直角坐标系、函数

专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。

2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。

3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。

说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。

⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。

5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。

6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。

7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。

(3)常量：在某变化过程中的量。

变量：在某变化过程中的量。

(4) 函数的表示方法:①；②；③。

能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。

二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。

平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 各象限点的坐标的符号；2. 坐标轴上的点的坐标特征．3. 点P （a ，b ）关于⎪⎩⎪⎨⎧原点轴轴y x 对称点的坐标⎪⎩⎪⎨⎧----),(),(),(b a b a b a4.两点之间的距离5.线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+=二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ． 例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．【当堂检测】1.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ） A ．(-4,3) B ．(-3,-4) C ．(-3,4) D ．(3,-4)2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y 为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标： ．3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m>0.5 B ．m≥0.5 C ．m<0.5 D ．m≤0.54.对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（ ） A ．2 B ．－2 C ．0 D ．421212211P P )0()0()2(yy y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　例3图6.若点A （－2，n ）在x 轴上，则点B （n －1，n+1）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.（2009威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a +b 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.已知点A （m 2+1，n 2－2）与点B （2m ，4n+6）关于原点对称，则A 关于x 轴的对称点的坐标为三、解答题9.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D 的路线做匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （s ）； ①当t=5时，求出点P 的坐标；②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．10.如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标:B ' 、C ' ；⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567O xy lABA'D'E'C(第22题图）第10题图yO (01)B ，(20)A ，1(3)A b ，1(2)B a ，x第7题图第13题图。

初二函数的图像知识点总结一、坐标系和直角坐标系在学习函数图像之前，我们需要先了解坐标系和直角坐标系的概念。

坐标系是用来描述平面上点的工具，它由水平方向和垂直方向的两条线组成。

而直角坐标系是将坐标系中的每一个点都表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在横坐标轴上的位置，y表示点在纵坐标轴上的位置。

二、函数的概念函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。

通俗地讲，函数就是一种关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。

函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。

在学习函数图像时，我们需要了解一些常见的函数类型，比如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

三、函数图像的基本性质在绘制函数图像时，我们需要掌握一些基本的性质。

比如，线性函数的图像是一条直线，它可以通过两个点来确定；二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向取决于二次项系数的正负；指数函数和对数函数的图像分别是指数曲线和对数曲线，它们有一些特定的性质和规律。

四、函数图像的绘制方法在学习函数图像时，我们也需要了解一些绘制方法，比如利用表格法来绘制函数图像。

表格法是通过选取一些自变量的值，计算对应的因变量的值，然后将这些点连接起来来近似函数的图像。

此外，我们还可以利用函数的性质和变化规律来绘制函数图像，比如线性函数的斜率和截距可以帮助我们绘制出函数的大致形状。

五、函数图像与实际问题的应用函数图像不仅仅是数学中的一个概念，它还可以帮助我们解决一些实际问题。

比如，我们可以利用函数图像来描述日常生活中的变化规律，比如温度随时间的变化、物体的运动轨迹等。

此外，在学习物理和工程学科时，我们也经常会遇到一些与函数图像相关的问题，因此掌握函数图像的知识对于解决实际问题是非常有帮助的。

总之，函数图像是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们直观地理解函数的性质和特点。

在初中阶段，学生需要掌握关于函数图像的基本知识，包括坐标系和直角坐标系、函数的概念、函数图像的基本性质、函数图像的绘制方法以及函数图像与实际问题的应用。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

函数，平面直角坐标系函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相关联的另一元素。

在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。

本文将对函数在平面直角坐标系中的表示及其相关性质进行介绍。

一、坐标系及函数的定义平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴和Y轴表示。

在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。

函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。

在数学中，函数通常被表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。

函数可以用一张图像来表示。

二、函数的基本性质函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。

定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。

如果定义域中的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。

值域：值域指函数可输出的实际值的范围。

值域由图像框定，根据函数的单调性和对称性，可以很容易确定其值域。

单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。

如果函数在定义域内单调递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。

如果函数在定义域内单调递减，那么它的图像就是从左到右逐渐降低的。

对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。

当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。

当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴对称。

奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。

如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。

如果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。

三、常见函数的图像在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。

直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。