§1.2线段垂直平分线学案2

课题：1.3线段的垂直平分线（2）教学目标：1.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2.能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理，会用尺规作出“已知底边及底边上的高”的等腰三角形.3.在数学活动中获得成功的体验，体会解决问题的方法，发展实践能力和创新意识． 教学重难点重点：1.能够证明与线段垂直平分线相关的结论．2.已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 难点：证明三线共点. 教学方法：把握住“探索——发现——猜想——证明——应用”的主线，注意从已知条件的推理中，以及求证问题的变换中寻找突破口；运用尺规作图的基本方法，首先构思而后再画出规范的图形． 课前准备教具：教材、导学案、实物投影学具：教材、导学案、练习本、圆规等作图工具、一张三角形的纸片． 教学过程：一、创设情境，复习引入活动内容：回答下列问题（多媒体投影展出问题）. 问题1: 线段垂直平分线性质定理和判定定理内容是什么？问题2：你能作出三角形三边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？处理方式：第1问是上节课所学过的内容，找学生直接回答答案，第2问先让学生在练习本中作出任意三角形的三边垂直平分线，然后让学生观察所做三条垂直平分线的位置关系，对所观察到的进行猜测，从而引入新课的讲解.答案：1.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.线段垂直平分线判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3.如图：直线EF ，MN ，PQ 就是△ABC 三边的垂直平分线.由图形可以看出“三角形三边的垂直平分线交于一点”．QPM EAO设计意图：通过对上节课所学内容的复习为本课的学习做知识准备，同时问题2的提出主要是为了引起学生的学习兴趣，从而引入新课.二、合作探究, 交流展示活动内容一：三角形三边垂直平分线的性质问题1：由上面的作图可以看出“三角形三边的垂直平分线交于一点”，那么这点到三角形三个顶点的距离有何关系呢？问题2：请同学们拿出已准备好的三角形纸片（锐角、直角、钝角三种三角形都有），通过折叠找出每条边的垂直平分线，用笔描出折痕.观察这三条垂直平分线，你发现了什么？问题3：你能证明你发现的结论吗？处理方式：问题1让学生直接通过上面的作图进行猜测：“这一点到三角形三个顶点的距离相等”这一性质；问题2让学生利用准备好的三种不同的三角形，分别折出它们的三条垂直平分线，再通过观察的得到三角形的三边垂直平分线的性质.设计意图：让学生利用不同的方法从感官上感受三角形三边垂直平分线的性质，并培养学生动手操作的能力.活动内容二：三角形三边垂直平分线的性质的证明请同学们完成下面的证明:(多媒体展示课件)例2：求证：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB=PC．∴PA=PB=PC．∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．处理方式：教师出示题目，然后让学生分析讨论，最后师生共同完成证明过程.巩固练习1：1. 如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2．如图，在△ABC 中，BC=12，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点M.（1）求△AEN 的周长.（2）如果DE 交MN 于点P ，猜想PBC 的形状.设计意图：让学生能够利用证明的方法掌握三角形三边垂直平分线的性质，并掌握其证明的方法和步骤.通过巩固训练让学生能够进一步掌握线段垂直平分线的性质的应用.三、知识应用，例题解析活动内容：请同学们观察例1，如何作出这个三角形．（多媒体出示例1） 例3：已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：如图，线段a 、h ．求作：△ABC ，使AB=AC ，BC=a ，高AD=h 作法：1．作线段BC=a ；2．作线段BC 的垂直平分线MN 交BC 于D 点； 3．以D 为圆心，h 长为半径作弧交MN 于A 点； 4．连接AB 、AC ．则△ABC 就是所求作的三角形．ABCE DahA BC D l处理方式：让学生先自己动手，先阅读教材，再自己动手作图，最后教师讲解强化指导.设计意图：让学生掌握如何在已知底边和高的情况下作一个等腰三角形，同时进一步使学生掌握线段垂直平分线的作法.巩固练习2：（多媒体展示课件）1.已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.你能明白小明的做法吗？2.如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规经过P点作l的垂线呢？处理方式：让学生先认真分析题目，然后动手操作，在练习本中画出相应的图形，教师最后再给与指导.设计意图：学生动手作图的同时，思考为什么这样作图，通过作图使学生对垂直平分线的作法有更深刻的理解，并能熟练地作出已知直线的垂线.四．归纳总结，反思提升通过本节课的学习，你学会了哪些知识和思考问题的方法？你有哪些收获？有何感想？把你的收获分享给大家.设计意图：鼓励学生大胆发表自己的看法，勇于提出问题，在相互交流中共同提高，对于学生的每一次发言教师应适时给予鼓励赞赏，学生提出的问题尽量由学生解决，易于接受和互相学习，教师注意多加以引导.五、达标检测，反馈提升通过本节课的学习，同学们的收获有多少？掌握的程度如何呢？请完成达标检测题．（多媒体出示）A组：1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A.三角形三条角平分线的交点B.三角形三条垂直平分线的交点C.三角形三条中线的交点D.三角形三条高的交点2．如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点3.如图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA______PB_______PC.（大小关系）4．如图，在△ABC中，BC=2，∠ABC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.5.已知线段a，求作以a为底，底边上的高为2a的等腰三角形.B组：6．已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥B C.Aa处理方式：先让学生自己在规定的时间（5-10分钟）内独立完成，学生做完后，教师出示答案，学生同位间互批，教师统计学生答题情况并对学生出现错误较多的题目加以强调．出现错误的学生根据答案和教师的讲解进行纠错．设计意图：检验学生对本节课的掌握情况，同时也是对本节课知识的又一次巩固和提高，也有利于下节课知识的讲解.六．分层作业，巩固提升必做题：课本26页，习题1.8第1题，第2题两题．选做题：课本26页，习题1.8第3题，第4题两题．板书设计:1.3 线段的垂直平分线（2）定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 【例2】已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P求证：P点在AC的垂直平分线上．证明：【例3】已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.学生板演区。

八年级数学下册1.3 线段的垂直平分线导学案2（新版）北师大版1、3、1 线段的垂直平分线（第2 课时）【学习目标】课标要求：1、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形用尺规作已知线段垂直平分线目标达成：1、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形用尺规作已知线段垂直平分线学习流程：【课前展示】1、如右图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm、2、如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm、3、如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90,∠B=15,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 、4、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上、5、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm、6、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B 的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM、7、如图（2），在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上、（1）（2）（3）8、如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线、二、自主探究【创境激趣】剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线观察发现了什么？【自学导航】1、作线段的垂直平分线2、作一个三角形三条边上的垂直平分线。

13.1.2 线段的垂直平分线教学目标1.知识与能力（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．2.过程与方法在探索轴对称性质的过程中体会数学的美，在探索线段垂直平分线性质的过程中感受逻辑推理的严谨性．3.情感、态度与价值观培养学生的审美情趣，激发学生学习兴趣．教学重点（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．教学难点：轴对称、线段垂直平分线性质的探索．教学方法：创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．教学过程一、创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念活动1我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，（一边播放图片一边叙述）．无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中的图案的设计，甚至是照镜子，都和对称密不可分．问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（先出示建筑物、柳叶、蝴蝶、窗花等图片，然后出示投影片）．（1）这些图形有什么共同的特征？（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？学生活动设计：学生观察图形，讨论其具有的共同特征，可以发现这些图形沿一条直线对折，直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．教师活动设计：经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．活动2问题出示图片（教材图13.1－3）下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？学生活动设计：学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．教师活动设计：在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．之后教师引导学生对轴对称和轴对称图形进行讨论交流，加深理解：轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．二、主体探究、合作交流，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的性质活动3如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A.B.C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？学生活动设计：学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=P A′、∠MP A=∠MP A′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．教师活动设计：鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”，进而引导学生进行归纳：轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点的所连线段的垂直平分线”．“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．活动4问题：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A.B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？学生活动设计：学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB.∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．教师活动设计：鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．引导学生进行归纳：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．活动5问题类比探究角平分线的性质的过程自行探究“到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．引导学生归纳：如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．三、应用提高、拓展创新问题如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？A B（学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．）问题电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A.B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。

八年级数学上册《1.2 线段的垂直平分线》导学案1、2 线段的垂直平分线学习目标：1、理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质。

2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。

3、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。

重难点：重点：1、掌握线段垂直平分线性质。

2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。

难点：1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。

2、能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。

学习过程：1、生活中问题政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心。

试问：该购物中心应建于何处，才使得它到三个小区的距离相等？2、刚才用折叠的方法作出了线段的垂直平分线，还可以用尺规作图的方法作线段的垂直平分线。

（同学之间交流做法）3、任意画一个三角形，用圆规和直尺作出它的三条边的垂直平分线，你有什么发现？一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、不能确定2、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、∠A、∠B的平分线交点处3、如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC= 0、EDABC4、锐角△ABC中，∠A=60，AB，AC两边的垂直平分线交于点O，则∠BOC的度数是__________。

5、在△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线交AC于F，若AB=12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是 w3、如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长、 BAEDC。

《线段的垂直平分线》教学设计第2课时一、教学目标1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.2.掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.3.能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.二、教学重难点重点：会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.难点：掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：线段的垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？预设：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则P A=PB.应用:经常用来证明两条线段相等.问题2：线段的垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？预设：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图，线段AB，P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．应用:经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.问题3：如何作已知线段的垂直平分线？预设：已知:线段AB，如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB 长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.分析：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形.然后结合前面学过的线段垂直平分线的判定定理和性质定理进行证明.求解过程：已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在边AC的垂直平分线上，且P A ＝PB＝PC.证明：∵点P在边AB的垂直平分线上，∴P A＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB＝PC.∴P A＝PB＝PC.∴点P在边AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).【议一议】分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.⊥ 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；⊥ 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.⊥ 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.【归纳】教师活动：结合上面的例题讲授及作图内容，鼓励学生先自主思考并讨论总结三角形外心的相关内容，然后做整体归纳总结.三角形的外心：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形外心的位置：(1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；(2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处；(3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.【议一议】(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能做出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?预设：能作出无数个，所作出的三角形不都全等.(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形.预设：能作出两个三角形，所作出的两个三角形全等.【典型例题】教师活动：先帮学生回忆前面学习的尺规作图的基本内容，然后和学生一起分析具体作图方法，在学生作图过程中，引导学生体会每一作图步骤的作用及其理论依据.例2 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.作法：(1)作线段BC=a.(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.(3)在l上截取DA= h.(4)连接AB，AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【做一做】已知直线l和l上一点P，用尺规作l 的垂线，使它经过点P 呢.小明的作法如下，你能明白他的作法吗？分析：先在直线l上截取A、B两点，且这两点到点P的距离相等；接着分别以点A、B为圆心，大于线段AB的一半的长为半径画弧，交于两点；最后连接得到的两个交点，得到直线m即为所求.你是怎样作的？和同学们交流讨论一下.【议一议】如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢?说说你的作法，并与同伴进行交流.分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线l的另一侧取点K，过P点以PK长为半径作弧，与直线l相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决.已知：直线l，及l外一点P .求作：直线m垂直于直线l，且经过点P.作法：1. 任取一点K，使点K与点P在直线l 两旁；2.以点P为圆心，以PK的长为半径作弧，交直线l于点A和点B；3.作线段AB的垂直平分线m.直线m垂直于直线l，且经过点P.教师活动：进行总结说明，给出简要证明，因为P A=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.三角形三边的垂直平分线的交点() A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等D．不能确定2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD 的大小是()A．10°B．20°C．30°D．40°3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为 5 cm，则AO+BO+CO=cm.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.答案：1.B2.A3.154.38°5.解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G，那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)，BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，同理AF＝CF.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

第2课线段的垂直平分线学案1、教材分析本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理. 定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知的依据.本节内容的难点是定理及逆定理的关系. 垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反. 学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点.2、教法建议本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式. 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人. 具体说明如下：（1）参与探索发现，领略知识形成过程学生前面，学习过线段垂直平分线（转载自第一范文网，请保留此标记。

）的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很容易得出“相等”. 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结. 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会.（2）采用“类比”的学习方法，获取逆定理线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.(3) 通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.简单了解（/view/541136.htm）学习目标：1.理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.3.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线.重难点：重点：1.掌握线段垂直平分线性质定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.难点：1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.学习过程：一、情境思考：如图所示，公路AB 附近有两个村庄C,D ，要在公路边建一个车站，为了方便起见，要求这个车站到两个村庄的距离相等，你能找出这个车站吗？A B二、学习新知（一） 探究知识一活动1：学生自主学习课本第八页：实验与探究，第九页交流与发现2成果交流，归纳提升 A:(1) 于线段，并且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.线段是 图形，它的一条对称轴是B : 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的任意一点到 的距离 . 应用：如图1： MN 是线段AB 的垂直平分线，E 是MN上一点，则EA 与EB 有什么关系？为什么？ 答：因为 所以变式练习：（1）.如图2:在直角三角形中∠C=900，DE 是斜边AB 的垂直平分线，则DA=________为什么？如果CD=1cm,BD=2cm,则AC=_____cm.（2）如图3：线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点N ，M 为直线l 上任一点，若AB=2cm,△MAB 的周长为10cm,则MA=_________cm(二)探究二：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线线，怎么做呢？请你自学第九页例题并尝试做一做.已知：线段AB求作：线段AB 的垂直平分线作法：（1）（2）你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？巩固练习：课本P9练习第1题课本P10习题A 组第1.2题三.巩固与拓展练习基础知识：1、 如图4:AD 是线段BC 的垂直平分线, EF 是线段AB 的垂直平分线,点E 在AC 上，且BE+CE=20cm,则AB=2.如图5所示，公路AB 附近有两个村庄C,D ，要在公路边建一个车站，为了方便起见，要求这个车站到两个村庄的距离相等，请你能在图中找出这个车站的位置？拓展应用:3.在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为(0,4),B 坐标为(6,0).那么线段OA 与OB 垂直平分线的交点P 的坐标为（ ）PA PB4.课本P10习题B 组第1题四.课堂小结 ： 本节课你学到了哪些知识，最大的收获是什么？并与同学交流.五 课堂检测:A ：夯实基础：1.线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并且 一条 的直线，称为这条 的垂直平分线，线段垂直平分线上的 到这条线段两个 的距离.B ：能力提高2.如图7，在△ABC 中，AB=AC=16cm,AB 的垂直平分线交AC 于D,如果,BC=10cm ，那么△BCD 的周长是 cm网上测评（/Math/Report/Detail/75064c71-f84d-4c07-a9c5-23fff5ded27b ） A B C D。

线段的垂直平分线课题线段的垂直平分线2学习目标1、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；2、能够利用尺规作已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形学习重难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形旧知识链接1、我们学过哪几种基本作图？方法步骤是什么？2、线段的垂直平分线有什么性质？怎样判定一条直线是线段的垂直平分线？问题探究1.用尺规作线段的垂直平分线。

2.已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P。

3.任意画一个三角形并作三条边上的垂直平分线。

1）在上例中，同学们有没有发现，利用尺规作三角形三条边的垂直平分线时，三条线有什么特点？2）定理：3）证明定理4. 已知：线段a、h求作：△ABC，使AB = AC，且BC = a，高AD = hBABABAA BPa h达标测试1.三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.2.到线段两端距离相等的点在这条线段的_________.3.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________.4.底边A B=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB 的_________上.5.在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE 的周长为10 cm，则BC=______ cm.6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=____度.7.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．反比例函数ky x=经过点（1，3-），则k 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．下列各式计算正确的是（ ） A ．（2a 2）•（3a 3）＝6a 6 B ．6a 2b ÷2a ＝3b C ．3a 2﹣2a 2＝a 2D ．2+3＝53．如果一个正多边形的内角和是这个正多边形外角和的2倍，那么这个正多边形是( ) A ．等边三角形B ．正四边形C ．正六边形D ．正八边形4．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤5．若一次函数的6y x b =-+图象上有两点()()122,,1,A y B y -，则下列12,y y 大小关系正确的是（ ） A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≤D ．12y y ≥6．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x ＝x 2﹣3 B ．ax 2+bx+c ＝0 C ．D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2＝07．下列计算正确的是( ) A 235=B ．3232=C ．2336=D 6232=8．在矩形ABCD 中，4AB m BC H ==，，是BC 的中点，DE AH ⊥，垂足为E ，则用m 的代数式表示DE 的长为（）A ．255mB ．22444m m m ++ C ．5mD ．522m9．某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这四位同学中选出一名晋级（总体水平高且状态稳定）你会推荐（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分 92 94 94 92 方差 3535 2323 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知四边形ABCD ，有以下4个条件：①AB ∥CD ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ．从这4个条件中选2个，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A ．①② B ．①③C ．①④D ．②④二、填空题11．已知：关于x 的方程230x x a -+=有一个根是2，则a =________，另一个根是________. 12．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，CE 是ACB ∠的平分线与边AB 的交点，则BE 的长为______．13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_______，面积为________.14．为响应“双十二购物狂欢节”活动，某零食店推出了甲、乙、丙三类饼干礼包，已知甲、乙、丙三类礼包均由A 、B 、C 三种饼干搭配而成，每袋礼包的成本均为A 、B 、C 三种饼干成本之和.每袋甲类礼包有5包A 种饼干、2包B 种饼干、8包C 种饼干；每袋丙类礼包有7包A 种饼干、1包B 种饼干、4包C 种饼干.已知甲每袋成本是该袋中A 种饼干成本的3倍，利润率为30%，每袋乙的成本是其售价的56，利润是每袋甲利润的49；每袋丙礼包利润率为25%.若该网店12月12日当天销售甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4:6:5，则当天该网店销售总利润率为__________.15．如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是_____．16．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .若4AE =，6AF =，且□ABCD 的周长为40，则□ABCD 的面积为_______．17．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，且.EB EC ⊥若矩形ABCD 的周长为48cm ，则矩形ABCD 的面积为______2cm ．三、解答题18．以△ABC 的三边在BC 同侧分别作三个等边三角形△ABD ，△BCE ，△ACF ，试回答下列问题： （1）四边形ADEF 是什么四边形？请证明：（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？ （3）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？ （4）当△ABC 满足什么条件时，能否构成正方形？ （5）当△ABC 满足什么条件时，无法构成四边形？19．（6分）如图，在ABC ∆中，13,23AB AC ==，点D 在AC 上，若10BD CD ==，AE 平分BAC ∠. （1）求AE 的长；（2）若F 是BC 中点，求线段EF 的长.20．（6分）请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD ，E ，F 分别是AB 和AD 的中点，以EF 为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD ，E 是对角线BD 上任意一点（BE ＞DE ），以AE 为边画一个菱形．21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x,y ，若点Q 的坐标为()ax y,x ay ++，其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”.例如，点()P 1,4的“3级关联点”为()Q 314,134⨯++⨯，即()Q 7,13．()1已知点()A 2,6-的“12级关联点”是点1A ，点B 的“2级关联点”是()1B 3,3，求点1A 和点B 的坐标； ()2已知点()M m 1,2m -的“3-级关联点”M'位于y 轴上，求M'的坐标；()3已知点()C 1,3-，()D 4,3，点()N x,y 和它的“n 级关联点”N'都位于线段CD 上，请直接写出n 的取值范围．22．（8分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何.注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题：（1）示意图中，线段AF 的长为______尺，线段EF 的长为______尺；（2）求芦苇的长度.23．（8分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为23600cm 的矩形纸板ABCD ，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面EFGH 为矩形，如图2，设小正方形的边长为x 厘米.、 （1）若矩形纸板的一个边长为90cm . ①当纸盒的底面积为21056cm 时，求x 的值； ②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当:7:2EH EF =，且侧面积与底面积之比为9:7时，求x 的值.24．（10分）如图，直线3y x与坐标轴交于点A 、B 两点，直线CP 与直线AB 相交于点1,3P m ⎛⎫⎪⎝⎭，交x 轴于点C ，且PAC ∆的面积为25 3.(1)求m 的值和点A 的坐标； (2)求直线PC 的解析式；(3)若点E 是线段AB 上一动点，过点E 作//EQ x 轴交直线PC 于点Q ，EM x ⊥轴，QN x ⊥轴，垂足分别为点M 、N ，是否存在点E ，使得四边形EMNQ 为正方形，若存在，请求出点 E 坐标，若不存在，请说明理由.25．（10分）已知，二次函数2(y ax bx c a =++≠0)的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）．①求这个二次函数的解析式；②已知抛物线211111(y a x b x c a =++≠0)，222222(y a x b x c a =++≠0)，且满足111222(a b c k k a b c ===≠0，1)，则我们称抛物线12与y y 互为“友好抛物线”，请写出当12k =-时第①小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这“友好抛物线”的顶点坐标．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．B 【解析】 【分析】此题只需将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定k 的值． 【详解】把已知点的坐标代入解析式可得，k=1×（-1）=-1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，． 2．C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘除运算法则和合并同类项运算法则分别判断得出答案． 【详解】A 、（2a 2）•（3a 3）＝6a 5，故此选项错误；B 、6a 2b÷2a ＝3ab ，故此选项错误；C、3a2﹣2a2＝a2，正确；D故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘除运算和合并同类项运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n．根据题意列出方程即可解决问题．【详解】设这个多边形的边数为n，由题意(n﹣2)•180°＝2×360°，解得n＝6，所以这个多边形是正六边形，故选C．【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．4．B【解析】【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝12x+b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【详解】解：直线y=12x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线y＝12x+b中，可得32+b=1，解得b=-12；直线y=12x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线y＝12x+b中，可得12+b=1，解得b=12；直线y=12x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线y＝12x+b中，可得1+b=2，解得b=1．故b的取值范围是-12≤b≤1．故选B ． 【点睛】考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降． 5．B 【解析】 【分析】首先观察一次函数的x 项的系数，当x 项的系数大于0，则一次函数随着x 的增大而增大，当x 小于0，则一次函数随着x 的减小而增大.因此只需要比较A 、B 点的横坐标即可. 【详解】解：根据一次函数的解析式6y x b =-+ 可得此一次函数随着x 的增大而减小 因为()()122,,1,A y B y - 根据-2<1，可得12y y > 故选B. 【点睛】本题主要考查一次函数的一次项系数的含义，这是必考点，必须熟练掌握. 6．A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解答. 【详解】选项A ，由x ＝x 2﹣3得到：x 2﹣x ﹣3＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； 选项B ，当a ＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； 选项C ，该方程不是整式方程，故本选项错误； 选项D ，该方程属于二元二次方程，故本选项错误； 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）方程为整式方程． 7．C 【解析】【分析】根据二次根式的加法法则判断A、B；根据二次根式的乘法法则判断C；根据二次根式的除法法则判断D．【详解】A、不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B、不能合并，故本选项错误；C、故本选项正确；D、故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．8．B【解析】【分析】如图连接DH，根据面积和相等列方程求解.【详解】解：如图所示连接DH，AB=m,BC=4,BH=2，则矩形面积24m+则矩形ABCD=三角形ABH+三角形AHD+三角形DHC，则4m=m+12DE24m+解得DE=22444mm++.【点睛】本题考查勾股定理和矩形性质，能够做出辅助线是解题关键.9．C【解析】在这四位同学中，乙、丙的平均分一样，但丙的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可推荐丙，故选C. 10．C【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法即可一一判断；【详解】A 、由①②可以判定四边形ABCD 是平行四边形；故本选项不符合题意；B 、由①③可以判定四边形ABCD 是平行四边形；故本选项不符合题意；C 、由①④无法判定四边形ABCD 是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；D 、由②④可以判定四边形ABCD 是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．二、填空题11．2， 1.【解析】【分析】设方程x 2-3x+a=0的另外一个根为x ，根据根与系数的关系，即可解答．【详解】解：设方程230x x a -+=的另外一个根为x ，则23x +=，2x a =，解得：1x =，2a =，故答案为：2，1.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q ．12．43 【解析】分析：作EH AC ⊥于.H 由ECH ≌ECB ，推出BE EH =，4BC CH ==，1AH =，设BE EH x ==，则3AE x =-，在Rt AEH 中，根据222AE AH EH =+，构建方程求出x 即可； 详解：作EH AC ⊥于H ．四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=，5AC ∴==，在ECH 和ECB 中，90EHC B ECH ECB EC EC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ECH ∴≌ECB ，BE EH ∴=，4BC CH ==，1AH =，设BE EH x ==，则3AE x =-，在Rt AEH 中，222AE AH EH =+，222(3)1x x ∴-=+，43x ∴=， 43BE ∴=， 故答案为:43. 点睛：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．3 1【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求得高的长，从而再根据面积公式求得面积即可．【详解】解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4，根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积=12×8×3=1．故答案为：3,1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．综合运用等腰三角形的三线合一以及直角三角形的勾股定理是解答本题的关键．14．25%【解析】【分析】设每包A 、B 、C 三种饼干的成本分别为x 、y 、z ，从甲礼包入手，先求出5x=y+4z ，再由甲的利润率求出甲礼包的售价为19.5x ，成本15x ；由乙礼包所提供的条件可求出乙礼包的售价为12x ，成本为10x ；由丙礼包的条件列出丙礼包的成本为7x+y+4z=12x ，进而确定丙礼包的售价为15x ，成本为12x ；最后再由利润率的求法求出总利润率即可．【详解】解：设每包A、B、C三种饼干的成本分别为x、y、z，依题意得：5x+2y+8z=15x，∴5x=y+4z，由甲礼包的利润率为30%，则可求甲礼包的售价为19.5x，成本15x；∵每袋乙的成本是其售价的56，利润是每袋甲利润49，可知每袋乙礼包的利润是：4.5x×49=2x，则乙礼包的售价为12x，成本为10x；由丙礼包的组成可知，丙礼包的成本为：7x+y+4z=12x，∵每袋丙礼包利润率为：25%，∴丙礼包的售价为15x，成本为12x；∵甲、乙、丙三种礼包袋数之比为4：6：5，∴19.54612515415610512100%25% 415610512x x x x x xx x x⨯+⨯+⨯-⨯-⨯-⨯⨯=⨯+⨯+⨯，∴总利润率是25%，故答案为：25%．【点睛】本题考查三元一次方程组的应用；理解题意，能够通过已知条件逐步确定甲、乙、丙的售价与成本价是解题的关键．15．5【解析】【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．【详解】解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+(1+1)2＝5，∴AB＝5．故答案为5【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．16．48【解析】∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，∴S▱ABCD=4BC=6CD，整理得,BC=32CD②，联立①②解得，CD=8，∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.故答案为48.17．128【解析】【分析】根据AB=DC,∠A=∠D,AE=DE,利用SAS可判定△ABE≌△DCE,根据全等三角形的性质可得:∠AEB=∠DEC,再根据BE⊥CE,可得:∠BEC=90°,进而可得:∠AEB=∠DEC=45°,因此∠EBC=∠ECD=45°,继而可得:AB=AE,DC=DE,即AD=2AB,根据周长=48,可求得:BC=16,AB=8,最后根据矩形面积公式计算可得:S=16×8=128 cm².【详解】∵AB=DC,∠A=∠D,AE=DE,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴∠AEB=∠DEC,∵BE⊥CE,∴∠BEC=90°,∵∠AEB+∠BEC+∠DEC=180°,∴∠AEB=∠DEC=45°,∴∠EBC=∠ECD=45°,∴AB=AE,DC=DE,即AD=2AB,又∵周长=48,∴BC=16,AB=8,S=16×8=128 cm²,故答案为:128.【点睛】本题主要考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握矩形性质,全等三角形,等腰直角三角形的判定和性质.三、解答题18．（1）见解析；（2）当△ABC 中的∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形；（3）当△ABC 中的AB=AC 时，四边形ADEF 是菱形；（4）当∠BAC=150°且AB=AC 时，四边形ADEF 是正方形；（5）当∠BAC=60°时，D 、A 、F 为同一直线，与E 点构不成四边形，即以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．【解析】【分析】（1）通过证明△DBE ≌△ABC ，得到DE=AC ，利用等边三角形ACF ，可得DE=AF ，同理证明EFC ∆与ABC ∆全等，利用等边三角形ABD ，得AD=EF ，可得答案．（2）利用平行四边形ADEF 是矩形，结合已知条件等边三角形得到150BAC ∠=︒即可．（3）利用平行四边形ADEF 是菱形形，结合已知条件等边三角形得到AB AC =即可．（4）结合（2）（3）问可得答案．（5）当四边形ADEF 不存在时，即出现三个顶点在一条直线上，因此可得答案。

13.1.2线段的垂直平分线性质（二）【学习目标】：1、使学生掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2、继续训练学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤，认识它的正确性、合理性；3、培养学生探索问题、解决问题的方法，经历如何画线段的垂直平分线，体验利用画线段垂直平分线的方法为基础，画过一点作已知垂线的作图【重点难点】：1、重点：让学生掌握过一点作直线的垂线，作直线的垂直平分线的基本方法；2、难点：理解作图的理论依据【学习过程】：一、复习1、什么叫做尺规作图（限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图）2、用尺规作图（1）作线段，使它等于已知线段的长；（2）作角，使它等于已知角；①让学生在练习本上画任意长的线段和任意角②提问学生口述作法，教师在黑板上操作尺规画图，或教师口述作图步骤，让学生按老师的口述，操作尺规作图作线段：已知线段a ，作射线AC ，以A 为圆心，在AC 上截取AB a =，AB 就是所求作的； 作角：已知AOB ∠，作射线''O A ，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、C 两点，以'O 为圆心，以OC 为半径作弧，交''O A 于'C ，以点'C 为圆心，以CD 长为半径作弧，交前弧于'D ，经过'D 作射线''O B ，'''A O B ∠就是所求的角3、什么垂直平分线（过线段的中点，垂直这条线段的直线）4、线段垂直平分线有哪些特征（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段 的垂直平分线上）二、做一做如图，如图、已知线段AB ，画出它的垂直平分线.提示：由线段垂直平分线的特征能否为你提供一些作图的依据 若有学生懂得画，请他上台展示；若讨论没有结果的话，教师示范作法：1、分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；2、过C 、D 两点作直线CD所以，直线CD 就是所求作的三、议一议能否说出这种画法的依据，小组讨论交流并发表小组的共识我们知道，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线 图24.4.6段的垂直平分线上，因此如果能找到两个到线段两点的距离相等的点，那么过这两点就可画线段的垂直平分线如图，以点A 为圆心，以大于AB 一半的长为半径，在AB 的一侧画弧； 以点B 为圆心，以同样的长为半径，在AB 的同一侧画弧，两弧的交点记为C ，则C 是线段AB 垂直平分线上的一点．请你利用类似的方法确定另一点D因为画图可知AC=BC ，所以点C 在线段AB 的垂直平分线上；又AD=BD ，所以点D 也在线段AB 的垂直平分线上；根据两点确定一条直线，所以直线CD 就是线段AB 的垂直平分线四、试一试 1、如图，点C 在直线l 上，试过点C 画出直线l 的垂线 提示：能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢 请同学们把你的作法在小组内交流，请一些同学上台展示其画图过程、画图的作法，并说明画图的依据 作法：（1）以C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l 于A 、B 两点；（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；（3）过C 、D 两点作直线CD所以，直线CD 就是所求作的理由：以C 为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l 于A 、B 两点，则C 是线段AB 的中点．因此，过C 画直线l 的垂线转化为画线段AB 的垂直平分线2、如图，如果点C 不在直线l 上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C 画出直线l 的垂线 请同学们把讨论结果上台展示作法：（1）任取一点M ，使点M 和点C 在l 的两侧；（2）以C 点为圆心，以CM 长为半径画弧，交l于A 、B 两点；（3）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于D 点；（4）过C 、D 两点作直线CD所以，直线CD 就是所求作的你能否用所学的知识证明这个结论呢试试看证明：连结CA 、CB 、DA 、DB ，设CD 、AB 相交于O由作法知，CA CB =，DA DB =，CD 是公共边，所以△CAD ≌△CBD （SSS ）所以ACD BCD ∠=∠（全等三角形的对应角相等）于是△ACO ≌△BCO （SAS ）所以AO=BO ，AOC BOC ∠=∠（全等三角形的对应边、对应角相等）图24.4.7图24.4.8 图24.4.10所以CD是线段AB的垂直平分线五、练一练练习1、2六、说一说1、本节你有何收获2、本节你有何体会3、本节你有何疑惑七、作业习题4、5。

线段的垂直平分线教学目标认知目标1.90%能会用尺规过一点作已知直线的垂线。

2.80%能通过多种形式的参与，掌握线段的垂直平分线的性质，会用它解决相关的问题，并能探究并分析作图理由。

感情目标培养自主探究的能力，体验数学学习的快乐。

教学重难点重点：用尺规过一点做已知直线的垂线及作垂线和轴对称的应用作图。

难点：对作图原理的探究和掌握。

教学手段多媒体，小黑板，尺规等教学课时第二课时教学过程个人复备一、互阅作业：《配套练习册》P15 T1-7，课本练习 p47 T1-3错题标注互阅要求：（1）1号6号互批 2号5号互批 3号4号互批（有7号的注意7号批3号，4号批7号，3号批4号）（2）安静有序（3）及时标注二、感情调节：利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能把作图的范围再推广到“过一点作已知直线的垂线”吗？三、自学：（一）自学内容探究一：如果过一点作已知直线的垂线如何作呢？1．如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线.作图的作图依据是什么？小组交流2．如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？问题：（1）如何转化成线段垂直平分线?理由是什么?（2）同侧的弧半径能不同吗?（3）异侧的弧半径能不同吗?探究二：1．已知A、B是一条河流L异侧的两个村庄，想在河流L上建一个供水站P，向两个村庄输送自来水，供水站建在哪个位置最合适？已知A、B是直线L的异侧两点，在L上找一点P，使PA+PB最小；2．若A、B是河流L的同侧的两个村庄，在L上建一个供水站P，使原材料最省，那供水站应该建在哪个位置？若A、B为直线L同侧的两点呢？问题：（1）解决1的理由是什么？（2）你是如何把同侧的点转化为异侧的？并利用你所学的知识说明其正确性。

（两种方法）探究三：海伦是古希腊的一位数学家、测量学家。

相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河L边让坐骑饮水，怎样走路程最近呢？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 垂直平分线的定义介绍线段垂直平分线的概念，即垂直平分线是线段所在的直线，且垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

1.2 垂直平分线的性质性质1：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。

性质2：线段的垂直平分线上的每一点到线段的两个端点的距离相等。

性质3：线段的垂直平分线段将线段平分成两个相等的部分。

第二章：垂直平分线的判定2.1 线段垂直平分线的判定条件判定1：如果一条直线垂直于线段所在的直线，并且通过线段的中点，这条直线是线段的垂直平分线。

判定2：如果一条直线上的每一点到线段的两个端点的距离相等，这条直线是线段的垂直平分线。

2.2 垂直平分线的判定方法方法1：使用直角三角形的性质，通过构造直角三角形来判断直线是否为垂直平分线。

方法2：使用尺规作图，通过作图来判断直线是否为垂直平分线。

第三章：垂直平分线与线段的关系3.1 垂直平分线与线段的交点介绍垂直平分线与线段的交点，即垂直平分线与线段相交的点，这个点到线段的两个端点的距离相等。

3.2 垂直平分线与线段的垂直关系介绍垂直平分线与线段的垂直关系，即垂直平分线与线段所在的直线垂直。

3.3 垂直平分线与线段的中点介绍垂直平分线与线段的中点的关系，即垂直平分线通过线段的中点，并且将线段平分成两个相等的部分。

第四章：垂直平分线的应用4.1 垂直平分线在几何作图中的应用介绍垂直平分线在几何作图中的应用，例如利用垂直平分线来作图求解几何问题。

4.2 垂直平分线在证明中的应用介绍垂直平分线在几何证明中的应用，例如利用垂直平分线的性质和判定来证明几何定理。

4.3 垂直平分线在实际问题中的应用介绍垂直平分线在实际问题中的应用，例如利用垂直平分线来解决生活中的问题。

第五章：总结与拓展5.1 垂直平分线的性质与判定的总结对垂直平分线的性质和判定进行总结，加深学生对垂直平分线的理解。

5.2 垂直平分线的拓展与应用介绍垂直平分线的拓展与应用，例如垂直平分线在平面几何中的重要作用，以及与垂直平分线相关的其他几何概念。

课题 1.3线段的垂直平分线（二）学习目标1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．重点难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形教法选择分组讨论法、讲练结合法课型新授课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线。

这些内容都是重要的几何知识，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，让学生收货解决问题的方法和意识。

课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、情境引入：1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.2.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?二、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_______上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB 上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）三、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。

2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．学生亲历知识的发生和发展过程.学生进行折纸活动，并思考和发现结论.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.学生思考问题，并积极讨论.主备人：备课组长签字：四、议一议： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等） 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。

垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 导入：引入线段的垂直平分线的概念，让学生直观地了解垂直平分线的作用和意义。

1.2 教学内容：1.2.1 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直平分线是线段上一点到线段两端点的距离相等的直线。

1.2.2 垂直平分线的性质：引导学生探究垂直平分线的性质，如垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，垂直平分线与线段垂直相交等。

1.3 教学活动：1.3.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线概念的理解。

1.3.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的性质，并找出相关的证据和证明方法。

1.4 作业布置：布置一些有关垂直平分线性质的练习题，巩固所学知识。

第二章：垂直平分线的判定2.1 教学内容：2.1.1 垂直平分线的判定方法：介绍垂直平分线的判定方法，即如果一条直线垂直平分一条线段，则该直线满足一定的条件。

2.1.2 判定条件的应用：引导学生理解和掌握判定条件，并能够运用到实际问题中。

2.2 教学活动：2.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，加深对垂直平分线判定方法的理解。

2.2.2 小组讨论：让学生分组讨论垂直平分线的判定条件的应用，并找出相关的证据和证明方法。

2.3 作业布置：布置一些有关垂直平分线判定的练习题，巩固所学知识。

第三章：垂直平分线的性质与判定综合应用3.1 教学内容：3.1.1 综合应用：引导学生将垂直平分线的性质与判定方法综合运用到实际问题中，解决一些与垂直平分线相关的问题。

3.1.2 问题解决：让学生尝试解决一些与垂直平分线相关的问题，如寻找线段的垂直平分线、判断直线是否为线段的垂直平分线等。

3.2 教学活动：3.2.1 实例分析：让学生观察和分析一些实例，理解综合应用的意义和方法。

3.2.2 小组讨论：让学生分组讨论如何综合运用垂直平分线的性质与判定方法解决实际问题，并找出相关的证据和证明方法。

13.1.2 线段的垂直平分线的性质1.理解线段垂直平分线的性质和判定.2.会作轴对称图形的对称轴.3.会根据已知点和对称轴作对应的对称点.阅读教材P61“探究”，理解线段垂直平分线的性质，学生独立完成下列问题：知识准备如图，l⊥AB，垂足为C，AC=BC，△PAC≌△PBC，PA=PB.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.自学反馈如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.线段垂直平分线的性质的应用.阅读教材P61下面的内容，理解线段垂直平分线的判定，学生独立完成下列问题：(1)如图，PA=PB.①若PC⊥AB，垂足为C，则AC=BC；②若AC=BC，则PC⊥AB.(2)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合.自学反馈(1)如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？解：是.可根据线段垂直平分线的判定证两个点都在BC的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线得到直线AM是线段BC的垂直平分线.(2)下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A.MA=MB，NA=NBB.MA=MB，MN⊥ABC.MA=NA，MB=NBD.MA=MB，MN平分∠AMB阅读教材P62“例1”，掌握线段垂直平分线的画法，了解如何判断一个图形是否是轴对称图形，学生独立完成下列问题：如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴.活动1 学生独立完成例1 如图，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18，求DC的长.解：∵DM是AB的垂直平分线，∴AD=BD.设CD的长为x，则AD=AC-CD=8-x.∵C△ADB=AB+AD+BD=8+(8-x)+(8-x)=18，∴x=3,即CD的长为3cm.由线段垂直平分线的性质得AD=BD进而求解.例2 如图，△ABC中AC⊥DC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD.∴点D在CE的垂直平分线上.在Rt△AED与Rt△ACD中，∵AD=AD，DE=DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD.∴AE=AC.∴点A在CE的垂直平分线上.∴直线AD是CE的垂直平分线.证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定方法.活动2 跟踪训练1.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=15.2.如图，直线AD是线段BC的垂直平分线.求证：∠ABD=∠ACD.证明：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=DC.∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD.∴∠ABD=∠ACD.3.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为(B)A.6B.5C.4D.34.在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC(D)A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点5.到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个.活动3 课堂小结1.线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用的.2.作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。