第3节 圆周运动及其运用

第3节 圆周运动及其运用【考纲知识梳理】一、描述圆周运动的物理量及其相互关系1、定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。

2、描述圆周运动的物理量： （1）线速度：①线速度的大小等于质点作匀速圆周运动时通过的弧长跟通过这段弧长所用时间的比值。

ts v =②线速度的方向就是在圆周该点的切线方向上。

③线速度的定义与第二章速度的定义，从字面上看似乎是不同的，实质上并没有差别，因为圆周运动中线速度的概念是瞬时速度的概念。

在匀速圆周运动中，速度的大小不变，平均速率与瞬时速率相等，那么，弧长与对应时间的比值，在数值上就反映了瞬时速度的大小。

（2）角速度：①角速度是描述圆周运动的特有概念。

角速度的定义为：连接运动物体和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比，叫做匀速圆周运动的角速度。

tϕω=②在国际单位中，角速度的单位是弧度每秒，符号是s rad /。

要特别指出提，只有角速度以s rad /为单位时，才有ωr v =的关系。

（3）周期①周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

②转速：所谓转速，是指做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数。

当转速的单位为s r /时，它和角速度的关系为n πω2=；当转速的单位为min /r 时，它和角速度的关系为602n πω=。

（4）向心力①向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指赂圆心。

向心力的作用只是改变速度的方向。

②向心力的大小为2ωmr F =或rvmF 2=（5）向心加速度①定义：做圆周运动的物体，在向心力的作用下产生的指向圆心的加速度，叫做向心加速度。

②向心加速度的大小为2ωr a =或rva 2=二、匀速圆周运动与非匀速圆周运动 1、匀速圆周运动（1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．（2）．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．（3）．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．（4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2、非匀速圆周运动（1）非匀速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．非匀速圆周运动的合力一般不指向圆心，非匀速圆周运动所受的合外力产生两个效果． （2）半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向． （3）切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值． 三、离心运动与向心运动1．定义：做圆周运动的物体，在所受外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。

这种运动叫做离心运动。

2、做圆周运动的物体，离心现象条件的分析（1）当向合外力F F = 时，物体被限制着沿圆周运动。

（2）当0=合外力F 时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。

（3）当向合外力F F <时，物体沿切线和圆周之间的一条曲线运动。

3、当向合外力F F >时，物体离圆心将越来越近，即做向心运动。

【要点名师透析】一、在传动装置中各物理量之间的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：1.同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v=ωr与半径r成正比，向心加速度大小a=rω2与半径r成正比.2.当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，由可知,ω与r成反比,由可知,a与r成反比.【例1】(2011·湛江模拟)如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触.当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力.自行车车轮的半径R1=35 cm，小齿轮的半径R2=4.0 cm，大齿轮的半径R3=10.0 cm.求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比.(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)【答案】2∶175【详解】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同.大齿轮与小齿轮转速之间的关系为:n1∶n小=R2∶R3.车轮与小齿轮之间的转速关系为:n车=n小.车轮与摩擦小轮之间的关系为:n车∶n2=r0∶R1.由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为:n1∶n2=2∶175.二、用动力学方法解决圆周运动中的问题1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.3.解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；(5)求解、讨论.【例2】(2011·福州模拟)小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系.(小球的半径远小于R)【详解】小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平.如图所示,有:是重力G和支持力FNmgtanθ= =mRsinθω2,由此可得： (式中h为小球轨道平面到球心的高度)可见，θ越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小.三、竖直面内圆周运动问题分析竖直面内圆周运动问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变.常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：注意： (1)绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同.其原因是：绳只能有拉力，不能承受压力，而杆既能有拉力，也能承受压力.(2)对于竖直面内的圆周运动问题，经常是综合考查牛顿第二定律、机械能守恒及功能关系等知识的综合性问题.【例3】如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是( )A.在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m ＋M)gB.在释放前的瞬间，支架对地面的压力为MgC.摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m ＋M)gD.摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m ＋M)g 【答案】选B 、D.【详解】在释放前的瞬间绳拉力为零,对M ：对地面的压力F=Mg ； 当摆球运动到最低点时，由机械能守恒得①由牛顿第二定律得：②由①②得绳对小球的拉力F T =3mg对支架M 由受力平衡，地面支持力F N =Mg ＋3mg由牛顿第三定律知，支架对地面的压力F N2＝3mg ＋Mg ，故选项B 、D 正确.【感悟高考真题】1.（2011.安徽高考）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。

如图（a ）所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径。

现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b ）所示。

则在其轨迹最高点p 处的曲率半径是 A.20v gB.220sin v g αC.220cos v gαD.220cos sin v g αα【答案】选C.【详解】物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水平速度αcos 0v v p =，最高点重力提供向心力Rv mmg p 2=，由两式得gv gv R p α2202cos ==。

2.（2011·海南物理·T15）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。

ab 为沿水平方向的直径。

若在a 点以初速度0v 沿ab 方向抛出一小球， 小球会击中坑壁上的c 点。

已知c 点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。

【答案】gv )347(42+【详解】如图所示，2R h =，则R Od 23=小球做平抛运动的水平位移R R x 23+=竖直位移2R h y ==根据1y gt =２２，0x v t =联立以上两式解得gv R )347(42+=3. （2010·上海理综）8．如图是位于锦江乐园的摩天轮，高度为108m ，直径是98m 。

一质量为50kg 的游客乘坐该摩天轮做匀速圆周运动旋转一圈需25min 。

如果以地面为零势能面，则他到达最高处时的（取g =10m/s2）（ ）。

A ．重力势能为5.4×104J ，角速度为0.2rad/sB ．重力势能为4.9×104J ，角速度为0.2rad/sC ．重力势能为5.4×104J ，角速度为4.2×10-3rad/s D ．重力势能为4.9×104J ，角速度为4.2×10-3rad/s 答案：C4.（2010·江苏卷）14. (16分)在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。

如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg 的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α=30，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。

取中立加速度210/g m s =，sin 530.8= ，cos 530.6=（1） 求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；（2） 若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。

设水碓选手的平均浮力1800f N =，平均阻力2700f N =，求选手落入水中的深度d ；（3） 若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。

【解析】（1）机械能守恒 21(1cos )2m gl m v α-=①圆周运动 F ′－mg ＝m 2v l解得F ′＝（3－2cos α）mg人对绳的拉力 F ＝F ′则 F ＝1080N（2）动能定理 mg （H －l cos α＋d ）－（f 1＋f 2）d ＝0则d=12(cos )m g H l f f m gα-+-解得(3)选手从最低点开始做平抛运动x=vtH-l=212gt且有①式解得x =当2H l =时，x 有最大值，解得l=1.5m因此，两人的看法均不正确。