义为,并满足下列条件:在上连续;在内可微;存在中的平面,对任意的..则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的,都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.又因为,在上处的切平面向量式参数方程为.这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.结束语利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.参考文献[1] 孙兰敏.洛尔定理的2个推广形式[J].衡水学院学报,2005,71:1-2.[2] 汪军.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学报,2000,191:93.[3] 张志军.多变元情形下的洛尔定理及其应用[J].西北师范大学学报,1998,34(1):84?87.[4] 潘黎霞.对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用[J].甘肃科技,2005,217:115-116.[5] 周敦.微分中值定理的推广及其应用[J].钦州师专钦州教院学报.1994,81:54-56.[6] 王艳萍,余学军.应用罗尔定理时一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院,2003,29:18-21.[7] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版,2005.[8] Marden M.The search for a Rolle's theorem in the complexdomains[J].Amer,Math.Monthly,1985,92:643-650.[9] Evard J C,Jafari F.A complex Rolle'stheorem[J].Amer,Math.Monthly,1992,99:856-861.[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle'stheorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!。

函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。

通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。

1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。

2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。

3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。

4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。

2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。

函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。

若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。

2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。

2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。

2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。

2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。

2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。

2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。

2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。

必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。

黎曼zeta函数解析延拓黎曼zeta函数是数学中的重要函数之一，其解析延拓在数学和物理学领域有着广泛的应用。

本文将介绍黎曼zeta函数的相关性质和解析延拓的概念。

I. 黎曼zeta函数的定义和性质1. 定义黎曼zeta函数是指以下级数的和函数：$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$其中，s是一个复数。

需要注意的是，当s的实部大于1时，该级数收敛，即$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}$$ 存在。

否则，该级数发散。

2. 基本性质2.1 函数关系：$\zeta(s)$和$\eta(s)$黎曼zeta函数与Dirichlet eta函数的关系式为：$$\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}}\cdot\eta(s)$$其中，$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$2.2 函数零点黎曼猜想认为$\zeta(s)$在s = -2, -4, -6, ...处有无穷多个零点。

目前已证明该猜想成立至少在实部大于1/2的范围内。

2.3 函数极点在s=1处，$\zeta(s)$有一个一阶极点。

2.4 函数奇偶性当s为实数时，$\zeta(s)$为离散奇函数。

即当s=-n时（n为整数），$\zeta(s)$的值为0。

II. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在其定义域之外进行延拓，使得函数在整个复平面上都有定义并且具有解析性质。

黎曼zeta函数的解析延拓有两种方法，即黎曼方法和维尔斯特拉斯方法。

1. 黎曼方法黎曼方法就是将$\zeta(s)$进行下列等式展开：$$\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{p^{ns}}$$将该等式带入到$\zeta(s)$的表达式中，$$\zeta(s) = \prod_{p\in\text{primes}}\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$对于s的实部大于1的情况，该级数收敛。

希尔伯特零点定理初等形式1.引言1.1概述在数学领域中，希尔伯特零点定理是一个核心定理，它对于建立数学的基础体系和证明性质的存在至关重要。

希尔伯特零点定理描述了一个重要的概念，即如果一个多项式函数有多个变量，并且没有一个明显的解析解，那么至少存在一个整数解，也就是一个在所有变量上都是整数的解。

这个定理是希尔伯特在19世纪末提出的，至今仍然是数学研究的重要方向之一。

希尔伯特零点定理的重要性在于它解决了一类多项式方程的整数解的存在性问题。

对于单个变量的多项式方程，我们可以通过代数方法来寻找其解析解，但对于多个变量的多项式方程，情况就变得复杂了。

希尔伯特零点定理的发现使得我们能够肯定地说，无论多项式方程的系数如何，总是存在至少一个整数解。

这对于数论、代数学和计算机科学等领域的研究都有着重要的影响。

1.2目的本文的目的是介绍希尔伯特零点定理的初等形式以及其对数学研究的重要意义。

我们将详细解释希尔伯特零点定理的定义和形式，并介绍定理的历史背景。

然后，我们将探讨希尔伯特零点定理的证明思路和主要步骤。

通过展示定理的证明过程，我们将帮助读者更好地理解希尔伯特零点定理的核心思想和数学原理。

我们将阐述希尔伯特零点定理在数学研究中的重要应用。

希尔伯特零点定理的发现对数论和代数学的研究提供了有力的工具，帮助解决了许多经典问题。

其中一个重要的应用是在代数几何中，希尔伯特零点定理被用来证明一些重要的定理，例如Bézout定理和Hilbert-Riemann定理。

希尔伯特零点定理还在计算机科学领域中有着广泛的应用，例如在密码学和编码理论中。

本文还将介绍希尔伯特零点定理的局限性和相关的研究方向。

虽然希尔伯特零点定理对于多项式方程的整数解存在性问题提供了确切的答案，但对于其他类型的方程或不存在解析解的一般方程来说，仍然面临很多挑战。

研究者们一直在努力发展新的数学工具和方法，以解决这些困难问题。

我们将简要介绍一些相关的研究方向，并展望希尔伯特零点定理的未来发展。

比较零点大小关系-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述在数学中，我们经常会遇到比较不同数值大小的情况。

其中，零点的大小关系是一个重要的比较对象。

本文将对零点的大小关系进行探讨和比较。

零点是指数轴上的起点，也是数学中的特殊数值之一。

对于不同的数学概念和理论，零点都有其独特的定义和数学性质。

了解零点的定义和数学性质，可以帮助我们更好地理解数学中的大小比较，并能在实际应用中进行合理的判断和推论。

本文结构如下：首先，在引言部分将给出整篇文章的简要介绍和结构安排，详细说明文章将全面探讨零点大小关系的相关内容。

接下来，正文部分将分为两个小节。

在第一个小节中，将详细介绍零点的定义，包括不同数学领域对零点的特定定义。

这将帮助读者建立起对零点的清晰概念。

在第二个小节中，将深入研究零点的数学性质。

包括零点在数轴上的位置、与其他数值的关系等。

这些数学性质的探讨，可以帮助我们更好地理解零点在数量大小比较中的作用。

最后，在结论部分，将对零点大小关系的比较进行总结。

通过对零点的定义和数学性质的研究，我们将得出对零点大小关系的深刻认识，并给出合理的结论。

通过本文的阅读和学习，读者将能够掌握零点的概念、数学性质和大小关系的比较方法。

这对于我们理解数学中的大小比较，以及在实际生活和工作中进行合理判断和推论都具有重要的意义。

1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕零点的大小关系展开讨论，共分为以下几个部分：1. 引言：介绍文章的研究背景和目的，并概述后续章节的内容。

2. 正文：2.1 零点的定义：对零点的概念进行详细解释和定义，包括数学定义和常见理解。

2.2 零点的数学性质：探讨零点在数学上的一些基本性质，如零点的存在性、唯一性等。

3. 结论：3.1 零点大小关系的比较：通过对不同函数或方程的零点进行比较，讨论它们的大小关系，包括相等、不等、以及大小顺序等情况。

3.2 结论总结：对前文的分析和讨论进行总结，归纳出零点大小关系的一般规律或结论，并提出自己的见解和思考。

二元一次函数知识点归纳1.引言1.1 概述二元一次函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的线性关系。

具体而言，二元一次函数可以表示为y = ax + by + c的形式，其中a、b和c是常数，x和y是变量。

在二元一次函数中，变量x和y 分别代表自变量和因变量，而a、b和c则决定了函数的斜率和截距。

通过研究二元一次函数，我们可以探索变量之间的关系并解决实际生活中的问题。

例如，在经济学中，二元一次函数可以用于描述供求关系；在物理学中，二元一次函数可用于描述速度与时间的关系。

因此，了解二元一次函数的知识点对我们理解和解决实际问题具有重要意义。

本文旨在归纳和总结二元一次函数的关键概念，使读者能够全面理解和应用这一概念。

文章将从二元一次函数的定义和图像特征两个方面进行讲解。

通过深入剖析这些知识点，读者将能够更好地理解二元一次函数的运作机制，并且能够应用于解决实际的问题。

希望通过本文的阅读，读者能够对二元一次函数有一个清晰的认识，并且能够灵活运用它们解决自己感兴趣的问题。

在实际应用中，二元一次函数的概念将给我们提供更多思考和解决问题的途径，这对我们的学习和发展都具有积极的影响。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕着二元一次函数展开，分为引言、正文和结论三个主要部分。

引言部分将对二元一次函数进行概述，介绍其基本概念和定义，以及文章的目的和意义。

正文部分将深入探讨二元一次函数的知识点，其中包括二元一次函数的定义和特征。

在二元一次函数的定义中，将详细解释二元一次函数的表达式和变量的含义，并介绍如何表示和求解二元一次函数。

在二元一次函数的图像特征中，将讨论函数图像的形状、对称性和关键点的性质，以及如何根据函数图像来分析和解决问题。

结论部分将对二元一次函数的知识点进行总结，并探讨二元一次函数在实际场景中的应用。

总结部分将回顾二元一次函数的重点内容，并强调其在数学学习和实际问题中的重要性。

应用部分将通过一些实际场景的例子，展示二元一次函数的实际应用，如物理运动问题、经济模型等。

怎么求函数经过的定点在数学中，函数经过的定点指的是函数图像上的点，它们具有特殊的性质。

求函数经过的定点是我们进一步研究和理解函数性质的重要一步。

本文将介绍求函数经过的定点的方法和技巧。

1. 函数定点的概念函数定点是指函数在自变量取某个值时对应的函数值。

对于一元函数f(x)，其定点可以表示为(x, f(x))。

函数经过的定点可以给我们提供函数的性质、图像特点和解题的线索。

2. 求函数经过的定点的方法要求函数经过的定点，我们可以通过以下几种方法来实现：2.1 使用函数图像一个简单直观的方法是通过观察函数的图像来确定函数经过的定点。

根据函数图像的性质，我们可以判断出函数经过的定点。

示例：考虑函数f(x) = x^2 - 1，我们可以通过观察函数图像来确定函数经过的定点。

当x取值为-1和1时，函数对应的y值都为0，即定点为(-1, 0)和(1, 0)。

2.2 求函数的零点函数的零点是指函数曲线与x轴交点，也是函数经过的定点。

对于一元函数f(x)，如果f(c) = 0，则(c, 0)为函数的定点。

示例：考虑函数f(x) = x^2 - 4，我们可以通过求函数的零点来确定函数经过的定点。

将函数f(x)置为0，可以得到x^2 - 4 = 0，解得x = -2和x = 2，即函数经过的定点为(-2, 0)和(2, 0)。

2.3 求函数的导数函数的导数是函数变化率的表示，通过求函数的导数，我们可以确定函数的极值点，从而确定函数经过的定点。

示例：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2，我们可以通过求函数的导数来确定函数经过的定点。

对函数f(x)求导得到f’(x) = 3x^2 - 6x，将f’(x)置为0解方程得到x = 0和x = 2。

将x代入原函数f(x)可以得到对应的y值，即定点为(0, 0)和(2, -4)。

2.4 求函数的解析式对于已知函数的解析式，我们可以通过代入特定的自变量值来求对应的因变量值，从而确定函数的定点。

函数的定义域与值域的确定方法与实例分析进阶函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的关系。

在函数的研究中，我们经常需要确定函数的定义域和值域。

本文将介绍函数的定义域和值域的确定方法，并通过一些实例进行进一步分析。

1. 函数的定义域确定方法函数的定义域是指所有能够使函数有意义的输入值的集合。

一般来说，常见的函数类型有多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等。

下面将介绍各种函数类型的定义域确定方法。

1.1 多项式函数多项式函数是形如f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c的函数，其中a、b、c是常数，n是非负整数。

对于多项式函数来说，定义域是整个实数集R。

例如，考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，它是一个二次多项式函数。

由于任意实数都可以作为x的取值，所以该函数的定义域是整个实数集R。

1.2 有理函数有理函数是指多项式函数与多项式函数的商。

有理函数的定义域由多项式函数分母的零点确定。

我们只需要将分母设置为零，并解方程得到的解集即为有理函数的定义域。

例如，考虑函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，它是一个有理函数。

当分母x - 1等于零时，即x = 1，此时该函数的定义域不包括x = 1。

所以该函数的定义域是R中除去1的所有实数。

1.3 指数函数与对数函数指数函数的定义域是整个实数集R，而对数函数的定义域是正实数集R+。

这是因为指数函数的底可以是任意正实数，对数函数的底可以是任意正实数（但不能等于1），所以它们的定义域相应地确定。

2. 函数的值域确定方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。

确定函数的值域的方法有多种，我们可以通过函数的图像、解析式以及性质等进行分析。

2.1 函数的图像通过观察函数的图像，我们可以初步确定函数的值域。

如果函数是连续的，且图像是一个连续的曲线或者直线段，在曲线或者直线段上所有的y值都是函数的值域。

极点和零点的符号极点和零点是复变函数分析中重要的概念。

在讨论它们的符号之前，我们先来了解一下它们的定义和性质。

1. 极点：复变函数的极点是指在该点附近函数变得无穷大的点。

形式化地说，如果存在一个半径为R的圆盘，使得函数在该圆盘上除了该点外处处有定义，且在该点的一个去心邻域内函数的绝对值趋近于无穷大，则称该点为函数的极点。

极点可以是有限的或者无穷远的。

2. 零点：复变函数的零点是指在该点处函数的取值为0的点。

形式化地说，如果函数在某一点处取值为0，则该点为函数的零点。

接下来，我们将讨论极点和零点的符号。

1. 极点的符号：1.1 有限极点：一个函数的有限极点可以是正极点或负极点。

正极点是指函数在该点处取无穷大的正值。

负极点是指函数在该点处取无穷大的负值。

1.2 无穷远极点：函数在无穷远点处的极点也可以是正极点或负极点。

正无穷远极点是指函数在无穷远点处取无穷大的正值。

负无穷远极点是指函数在无穷远点处取无穷大的负值。

2. 零点的符号：2.1 复数零点：对于一个复变函数，如果它在某一复数点处取值为0，则称该点为函数的复数零点。

复数零点既不是正零点也不是负零点，因为在复数域中并没有定义大小关系。

2.2 实零点：对于实函数，如果它在某一实数点处取值为0，则称该点为函数的实零点。

实零点可以是正零点或负零点。

正零点是指函数在该点的取值为0且在该点左侧的取值为负值，右侧的取值为正值。

负零点是指函数在该点的取值为0且在该点左侧的取值为正值，右侧的取值为负值。

需要注意的是，符号的定义是相对的，取决于函数在特定点的取值情况。

同一个函数在不同的点可能有不同的符号。

此外，复变函数的极点和零点分析往往较为复杂，需要运用复变函数的理论和方法来进行推导和研究。

综上所述，极点的符号可以是正极点、负极点、正无穷远极点和负无穷远极点。

零点的符号可以是复数零点、正零点和负零点。

符号的定义是基于函数在特定点的取值情况，同一个函数在不同的点可能有不同的符号。

零点定理推广与应用【摘 要】零点定理是微分学中的一个重要定理，本文主要讨论了零点定理的几种推广情况，然后归纳整理了零点定理及其相应推广定理在解决理论问题与实际问题等方面的应用，并用例子加以说明。

【关键词】闭区间；应用；推广；引言在微分学中有一个重要的定理——零点定理，它的一个重要应用是研究函数零点的存在性问题。

但在一般的数学分析教材中介绍的零点定理，有两个比较重要的约束条件，第一，所讨论的函数在闭区间上连续，第二，所讨论的函数在闭区间的两个端点的函数值异号。

这两个约束条件有时会使零点定理的应用受到限制，若能将这两个约束条件放宽，可以使零点定理的应用更加广泛。

关于零点定理的推广以前已有一些学者研究过，如文[1]、文[2]将闭区间推广到开区间或半开半闭区间等，或函数值在某个过程趋于无穷大，但这些文章的推广还不够全面，还有许多情况可以推广。

本文从零点定理条件出发，将一元函数推广至二元函数，甚至多元函数的情况，分别得到相应的零点定理，同时将连续函数推广至有间断点的函数，较为完整地归纳零点定理的推广，并给出了相关定理的证明，最后将零点定理及相关的推广定理用于讨论多项式的零点（或方程根的个数）、函数的极值、函数不动点、及二元函数的驻点的存在性等问题。

同时也给出了这些定理在解决实际问题的几个应用实例。

1.简单介绍零点定理及其它相关定理定理1.1：（零点定理）若函数在闭区间连续，且，则一定)(x f []b a ,()()0f a f b <A 存在，使。

),(b a ∈ξ0)(=ξf 定理1.2：（介值定理）设函数在闭区间上连续，且，那么，)(x f []b a ,)()(b f a f ≠对于 与之 间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得)(a f )(b f C ()b a ,ξ。

C f =)(ξ推论：设函数在闭区间上连续，分别为在 上的最大值)(x f []b a ,m M ,)(x f []b a ,和最小值，则对于任何，，必然存在， 使C M C m <<),(b a ∈ξ.)(C f =ξ2. 零点定理的推广2.1　将闭区间推广为其它区间定理2.1.1：若函数在区间（注：区间是非常任意的）内连续且异号：即)(x f I I *存在 ，使，则在区间内至少有一个零点。

函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。

形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。

1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。

（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。

一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。

（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。

（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。

（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。

二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。

形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。

2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。

（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。

（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。

（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。

三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。