西安交通大学数学分析1997-2008

西安交通大学硕士研究生1999年入学考试《数学分析》试题一. 下边给出一组函数,请按照每题要求,从中列举出一个,并简要说明你的列举是正确的.(8540''⨯=):(A)1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数,为无理数.(B)()y xD x =; (C)2()y x D x =; (D)1,,0,()0,p x p q q qqy R x x ⎧=>⎪==⎨⎪⎩,为互质整数,为无理数.(E)21,0,()0,0xe x yf x x -⎧⎪≠==⎨⎪=⎩.(F)11(,)()sin sinf x y x y xy=+;(G)(,)f x y xy =; (H)222222,0,(,)0,0.xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(I)222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩(J)22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=+=⎩问题:⑴在R 上处处有定义,但处处极限不存在的是 (A) .事实上:0x R ∀∈,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0li m n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而lim ()1n n D a →∞=,lim ()0n n D b →∞=,因此0lim ()x x D x →不存在.⑵在R 上有唯一连续点的是 (B) .事实上:因为()D x 在R 上有界,0lim 0x x →=,所以0lim ()lim ()0(0)x x x f x xD x f →→===,从而()y xD x =在00x =处连续.但0x R ∀∈且00x ≠,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而0lim ()lim n n n n n a D a a x →∞→∞==,lim ()lim 00n n n n b D b →∞→∞==,因此lim ()x x D x →不存在. 从而()y xD x =在00x ≠处不连续.⑶在R 上仅有唯一可导点的是 (C) . 事实上:因为200(0)(0)()()0(0)limlimlim ()0x x x f x f x D x f xD x xx∆→∆→∆→+∆-∆∆-'===∆∆=∆∆,所以2()y x D x =在00x =处可导且(0)0f '=.但0x R ∀∈且00x ≠,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=, 0l i m n n b x →∞=. 而2220lim ()lim n n n n n a D a a x →∞→∞==, 2l i m()l i m 00n n n n b D b →∞→∞==, 因此02lim ()x x x D x →不存在. 从而2()y x D x =在00x ≠处不连续,因此在00x ≠处不可导.⑷任意一点的任意邻域内均有间断点,且任一间断点的任意邻域内均有连续点的是 (D) . 1,,0,()0,p x p q q qqy R x x ⎧=>⎪==⎨⎪⎩,为互质整数,为无理数.事实上由于0x R ∀∈,有0lim ()0x x R x →=.所以()R x 在有理点处不连续,在无理点处不连续. ⑸在(0,0)处的两个累次极限均存在,但二重极限不存在的是 (H) . 事实上2222000lim limlimlim 000x y x x xy x x yx →→→→⋅===++,2222000lim limlimlim 000y x y y xy y x yy→→→→⋅===++.而2211lim (,)limlim22x x x x x f x x x x→→→⋅===+,220lim (,0)limlim 000x x x x f x x →→→⋅===+,所以00lim (,)x y f x y →→不存在.⑹在(0,0)处的两个累次极限均不存在,但二重极限存在的是 (F) . 事实上因为01li m s i ny y→不存在,01lim sin0y y y →=,所以01111li m s i n s i n s i ns i n y x x y x y →⎛⎫+ ⎪⎝⎭不存在,因此0000111111li m li m ()s i n s i n li m li m s i n s i n s i n s i n x y x y x y x x yxyxy →→→→⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不存在. 同理0011lim lim ()sinsinx y x y xy→→+也不存在.因为11()sinsinx y x y xy+≤+,而00lim 0x y x y →→+=,所以00lim (,)0x y f x y →→=.⑺在(0,0)处的偏导x f '与y f '存在但不连续,而在(0,0)点可微的是 (I) .22222222221212sin cos ,0,(,)0,0.x x x x y x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪'+++=⎨⎪+=⎩由于因为222222111limcoslimcos2x x x x xx xxx→→=++不存在,所以2222)0,0(),(1cos2limyx yx x y x ++→不存在.又因2212sin 20x x x y≤→+,)0,0(),(→y x ,所以01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x ,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+→222222)0,0(),(1cos 21sin 2limy x y x x y x x y x 不存在,从而),(y x f x '在)0,0(不连续. 同理可得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='.0,0,0,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x yx y x y y x y y x f y),(y x f y '在)0,0(不连续.即函数(,)f x y 的两个偏导数在原点)0,0(都不连续.因为22221sin)()0,0()0,0()0,0()0,0(yx y x y f x f f y x f y x ∆+∆∆+∆=∆'-∆'--∆+∆+又因01sin222222→∆+∆≤∆+∆∆+∆yx yx y x ,0→ρ.所以01sinlim2222220=∆+∆∆+∆∆+∆→yx yx yx ρ, 即)(1sin)(2222ρο=∆+∆∆+∆yx y x ,从而函数f 在原点)0,0(可微,且=)0,0(dz0)0,0()0,0(=∆'+∆'y f x f y x .⑻在0x =处任意阶可导,但Taylor 级数不收敛于它本身的是 (E) . 事实上由于()(0)0n f=,0,1,2,n = ,所以在0x =处的Taylor 级数()0()T x f x ≡≠,x R ∈.二. (4728''⨯=)讨论下列各题:⑴设1sin ,0,()0,0.x x f x xx α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩试讨论α的取值范围,使得()f x 在0x =处ⅰ>连续;ⅱ>可导;ⅲ>导函数连续. 解:要使x α有意义,必须p qα=,其中p 为整数,q 为正奇数,且p 与q 互质.下面在此限制条件下进行讨论.ⅰ>当0α≤时,01lim sinx x xα→不存在.当0α>时,因为0li m 0x x α→=,1sin1(0)x x≤≠,所以01l i m s i n0x xxα→=.因此当0α>时,()f x 在0x =处连续.ⅱ>当1α>时,因为10001()s i n(0)(0)1(0)li m li m li m ()s i n 0x x x x f x f x f xx xxαα-∆→∆→∆→∆+∆-∆'===∆=∆∆∆,所以()f x 在0x =处可导.ⅲ>由于1211sin cos ,0,()0,0.xx x f x x xx ααα--⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩所以当2α>时,()f x 的导函数连续.⑵设1()[],[0,1]f x x x x =-∈,2(),[1,1]f x x x =∈-.试分别讨论Rolle 定理的条件与结论对它们是否成立.解:ⅰ>由于1,01,()0,1x x f x x ≤<⎧=⎨=⎩,所以①1()f x 在1x =处不连续,但在[0,1)上连续.②1()f x 在(0,1)内可导且1()1f x '≡.③11(0)(1)f f ≠.因此1()f x 在[0,1]上不满足Rolle 定理的条件,同时结论也不成立.ⅱ>由于2,01,(),10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,所以①2()f x 在[0,1]上连续.②2()f x 在(1,0)(0,1)- 内可导且21,01,()1,10x f x x <<⎧=⎨--<<⎩.2()f x 在0x =处不可导.③22(1)1(1)f f -==.因此1()f x 在[0,1]上不满足Rolle 定理的条件,同时结论也不成立. ⑶设sin ,,()0,.x x f x x π⎧=⎨⎩为有理点为无理点试讨论()f x 的连续性.解:()f x 仅在x n =处连续(0,1,2,n =±± ).事实上:ⅰ>当0x n =(0,1,2,n =±± )时, 由于1sin()(1)sin n n παα--=-,所以sin()sin n παα-=，从而()()sin sin()0()f x f n x n x x n x n ππππ-≤=-≤-→→.ⅱ>当0x n ≠(0,1,2,n =±± )时,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而0lim ()lim sin sin 0n n n n f a a x ππ→∞→∞==≠, l i m ()l i m 0n n n f b →∞→∞==,因此0lim ()x x f x →不存在. 从而()f x 在0x n ≠处不连续.⑷设()n n S x x =,讨论其在(0,1)内的收敛性,一致收敛性及内闭一致收敛性. 解:ⅰ>当(0,1)x ∈时,lim ()lim 0nn n n S x x →∞→∞==,因此()n n S x x =在(0,1)内的收敛于0.ⅱ>因为(0,1)(0,1)sup ()0sup 110n n x x S x x ∈∈-==→≠(n →∞),所以()n n S x x =在(0,1)内不一致收敛于零.ⅲ>对任意的[,](0,1)a b ⊂,因为[,][,][,]sup ()0sup max 0n n nn x a b x a b x a b S x x x b ∈∈∈-===→(n →∞),所以()n n S x x =在[,]a b 上一致收敛于零,因此()n n S x x =在(0,1)上内闭一致收敛于0.三. (8)'设()f x 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数,应如何延拓()f x 到(,)ππ-才能使其在(,)ππ- 内的Fourier 级数具有形式1cos(21)n n a n x ∞=-∑.解：假设延拓后的函数为(),,2(),0,2()(),0,2(),.2g x x f x x F x f x x g x x ππππππ⎧--≤<-⎪⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪⎪<≤⎩其中()g x 都在相应的区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可积.则()F x 在[,]ππ-上是偶函数,因此 1()sin 0n b F x nxdx πππ-==⎰,1,2,n = .2012()cos 2()cos 2n a F x nxdx F x nxdx πππππ-==⎰⎰222()cos 2()cos 2f x nxdx g x nxdx ππππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰对于积分2()cos 2g x nxdx ππ⎰,令x t π=-,则dx dt =-,当2x π=时2t π=,当x π=时0t =.于是22()cos 2()cos(22)g x nxdx g t n nt dtπππππ=---⎰⎰220()cos 2()cos 2g t ntdt g x nxdx ππππ=-=-⎰⎰从而0222()cos 2()cos(22)f x nxdx g x n nx dx πππππ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]2202()()cos 2n a f x g x nxdx πππ=+-⎰,0,1,2,n =因此0,2x π⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭,当()()0f x g x π+-≡时,有20n a =,0,1,2,n = 所以,2x ππ⎛⎤∀∈⎥⎝⎦,取()()g x f x π=--,则()F x 在(,)ππ- 内的Fourier 级数具有形式211cos(21)n n an x ∞-=-∑.四. (10')计算含参变量广义积分:22()cos 2a xI y e xydx +∞-=⎰(0a >)之值.(要求写出理论依据)解:记22(,)cos 2axf x y e xy -=,(,)[0,)x y D R ∈=+∞⨯.因为(,)x y D ∀∈,有2222(,)cos 2a xa xf x y e xy e--=≤.而无穷积分22a xedx +∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分22()cos 2a xI y exydx +∞-=⎰关于y 在R 上一致收敛.因为(,)x y D ∀∈,有2222(,)2sin 22a xa xy f x y xe xy xe--'=-≤.而无穷积分222a xxedx +∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分222sin 2a xxexydx +∞--⎰关于y 在R 上一致收敛.因此可以在积分号下求导: ()2222()cos 22sin 2a xa xyI y exydx xexydx +∞+∞--''==-⎰⎰22lim2sin 2u a xu xexydx -→+∞=-⎰2222201lim sin 22cos 2u ua x a xu e xyy exydxa --→+∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22202cos 2a xy exydx a +∞-=-⎰22()y I y a=-,即22dI y dy Ia=-,积分得22ln ln y I c a=-+,去掉对数得22y aI ce-=.又2221(0)2a xtI edx edt aa+∞+∞--===⎰⎰所以2c a=.因此222y aI a-=.五. (8')试求矢径r穿过曲面1z =-([0,1]z ∈)的流量.解:设{}221:1(,)(,)1S z x y D x y x y =-∈=+≤.2:0,(,)S z x y D =∈.则:12S S 为封闭曲面.根据高斯公式有121(111)33S S Vxdydz ydzdx zdxdy dxdydz ππ++=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ . 而20S xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰.故所求流量为1S xdydz ydzdx zdxdy π++=⎰⎰.六. (16')设221(,)f x y x y =-,2(,)2f x y xy =,3(,)f x y x y =+.D 为不包含(0,0)而包含(1,1)与(1,1)--的有限平面区域⑴求出函数组123,,f f f 的Jacobi 矩阵;⑵证明在D 内任一点处1(,)f x y 与2(,)f x y 函数独立,而函数1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 函数相关;⑶证明不存在函数关系()311(,)(,),(,)f x y F f x y f x y =在D内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系F );⑷结论⑶与结论“1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 在D 内函数相关”是否矛盾，给出你的解释. 证明: ⑴函数组123,,f f f 的Jacobi 矩阵为11123223322(,,)22(,)11f f x yx y f f f f f y x x y xyf f xy ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥-⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦.⑵由于在D 内11221212222(,)4()022(,)f f x y x y f f J x y f f yxx y xy∂∂-∂∂∂====+≠∂∂∂∂∂,所以在D 内任一点处1(,)f x y 与2(,)f x y 函数独立.令2241231233(,,)2F f f f f f f f =+-,则2222224(,2,)()22()()F x y xy x y x y xy x y x y -+=-+⋅+-+2224()()22()()x y x y xy x y x y =-++⋅+-+222()[()4()]x y x y xy x y =+-+-+ 22222()[(2)4(2)]0x y x xy y xy x xy y =+-++-++≡,因此1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 函数相关.⑶证明不存在函数关系()311(,)(,),(,)f x y F f x y f x y =在D内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系F );⑷结论⑶与结论“1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 在D 内函数相关”是否矛盾，给出你的解释.。

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1997年编译原理部分（共50分）
[9]一。

请构造与正规式R=(a*|b*)b(ba)*等价的状态最少的DFA 。

[5]二。

表达式-a+b*c+d+（e*f)/d*e，如果优先级由高到低依次为一、＋、＊、／，且均
为左结合，请写出其后缀式。

三。

文法G及相应的翻译方案列于下：
S→bTc {print“1”}
S→a ｛print“2”｝
T→R ｛print“3”｝
R→R/S {print “4” }
R→s {print “5”}
[1] 1.文法G属于Chomsky哪一型文法？
[2] 2.符号串bR/bTc/bSc/ac是不是该文法的一个句型，请证实。

[6] 3.若是句型，写出该句型的所有短语、素短语，以及句柄。

[5] 4.文法G是不是算符优先文法，请证实。

[5] 5.文法G经消除左递归后得到的等价文法G’是不是LL(1)文法，请予证实。

[7] 6.文法G是不是SLR(1)文法，请予证实。

[5] 7.对于题2的输入符号串，该翻译方案的输出是什么？
[5]四。

数组VAR A: array[ 1.. 5, -3..6] of integer;按列存放，其首址100,每个整数占4个字节，内存按字节编址，则数组元素A[4，3]的地址是什么？。

一、填空题（每小题4分，共16分）1. 设函数()f t 在(,)-∞+∞内可导，且2(e )1f '=. 若()y u f x =，则(e,2)d u = .2. 设sin cos ()arctan d x x f x xy y =⎰，则()f x '= .3.二次积分1d d xxx y y=⎰⎰. 4. 设x y x C 4:22=+，则曲线积分)d Cy s =⎰ .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 考虑下列断语① 若函数(,)f x y 在区域D 上可微, 且(,)0x f x y ≡，(,)x y D ∈，则(,)f x y 的值与x 无关. ② 若函数(,)f x y 在凸区域D 上可微, 且(,)0x f x y ≡,(,)x y D ∈, 则(,)f x y 的值与x 无关. ③ 若函数(,)f x y 在区域D 上可微，且(,)0x f x y ≡，(,)0y f x y ≡，(,)x y D ∈，则(,)f x y 为常值函数.以上断语正确的个数是 …… 【 】 (A ) 0个. (B ) 1个. (C ) 2个. (D ) 3个.2. 设42222(,)23()(2)f x y x y x y x y x y =+-=--，则下列叙述中唯一错误．．的是 …【 】 (A ) (0,0)是(,)f x y 的极小值点. (B ) (0,0)是(,0)f x 的极小值点. (C ) (0,0)是(,)(0)f x kx k ≠的极小值点. (D ) (0,0)是(0,)f y 的极小值点.3. 设()(,)d ,[,)F x f x y y x a b α+∞=∈⎰. 考虑下列断语：① 若所论积分关于x 在[,)a b 上一致收敛，且(,)d f b y y α+∞⎰收敛，则必有(,)d f x y y α+∞⎰关于x 在[,]a b 上一致收敛.② 若所论积分关于x 在[,](,)a b αβ∀⊂上一致收敛，则必有(,)d f x y y α+∞⎰关于x 在(,)a b 内一致收敛.(A ) ①正确而②不正确. (B ) ①不正确而②正确.(C ) ①和②都正确. (D ) ①和②都不正确. …… 【 】4. 设函数()f u 在22sin ()d x x f x y z V Ω⎡+++⎣⎦⎰⎰⎰(A ) 等于0. (B ) 等于4π5. (C ) 等于4π15. (D ) 不能确定. 5. 设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中的部分，则有 …… 【 】 (A )1dS 4dS SS x x =⎰⎰⎰⎰. (B )1dS 4dS SS y y =⎰⎰⎰⎰.(C )1dS 4dS SS z z =⎰⎰⎰⎰. (D )1dS 4dS SS xyz xyz =⎰⎰⎰⎰.三、（本题共11分）设22||(,),(,)0,xy x y x y f x y ϕ⎧⎪+=⎨⎪⎩222200x y x y +≠+=, 其中22|(,)|()x y M x y ϕ≤⋅+，2(,)x y ∀∈R ，M 为正常数.(1) 证明(,)f x y 在(0,0)处连续，且对,x y 均可偏导； (2) 试问(,)f x y 在(0,0)处是否可微？为什么？我承诺，我将严格遵守考试纪律。

硕士研究生入学考试数学分析i 癒刃鬲名立遏尢于顕土碉克隹2005年入学君弑《礙学分柝》弑趣1.叙述下列概念或命题（20分）：i >函数f （x, y ）在（勺,儿）处可微; ii>以b 为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy 准则； iii>极限lim /（x ）不存在的Cauchy 准则；•V—>8iv>函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛的Cauchy 准则.n=\解：i >定义:设函数/（无，刃在（仏儿）的某邻域有定义•若Az = /（x 0 + Ax, y° + Sy ） 一 /（兀°, %）=人心 + W +。

9），其中A,B 是与 心,Ay 无关的常数，p = 7（ZL V ）2 + （Ay ）2 .则称函数/（x,y ）在（兀（）,儿）处可微分, AAx + BAy 称为/（x, y ）在（x 0,y 0）处的微分，记为dz|（比）二人心+ BAy. rb小ii>定理（Cauchy 准则）：Ub 为瑕点的瑕积分［f^dx 收敛O Vr>0 ,为>0,使得当Ja%,仃 e （b_ &b ）时，有「f\x ）dx < E.J©iii>定理（Cauchy 准则）:极限lim /（x ）不存在<=> 3r 0>0, VX>0,玉］<-X 与勺V —X ,使得 |/（^）-/（%2）|>£0 -OOiv>定理（Cauchy 准则）：函数项级数工冷（兀）在X 上收敛但非一致收敛<=> 3r 0 > 0 , n=\ VN, Bn> N t Bxe X, 3p,使得仆（x ） > £（）.k=\以下四题（第2〜5题）每题10分2.证明 lim 「sin"iz/r = O.〃T8 Jo证明:因为V5（不妨设。

学院代码学院名称专业代码专业名称2008年报名人数录取人数报录比1机械工程学院50404设计艺术学17423.5%80201机械制造及其自动化3259128.0%80202机械电子工程1082018.5%80203机械设计及理论461839.1%80204车辆工程191 5.3%80401精密仪器及机械10110.0%80402测试计量技术及仪器391128.2%430102机械工程（专）430104仪器仪表工程（专）2材料科学与工程学院80501材料物理与化学31825.8%80502材料学933133.3%80503材料加工工程622438.7%80521★材料服役安全工程学55100.0%430105材料工程（专）3能源与动力工程学院80701工程热物理242291.7%80702热能工程1455840.0%80703动力机械及工程723345.8%80704流体机械及工程363083.3%80705制冷及低温工程1013938.6%80706化工过程机械24937.5%81701化学工程361336.1%81702化学工艺13538.5%82701核能科学与工程452044.4%82703核技术及应用5360.0%83002环境工程601830.0%430107动力工程（专）430117化学工程（专）430127核能与和技术工程（专）430130环境工程（专）4电气工程学院80402测试计量技术及仪器442250.0%80801电机与电器542648.1%80802电力系统及其自动化1031817.5% 80803高电压与绝缘技术1065350.0% 80804电力电子与电力传动43920.9% 80805电工理论与新技术56916.1% 81101控制理论与控制工程1101917.3% 430108电气工程（专）5电子与信息工程学院80901物理电子学462860.9%80902电路与系统4250.0%80903微电子学与固体电子学703448.6%80904电磁场与微波技术79128.6%81001通信与信息系统1432920.3%81002信号与信息处理391025.6%81101控制理论与控制工程181477.8%81102检测技术与自动化装置441840.9%81103系统工程631930.2%81104模式识别与智能系统21523.8%81201计算机系统结构1984924.7%81202计算机软件与理论1294031.0%81203计算机应用技术1031514.6%430109电子与通信工程（专）430110集成电路工程（专）430111控制工程（专）430112计算机技术（专）6航天航空学院80101一般力学与力学基础02#DIV/0!80102固体力学181055.6%80103流体力学100.0%80104工程力学1113118.2%82501飞行器设计612200.0%82502航空宇航推进理论与工程00#DIV/0!430134航天工程（专）8管理学院120100管理科学与工程1791810.1% 120201会计学1461611.0% 120202企业管理33120 6.0% 120203旅游管理00#DIV/0!120204技术经济及管理481122.9% 120280工商管理硕士64926040.1% 430137工业工程（专）530100会计硕士（专）9理学院70101基础数学7114.3% 70102计算数学751013.3% 70103概率论与数理统计700.0% 70104应用数学581017.2% 70105运筹学与控制论300.0% 70201理论物理5120.0% 70203原子与分子物理3266.7% 70205凝聚态物理400.0% 70207光学18950.0% 70302分析化学2150.0% 70305高分子化学与物理7685.7% 80501材料物理化学14964.3% 81704应用化学21419.0%10人文与社会科学学院10101马克思主义哲学3133.3%10102中国哲学4125.0%10103外国哲学200.0%10105伦理学4250.0%10106美学300.0%10108科学技术哲学00#DIV/0!20101政治经济学02#DIV/0!30204中共党史8337.5%30205马克思主义理论与思想政治教育00#DIV/0!30301社会学19842.1%30501马克思主义基本原理02#DIV/0!30502马克思主义发展史01#DIV/0!30503马克思主义中国化研究7342.9%30504国外马克思主义研究01#DIV/0!30505思想政治教育13538.5%30506中国近代史基本问题研究40108职业技术教育学00#DIV/0!40110教育技术学00#DIV/0!40303体育教育训练学01#DIV/0!50101文艺学11327.3%50302传播学511019.6%50401艺术学521325.0%50404设计艺术学11软件学院430113软件工程硕士3362187.9%12外国语学院50201英语语言文学2229.1% 50211外国语言学及应用语言学1321813.6%13生命科学与技术学院71010生物化学与分子生物学191052.6%71011生物物理学11100.0%83100生物医学工程482654.2%100215康复医学与理疗学7342.9%430131生物医学工程（专）15医学院71003生理学5240.0% 71006神经生物学00#DIV/0! 71007遗传学11100.0% 71009细胞生物学3133.3% 71010生物化学与分子生物学7457.1% 100101人体解剖与组织胚胎学00#DIV/0! 100102免疫学500.0% 100103病原生物学3266.7% 100104病理学与病理生理学23417.4% 100105法医学33412.1% 100201内科学3366619.6% 100202儿科学421023.8% 100203老年医学16318.8% 100204神经病学4137.3% 100205精神病与精神卫生学500.0% 100206皮肤病与性病学541222.2% 100207影像医学与核医学53917.0% 100208临床检验诊断学7342.9% 100209护理学3100.0%100210外科学3475616.1% 100211妇产科学1291612.4% 100212眼科学60610.0% 100213耳鼻咽喉科学19526.3% 100214肿瘤学722027.8% 100217麻醉学28517.9% 100218急诊医学18316.7% 100302口腔临床医学371335.1% 100401流行病与卫生统计学231460.9% 100402劳动卫生与环境卫生学11100.0% 100403营养与食品卫生学171 5.9% 100404儿少卫生与妇幼保健学4250.0% 100405卫生毒理学00#DIV/0! 100506中医内科学100.0% 100601中西医结合基础00#DIV/0! 100602中西医结合临床3638.3% 100701药物化学5240.0% 100702药剂学8225.0% 100703生药学10440.0% 100704药物分析学52611.5% 100705微生物与生化药学300.0% 100706药理学20210.0% 450201内科学（专）450202儿科学（专）450203老年医学（专）450204神经病学（专）450205精神病与精神卫生学（专）450206皮肤病与性病学（专）450207影像医学与核医学（专）450210外科学（专）450211妇产科学（专）450212眼科学（专）450213耳鼻喉科学（专）450214肿瘤学(专）450217麻醉学（专）500200口腔医学硕士（专）18公共政策与管理学院40106高等教育学01#DIV/0!120401行政管理541833.3%120402社会医学与卫生事业管理5480.0% 120404社会保障12541.7%120405土地资源管理12433.3%120501图书馆学8450.0%490100公共管理硕士（专）19经济与金融学院20104西方经济学35720.0%20106人口、资源与环境经济学291034.5%20202区域经济学341029.4%20203财政学45817.8%20204金融学368359.5%20205产业经济学1473322.4%20206国际贸易学78810.3%20208统计学391230.8%20209数量经济学15533.3%120280工商管理1424028.2%21金禾经济研究中心20204金融学9888.9%20205产业经济学20206国际贸易学4125.0%20209数量经济学5240.0%22人居环境与建筑工程学院81302建筑设计及其理论13538.5%81401岩土工程200.0%81402结构工程24833.3%81404供热、供燃气、通风及空调工程14535.7% 83001环境科学59180.0%430114建筑与土木工程（专）430130环境工程（专）24法学院30101法学理论4125.0% 30103宪法学与行政法学500.0% 30105民商法学22313.6%30107经济法学19315.8%30109国际法学5120.0%410100法律硕士（非法学）（专）511529.4%410200法律硕士（法学）（专）26MBA中心460100工商管理硕士（专）文章来源：西安交通大学考研网，转载请注明出处，更多资料请关注文彦考研论坛。

西安交通大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题西安交通大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、名词解释（每小题4分，共24分）1、需求变化2、沉淀成本3、逆向选择4、帕累托效率5、工资刚性6、总共给二、计算题（每小题9分，共36分）1、某厂商的生产函数为：Q=KL-0.2L2-0.8K2,Q、K、L分别表示产量、资本和劳动，假定资本投入是固定的，即K=10。

（1）、请写出劳动的平均产量（APＬ）函数和边际产量（ＭＰＬ）函数。

（２）、分别计算当总产量、平均产量达到极大值时厂商雇佣的劳动。

（３）、以本题为例说明当APＬ达到极大时，为什么APＬ＝ＭＰＬ２、假设某垄断厂商生产一种产品的总成本为ＴＣ＝ｑ３／3－40ｑ２＋1800ｑ＋5000，产品在两个市场上能有效地实行差别定价，即三级价格歧视。

两个市场的需求函数分别为P1=800-2.5q1，P2=1200-15 q2，且q= q1+ q2。

试计算：（1）、厂商在两个市场的价格水平和销售量；（2）、厂商获得的总利润。

3、在一个边际消费倾向为0.8的经济中，如果政府减少税收2000亿元，试计算该经济的公共储蓄、私人储蓄、国民储蓄以及投资的变化量。

4、假定在一个经济中，消费函数是C=100+0.8(Y-T)，投资函数是I=100-20r，政府购买为120，政府税收为100，货币需求函数是（M/P）=Y-200r，货币供给量M是2400，物价水平P是4，试写出IS曲线和LM曲线的函数表达式，求出均衡利率r，均衡收入Y以及总需求方程。

三、简答题（每小题10分，共60分）1、请用恰当的经济学原理解释“谷贱伤农”和“薄利多销”这两种现象。

2、为什么某厂商发生亏损后，还会选择继续生产而不是关闭工厂？3、简述替代效应和收入效应的异同。

4、简述厂商要素使用的原则和消费者要素供给的原则。

5、简述凯恩斯的流动偏好理论。

6、简述通货膨胀与事业的关系。

四、论述题（每小题15分，共30分）1、试分析完全竞争市场和不完全竞争市场条件下资源配置的效率及原因，并说明其对政府决策的实践意义。

国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。

国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册，⽅企勤著第⼆册，廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》（第⼀版）《数学分析解题指南》（第⼆版）林源渠，⽅企勤《数学分析习题集》林源渠，⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋，⾦福临，朱学炎，欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中，朱学炎，⾦福临，陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中，姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》（同济⼤学数学系第六版,上、下册）《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森，⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲，史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章，黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析（第⼀版）》王昆扬《简明数学分析（第⼆版）》郇中丹，刘永平，王昆扬《微积分学讲义（第⼆版）》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》（⾼等教育出版社，齐民友主编）《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏，傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》（蔡⾼厅等编）内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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数学系简介1．历史沿革数学系的前身数学教研室是我校并校初期建立最早的教研室之一，成立于1956年，隶属于理学院（当时的基础课部）。

分别与1962年、1973年、1977年举办过三届本科“数学师资班”，并于1998年至2004年举办了7届“信息与计算科学”本科专业，于2004年开始招收“数学与应用数学”本科生至今。

根据学校“校、院、系”三级管理体制改革的需要，于2003年成立数学系，数学系还于2000年获准“应用数学”硕士授权点，2003年获准“计算数学”硕士授权授权点，2010年获准“数学”一级硕士授权点，同时于2011年获准增加“基础数学”与“运筹学与控制”两个二级硕士授权点资格。

2．机构设置数学系下设3个教研室：其中高等数学教研室主要负责全校高等数学课程的教学研究和授课任务；工程数学教研室主要负责全校工程数学课程（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、计算方法、数理方程、运筹学、模糊数学等）的教学研究和授课任务；应用数学教研室主要负责“数学与应用数学”专业的课程设置、教学研究和教学任务。

3．师资队伍数学系现有在职教师62人，其中特聘教授1人，学术学科带头人3人，骨干教师16人；现有教授7人，副教授21人，讲师33人；除承担全校研究生和本科生的全部数学课程的教学任务外，还负责“数学一级硕士点”和“数学与应用数学”本科专业的专业建设和教学任务。

数学系目前有博导1人；硕导16人；教师中具有博士学位的有22人，具有硕士学位的有35人，形成了具有一定后发优势的学科梯队。

4．研究方向数学系从2014年起，确立了8个比较稳定的研究方向：01 半群代数理论02 密码学03 小波分析与数值计算04 泛函分析及其应用05 概率统计与数据分析06 数量经济学与金融数学07 博弈论与函数论的应用08 运筹学与控制论数学系现有导师简介任学明（教授）任学明，校特聘教授，博士生导师，陕西省数学会常务理事。

主要从事半群理论及其在信息科学方面的应用研究。

研究生课程介绍课程编码：091002课程名称：计算方法(A)Computational Methods (A)学分：3课内总学时数：72上机（实验）学时数：18课程内容简介：本课程讲授电子计算机上使用的各种基本的数值计算方法, 如插值法, 最小二乘法, 最佳一致逼近, 数值微积分, 方程求根法, 线性与非线性代数方程组解法, 矩阵特征值与特征向量求法, 常微分方程初值问题的解法, 求解数理方程定解问题的差分法, 有限元法等. 书中重点讨论了各种计算方法的构造原理和使用, 对稳定性, 收敛性, 误差估计等也作了适当讨论. 本课程适合于计算数学专业以外的理工科各专业研究生学习。

先修课：高等数学, 线性代数, C 语言或FORTRAN 语言参考书目：1. 邓建中,刘之行编, 计算方法，西安交通大学出版社，2002执笔人：梅立泉、李乃成、高静审定人：彭济根课程编码：091003课程名称：计算方法（B）Computational Methods (B)学分：3课内总学时数：54上机（实验）学时数：48课程内容简介：由于现代计算机技术的迅速发展，数值方法已成为科学研究的最重要的手段之一。

本课程在介绍数值计算的基本问题，包括浮点数、误差形成等的基础上，主要介绍：线性方程组的直接解法与迭代解法、离散数据的连续化处理（包括多项式插值、分段插值和最小二乘法）、数值积分和数值导数、非线性方程解法简介、常微分方程数值解法、以及最优化方法简介。

通过听课与相应的上机练习等途径，理解数值方法的形成原理，掌握最基本的数值方法，了解采用数值方法时应注意的主要问题，为以后在科研和工程技术工作中设计算法、应用数值软件进行数值计算奠定必要的基础。

先修课：高等数学、线性代数、算法语言（Fortran、C、C++、或Matlab 等）参考书目：1.凌永祥、陈明逵编，计算方法教程（第二版）西安交通大学出版社，2005执笔人：黄昌斌、苏剑、马军审定人：彭济根课程名称：工程优化方法及其应用Engineering Optimization Methods and Its Applications学分：2课内总学时数：40上机（实验）学时数：课程内容简介：讲述工程优化的数学基础，凸集、凸函数、凸规划的基本概念与基本理论；突出非线性规划各类算法的共性分析及其在计算机上可实现的步骤，并指出每类算法中所包含各种常用和著名算法；简介工程中常用到的几类特殊规划，如：线性规划、二次规划、几何规划和多目标规划的基本概念、常用和最新算法；简介工程优化设计应用实例（包括建立优化模型，根据模型特点构造或选用相适应的算法、计算流程图）。

西安交通大学硕士研究生2000年入学考试《数学分析》试题一. (4728''⨯=)用“εδ-”或“N ε-”语言,在肯定的意义下表述下列各概念:⑴()f x 在0x 的某邻域内有定义,但在0x 处不连续. ⑵()f x 在(,)a b 内连续,但在(,)a b 内不一致连续. ⑶(,)af x y dx +∞⎰对于每个(,)y c d ∈收敛,但在(,)c d 内关于y 不一致收敛.⑷()f x 在[,]a b 上有界,但在[,]a b 上不可积.解: ⑴定义:设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义.若00ε∃>,使得0δ∀>,x δ∃,尽管满足00x x δδ<-<,但00()()f x f x δε-≥,则称函数()f x 在0x 处不连续.⑵定义:设函数()f x 在(,)a b 内连续.若00ε∃>,使得0δ∀>,,(,)x x a b δδ'''∃∈,尽管满足0x x δδδ'''<-<,但0()()f x f x δδε'''-≥,则称函数()f x 在(,)a b 内不一致连续. ⑶定义:设(,)af x y dx +∞⎰对于每个(,)y c d ∈收敛.若00ε∃>,使得0G ∀>,G A ∃和G y ,尽管满足G A G >,(,)G y c d ∈,但0(,)GG A f x y dx ε+∞≥⎰,则称广义积分(,)af x y dx +∞⎰在(,)c d 内关于y 不一致收敛.⑷定义:设函数()f x 在[,]a b 上有界.若00ε∃>,使得0δ∀>,都存在(,)a b 的分割T δ,尽管满足T δδ<,但0i i T x δωε∆≥∑,则称函数()f x 在[,]a b 上不可积.二. (21224''⨯=)按要求讨论下列问题:⑴设222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性及可微性. 解:ⅰ>因为2222221()sinx y x y x y +≤++,又因2200lim()0x y x y →→+=,所以00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==,因此(,)f x y 在(0,0)处连续.ⅱ>22222222221212sin cos ,0,(,)0,0.x x x x y x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪'+++=⎨⎪+=⎩由于因为22222002111limcos lim cos 2x x x x x x x x x→→=++不存在,所以2222)0,0(),(1cos2limy x y x x y x ++→不存在. 又因2212sin20x x x y≤→+,)0,0(),(→y x ,所以01sin 2lim 22)0,0(),(=+→y x x y x , 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+→222222)0,0(),(1cos 21sin 2lim y x y x x y x x y x 不存在,从而),(y x f x '在)0,0(不连续. 同理可得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='.0,0,0,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x y x y x y y x y y x f y),(y x f y '在)0,0(不连续.即函数(,)f x y 的两个偏导数在原点)0,0(都不连续.ⅲ>因为22221sin)()0,0()0,0()0,0()0,0(y x y x y f x f f y x f y x ∆+∆∆+∆=∆'-∆'--∆+∆+又因01sin222222→∆+∆≤∆+∆∆+∆y x yx y x ,0→ρ. 所以01sinlim2222220=∆+∆∆+∆∆+∆→y x y x y x ρ, 即)(1sin )(2222ρο=∆+∆∆+∆yx y x , 从而函数f 在原点)0,0(可微,且=)0,0(dz 0)0,0()0,0(=∆'+∆'y f x f y x .⑵设0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰(0)y >,试讨论()I y 的连续性,可导性.并在可导处求()I y '. 解:记sin ,0,(,)1,0.xy xex f x y xx -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩,(,)[0,)(0,)x y D ∈=+∞⨯+∞. 则(,)f x y 与(,)sin xyy f x y e x -'=在D 上连续.因为(,)[0,)[,)x y δ∀∈+∞⨯+∞(其中0δ>),有sin (,)xyxy x xf x y ee e xδ---=≤≤. 而无穷积分0x e dx δ+∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分22()cos 2a x I y e xydx +∞-=⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛.因为(,)[0,)[,)x y δ∀∈+∞⨯+∞,有(,)sin xy xy x y f x y e x e e δ---'=≤≤.而无穷积分x e dx δ+∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分0(,)sin xy y f x y dx e ydx +∞+∞-'=⎰⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛.并且2211(,)sin (cos sin )11xy xyy f x y dx e ydx e x y x y y +∞+∞+∞--'==-+=++⎰⎰. 0(0,)y ∀∈+∞,取02y δ=,则0(,)y δ∈+∞, ⅰ>因为0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛,且(,)f x y 在D 上连续,所以()I y 在[,)δ+∞上连续.从而()I y 在0y 处连续,由0y 的任意性得()I y 在(0,)+∞上连续.ⅱ>因为(,)f x y 在D 上关于y 可偏导, 且0sin ()xyxI y e dx x+∞-=⎰与00(,)sin xy y f x y dx e ydx +∞+∞-'=⎰⎰关于y 在[,)δ+∞上一致收敛,因此可以在积分号下求导:200sin 1()sin 1xy xyy x I y e dx e xdx x y +∞+∞--'⎛⎫'=== ⎪+⎝⎭⎰⎰, (0,)y ∈+∞. 由此得()arctan 2I y y π=+三. (21020)''⨯=计算下列各题:⑴设()f x 在[,]ππ-上连续,且以2π为周期,又1()()()F x f t f x t dt πππ-=-⎰,试以()f x 的Fourier 系数表示()F x 的Fourier 系数. 解:记1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰, 1()cos n A F x nxdx πππ-=⎰,1()sin 0n b f x nxdx πππ-==⎰, 1()sin 0n B F x nxdx πππ-==⎰, 0,1,2,n = . 则211()cos ()()cos n A F x nxdx f t f x t dt nxdx ππππππππ---⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21()()cos dx f t f x t nxdt πππππ--=-⎰⎰21()()cos dt f t f x t nxdx πππππ--=-⎰⎰21()()cos ()ttdt f t f y n y t dy πππππ----=⋅+⎰⎰21()()cos ()dt f t f y n y t dy πππππ--=⋅+⎰⎰21()()(cos cos sin sin )dt f t f y ny nt ny nt dy πππππ--=⋅-⎰⎰111()cos ()cos sin ()sin dt f t nt f y nydy nt f y nydy πππππππππ---⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[]1()cos sin nn f t nt ant b dt πππ-=⋅-⋅⎰11()cos ()sin nna f t ntdtb f t ntdt ππππππ--=-⎰⎰22n na b =-. 211()sin ()()sin n B F x nxdx f t f x t dt nxdx ππππππππ---⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21()()sin dx f t f x t nxdt πππππ--=-⎰⎰21()()sin dt f t f x t nxdx πππππ--=-⎰⎰21()()sin ()ttdt f t f y n y t dy πππππ----=⋅+⎰⎰21()()sin ()dt f t f y n y t dy πππππ--=⋅+⎰⎰21()()(sin cos cos sin )dt f t f y ny nt ny nt dy πππππ--=⋅+⎰⎰111()cos ()sin sin ()cos dt f t nt f y nydy nt f y nydy πππππππππ---⎡⎤=⋅⋅+⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[]1()cos sin nn f t nt bnt a dt πππ-=⋅+⋅⎰11()cos ()sin nnb f t ntdt a f t ntdt ππππππ--=+⎰⎰2n n a b =.⑵设∑为2222221x y z a b c ++=的上半表面上侧,计算yzdzdx ∑⎰⎰.第二型曲面积分计算公式：若曲面S 的方程为:(,),(,)z f x y x y D =∈,则(,,)(,,)(,,)SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰[(,,(,))(,)(,,(,))(,)(,,(,))]x y DP x y f x y f x y Q x y f x y f x y R x y f x y dxdy ''=±--+⎰⎰,上侧取“+”,下侧取“-”.解:曲面∑可表为z =2222(,)(,)1x y x y D x y a b ⎧⎫∈+≤⎨⎬⎩⎭.由于2cyz y ∂=∂所以2Dcy yzdzdx dxdy ∑⎫⎪=-⎝⎰⎰⎰⎰222Dc y dxdy a =⎰⎰221222200sin c d b r abrdr aπθθ=⋅⎰⎰323221230sin 4b c b c d r dr aaππθθ==⎰⎰.四. (4728''⨯=)证明下列各题:⑴设0(0)0f x '+>,0(0)0f x '-<,则0δ∃>,使得当00(,)x x x δδ∈-+时,有0()()f x f x ≥. 证明:ⅰ>因为0000()()lim(0)0x x f x f x f x x x →+-'=+>-,所以10δ∃>,使得当001(,)x x x δ∈+时,有00()()0f x f x x x ->-.又因当001(,)x x x δ∈+时,有00x x ->.所以当001(,)x x x δ∈+时,有0()()0f x f x ->,即0()()f x f x >. ⅱ>因为00000()()lim(0)0x x f x f x f x x x →--'=-<-,所以20δ∃>,使得当020(,)x x x δ∈-时,有00()()0f x f x x x -<-.又因当020(,)x x x δ∈-时,有00x x -<.所以当020(,)x x x δ∈-时,有0()()0f x f x ->,即0()()f x f x >. ⅲ>取{}12min ,0δδδ=>,则当00x x δ<-<时,有0()()f x f x >. 因此当00(,)x x x δδ∈-+时,有0()()f x f x ≥(等号仅当0x x =时成立).⑵证明:0α∀>,函数项级数112sin3n n n x∞=∑在(0,)α内处处收敛,但在(0,)α内非一致收敛. 证明:ⅰ>因为(0,)x α∀∈,有11122sin 2333nn n n n x x x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,而1123nn x ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛,所以112sin 3n n n x ∞=∑在(0,)α内处处收敛. ⅱ>(0,)1sup 2sin21()3nnnx n xα∈=→+∞≠→∞,所以12sin 3n n x 在(0,)α内非一致收敛于零,因此112sin 3nn n x ∞=∑在(0,)α内非一致收敛.⑶用平面点集的致密性定理(聚点原理)证明:有界闭域B 上的连续函数有界.又:若B 不闭,你的证明会在何处出问题?证明:ⅰ>设()f P 在有界闭域B 上的连续.假若()f P 在B 上无界,则0G ∀>,G P B ∃∈,使得()G f P G >.特别n ∀,n P B ∃∈,使得()n f P n >.这样得点列{}n P B ⊂且()n f P n >.因为为B 有界闭域,所以{}n P 存在收敛子列{}k n P,设0lim k n k P P →∞=,则0P B ∈. 又因()f P 在0P 处连续,所以0lim ()()k n k f P f P →∞=,但这与()()k n k f P n k >→+∞→∞矛盾. ⅱ>若B 不闭,证明会在0P B ∈上出问题.⑷设ⅰ>()f x 在[0,)+∞上一致连续,ⅱ>广义积分()f x dx +∞⎰收敛.证明lim ()0x f x →+∞=.又若条件ⅰ>改为()f x 在[0,)+∞上连续,条件ⅱ>不变,结论是否成立?若不成立,请举例具体说明之. 证明:0>∀ε,由于)(x f 是),[+∞a 上的一致连续,因此,0>∃δ(不妨设εδ≤),使得 当),[,21+∞∈a x x 且δ<-21x x 时,有2)()(21ε<-x f x f ;又由⎰+∞adx x f )(收敛的Cauchy 准则知:对022>δ,a A >∃,使得当A x x >''',时,有2)(2δ<⎰'''x x dx x f ;当A x >时,取x x ''',使x x x A ''<<'<,且δ='-''x x ,可估计得:22)()()()()]()([)()(2δδεδ+<+-≤+-==⎰⎰⎰⎰⎰'''''''''''''''x x x x x x x x x x dt t f dt t f x f dt t f dt t f x f dt x f x f ,因此当A x >时,有εδε≤+<-220)(x f ,即0)(lim =+∞→x f x .但将条件改变结论有可能不成立.例如211sin x dx +∞+∞=⎰⎰收敛,被积函数2sin x 在[1,+∞）上连续，而2lim sin x x →+∞不存在.。