高中物理第二章匀速圆周运动第3节圆周运动的实例分析1火车汽车拐弯的动力学问题学案教科版

匀速圆周运动的半径约为r，重力加速度为g，试估算：
(1)该女运动员受到的拉力大小.
(2)该女运动员做圆锥摆运动的周期. 图5
解析答案
三、火车转弯
导学探究
火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下 列问题： (1) 如图 6 所示，如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪 些力的作用？需要的向心力由谁来提供？ 答案 图6
易被压垮，汽车处于超重状态，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
图2
答案
即学即用
当汽车驶向一拱形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机 应( B ) A.以尽可能小的速度通过桥顶 C.以任何速度匀速通过桥顶 B.增大速度通过桥顶 D.使通过桥顶的向心加速度尽可能小
设质量为m的汽车以速度v经过半径为R的桥顶，则汽车受到的支持 2 2 v 力N＝mg－m v ，故汽车的速度v越大，汽车对桥的压力越小.而a＝ ，即 R R N＝mg－ma，向心加速度越大，汽车对桥的压力越小，综上所述，选项B 解析
答案
(2)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与什么有关(设人的质量为m，角速
度为ω，绳长为l)?
答案
知识梳理
(1)“旋转秋千”的运动特点：人及其座椅在 水平 面内做匀速圆周运动，缆 绳旋转形成一个圆锥 面. (2)运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图4所示) ①向心力：做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力是由 其受到的重力和悬线拉力的合力F合提供，即F合＝ mgtan α . ②圆周运动的半径r＝ lsin α . ③动力学方程：mgtan α＝ mω2lsin α .
轨道水平时，火车受重力、支持力、外轨对轮缘的弹力、向后的
摩擦力，向心力由外轨对轮缘的弹力来提供.

火车、汽车拐弯的动力学问题一、考点突破：二、重难点提示：重点：1. 掌握火车、汽车拐弯时的向心力来源；2. 会用圆周运动的规律解决实际问题。

难点：能从供需关系理解拐弯减速的原理。

一、火车转弯问题1. 火车在水平路基上的转弯（1）此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。

（2）外轨对轮缘的弹力提供向心力。

（3）由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损害铁轨。

2. 实际弯道处的情况:外轨略高于内轨道（1）对火车进行受力分析：火车受铁轨支持力N的方向不再是竖直向上，而是斜向弯道的内侧，同时还有重力G。

（2）支持力与重力的合力水平指向内侧圆心，成为使火车转弯所需的向心力。

【规律总结】转弯处要选择内外轨适当的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持力N来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。

3. 限定速度v分析：火车转弯时需要的向心力由火车重力和轨道对它的支持力的合力提供。

F 合=mgtan α=rv m 2①由于轨道平面和水平面的夹角很小，可以近似地认为 tan α≈sin α=h/d ② ②代入①得：mg dh=r v m 2d rgh v思考：在转弯处：（1）若列车行驶的速率等于规定速度，则两侧轨道是否受车轮对它的侧向压力。

（2）若列车行驶的速率大于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。

（3）若列车行驶的速率小于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。

二、汽车转弯中的动力学问题1. 水平路面上的转弯问题：摩擦力充当向心力 umg=mv 2/r 。

由于摩擦力较小，故要求的速度较小，否则就会出现离心现象，发生侧滑，出现危险。

2. 实际的弯道都是外高内底，以限定速度转弯，受力如图。

Mgtanθ=Mv2/r v=θtanrg当v >θtanrg，侧向下摩擦力的水平分力补充不足的合外力；v <θtanrg，侧向上摩擦力的水平分力抵消部分过剩的合外力；v =θtanrg，沿斜面方向的摩擦力为零，重力和支持力的合力提供向心力。

L
得F1=16 N
(2)v=4 m/s>v0,杆对小球有拉力 由牛顿第二定律:mg+F2=vm2
L
得:F2=44 N
答案:(1)16 N,支持力 (2)44 N,拉力
【定向训练】 1.(多选)(2019·江苏高考)如图所示,摩天 轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运 动。座舱的质量为m,运动半径为R,角速度 大小为ω,重力加速度为g,则座舱 ( )
为零,则此时重物对电动机向上的作用力大小等于电动
机的重力,即F1=Mg。 根据牛顿第三定律,此时电动机对重物的作用力向下,大
小为:F′1=F1=Mg
①
对重物:F′1+mg=mω2R ②
由①②得ω= m M③g
mR
(2)当重物转到最低点时,电动机对地面的压力最大,对 重物有:F2-mg=mω2R ④ 对电动机,设它所受支持力为FN,FN=F′2+Mg,F′2=F2
(1)当v=1 m/s时。 (2)当v=4 m/s时。
【审题关键】
序号 ①
②
信息提取 杆的弹力可以向上也可以向下
小球的重力和杆的弹力的合力指向圆 心的分量提供向心力
【解析】杆对小球没有作用力时
v0= gL m5/s≈2.24 m/s (1)v=1 m/s<v0,杆对小球有支持力, 由牛顿第二定律:mg-F1=mv2
二 竖直面内的圆周运动 任务1 轻绳模型中物体在最高点时受力的特点
【思考·讨论】 水流星是一项中国传统民间杂技艺术,杂技演员用一根 绳子兜着两个碗,里面倒上水,迅速地旋转着做各种精 彩表演,即使碗底朝上,碗里的水也不会洒出来。这是 为什么? (模型建构)
提示:当碗底朝上时,水的重力全部用来提供做圆周运 动所需要的向心力。

3. 圆周运动的实例分析一、汽车过拱形桥 1．向心力来源：重力和桥面的支持力的合力提供向心力．2．动力学关系(1)如图甲所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg －N ＝m v 2R ，N ＝mg －m v 2R ，由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力．当v ＝gR 时，其压力为零．甲 乙(2)如图乙所示，汽车经过凹形桥的最低点时，满足的关系为N －mg ＝m v 2R ，N＝mg ＋m v 2R ，汽车对桥的压力大小N ′＝N .汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力．二、“旋转秋千”“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图所示．1．向心力来源：重力和悬线的拉力的合力提供．2．动力学关系mg tan_α＝mω2r ，又r ＝l sin_α，则ω＝g l cos α，周期T ＝2πl cos αg所以cos α＝g ω2l，由此可知，α与角速度ω和绳长l 有关，在绳长l 确定的情况下，角速度ω越大，α越大．三、火车转弯1．火车在弯道上的运动特点火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到限定方向的作用，如果火车在水平路基上转弯，外侧对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受损，故实际在转弯处，火车的外轨略高于内轨． 2．向心力的来源根据轨道半径和规定的行驶速度适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供．四、离心运动1．定义：物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心的运动．2．原因：合外力提供的向心力消失或不足．3．离心机械：利用离心运动的机械． 4．应用：脱水筒、离心机．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)汽车驶过凸形桥最高点时，对桥的压力可能等于零．( ) (2)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力． ( )(3)体重越大的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角越小．( )(4)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的． ( )(5)火车按规定的速率转弯时，内外轨都不受火车的挤压作用．( )(6)做离心运动的物体一定不受外力作用． ( )(7)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动．( )【提示】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)×2．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )A ．A 点，B 点B ．B 点，C 点 C ．B 点，A 点D ．D 点，C 点C [战车在B 点时由F N －mg ＝m v 2R 知F N ＝mg ＋m v 2R ，则F N >mg ，故对路面的压力最大，在C 和A 点时由mg －F N ＝m v 2R 知F N ＝mg －m v 2R ，则F N <mg 且R C >R A ，故F N C >F N A ，故在A 点对路面压力最小，故选C.]3．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小D[在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据F＝mω2r 判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确．]4.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处()A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c的值变小AC[汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当v<v c时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>v c时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．]1．轻绳模型如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m v2r，得v＝gr.即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝gr.在最高点时：(1)v＝gr时，拉力或压力为零．(2)v>gr时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．(3)v<gr时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)2．轻杆模型如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.在最高点时：(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.(2)0<v<gr时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．(3)v＝gr时，小球只受重力．(4)v>gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．【例1】(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示．则()甲 乙A ．小球的质量为aR bB ．当地的重力加速度大小为R bC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等思路点拨： 由于杆既可以提供支持力，又可以提供拉力，故小球通过最高点时的速度可以不同，则通过F -v 2图像，可得到小球通过最高点时杆的弹力和小球速度大小的定量关系，从而找到解题的突破口．ACD [对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F －mg ＝0，结合图像可知a －mg ＝0；当F ＝0时，由牛顿第二定律可得mg ＝m v 2R ，结合图像可知mg＝mb R ，联立解得g ＝b R ，m ＝aR b ，选项A 正确，B 错误．由图像可知b ＜c ，当v 2＝c 时，根据牛顿第二定律有F ＋mg ＝mc R ，则杆对小球有向下的拉力，由牛顿第三定律可知，选项C 正确；当v 2＝2b 时，由牛顿第二定律可得mg ＋F ′＝m ·2b R ，可得F ′＝mg ，选项D 正确．]竖直平面内圆周运动的分析方法物体在竖直平面内做圆周运动时：1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．1.(多选)如图所示，质量为m 的物体，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v ，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )A ．受到向心力为mg ＋m v 2RB ．受到的摩擦力为μm v 2RC ．受到的摩擦力为μ⎝ ⎛⎭⎪⎫mg ＋m v 2R D ．受到的合力方向斜向左上方CD [体在最低点时受到重力mg 、支持力F N 和摩擦力F f ，如图所示，其沿径向的合力F n 提供向心力，F n ＝m v 2R ，A 错误．由F n ＝F N －mg ，得F N ＝mg ＋m v 2R ，则物体受到的滑动摩擦力F f ＝μF N ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫mg ＋m v 2R ，B 错误，C 正确．F f 水平向左，故物体受到的合力斜向左上方，D 正确．]物体在球壳最低点的受力分析1．明确圆周平面火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平方向指向轨道的圆心．2．受力特点在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力．3．速度与轨道压力的关系(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mg tan θ＝m v20R，如图所示，则v0＝gR tan θ，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈hL，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无挤压作用；(2)若火车行驶速度v0>gR tan θ，外轨对轮缘有侧压力；(3)若火车行驶速度v0<gR tan θ，内轨对轮缘有侧压力．【例2】有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．思路点拨：解答本题时可按以下思路进行分析：[解析](1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝m v2r＝105×202400N＝105 N.由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.(2)火车的重力和铁轨对火车的弹力的合力提供向心力，如图所示，则mg tan θ＝m v2r由此可得tan θ＝v2rg＝0.1.[答案](1)105 N(2)0.1火车转弯问题的两点注意(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．2．(多选)铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率v 有关．下列说法正确的是( )A ．v 一定时，r 越小则要求h 越大B ．v 一定时，r 越大则要求h 越大C ．r 一定时，v 越小则要求h 越大D ．r 一定时，v 越大则要求h 越大AD [设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mg tan θ＝m v 2r ，得tan θ＝v 2gr ，又因为tan θ≈sin θ＝h l ，所以h l ＝v 2gr .可见v 一定时，r 越大，h 越小，故A 正确，B 错误；当r 一定时，v 越大，h 越大，故C 错误，D 正确．]1．离心运动的实质：质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力．2．离心运动、近心运动的判断：物体做离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F 与所需向心力(m v 2r 或mrω2)的大小关系决定．(如图所示)(1)若F ＝mrω2(或m v 2r )即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动． (2)若F ＞mrω2(或m v 2r )，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F＜mrω2(或m v2r)，即“提供”不足，物体做离心运动．(4)若F＝0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出．【例3】如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去B[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A 错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]分析离心运动需注意的问题1．物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力．2．离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．3．摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即F max＜m v 2r，做离心运动．3.如图所示，在光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是()A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心A[F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误．]1．通过阅读课本，几个同学对生活中的圆周运动的认识进行交流．甲说：“洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动．”乙说：“火车转弯时，若行驶速度超过规定速度，则内轨与车轮会发生挤压．”丙说：“汽车过凸形桥时要减速行驶，而过凹形桥时可以较大速度行驶．”丁说：“我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，这也是利用了离心现象．”你认为正确的是()A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．甲和丁D[甲和丁所述的情况都是利用了离心现象，D正确；乙所述的情况，外轨会受到挤压，汽车无论是过凸形桥还是凹形桥都要减速行驶，A、B、C选项均错．]2.(多选)如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则()A．衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供B．圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力也增大C．圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动D．圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大BC[衣服做圆周运动的向心力由桶壁的弹力提供，A错误．转速增大，衣服对桶壁压力增大，而摩擦力保持不变，B正确，D错误．转速足够大时，衣服上的水滴做离心运动，C正确．]3.(多选)火车在铁轨上转弯可以看做是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是()A．减小弯道半径B．增大弯道半径C．适当减小内外轨道的高度差D．适当增加内外轨道的高度差BD[当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]4．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()A.gRB ．2gR C.gR D.RgC [小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界条件为重力提供向心力，即mg ＝mω2R ，解得ω＝gR ，选项C 正确．]5．如图所示，小球A 质量为m ，固定在长为L 的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端点O 在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力．求：(1)小球的速度大小； (2)当小球经过最低点时速度为6gL ，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小．[解析] (1)小球A 在最高点时，对球受力分析：重力mg ，拉力F ＝mg 或支持力F ＝mg根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得mg ±F ＝m v 2L① F ＝mg ②解①②两式，可得v ＝2gL 或v ＝0.(2)小球A 在最低点时，对球受力分析：重力mg 、拉力F ′，设向上为正方向根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，F ′－mg ＝m v ′2L ，解得F ′＝mg＋m v′2L＝7mg，故球的向心加速度a＝v′2L＝6g. [答案](1)2gL或0(2)7mg6g。

第3节圆周运动的实例分析1.汽车通过拱形桥的运动可看做竖直平面内的圆周运动，在拱形桥的最高点，汽车对桥的压力小于汽车的重力。

2．旋转秋千、火车转弯、鸟或飞机盘旋均可看做在水平面上的匀速圆周运动，其竖直方向合力为零，水平方向合力提供向心力。

3．当合外力提供的向心力消失或不足时，物体将沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动叫做离心运动。

一、汽车过拱形桥二、“旋转秋千”“旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图2­3­1所示。

图2­3­11．向心力来源物体做匀速圆周运动的向心力由物体所受的重力和悬线对它的拉力的合力提供。

2．动力学关系mg tan_α＝mω2r，又r＝l sin_α，则ω＝gl cos α，周期T＝2πl cos αg，所以cos α＝gω2l，由此可知，α角度与角速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大。

三、火车转弯1．运动特点火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。

2．向心力来源在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供。

如图2­3­2所示。

图2­3­2四、离心运动1．定义物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。

2．原因合外力提供的向心力消失或不足。

3．应用(1)离心机械：利用离心运动的机械。

(2)应用：洗衣机的脱水筒；科研生产中的离心机。

1．自主思考——判一判(1)汽车行驶至凸形桥顶时，对桥面的压力等于车的重力。

(×)(2)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车的重力。

(√)(3)汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。

(×)(4)“旋转秋千”的缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的体重无关。

(√)(5)做离心运动的物体一定不受外力作用。

第二章 匀速圆周运动 2.3 圆周运动的实例分析
实例1：汽车过拱桥的问题
汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，求汽车过桥的最高点时对 桥面的压力？
解析：
a：选汽车为研究对象 b：对汽车进行受力分析：受到重力和 桥对车的支持力 c：上述两个力的合力提供向心力、且 mv 2 向心力方向向下 F向=G-F1= d：建立关系式： r
①受力分析 ②若铁轨不受侧向压力 什么力提供向心力？
N
由G和N的合力提供
FN r m F合O θ ω mg
竖直方向:FN cosθ＝mg 水平方向:F合=mω2r
θ
FN O R θ m mg F合 O' ω
竖直方向：FN cosθ＝mg 水平方向：F合=mω2 R sinθ
F合＝mg tanθ
实例3：“水流星”模型
杂技演员表演“水流星”节目，我们发现不管 演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子在 竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水也 不会从杯子里洒出。这是为什么？（教材35页发展空间）
G
2
方法技巧
汽车过凹形桥与凸形桥的动力学分析
（1）汽车通过凹形桥的最底端时做圆周运动，支持力克服重力提供向心力，即 v2 v2 可得 N m g m ，由此可知当汽车通过最低点时速度 N mg m R R 越快，对桥面的压力越大。 （2）汽车通过凸形桥的最高点时做圆周运动，重力克服支持力提供向心力，即 v2 v2 可得 N m g m ，由此可知当汽车通过最高点时速度 mg N m R R 越快，对桥面的压力越小。 （3）汽车通过凸形桥最高点行驶速度最大时，恰好只有重力提供向心力，即
f切
N
N外
外轨
G
内轨

匀速圆周运动的实例分析匀速圆周运动的实例分析一. 教学内容：匀速圆周运动的实例分析二. 具体知识：知识点1 火车、汽车、飞机等的转弯1. 火车转弯（1）火车车轮的结构特点火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹（如图所示）。

（2）如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，如图所示，但火车质量太大，单靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。

（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力，这就减轻了轮缘与外轨的挤压，在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力的合力来提供（如图所示）。

设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为，由图得向心力为，由牛顿第二定律得，所以。

即火车转弯的规定速度。

（4）对火车转弯时速度与向心力的讨论a. 当火车以规定速度转弯时，等于向心力，这时轮缘与内、外轨均无侧压力。

b. 当火车转弯速度时，小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与共同充当向心力。

c. 当火车转弯速度时，大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与共同充当向心力。

2. 汽车转弯在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力，是由车轮与路面间的静摩擦力提供的，即，因为静摩擦力最大不能超过最大静摩擦力，故要求车子转弯时，车速不能太大和转弯半径不能太小。

思考：在高速公路的转弯处，路面造得外高内低是什么原因？3. 飞机转弯飞机在空中转弯时，其机翼是倾斜的，飞机受到竖直向下的重力和垂直于机翼的升力作用，其合力提供转弯所需要的向心力。

一、火车转弯问题
在平直轨道上匀速行驶的火车，火车受到 几个力的作用？这几个力的关系如何？ 火车转弯时，情况会有何不同？ 需要提供向心力
1、火车在平直的轨道上匀速行驶时，所 受的合力等于零。
2、火车转弯时，火车做曲线运动，所受的 合外力不等于零，合外力又叫向心力，方 向指向圆心。 外轨对轮缘的弹 力就是使火车转 弯的向心力
2、当火车行驶速率 轨道对轮缘有侧压力
3、当火车行驶速率 轨道对轮缘有侧压力
sin tan


h
L
h F 综合有 ， L Mg 2 又因为F M R


ghR L
实际中，铁轨修好以后h、R、L确定，g又 为定值，所以火车转弯时的车速为一定值。 1、当火车行驶速率 外轨道对轮缘都没有压力
ghR 时，F=F向，内 L ghR 时，F〈F向，外 L ghR L 时，F〉F向，内
圆心0
为了使铁轨不容易损坏，在转弯处使外轨略高于 内轨，受力图如下，重力和支持力的合力提供了 向心力；这样，外轨就不受轮缘的挤压了。
同理：汽车转弯做圆周运动时，也需要 向心力，是由地面给的摩擦力提供向心 力的，所以汽车在转弯的地方，路面也 是外高内低，靠合力提供向心力。
那么什么情况下可以完全使铁轨和轨缘间的 挤压消失呢？ F h

N G m v2 r
当V 越大时，则 m v2 越大，N越小。
r
当V增大某一值时， 则 N=0，
此时：V gr
当 V gr 汽车飞出去了。
N
失重 G N m v2
R
G
v2
R
N Gm R
o
R
N
G
v2 N G m
R
v2
N Gm
超重
R
例如:荡秋千 ,飞机转弯飞行员对坐垫压力
三：航天器中的失重现象
关于向心、圆周、离心运动
供 提供物体做圆周 运动的力
需 物体做匀速圆周 运动所需的力
“供”、“需”是否平衡决定物体做何种
F= m v2运动 匀速圆周运动
r
v2 F< m
离心运动
r
v2 F> m
向心运动
r
练习 1、下列说法正确的是 ( B )
A、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突 然消失时，将沿圆周半径方向离开圆心
练习
3、为了防止汽车在水平路面上转弯时出现
“打滑”的现象，可以：( b、d
)
a、增大汽车转弯时的速度
b、减小汽车转弯时的速度
c、增大汽车与路面间的摩擦
d、减小汽车与路面间的摩擦
练习
4、下列说法中错误的有（
B）
A、提高洗衣机脱水筒的转速，可以使衣服甩 得更干
B、转动带有雨水的雨伞，水滴将沿圆周半径 方向离开圆心
的速度及受到杆子的力是多少？
拓展
如图所示，一质量为m的小
N
球，用长为L轻杆固定住，使其
mg
在竖直面内作圆周运动.
O
若小球通过最高点时，小球 恰不受杆的作用力，则小球在最 高点的速度是多少？

结合所学知识讨论分析． ［师生互动］
［思维方法渗透］
只要是曲线轨迹就需要提供向心力，并不是一定做匀速圆周运
动．
中的 r 指确定位置的曲率半径．
［结论］转弯时需要提供向心力，而平直前行不需要． 受力分析得：需增加一个向心力 ( 效果力 ) ，由铁轨外轨的轨缘 和铁轨之间互相挤压产生的弹力提供． ［深入思考］ 师：挤压的后果会怎样？ ［学生讨论］ 生：由于火车质量、速度比较大，故所需向心力也很大．这样的话， 轨缘和铁轨之间的挤压作用力将很大，导致的后果是铁轨容易损坏，轨 缘也容易损坏． ［设疑引申］ 师：那么应该如何解决这一实际问题？ ［学生活动］ 师：发挥自己的想象力结合知识点设计方案． ［提示］ （ 1 ）设计方案的目的是为了减小弹力． （ 2 ）录像剪辑——火车转弯． ［学生提出方案］ 铁路外轨比内轨高，使铁轨对火车的支持力不再是竖直向上．此时， 重力和支持力不再平衡，它们的合力指向“圆心”，从而减轻铁轨和轨 缘的挤压． ［点拨讨论］ 师：那么什么情况下可以完全使铁轨和轨缘间的挤压消失呢？ ［学生归纳］ 生：重力和支持力的合力正好提供向心力，铁轨的内外轨均不受到 挤压 ( 不需有弹力 )． ［定量分析］ ［投影］如下图所示．
个力，也可以是几个不同性质的力沿着半径指向圆心的合外力． （ 3 ）不能认为做匀速圆周运动的物体在各种实际的力之外，还要
另外受到向心力．
二、火车转弯问题
1．图片展示：平直轨道上匀速行驶的火车．提出问题： （ 1 ）火车受几个力的作用？
（ 2 ）这几个力的关系如何？ ［学生活动设计］ （ 1 ）观察火车运动情况． （ 2 ）画出受力示意图，结合运动情况分析各力的关系． ［师生互动］
四、汽车过拱桥问题 1．凸形桥和凹形桥 (1) 物理模型 ［投影］如图

N
F合=F向 N mg mv2 / r 2 N m( g v / r ) 2 N ' N m( g v / r )
小节:此问题中出现的汽车对桥面的 压力不能大于桥面的最大承重，故车 速不能过高。
h
G
N’
匀速圆周运动实例分析
第三课时
v F m r
2
一根绳子系者一个盛水的杯子，演员抡起 绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最 高点时，杯口朝下，但杯中的水不会流下来， 为什么呢？试计算此时的最小速度。
r
O
注意:汽车过桥的速度不得太大,否则FN’将消失,汽车将飞离桥 面.
比较三种桥面受力的情况
v G FN m r v FN G m r
2
2
FN=G
2、汽车以恒定的速率v通过半径为r的凹型桥面，如图所
示，求汽车在最底部时对桥面的压力是多少？
解：汽车通过底部时，受力情况如图。 由牛顿第二定律：
例五、竖直面内的匀速圆周运动 1、质量为m的汽车以恒定的速率v通过半径为r的拱桥， 如图所示，求汽车在桥顶时对路面的压力是多少？
FN
解：汽车通过桥顶时，受力情况如图。 汽车通过桥顶时：
h
FN’
G
F合=F向
mg FN mv / r
2
v2 ) FN m( g r 2 由牛顿第三定律： FN ' FN m( g v ) 2 r FN ' FN m( g v ) r
（3）当火车行驶速率v<v规定时， 内轨对轮缘有侧压力。
N N’
G
N
N‘ G
火车行驶速率v>v规定
火车行驶速率v<v规定时
处理匀速圆周运动问题的一般步骤：

火车、汽车拐弯的动力学问题一、考点突破：二、重难点提示：重点：1. 掌握火车、汽车拐弯时的向心力来源；2. 会用圆周运动的规律解决实际问题。

难点：能从供需关系理解拐弯减速的原理。

一、火车转弯问题1. 火车在水平路基上的转弯（1）此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。

（2）外轨对轮缘的弹力提供向心力。

（3）由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损害铁轨。

2. 实际弯道处的情况:外轨略高于内轨道（1）对火车进行受力分析：火车受铁轨支持力N 的方向不再是竖直向上，而是斜向弯道的内侧，同时还有重力G 。

（2）支持力与重力的合力水平指向内侧圆心，成为使火车转弯所需的向心力。

【规律总结】转弯处要选择内外轨适当的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力N 来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。

3. 限定速度v知识点考纲要求题型说明火车、汽车拐弯的动力学问题1. 掌握火车、汽车拐弯时的向心力来源2. 能从供需关系理解拐弯减速的原理3. 会用圆周运动的规律解决实际问题选择题、计算题重点内容是圆周运动规律具体应用，考查重点是把具体问题抽象成模型，利用规律进行解题，物理情景源于身边的物理现象分析：火车转弯时需要的向心力由火车重力和轨道对它的支持力的合力提供。

F 合=mgtan α=rvm2①由于轨道平面和水平面的夹角很小，可以近似地认为tan α≈sin α=h/d ②②代入①得：mg d h =rvm2drgh v思考：在转弯处：（1）若列车行驶的速率等于规定速度，则两侧轨道是否受车轮对它的侧向压力。

（2）若列车行驶的速率大于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。

（3）若列车行驶的速率小于规定速度，则___轨必受到车轮对它向___的压力（填“内”或“外”）。

二、汽车转弯中的动力学问题1. 水平路面上的转弯问题：摩擦力充当向心力umg=mv 2/r 。

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三、火车转弯
2、实际弯道处的情况:外轨略高于 内轨道
（1）、对火车进行受力分析： 火车受铁轨支持力N的方向不再是 竖直向上，而是斜向弯道的内侧， 同时还有重力G
（2）、支持力与重力的合力水平指 向内侧圆心，成为使火车转弯所需 的向心力。
（3）、转弯处要选择内外轨适当的高度差， 使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持 力N来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。
g 或 cosα= Lω2
由此可知：α角度与角速度ω和绳长L有关，在绳长L确定的情 况下，角速度ω越大，α角越大
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三、火车转弯
三、火车转弯
1、水平路基上转弯：
（1）此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对 轮缘的弹力。
（2）外轨对轮缘的弹力提供向心力。
（3）由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且 由于火车质量很 大， 故轮缘和外轨间的相互作用力 很大，易损害铁轨。
即：mg=mv2/R 代入R得：v= 20m/s
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二、“旋转秋千”
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二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可以简化为圆锥摆模型， 如图： 1、向心力来源： 物体做匀速圆周运动的向心力是有物体 所受重力mg和悬线拉力T对它的合力提供。 2、动力学关系：
mgtanα=mω2r ① r=Lsinα ②
由① 和②得：
V=
gR
3
gR
汽车飞出去了。
汽车过凹形桥
1、当汽车在桥面上运动到最低 点时，重力G和桥的支持力N在 一条直线上，它们的合力是使汽 车做圆周运动的向心力F向。
2、动力学关系： F向=N － G=mv2/R 桥对车的支持力：N＝G+mv2/R＞G 由牛顿第三定律可知，车对桥的 压力: N'= N＞G

第3节 圆周运动的实例分析1 火车、汽车拐弯的动力学问题（答题时间：30分钟）1. 摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示。

当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用；行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。

假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360 km/h 的速度拐弯，拐弯半径为1 km ，则质量为50 kg 的乘客在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为（g 取10 m/s 2）（ ）A. 0B. 500 NC. 1000 ND. 500 2 N2. 铁路转弯处的弯道半径r 是由地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率v 有关。

下列说法正确的是（ ）A. 速率v 一定时，r 越大，要求h 越大B. 速率v 一定时，r 越小，要求h 越大C. 半径r 一定时，v 越小，要求h 越大D. 半径r 一定时，v 越大，要求h 越大3. 一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，下图为雪橇受到的牵引力F 及摩擦力F 1的示意图（O 为圆心），其中正确的是（ ）4. 火车转弯时，火车的车轮恰好与铁轨间没有侧压力。

若将此时火车的速度适当增大一些，则该过程中（ ）A. 外轨对轮缘的侧压力减小B. 外轨对轮缘的侧压力增大C. 铁轨对火车的支承力增大D. 铁轨对火车的支承力不变5. 冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度的最大值是（ ） A. gR k B. kgR C. kgR D. kgR 2 6. 如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两个小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两个小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两个小孩突然松手，则两个小孩的运动情况是（ ）A. 两小孩均沿切线方向滑出后落入水中B. 两小孩均沿半径方向滑出后落入水中C. 两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中D. 甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中7. 火车在水平轨道上转弯时，若转弯处内外轨道一样高，则火车转弯时（）A. 对外轨产生向外的挤压作用B. 对内轨产生向外的挤压作用C. 对外轨产生向内的挤压作用D. 对内轨产生向内的挤压作用8. 如图所示，是从一辆在水平公路上行驶着的汽车后方拍摄的汽车后轮照片。

12/12/2021
解析：选 AC．汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动 的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供 向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无 关，故选项 A 正确，选项 D 错误．当 v<vc 时，支持力的水 平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力 向外侧；当 v>vc 时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽 车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会 侧滑，故选项 B 错误，选项 C 正确．
有关，在绳长 l 确定的情况下，角速度 ω 越_大__，α 越大．
12/12/2021
三、火车转弯 1．火车在弯道上的运动特点 火车车轮上突出的轮缘在铁轨上起到限定方向的作用，如果 火车在水平路基上转弯，_外__轨___对轮缘的弹力就是火车转弯 的向心力，轮缘与外轨间的作用力很大，铁轨与轮缘极易受 损，故实际在转弯处，火车的外轨__略__高__于__内轨． 2．向心力的来源 依据__轨__道__半__径__和__规__定__的__行__驶__速__度__，适当选择内外轨的高 度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力和支持力的合 力来提供．
12/12/2021
汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设 计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提 供向心力，以防止车轮发生侧向滑动．
12/12/2021
有一列重为 100 t 的火车，以 72 km/h 的速率匀速通过 一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为 400 m．（g 取 10 m/s2） (1)试计算铁轨受到的侧压力； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为 零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度 θ 的正切 值．
12/12/2021