最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题

两之间线段最短求最值四大类型【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

【方法技巧】模型一“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l 的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P 三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．模型二“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．模型三“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．【典例分析】【典例1-1】基本模型问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例1-2】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|P A ﹣PB|的值最大．解题思路：一找：连接AB并延长，交直线l于点P；二证：验证当A，B，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-3】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP 的值最小．解题思路：一找：连接AB交直线l于点P；二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【典例1-4】模型演变问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|P A﹣PB|的值最大．解题思路：一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；二证：验证当A，B'，P三点共线时，|P A﹣PB|取得最大值．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB 边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC 的最小值为．【典例2】模型分析问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N 的位置，使△PMN的周长最小．解题思路：一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．三计算．注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．【典例3】模型分析问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．解题思路：一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．三计算．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC 边上，则四边形EFGH周长的最小值为．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．【典例4-1】基本模型问题：如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A “B，交直线l于点N，再确定点M；二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．【典例4-2】模型演变问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．解题思路：一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．三计算．请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。

线段和的最值小值问题第8课时线段和、差的最值问题是一类综合性较强的问题，主要归于两个几何模型：1．求“变动的线段之和的最小值”时，可归于“两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）”．如图，在直线l 上确定一点P ，使PB PA最小．一、选择题1．下列说法中正确提（ ）（A ）到直线l 的距离相等的两点关于直线l 对称 （B ）角是轴对称图形，对称轴是角平分线 （C ）圆是轴对称图形，有无数条对称轴 （D ）有一个内角是60º的三角形是轴对称图形 2．已知△ABC 和△ADC 关于直线AC 轴对称，若 ∠BAD +∠BCD =170º，那么△ABC 是（ ）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形 （C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形 3．如图，点P 、Q 在直线AB 外，点O 在直线AB 上从左往右运动形成无数个三角形：△O 1PQ 、△O 2PQ 、△O 3PQ 、…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长（ ）（A ）不断变大（B ）不断变小 （C ）先变小再变大 （D ）先变大再变小4．如图所示，在正方形网格中有格点A 、B ，在数轴上找一点P A ，使P 到点A 和点B 的距离之和最小．则点P 所对应的数为（ ）（A ）−2 （B ）0 （C ）2 （D ）3 二、填空题5．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，沿DE 折叠△ABC 后，点A 落在点A ′处，若∠C =120º，∠A =26º，则∠A ′DB = º．6．在△ABC 中，AC 边的垂直平分线l 交AC 于D ，BC =4，点P 在直线l 上，则P A +PB 的最小值是 ． 7．如图所示，点A 、B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，若要在直线l 上找一点，使得P A 与PB 的差最大，那么P 点应在 点处． 8．如图，点P 在∠AOB 的内部， 点M 、N 分别点P 关于直线OA 、 OB 的对称点，线段MN 交OA 、 OB 于点E 、F ．若△PMN 的周 长为20cm ，PG =2cm ，PH =4cm ， 则△PEF 的周长为 cm ． 三、解答题9．（1）如图①，等边△ABC 中，点E 是AB 的中点，AD 是高，P 为AD 上一点，当BP +PE 的值最小时，画出图形说明P 点的位置．知识要点APQO 1O 2O 3B第3题第4题第7题ABC lD P 第6题A′ B C 第5题DEAO B P GM EFN HlB A（2）如图②，四边形ABCD 中，∠A =∠D =90°，在AD 上确定点P ，使△PBC 的周长最小．10．已知：如图，四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分∠ABC ，E 是BC 的中点，P 是对角线BD 上的一个动点，则当PE +PC 的最小值时，试确定P 点的位置（画出图形说明理由）．一、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90º，AD =5，对角线BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．P 是BC 边上一动点，连结PD ，则PD 的最小值为12．如图，在Rt △ABC 中，D 、E 为斜边AB 上两点，且BD =BC ，AE =AC ，则∠DCE 的大小为 º． 13．如图，等腰三角形ABC 的面积为48cm 2，底边BC 的长为8cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于F ，若D 是BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为 cm ．二、解答题14．如图，已知两点P 、Q 在锐角∠AOB 内，分别在OA 、OB 上求作点M 、N ，使四边形PMNQ 的周长最小（简要说明作法及理由）．15．如图①，在∠AOB 内有一点P ，先作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 关于直线OB 的对称点P 2． （1）猜想∠P 1OP 2与∠AOB 的数量关系，并证明； （2）当点P 在∠AOB 外部时，上述结论还成立吗？请在图②中画出相应的图形并说明理由．A图①DCBA图②DAB C P 第11题C 第12题第13题ABC F E MD DA能力提升P图① 图②A。

初中几何中的最值问题江西省南康市龙岭中学 梁晓君在解决平面几何问题时,经常会遇到求线段（或线段和）最值的问题。

遇到这类题目时学生常常没有思路，不知从何下手。

其实，解决这类问题最常的思路就是：其解题的理论依据主要是“两点之间线段最短”，“点到直线的距离垂线段最短”及“三角形两边之各大于第三边”。

（一）利用轴对称解决线段和最小值解决线段和最小的问题时又常与轴对称联系起来，通过作对称点把要相加的线段通过等量代换，放置在同一条直线上成为一条线段。

人教版教材八年级在学习作轴对称图形时有一个例题：A 、B 两镇在燃气管道L 的同旁，现在要修一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应修在什么地方，才能使输气管线最短？这是学生最先接触用轴对称知识来解决线路最短问题。

在这个例题的解答中，是作其中一个点关于L 的对称点，此对称点与另一点的连线与直线L 的交点P ，即为到两镇之间距离和最短的地方。

同时教材上也作出证明，让同学生们理解为什么这点就是最短的点。

在掌握这个例题后我们就有很多的题目可以通过作轴对称来解决。

我们可以看下面两题：1．在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,点P 在BD 上，则△PEC 周长的最小值是2、正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE=2，P 在BD 上，求PE+PC 的最小值。

这两题是可以直接转化成例题来解答，这种题形可归纳为“两点一线型”。

我们再看下一个题目：如图∠AOB=450，角内有一点P ，PO=10，在角两边上有两动点Q 、R （均不同于点O ），则△PQR 的周长最小值是———————— 。

本题只有一个点P ，却有两条直线OA ，OB 。

本题思路是边点P 分别作OA ，OB 的对称点同，再连接两对称点与两直线的交点即为Q ，R ，此时△PQR 的周长最小。

这种题目可归纳为一点两线型。

像教材后面的习题，马从马厩出来到河边喝水，再到草地吃草所走的路线最短就属于这种题型。

最值问题的常用解法及模型引言最值问题是数学中常见的问题之一，它要求在给定的一组数据中找出最大值或最小值。

在实际生活和工作中，最值问题有很多应用场景，比如找出一组数据中的最高分、最低温度、最大利润等。

本文将介绍最值问题的常用解法及模型，旨在为读者提供一些解决最值问题的思路和方法。

一、暴力法暴力法是最值问题的最简单直接的解法，也是最容易理解的方法之一。

暴力法的思路非常简单，就是遍历给定的一组数据，比较每个数据与当前最值的大小关系，更新最值的数值。

具体步骤如下： 1. 初始化最值变量，最大值设为负无穷大，最小值设为正无穷大。

2. 遍历给定的一组数据，对每个数据进行比较。

3. 如果当前数据大于最大值，则更新最大值。

4. 如果当前数据小于最小值，则更新最小值。

5. 遍历完所有数据后，最大值和最小值即为所求。

二、排序法排序法是解决最值问题的另一种常用方法，它的思路是先对给定的一组数据进行排序，然后直接取出排序后的第一个或最后一个元素作为最值。

具体步骤如下： 1. 对给定的一组数据进行排序，可以使用快速排序、归并排序等常见的排序算法。

2. 如果要找最大值，直接取排序后的最后一个元素作为最值；如果要找最小值，直接取排序后的第一个元素作为最值。

三、分治法分治法是解决最值问题的一种高效的方法，它通过将问题划分成小规模的子问题，并从子问题中找出最值，最后将子问题的最值合并得到整体的最值。

具体步骤如下：1. 将给定的一组数据划分成多个小规模的子问题。

2. 对每个子问题递归地应用分治法，求出子问题的最值。

3. 将子问题的最值合并，得到整体的最值。

四、动态规划法动态规划法是解决最值问题的一种常见方法，它通过定义状态和状态转移方程来逐步求解最值。

具体步骤如下： 1. 定义状态，通常用一个数组来表示状态，数组的元素表示子问题的最值。

2. 设置初始值，确定初始状态的值。

3. 定义状态转移方程，利用已知的子问题的最值推导出当前问题的最值。

2021年第1期中学数学教学参考（下旬）+想方法_1从/I何角度探究线段和最小值问题的解决策王绍忠（山东省诸城市东鲁学校）摘要：线段和最小值问题在近几年各地中考数学试卷中出现的几率很大。

本文借助例题分析这类问题的三种几何解题策略。

关键词：线段和；最小值；解决策略文章编号：1002-2171 (2021) 1-0048-03在中考中，线段和最小值问题是常见的题型，其 解决策略主要有两种：一是代数法，即利用函数讨论极值问题；二是几何法。

遇到这类问题，学生受常规思路的影响，一般更倾向于代数法。

本文尝试从几何 角度，通过模型归类，给出解决这类问题的一般方法。

1 “牛喝水”模型“牛喝水”模型是由固定的河流、家、牛构成，需要 通过对称的方法在河流上找到牛喝水的最短路径[1]，如图1所示。

这种线段和最小值解题模型的典型代反思：因为角的平分线上的点到角两边的距离相 等，所以A C J W F的边C M上的高和A C E F的边Cf：上的高相等，因此有|^=^。

^>ACEF L t解法3:如图4,过点C作C M丄E F，垂足为M，交E F的延长线于M。

由于=Z C E F，Z A=Z E M C=90。

，得A AB E c^A M£C0所以謚=4,易得C M=#，B E=f。

因此V5C F CM10 1 B F B E所以S AC奸=+~X — X S a=占X香X1X1=去。

反思：本解法通过构造相似三角形并应用“同高 的两个三角形的面积之比等于对应底边之比”先求出的值，即求出的值，而s ABCE易求，从而顺利^ AB CE 求出S A C E f的值。

思路2:构造A C£F的相似三角形。

由已知条件 易证Z A B E=Z C E F，而Z C=45°,因此只需再构造 一个45°的锐角。

解法4:如图5,以A E为直角边构造R t A M A E。

由于 Z A B£=Z C£：F，Z M=Z C=45°，得 A M B E o q A C E F。

初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。

下面将逐一介绍这些常用解法。

一、暴力法：暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。

具体步骤如下：1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。

2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。

二、排序法：排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。

具体步骤如下：1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。

2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。

3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。

三、差分法：差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。

具体步骤如下：1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。

2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。

3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。

4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。

5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。

6.时间复杂度为O(n)。

四、前缀和法：前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。

具体步骤如下：1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。

2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。

3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。

4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。

5.时间复杂度为O(n)。

数理化学习求战段最小值素见鮮法採析■马先龙摘要：求线段长的最小值一直是解题的难点.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法，则可化难为易，顺利解题.关键词：线段；最小值；解法解答几何题时，经常需求线段的最小值.此类问题 往往具有一定的难度,有时甚至让答题者望而生畏.实 际解题时，若能灵活地运用化斜为垂法、特殊位置法、 函数最值法等解法，则可化难为易，顺利解题.一、化斜为垂法 例1如图l ，RtA 4B C 中，AACB - 90°,AC = 4,BC = 2,P 是斜边上的动点（不与/l 、B 重 合），过点P 分别作丄<4C 于点丄S C 于点£,连接则£)£的最小值为分析:如图1，连接CP ,由条件，易知四边形P Z )C £ 是矩形，所以£»£ = C /3,易求C P 的最小值，从而得£»£ 的最小值.解：如图1，连接CP .因为乙= 90°，/lC = 4,BC = 2,^])1AB = 742 + 22 = 2/S "•因为丄/tC ，P £ 丄 fiC ,所以乙PDC == 90。

，又因为 Z 4CB =90°，所以四边形是矩形，所以= CP .过点C作CM 丄/1B 于点M ，根据“垂线段最短”，知CP _ =CM ,所以 = CM •因为 SA 4S C = 士/lC • BC = 士仙2/5 5 5的最小值是4/5".评注:本题先连接CP ,运用矩形的性质进行等线 段代换，得到£»£ = CP .接下来，自然会想到化斜为垂， 去求垂线段CM 的长，问题立刻变得简单了.例 2 如图 2,E 74B C Z > 中，= 2/3,AD =\,L A B C =60°,A E ,F 分别在边AB 、B C 上，A B E F 与BM F C关于直线对称，点B 的对称点落在边/I Z )上，则长的 图2最小值为_______•分析:如图2,由题意，易知= /TF ,易求S T 长的最小值，从而得S F 长的最小值.解：如图2,因为与关于直线£厂对 称，所以因为四边形/1BCD 是平行四边形， 所以/!£> // SC .由条件，点B '、F 分别在/!0、SC 上，过点 4作/1M 丄BC 于点M ，则ZTF m i … = <4紙所以=•在 RtA 4ftW 中，/Ifi = 2v ^"，乙4BC = 60。

1351　概述由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。

针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。

这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。

第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的问题使用较多。

介于篇幅，本文只对该问题用几何方法加以研究。

2　类型一：两点在直线异侧如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。

因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。

此类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。

图13　类型二：两点在直线同侧图2如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。

类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。

作C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的交点即为所求的点P。

这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。

类型二是类型一有关动点的线段和的最小值问题陈　刚（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。

初中数学线段最值问题解题技巧（最新版4篇）目录（篇1）1.线段最值问题的定义和特点2.解题思路和方法3.具体解题步骤和技巧正文（篇1）一、线段最值问题的定义和特点线段最值问题是指在已知线段长度范围内，求取最大或最小值的问题。

此类问题在数学中较为常见，尤其是在几何学和代数中的应用广泛。

其特点在于，通常需要结合线段长度、角度、边长等几何要素进行求解。

二、解题思路和方法1.转化：将问题转化为具体几何模型或代数方程。

2.寻找最大值点：通过观察线段或几何图形，找到最大值点。

3.应用数学知识：利用数学知识求解最大值，如三角函数、勾股定理等。

4.运用数学公式：运用特定数学公式，如辅助线公式、几何倍增等，来寻找最大值。

三、具体解题步骤和技巧1.分析问题：首先需要认真阅读问题，理解问题的要求。

2.构建模型：根据问题建立几何模型或代数方程。

3.寻找最大值点：根据题目中的条件，找到最大值点。

这可能需要对几何图形或代数方程进行深入分析。

4.应用数学知识：使用所学的数学知识求解最大值，例如：三角函数、勾股定理等。

5.验证结果：验证所求得的解是否符合题目要求，必要时进行修正。

总之，解决线段最值问题需要灵活运用数学知识，同时注意分析问题、建立模型、寻找最大值点和应用数学知识等多个步骤。

目录（篇2）一、初中数学线段最值问题解题技巧概述1.解题技巧简介2.解题技巧的应用范围和优势3.解题技巧的适用条件和限制二、初中数学线段最值问题解题技巧详解1.寻找临界点法2.构造辅助线法3.转化角度法4.函数思想法三、初中数学线段最值问题解题技巧的实际应用案例1.题目类型：线段和的最值问题2.题目类型：线段长的最值问题3.题目类型：线段差的的最值问题4.题目类型：三角形中的最值问题正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧是解决线段相关问题的有效工具。

它通过寻找临界点、构造辅助线、转化角度以及运用函数思想等方法，将复杂的问题简单化，从而快速准确地求解。

线段和的最小值问题一直以来，“线段和的最小值问题”是中考的热点和难点问题之一。

学生在这方面常常出现丢分，问题是找不到解题的突破口。

怎样解决这个突破口呢？本人把它们归结为两个“典型题型”进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。

所谓“典型题型”，就是某些题例它不是公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题解答。

下面就“线段和的最值”问题，运用两个“典型题型”的原命题进行探讨。

1.关于线段和的最小值问题例1：如图1所示，要在河边修建一个水站，向A、B区的居民提供自来水，水站应建在什么地方，才能使A、B区的居民到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点B的轴对称点 ,连接交直线于点P，则点P就是所求的水站位置。

利用这一题例的结论，可以解决类似的关联题。

图1[ 类型1：]如图2，菱形ABCD的两条对角线的长分别是6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、AC的中点，则PM+PN的最小值是________。

分析：根据菱形的对称性，在AD上找出的M关于AC的对称点（即AD的中点）,连结交AC于P，则PM+PN的最小值就是线段的长，等于菱形的边长5. 图2[ 类型2：]如图3，MN是的直径，MN=2，点A在上，∠AMN=，B为弧AN的中点，P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值是________。

分析：连结OA，由∠AMN=得∠AON=，取点B关于MN的对称点 ,连结 , ,则交MN于点P,则的长为PA+PB的最小值，且∠ ,即△为等腰直角三角形，故。

图3[ 类型3：]如图4，在等腰△ABC中，∠ABC=，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）。

A.2 B. C.4 D.分析：把等腰△ABC沿AC翻折可得一个菱形，由上面[类型：1]的解图4答可知，PM+PN的最小值就是菱形的边AB的长，故AB=2，由AB=BC=2,∠ABC=120°，易求得AC=，因此△ABC的周长是。

最值问题的常用解法及模型最值问题是指在一定条件下，找出某一组数据中的最大值或最小值。

这类问题在实际生活中经常出现，比如求最大收益、最小成本、最短路程等。

常用解法：1.暴力枚举法暴力枚举法是指对于所有可能的情况都进行尝试，然后找出其中符合条件的最大值或最小值。

虽然该方法在理论上是可行的，但是在实际情况下往往需要耗费大量时间和计算资源。

2.贪心算法贪心算法是指每次选择当前状态下的最优解，然后再基于该解进一步进行优化。

该方法通常适用于具有单调性或者局部最优解等特点的问题。

3.动态规划动态规划是指将原问题拆分成若干个子问题，并将其逐步求解，直到得到原问题的解。

该方法通常适用于具有重叠子问题和无后效性等特点的问题。

4.分治算法分治算法是指将原问题拆分成若干个相互独立的子问题，并对每个子问题进行求解，然后将各个子问题的结果合并起来得到原问题的解。

该方法通常适用于具有可重复性和可并行性等特点的问题。

模型：1.最大子序列和问题最大子序列和问题是指在一个数列中找到一个连续的子序列，使得该子序列的元素之和最大。

该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。

2.最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带权无向图中找到一棵包含所有顶点且权值之和最小的生成树。

该问题可以采用Prim算法或Kruskal算法进行求解。

3.背包问题背包问题是指在一定容量下，选择若干个物品放入背包中，使得这些物品的价值之和最大。

该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。

4.矩阵链乘法矩阵链乘法是指给定若干个矩阵，将它们相乘得到一个结果矩阵，使得计算过程中所需的乘法次数最少。

该问题可以采用动态规划进行求解。

总结：最值问题是一类重要的数学计算问题，在实际生活中具有广泛应用。

针对不同类型的最值问题，我们可以采用不同的解决方法和模型进行求解。

通过深入理解这些方法和模型，并灵活运用它们，我们可以更加高效地解决各种实际问题。

精品文档初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mA Bmn mnnmnnnm（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二）一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：mnmnmnmm m精品文档2、点与圆在直线同侧：（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。

初中数学几何最值问题的模型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初中数学中，几何最值问题是一个重要的研究领域。

通过求解这类问题，我们可以进一步理解几何形体之间的关系，并探讨如何确定能取得最大或最小值的量。

几何最值问题在现实生活和科学研究中具有广泛的应用，例如在建筑设计、物理力学等领域都可以找到相关的应用。

1.2 文章结构本文将围绕初中数学中的几何最值问题展开讨论。

首先，我们将介绍几何最值问题的基本概念，包括其定义和分类以及其在数学学科中的重要性。

接着，我们将详细阐述解决几何最值问题所需采用的方法和思路。

随后，我们将阐明几何最值问题的模型建立过程，包括确定待求量和已知条件、构造几何图形并标明符号、建立数学关系式和方程组等步骤。

然后，我们将通过实例解析展示如何求解特定的几何最值问题，并给出具体操作步骤。

最后，在结论与拓展思考部分，我们会对几何最值问题研究进行总结，并提出存在的问题和不足之处，同时探讨继续探索几何最值问题的方向和方法。

1.3 目的本文的目的是系统地介绍初中数学中几何最值问题的模型及其解决方法，并通过实例解析加深读者对该类问题的理解。

通过阅读本文，读者将能够了解到几何最值问题在数学中的重要性、学习建立几何最值模型的步骤以及如何运用所学知识求解特定问题。

此外，本文还将提供对几何最值问题研究更深入思考和拓展的启发。

2. 几何最值问题的基本概念:2.1 最值问题的定义和分类在数学中，最值问题是指寻找某个函数或模型在一定条件下取得最大值或最小值的问题。

几何最值问题则是特指涉及几何图形、空间形体以及它们属性的最值问题。

几何最值问题可以分为以下两类：一类是求解某个几何对象在给定条件下的最大或者最小性质。

比如，我们可能会面临寻找矩形面积最大化、寻找三角形周长最小化等问题。

另一类是求解一个几何对象对于某个性质达到极限条件时所满足的相关位置关系。

例如，要找出使得与给定线段相切的圆面积最大化时圆心所在的位置。

几何最值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素 在给定条件变动时，求某几何量（如线段的 长度、图形的周长或面积以及它们的和与差） 的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去 河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎样的路 线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
(2) 在解决不同类型的几何最值问题时你能体会其中蕴含 哪些数学思想方法？
线段和最小问题
基本模型一：单动点问题
基本模型二：双动点问题
一次轴对称+两点间线段最短 两次轴对称+两点间线段最短
A' C
P
A'
AP+PB最小
D B' AC+CD+DB最小
线段和最小问题
基本模型三：双动点问题 平移+两点间线段最短
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走，
路程最短.
P
A'
模型应用——单动点问题
例1.（2016•南通）平面直角坐标系xoy中，已知A（－1，0）、 B（3，0）、C（0，－1）三点，D（1，m）是一个动点， 当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为______.
3
当堂反馈：
3. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 8，点M在⊙O上，∠MAB =
20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN =1，
则△PMN周长的最小值为（ B ）.
A. 4
B. 5
C. 6

浅谈初中数学中线段和的最值问题摘要：初中数学教学过程中，注重模式教学有助于提高教学效率。

在建模过程当中，要循序渐进，逐步渗透，通过模型思想进行数学思维的培养。

胡不归与阿氏圆之间的联系和区别，联系是都是形如PA+KPB，两个定点一个动点。

这是两者之间的联系。

最大的不同点是阿氏圆动点轨迹是一个圆，胡不归问题是动点轨迹为一条直线。

关键词：将军饮马胡不归与阿氏圆最值一、将军饮马著名的“将军饮马”问题大家都遇到过。

下面我们再来重新回顾一下这个著名的“将军饮马”问题。

传说古罗马亚历山大城有一位精通数学和物理的学者。

一天，以为罗马将军专程去拜访他，向这位学者请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军机营帐开会，应该如何安排行程才能使路程最短？关于这道题，我们根据题意可以确定，军营和军机营帐是两个确定的定点，这里在河边的什么位置选择饮马这是一个不确定的动点，也就是说确定一个点，使得三点的连线距离最短也就是两个线段的相加和最短。

我们画个简图来大致感受一下。

根据图中的信息，可以简化成这样一幅图。

做B点关于河岸对称点F，从图中我们看出在河流上任意取一点M,B点到其距离都等于M点到其的距离。

因此，我们连接AF，交河流于D点，那么AB与其组成的距离可以表示为AD+DB=AD+DF,我们分别在D点的左右两边任取两点CE,其这两点组成的AB距离分别都大于D点。

所以D点为两个定点围绕动点变化的最短距离之点。

总结：将军饮马问题实际就是线段之和最短的问题。

可以做其中一个定点关于直线的对称点，然后让另外的一个定点进行连接对称点，与直线的交点就是动点所在的位置。

将军饮马是一个求线段最值问题最基础的一个模型。

它的主要核心思想是“化折为直”，将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上,从而利用“两点之间，线段最短”这样一个基本事实解决问题。

而在这个思想指导下，我们采取的主要方法是通过做点关于动点轨迹的轴对称去转化线段。

几何模型----之”线段和”的最小值求法姓名_____求线段和的最小值有代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法；也有几何模型：“将军饮马”模型；“胡不归模型”; “阿氏圆”;费马点等理论基础：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。

一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L，先取A（或B）关于直线L的对称点A′（或B′），连接A′B （或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。

1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=302．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（）A．6 B．8 C．10 D．123、如图，在矩形ABCD中，5AB=，3AD=.动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形.则点P到A，B两点距离之和PA PB+的最小值为（）A′P′河岸A 29B 342414、如图8，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且OA =15，OC =9，在边AB 上选取一点D ，将△AOD 沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E .（1）求DE 所在直线的解析式；（2）设点P 在x 轴上，以点O 、E 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P 有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使四边形MNED 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.xy MNEB DC O图8Axy M NEB DC O(备用图)A4、如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ． （1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式； （2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．5、如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA=2，过点A 作直线MN AB ⊥交抛物线于M ，N 两点， （1）求直线AB 的解析式；（2）连接BM ，BN ，P 为抛物线BN 段上的一动点，是否存在这一点，使得四边形MBPN 的面积最大，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A 、N 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出点QABC Oy=kx+b y ＝－ x 2+2 x +1 · P ( x ， y )的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段A 1B 1，求MA 1+MB 1取最小值时实数t 的值。