北师大版七年级数学下册1.6 完全平方公式公开课教学课件共16张PPT含音乐

间 二： 接
求
总面积= a2 +ab+ab+b2
（a+b)2 = a2 + ab + ab + b2
= a2 +2ab + b2
新知 & 探究
完全平方公式
（a+b)2=a2+2ab+b2 （a- b)2=a2- 2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于 这两个数平方的和，加上（或者减 去）它们的积的2倍。
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
b
ab
b2
a
a2
ab
a
b
(a+b)2 =a2+2ab+b2
b
a (a-b)2
b a
(a-b)2=a2-2ab+b2
完全平方公式
（a+b)2=a2+2ab+b2 （a- b)2=a2- 2ab+b2
口诀：首平方，尾平 方，首尾二倍放中央，符 号跟前走。
计算: （x+2y)2 = x2+2 • x • 2y +(2y)2 = x2+4xy+4y2
创设 & 情境
（m+3)2 = （m+3) （m+3) = m2+3m+3m+32 = m2 +2×3m+9 = m2 +6m+9

ZYT
巩固练习
计算： （1）（2x+y﹣2）（2x+y+2）； （2）（x+7）2﹣（x﹣2）（x﹣4）. 解：（1）原式=（2x+y）2﹣4
=4x2+4xy+y2﹣4； （2）原式=x2+14x+49﹣x2+6x﹣8
=20x+41．
ZYT
典例精析
例3 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; 解: (1)原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解：当a+b=5，ab=2时， a2+b2=（a+b）2﹣2ab
=52﹣2×2 =21， （a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab
=52﹣4×2 =17．
ZYT
课堂检测
基础巩固题
5.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.
解：因为x+y=4, 所以(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①; 因为x2+y2=8②; 由①－②得2xy=8，
3.弄清完全平方公式和平方差 公式不同（从公式结构特点 及结果两方面）
常用
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
结论
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
ZYT
ZYT
所以
a＋1 a
2＝9，即
a2＋2＋a12＝9.
所以 a2＋a12＝9－2＝7.
所以
a－1 a
2＝a2－2＋a12＝7－2＝5.
ZYT
课堂小结
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2

=16m2+8mn+n2
22
y2 y 1 4
变式一：a2+b2＝(a+b)2 - 2ab .
已知:a+b=5，ab=6，则
a2+b2的值1是3 .
变式二：a2+b2＝(a-b)2+ 2ab . 已知：a-b=5，ab=6，
则a2+b2的值是37 .
小结： 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
1.6 完全平方公式
计算：
（m+2）2
探究
两数和的平方
（a＋b）2= ？
（a+b）2 = （a+b）（a+b） =a2+ab+ba+b2 =a2+2ab+b2
归纳
（a+b）2＝ a2 +2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平 方和，加上这两数积的2倍.
两数差的平方
（a－b）2=？
探究
（a－b）2 =[a＋（－b）]2 =a2＋2a（－b）＋（－b）2 =a2－2ab＋b2
完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
2.公式中的字母，既可表示一个数，也可表示
一个代数式.因此对于较复杂的代数式，常用 化繁为简（换元）的方法，转化成符合公式
情势的式子后应用公式计算； 3.在混合运算中，要注意运算顺序和符号；并
视察哪些式子可直接用公式计算？哪些式子 变形后可用公式计算？哪些式子只能用多项
例2.填空.
⑴（ x + 3）2=（x ）2+2·x·3+（3 ）2 ⑵ （3x - 2y）2=（3x）2-2（3x）（2y）+（2y）2

理由：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2=a2-b2不一定相等. 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
知识讲解
判一判：在下列多项式的乘法中，能用完全平方公式计
=4x2 －12x +9；
(2)(4x+5y)2=(4x)2+2 • 4x•5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2;
(3)(mn-a)2 = (mn)2-2mna+a2 =m2n2-2amn+a2
知识讲解
思考? (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
想一想：这些计算结果有什么规律和特点？
新课导入
根据你发现的规律，计算下列式子： （a+b)2= a2+2ab+b2 ；（a-b)2= a2-2ab+b2 . 证明：
知识讲解
一、完全平方公式:
（a+b)2= a2+2ab+b2 ， （a-b)2= a2-2ab+b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫 做（乘法的）完全平方公式.
第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结 构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点)
复习旧知

3.计算：(1)(－m－n)2.(2)(－5a－2)(5a＋2). 【解析】(1)(－m－n)2＝(－m)2＋2(－m)(－n)＋(－ n)2＝m2＋2mn＋n2. (2)(－5a－2)(5a＋2)＝－(5a＋2)(5a＋2) ＝－(5a＋2)2＝－(25a2＋20a＋4) ＝－25a2－20a－4.
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我们，还在路上……
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【思考】 (a-b)2与(-a习
完全平方公式 【例】(2012·盐城中考)化简：(a-b)2+b(2a+b). 【解题探究】(1)(a-b)2化简后的结果为a2-2ab+b2. (2)b(2a+b)化简后的结果为2ab+b2. 所以原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
课堂小结
学习完全平方公式“三注意” 1.明确结构特征：公式的左边是两数和(或差)的平 方，而右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两 个数的积的2倍. 2.理清字母含义：公式中的字母a，b可以是具体的 数，也可以是单项式、多项式.只要符合公式的结 构特征，就可以利用公式.
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3.避免常见错误：在学习中不少同学经常出现如下 错误： (1)(a+b)2=a2+b2. (2)(a-b)2=a2-b2. (3)(a-b)2=a2-2ab-b2.
巩固训练 1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( ) (A)64 (B)48 (C)32 (D)16 【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是 x，8，所以k=82=64.
2.整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2，则A=_____. 【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=4mn. 答案：4mn

口诀：首(a)平方，尾(b)平方，
2 倍乘积放中央
小试牛刀
1.运用完全平方公式计算:
(1) ( m + 2 )2
(2) ( y - 1 )2.
经典例题
例1 利用完全平方公式进行计算：
(1) (2x−3)2 ；
(2) (4x+5y)2 ;
(3) (mn−a)2
Tips:
1.明确公式里面的首, 尾是什么
a 2ab b
2
2
探究新知
(a+b) 2=a2+2ab+b2
猜想：(a-b)
？
2=
1.先独立思考，再小组合作交流，比一
比那个小组的办法多；
2.汇报展评；
3.其他小组有不同方法进行补充。
探究新知
方法一：乘法推导
2
(a-b)
=（a-b)(a-b)
(a−b)
22
=a ab-ab+b
22
=a 2ab+b .

(2) +





(4) −


−
练习巩固
2. 指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (a−1)2＝a2−2a−1.
3. 利用完全平方公式计算：
(1) (－1－2x)2 ；
(2) (－2x+1)2
2
探究新知
方法三：转化
2
（a-b）
2
=[a+(-b)]
=a2+2a(-b)+（-b）2

(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; 解： (1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
=1002+42－2×100×4 =2002+32++2×200×3
=10000+16－800
=40000+9+1200
=9216；
=41209.
2.运用乘法公式计算： (1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)； (2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)] ＝(x＋1)2－(y－z)2 ＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题
中渗透了整体的思想
(3)(x+5)2 –(x-2)(x-3)
解:(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)= x2+10x +25-(x2-5x+6)
= 15x+19
温馨提示： 1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
例2 已知x－y＝6，xy＝－8，求： (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
平方差公式单项式乘多项式.
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
(2)(a+b+3)(a+b+c);

b
b
a
ab 图1
a
b a 图2
ZYT
探究新知
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
探究新知
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
为另一组”.
ZYT
典例精析
例3 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
=(3a)2－(b－2)2 =9a2-b2+4b-4.
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
ZYT
课堂检测
能力提升题
1.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；

(a - b)2= a2 - 2 ab + b2 =x2-4xy +4y2
3.下面各式的计算是否正确？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (x -y)2 =x2-2xy -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？还有那些困惑？
六、布置作业 课本26页习题1.11
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
(5) (a-b) 2＝a2-ab+b2； 错 （a+b） 2＝a2+2ab＋b2
4.课堂检测： （1） (2x+1)2 （3） (xy-3)2 （5） (-x-1)2
（2） (3x+2y)2 （4） (-x+4y)2 （6） (a+2)2 -a2
b ab b² a
a² (a-b)² ab
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
四、巩固练习
1.填空.
(1)(x + 3)2=（ ）2+2·x·3+（ ）2 (2)(x + 2y)2 = x2 - 2( )( )+ ( )2
(3)(2x - 3y)2=( )2 - (
归纳总结： （a － b）2＝ a2 － 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平 方和，减去这两数积的2倍.

(2) (x－2)(x+2) －(x+1)(x－3) (3) (ab+1)2－ (ab－1)2
(4) (2x－y)2－4(x－y)(x+2y)
课堂小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确
认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可
以是单项式，还可以是多项式，所以要记得 添括号.
=(m+n)2+2(m+n)p+p2
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2 =m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语 言叙述这一公式
联系拓广：
2.已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出 a2+b2的值吗?
(2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？
b2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人， 老人一共给了这些孩子多少块糖？
(a+b)2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果 招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖 ，来两个孩子，老人就给每个孩子两块 糖，来三个，就给每人三块糖，……
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？