新华师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法》第1课时导学案

22.2一元二次方程的解法【学习目标】1. 会用直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程；2. 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法；3. 能感受到方程在生活中的应用的价值。

【重点】灵活选择解方程的方法来解方程；【难点】一元二次方程解法的灵活选择。

【使用说明与学法指导】1.通过静思近几节课一元二次方程的解法，归纳概括出解法方程的特征；2.通过回顾概括A、B层能够掌握一元二次方程的四种解法，A层能解较复杂的一元二次方程，B层能熟练运用四种解法；C层至少要掌握一种解法，特别是公式法。

预习案一、回顾概括1.一元二次方程有哪几种解法？2.每一种解法方程的特点是什么？配方的关键点是什么（口诀）二、我的疑惑探 究 案探究点一： 直接指出下列方程用什么方法解比较合适？（1）27)12(32=+x （2）03422=--x x（3）025122=-x （4）022=-x x（5）()051=-+x x x （6）0652=--x x 合作交流：四种解法中，优先选取顺序是什么：探究点二：用适当的方法解下列方程例1.自主探究：（1）022=-x x （2）012122=-+x x合作交流：小组对所做的题目找出最简便的方法，为什么？达成共识。

【小结】【针对性练习】1.解方程：211232=-x x 0562=++x x【拓展提升】求最值：求二次三项式362++x x 的最小值【课堂小结】说一说四种解法中，优先选取的顺序？如何选择合适的方法？训练案一、选择题1．方程052=-x x 的解是( )A ．5=xB ．01=x ，52=xC ．0=xD ．51=x ，52-=x2．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有一个解为1-，则有( )A ．0=++c b aB ．0=+-c b aC ．1-=++c b aD ．1-=+-c b a3．方程)5(4)5(2-=-x x 最适合的解法是（ ）A ．直接开平方法B ．公式法C ．配方法D ．因式分解法4.用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，解得方程的根为（ ）A ．223+=xB ．3231+=x ，3232-=xC ．223-=xD ．2231+=x ，2232-=x二、填空题5．一元二次方程342=-x x 的一般形式为 ，其二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .6．（1）方程092=-x 的解是 ；（2）方程1)3(2=-x 的解是 .7．（1）++x x 62 =+x ( 2) ； （2）+-x x 692 =( 2). 8.当 时，代数式632-x 的值等于21.三、解答题：9.解方程：0622=--x x 10.解方程：05)1(=-+x x x11.解方程：05.6)1(52=-x 12.解方程：01622=--x x13.国庆将至，某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为用适当的方法解这个方程：。

《一元二次方程的解法》教案教学内容1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．3.因式分解的探究及其方法．教学目标1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．3.会熟练应用公式法解一元二次方程．4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．重难点关键重点：1.讲清配方法的解题步骤．2.求根公式的推导和公式法的应用．3.应用因式分解法解一元二次方程．难点与关键：1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．2.一元二次方程求根公式法的推导．3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．教学过程一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9x-4=±3即x1=7，x2=1(2)x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22(x+2)2=3即x+2x12，x2-2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例：解下列方程：(1)x2＝2 (2)4x2－1＝0分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之.例：解下列方程：(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：(1)移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5(2)移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+(32)2=-1+(32)2(x+32)2=54由此可得x+32=±2，即x1=2-32，x2=-2-32(3)去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得(x+2)2=5x+2x12，x22三、应用拓展用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6分析：因为如果展开(6x+7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=12(6x+7)+12，x+1=16(6x+7)-16，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2(12y+12)(16y-16)=6去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72 y2(y2-1)=72，y4-y2=72(y2-12)2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8(舍) ∴y=±3当y=3时，6x+7=36x=-4x=-2 3当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+b=0(a≠0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．1．当b2-4ab>0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根；2．当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根；3．当b2-4ab<0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根．一般的，式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b2-4ab.一元二次方程的判别式与根的情况有何关系？(1)当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ab>0(2)当方程有两个相等的实数根时，b2-4ab=0(3)当方程没有实数根时，b2-4ab<0你能用公式法解方程2x2-9x=-8吗？解：2x2-9x+8=01.变形：化已知方程为一般形式；∵a=2，b=-9，b=82.确定系数：用a，b写出各项系数；△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>03.计算：b2-4ab的值；4．代入：把有关数值代入公式计算；().417922179242±=⨯±--=-±-=∴a ac b b x .4179;417921-=+=∴x x 5．定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出△=b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例：解下列方程(1)02)2(=-+-x x x (2)432412522+-=--x x x x 解：(1)把方程02)2(=-+-x x x 因式分解得 0)1)(2(=+-x x →02=-x 或01=+x∴1,221-==x x(2)432412522+-=--x x x x 移项，合并同类项，得0142=-x →01422=-x因式分解，得0)12)(12(=-+x x于是得012=+x 或012=-x ∴21,2121=-=x x 归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0．配方法，公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程．四、归纳小结本节课应掌握：配方法、公式法、因式分解法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．。

九年级数学上册第22章《一元二次方程》（第1课时）一元二次方程导学案新华东师大版一、学习目标1.会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想。

2.理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、学习重点重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

三、自主预习小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？列出的方程是练习：根据题意列出方程：1.一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2.一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3.一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？四、合作探究探究1.判断下列方程是否为一元二次方程。

小结：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。

探究2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）（2）小结：一元二次方程的一般形式：,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

五、巩固反馈1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2（2）7x－3=2x2（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－42.要使是一元二次方程，则k=_______。

3.关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。

4.已知关于x的方程，问：（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k 为何值时，方程为一元一次方程？。

22.2 一元二次方程的解法第一课时 直接开平方法和因式分解法（1）【学习目标】会用开平方法、因式分解法解形如x 2=p 的一元二次方程. 能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍.【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程【知识回顾】1、求出或表示出下列各数的平方根.（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5）169（6）121解：2、求出下列各式中的x.（1）x 2=49 (2) 9 x 2 =16 (3) x 2=6 (4) x 2=－9【自主学习】自学课本20---22页思考下列问题：1、教材“试一试”中由x 2=4得x=±2依据是什么？2、“试一试”中所列的方程是一元二次方程吗？有几个解？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下“试一试”中解方程的过程.4、什么是直接开平方法？什么是因式分解法？【例题学习】1、解下列方程：（1）2x 2-8=0 (2)9x 2-5x=0（3） 501442=-x (4)x(x+1)-5x=0【巩固训练】（1）x 2=169 （2）45- x 2=0 （3）12 y 2-25=0(3) x 2-2x=0 (4)(t-2)(t+1)=0【归纳小结】幸福绝大多数是朴素的“尊重、自主、高效” 华师九上23章一元二次方程【板书设计】标题直接开方法 例1 习题因式分解法 例2【堂清】1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c .2、解下列方程：（1）36x 2-1=0 (2) 4x 2=81解： 解：【作业】1、解下列方程 （1）0.01y 412= （2）053x 0.22=-（3）(x+3)(x －3)=9 （4）(1－2)x 2=(1+2)x2、方程53x 0.22-=0的解是 .3、下面解方程的过程中，正确的是 （ ）A.x 2=2 解：2=x .B.2y 2=16 解：2y=±4，∴y 1=2，y 2=－2.C.2(x －1)2=8 解：(x －1)2=4， x －1=±4，x －1=±2.∴x 1=3，x 2=－1.D.x 2=－3 解：31-=x ，x 2=3--. 4、解下列方程（1）x 2=5； （2）3y 2=6； （3）2x 2－8=0；（4）－3x 2=0 （5） (x －1)(x+1)=1 （6）2x 2+4x=0.5、方程x 2=x 2的根是 .6、解下列方程（1）3y 2－6y=0； （2）25x 2－16=0；。

解：依题意有(m＋1)＋(2m－4)＝0，∴m＝1，∴x1＝m＋1＝2，x2＝2m－4＝ －2，∴ba ＝x2＝4
17．(湘潭中考)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到 左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋ a)(x＋b) 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3) (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
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22．2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
知识点❶：用直接开平方法解一元二次方程
1．(徐州中考)方程 x2－4＝0 的解是_±_2__．
2．下列方程能用直接开平方法求解的是( B )
A．2x2－x＋1＝5
B．x2－41 ＝3
C．x2－x＋1＝4 D．x2－3x＝5
3．用直接开平方法解下列方程： (1)(教材 P21 例题 1 变式)2x2－32＝0；
解：x1＝4，x2＝－4
(2)(教材 P23 例题 3 变式)(2020·扬州)(x＋1)2＝9；
解：x1＝2，x2＝－4
(3)16y2－40y＋25＝72.
解：y1＝－21 ，y2＝3
知识点❷：用因式分解法解一元二次方程 4．(2020·镇江)一元二次方程 x2－2x＝0 的两根分别为_x_1_＝__0_，__x_2_＝__2__．
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0， 则 x2＋y2 的值为( B ) A．－1 B．2 C．2 或－1 D．－2 或－1
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a 有一个解相同，

22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。

难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。

导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。

∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。

巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

课题 一元二次方程【学习目标】1．了解一元二次方程的概念；2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项；3．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根． 【学习重点】一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念． 【学习难点】通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型．情景导入 生成问题要设计一座2m 高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部BC(肚脐以上)与下部AC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB 的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度．该问题可转化为下面的数学模型：如图，C 为AB 上一点，AB ＝2，AC 、AB 、BC 间存在等量关系AC AB＝CBAC，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．如果假设AC ＝x ，那么BC ＝2－x ，根据题意，得：x 2＝2(2－x)．整理得：x 2＋2x －4＝0．自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的概念 阅读教材P 18～P 19的内容．归纳：观察问题1、问题2的两个方程：x 2＋10x －900＝0，5x 2＋10x －2.2＝0，都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程是一元二次方程．范例：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为( D )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2－2＝(x ＋3)2C ．x 2＋5x －3＝0 D ．x 2－1＝0仿例：(m 2－m －2)x 2＋mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( C ) A ．m ≠－1 B ．m ≠2 C ．m ≠－1且m ≠2 D ．一切实数 知识模块二 一元二次方程的一般形式归纳：一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是已知数，a ≠0)，其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数，一次项系数和常数项．范例：1.将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2．x ＝2是方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的根吗？为什么？解：1.方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的一般形式是3x 2－8x －10＝0，二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.2．把x ＝2代入方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的左右两边，得到左边≠右边，所以不是原方程的根． 仿例：已知m 是方程x 2－x －3＝0的一个实数根，求代数式(m 2－m)(m －3m ＋1)的值．解：∵m 是方程x 2－x －3＝0的根．∴m 2－m －3＝0，m ≠0， ∴m －3m＝1，m 2－m ＝3.∴原式＝3×(1＋1)＝6交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的概念 知识模块二 一元二次方程的一般形式仿例：(方法二)解：∵m 是方程x 2－x －3＝0的根，∴m 2－m －3＝0，∴m 2－m ＝3，m 2－3＝m.∴原式＝m 3－3m ＋m 2－m 2＋3－m ＝m(m 2－3)＋3－m ＝m 2－m ＋3＝3＋3＝6检测反馈 达成目标1．下列关于x 的方程，一元二次方程的个数是( A )①3x 2＋7＝0，②ax 2＋bx ＋c ＝0，③(x ＋2)(x －5)＝x 2－1，④3x 2－5x ＝0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于x 的方程ax 2＋3x －2＝2x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是__a ≠2__． 3．关于x 的方程(m ＋1)x |m －1|＋4x ＋1＝0是一元二次方程，则m ＝__3__．4．将方程(8－x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项． 解：2x 2－21x ＋22＝0，二次项系数：2；一次项系数：－21；常数项：22 5．已知关于x 的方程(a ＋6)x |a|－4＋(a －6)x －3＝0，问：(1)a 为何值时，它是一元二次方程？ (2)a 为何值时，它是一元一次方程？ 解：(1)a ＝6；(2)a ＝±5或a ＝－6课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

22.2一元二次方程的解法第1课时教课目标1．学会依据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转变成两个一元一次方程．23．体验类比、转变、降次的数学思想方法，加强学习数学的兴趣．教课重难点【教课要点】依据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转变成两个一元一次方程.【教课难点】运用开平方法解形如( x＋m) 2＝n的方程 .课前准备无教课过程一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，依据正方形的面积可列出如何的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作研究研究点：直接开平方法【种类一】用直接开平方法解一元二次方程例 1：运用开平方法解以下方程：(1)4 x2＝ 9；(2)( x＋ 3) 2－2＝ 0.分析： (1) 先把方程化为x2＝a( a≥ 0) 的形式； (2) 原方程可变形为 ( x＋ 3) 2＝ 2，则x＋3 是 2 的平方根，从而可以运用开平方法求解．229333，两边直接开平方，得 x＝±2，∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.解：(1) 由 4x＝ 9，得x＝4(2) 移项，得 ( x＋ 3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝± 2. ∴x＋ 3＝ 2或x＋ 3＝－ 2.∴原方程的解是 x1＝2－ 3，x2＝－ 2－3.方法总结：由上边的解法可以看出，一元二次方程是经过降次，把一元二次方程转变成一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝ a( a≥0)的方程，依据平方根的定义，可解得x1＝a， x2＝－a.【种类二】直接开平方法的应用例 2：若一元二次方程ax 2＝ ( >0) 的两个根分别是＋1与2 － 4，则 b＝ ________.b abm ma2b分析：∵ ax ＝ b ，∴ x ＝± a ，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋ 1＋ 2m － 4＝ 0，解得 m＝1，∴一元二次方程ax 2＝b ( ab ＞ 0) 的两个根分别是 2 与－ 2，∴b＝ 2，∴ b ＝ 4，故答a a案为 4.【种类三】直接开平方法与方程的解的综合应用例 3：若一元二次方程分析：∵一元二次方程( a ＋ 2) x 2－ax ＋ a 2－ 4＝ 0 的一个根为 ( a ＋2) x 2－ ax ＋ a 2－ 4＝ 0 的一个根为0，则 a ＝ ________．20，∴ a ＋ 2≠ 0 且 a － 4＝ 0，∴ a＝2. 故答案为 2.【种类四】直接开平方法的实质应用例 4：有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm ，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，而后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为 x cm ，依据题意得 x 2＝ 112＋13× 8，即 x 2＝ 225，解得 x ＝± 15. 由于边长为正， 因此 x ＝－ 15 不合题意，舍去，因此只取 x ＝ 15. 答：新正方形的边长应为 15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实质问题时，除了依据题意解题外，有时还要结合实质，把平方根中不吻合实质状况的负值舍去．三、板书设计四、教课反思教课过程中， 重申利用开平方法解一元二次方程的实质是求一个数的平方根的过程． 同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。

22.2 一元二次方程的解法第一课时 直接开平方法和因式分解法（1）教学目标知识技能目标1.认识形如 x 2＝a (a ≥0)类型的方程，并会用直接开平方法或因式分解法求解；2.培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力；过程性目标1.使学生体会运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；2.在学生自主实践中感悟一元二次方程解法的多样性，从而初步认识一些特殊一元二次方程的求解思路．情感态度目标通过两边同时开平方或运用因式分解的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程，渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化的思想，这是研究数学问题常用的方法．重点和难点重点：掌握运用直接开平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；难点：怎样的一元二次方程用直接开平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情况．教学过程一、创设情境问题 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．(1)x 2＝4； (2)x 2-1＝0．二、探究归纳概括 (1)x 2＝4，一个数 x 的平方等于 4，这个数 x 叫做 4 的平方根（或二次方根）；根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数 x 为±2，所以 x ＝±2．我们知道，求一个数平方根的运算叫做开平方．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．(2)x 2-1＝0，如果把它化为 x 2＝1，由直接开平方法，得 x ＝±1．对于 x 2-1＝0，将左边运用平方差公式因式分解后再解这个方程，(x ＋1)(x －1)＝0，必有 x＋1＝0 或 x －1＝0，从而得，x 1＝-1，x 2＝1．这种通过因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用 x 1、x 2 来表示未知数为 x 的一元二次方程的两个实数解．思考 (1)能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程有什么特征？(2)x 2＝4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？4能够运用直接开平方法来求解的一元二次方程形如 x 2＝a (a ≥0)；用因式分解法来解时，首先应将它化成一般形式．三、实践应用例 1 试用两种方法解方程：x 2-900＝0．学生分组分别用直接开平方法和因式分解法解这个方程．并指出 x ＝±30，或 x 1＝30，x 2＝-30 都可以作为方程的解．例 2 解方程：(1)x 2-2＝0；(2)16x 2-25＝0．分析 对于缺少一次项的一元二次方程 ax 2+c ＝0(a ≠0)，用直接开平方法来解比较简便．解 (1)移项，得 x 2＝2，直接开平方，得 x ＝ ± 所以原方程的解是 x 1 =(2)移项，得 16x 2＝25，2 .2，x = - 2． 2方程的两边都除以 16，得 x 2 = 25 16， 直接开平方，得 x = ± 5 4， 原方程的解是 x = - 5 ，x = 1 2 5 4．思考 本题若用因式分解法求解，应如何解？例 3 解方程(1)3x 2＋2x ＝0；(2)x 2＝3x ．分析 将方程化成一般形式后，可把左边因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和运用公式法.解 (1)方程左边分解因式，得 x (3 x ＋2)＝0，所以 x ＝0，或 3 x ＋2＝0．原方程的解是 x = 0, x = - 1 2 2 3.(2)原方程化为 x 2－3x ＝0方程左边分解因式，得 x (x －3)＝0，所以 x ＝0，或 x －3＝0原方程的解是 x 1＝0，x 2＝3.注意 运用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)方程化为一般形式；(2)方程左边因式分解；(3)至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．例 4 解方程 3(x －2)－x (x －2)＝0．分析 这个方程的左边能否因式分解？有没有必要去掉括号化成一般形式？解 原方程可变形为(x －2)(3－x )＝0．所以 x －2＝0 或 3－x ＝0．原方程的解是 x 1＝2，x 2＝3．四、交流反思1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如 ax 2＝c （a 、c 为常数，a ≠0，c ≥0）．2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．如方程 x 2＝－3，就没有实数解；x 2＝0，有两个相等的实数解是 x 1＝x 2＝0．4.运用因式分解法解一元二次方程，一般要把方程化成一般形式，再运用提公因式法或公式法进行分解因式，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解；但有时不一定要化成一般形式（如例 4）．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．五、检测反馈1.解下列方程：(1)x 2＝169；(2)45－x 2＝0；(3)12y 2－25＝0； (4) x 2－2x ＝0；(5)(t －2)(t ＋1)＝0；(6)(x ＋1)2－5 x ＝0．2.小明在解方程 x 2＝3x 时，将方程两边同除以 x ，得 x ＝3，这样做法对吗？为什么？3.用适当的方法解下列方程：(1) 1 x 2 - 8 = 0 ； (2) 3x 2 = 4x ； 2(3)x (x -1)+3(x -1)＝0；(4)(3x -1)2-x 2＝0．六、布置作业习题 22．2 的第 1 题.22.2 一元二次方程的解法第一课时 直接开平方法和因式分解法（1）【学习目标】会用开平方法、因式分解法解形如 x 2=p 的一元二次方程。

【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b〔a≠0,ab≥0〕的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进展教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教〞与“学〞的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：〔x+1〕2-256=0，方程左边分解因式，得〔x+1+16〕〔x+1-16〕=0即〔x+17〕〔x-15〕=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解以下方程〔1〕〔3x+1〕2=7;〔2〕y2+2y+1=24;〔3〕9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解以下方程：〔1〕5x2-4x=0〔2〕3x〔2x+1〕=4x+2〔3〕〔x+5〕2=3x+15【教学说明】解这里的〔2〕〔3〕题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解〔1〕3〔x-1〕2-6=0〔2〕x2-4x+4=5〔3〕〔x+5〕2=25〔4〕x2+2x+1=42.用因式分解法解以下方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.那么可列方程2πx2=π〔x+5〕2.解得x1=5+52,x2=5-52〔舍去〕.答：小圆形场地的半径为〔5+52〕m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a〔x-k〕2=b〔a≠0,b≥0〕的方程，只要把〔x-k〕看作一个整体，就可转化为x2=n〔n≥0〕的形式用直接开平方法解.3.当方程出现一样因式〔单项式或多项式〕时，切不可约去一样因式，而应用因式分解法解.五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握根本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2. 配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.“转化〞的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，那么长为〔x+6〕m，根据矩形面积为16m2,得到方程x〔x+6〕=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即〔x+m〕2=n〔n≥0〕，运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解以下方程吗？〔1〕〔x+3〕2=25〔2〕x2+6x+9=25〔3〕x 2+6x=16〔4〕x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为〔x+3〕2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16， 两边都加上9即〔26〕2,使左边配成x 2+bx+〔b2〕2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：〔x+3〕2=25,开平方,得：x+3=±5,〔降次〕即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：〔1〕x 2+8x+16=〔x+4〕2 〔2〕x 2-x+41=〔x-21〕2 〔3〕4x 2+4x+1=〔2x+1〕2例2 列方程：〔1〕x 2+6x+5=0 〔2〕2x 2+6x+2=0 〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：〔1〕把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；〔2〕把常数项移到方程的右边；〔3〕方程两边同时除以二次项系数a ；〔4〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方；〔5〕此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解以下方程：〔1〕2x 2-4x-8=0〔2〕x 2-4x+2=0〔3〕x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求〔xy 〕z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的考前须知.五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：〔1〕x2+3x+2=0 〔2〕2x2-3x+5=0解：〔1〕x1=-1,x2=-2 〔2〕无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 ax2+bx+c=0〔a≠0〕，试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系数a,b,c而定，因此:〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.〔2〕aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的求根公式. 〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解以下方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x2 ③〔x-2〕〔3x-5〕=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】〔1〕对②、③要先化成一般形式；〔2〕强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；〔3〕先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解以下方程：〔1〕x 2+x-12=0〔2〕x 2-2x-41=0 〔3〕x 2+4x+8=2x+11〔4〕x 〔x-4〕=2-8x〔5〕x 2+2x=0〔6〕x 2+25x+10=0 解：〔1〕x 1=3,x 2=-4;〔2〕x 1=232+,x 2=232-； 〔3〕x 1=1,x 2=-3;〔4〕x 1=-2+6，x 2=-2-6；〔5〕x1=0,x2=-2;〔6〕无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.五、教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比拟观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进展有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解以下一元二次方程〔1〕x2+5x+6=0〔2〕9x2-6x+1=0〔3〕x2-2x+3=0解：〔1〕x1=-2,x2=-31〔2〕x1=x2=3〔3〕无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回忆已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示，即Δ=b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-ab2; 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定以下方程的根的情况：解：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根；〔4〕有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程〔m+1〕x2-〔2m-3〕x+m+1=0, 〔1〕有两个不相等的实数根？〔2〕有两个相等的实数根？〔3〕没有实数根？解：〔1〕m＜41且m≠-1;〔2〕m=41;〔3〕m＞41.【教学说明】注意〔1〕中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解2-4x+4=0的根的情况是〔〕2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4〔1-m〕＜0,∴2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结〔1〕Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；〔2〕Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.〔3〕Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.五、教学反思本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和开展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的根底上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识问题你发现了什么规律？①用语言表达你发现的规律：〔两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项〕②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.〔x1+x2=-p,x1·x2=q〕问题 上面发现的结论在这里成立吗？〔不成立〕请完善规律：①用语言表达发现的规律：〔两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比〕②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.〔x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac 〕 二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明. ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积：〔1〕x 2-6x-15=0;〔2〕3x 2+7x-9=0;〔3〕5x-1=4x 2.解：〔1〕x1+x2=6,x1·x2=-15; 〔2〕x1+x2=-37,x1·x2=-3； 〔3〕x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例2 方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k=3.【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求以下代数式的值.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积:〔1〕x 2-3x=15〔2〕5x 2-1=4x 2〔3〕x 2-3x+2=10〔4〕4x 2-144=0〔5〕3x 〔x-1〕=2〔x-1〕〔6〕〔2x-1〕2=〔3-x 〕22.两根均为负数的一元二次方程是〔 〕2-12x+5=02-13x-5=02+21x+5=02+15x-8=0 【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1.〔1〕x 1+x 2=3,x 1x 2=-15〔2〕x 1+x 2=0,x 1x 2=-1〔3〕x 1+x 2=3,x 1x 2=-8〔4〕x 1+x 2=0,x 1x 2=-36〔5〕x 1+x 2=35,x 1x 2=32 〔6〕x 1+x 2=-32,x 1x 2=-38【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜测一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。

2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。

2.一元二次方程的解法。

3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。

3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。

2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。

3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。

同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

九年级数学上册新版华东师大版:21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标知识与技能理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．过程与方法提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．情感态度与价值观历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.重、难点1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？BCAQ P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）22p．问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：12x ·2x=8x 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2可以验证，和都是方程12x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 212例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P6练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材P16复习巩固1．2．选用作业设计:。

华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触二次方程。

本节课的内容包括一元二次方程的定义、解法、判别式等，为学生后续学习函数、不等式等数学知识打下基础。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够熟练运用一次方程和不等式解决问题。

但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其本质。

同时，学生对于解方程的技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，学会用代数方法解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。

2.难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法，培养学生的团队合作意识。

3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和掌握。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。

2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学视频：准备一元二次方程的解法教学视频，用于引导学生直观地理解解法过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解一个实际问题：一个二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，已知A点坐标为(1,0)，求B点的坐标。

《一元二次方程》第一课时（说课稿）新蔡县孙召镇初级中学周长伟各位领导、老师大家好：很荣幸参加这次活动，并希望得到您的指导。

我说课的题目是：华师大版教材九年级上册第23章第一节《一元二次方程》。

我要说的内容有以下五点：1、说教材，2、说目标，3、说教学方法；4、说教学程序；5、说评价。

下面分别谈一谈：一、说教材。

1、教材分析：本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察、类比、归纳出一元二次方程的概念，是学习一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。

本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及应用起到铺垫作用。

2、教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。

3、教学难点：通过实例建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念类比、迁移得到一元二次方程的概念。

二、说目标。

1、知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。

2、能力目标：经历抽象一元二次方程的过程，使学生体会出方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型。

3、情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、合作交流的精神；激发学生的学习热情。

三、说教学方法1教法分析本节课主要采用类比发现法为主，以讨论、合作、探索、练习为辅的教学方法。

2．学法指导本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、合作交流、类比归纳，最后抽象所学知识。

3教学手段采用电脑多媒体辅助教学，利用投影展示交流。

四、说教学程序1创设情境导入新课问题(1)：是考查巩固长方形面积计算的一个实际问题；问题(2):是考查黄金分割点的问题；问题(3):是考查增长率的问题。

通过三个实际问题进一步让学生明确列方程解实际问题的思路和方法，把实际问题转化成数学问题，让学生合作交流、归纳总结得出方程:(1)x(x+10)=900 (2)x2=1·(1-x)(3)5(1+x)2=7.2此方程的建立为下环节的教学作好铺垫。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它既是对前面知识的综合运用，又是为高中数学打基础。

本章通过引入一元二次方程，让学生了解并掌握一元二次方程的解法、性质及应用。

教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过自主探究、合作交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，进而解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的理解和应用，还需要加强。

因此，在教学过程中，要充分考虑学生的认知水平，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，并通过合作交流，探讨解决问题的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，了解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极合作的精神。

四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。

2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.运用多媒体教学手段，展示一元二次方程的解法过程，增强学生的直观感受。

3.小组合作交流，让学生在讨论中思考，在交流中学习。

六. 说教学过程1.引入新课：通过展示实际问题，引导学生提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题规律。

3.合作交流：学生进行小组合作交流，分享解题方法，讨论解决问题的策略。

4.课堂讲解：对一元二次方程的解法进行讲解，重点讲解因式分解法和求根公式的运用。

5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，运用一元二次方程解决实际问题。

九年级数学导学稿课题：一元二次方程的直接开方法和因式分解法共 4课时，第 1 课时。

主备人：一、学习目标：1、会用直接开平方法解形如（a ≠0,ab ≥0）的方程；2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。

二、教学过程：（一）1、自己认真看课本第20页到第22页例题、 结合课本提示，独立思考直接开平方法和因式分解法解方程的方法。

2、自主练习 解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；（3）( x-2)2 — x+2 =0 （4）(2x+1)2=(x-1)2（二）自学检测（8分钟）（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x ＋3)2－25＝0. （5）49122=+-x x 。

4、 教师点拨（1分钟）1、用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：b x =2（b ≥0）；b ax =2（a ≠0,a b ≥0）。

解法的根据是平方根的定义。

要特别注意，由于负数没有平方根，所以括号中规定了范围，否则方程无实数解。

2、把一元二次方程化为一般形式后，如方程左边可因式分解，则此一元二次方程可用因式分解法解。

当堂检测一、选择1．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±82．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确3．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b4．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 二、解答题 (用适当方法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)1．2y 2=8．2．.25)1(412=+x3．3x (x －2)=2(x －2)．4．.32x x =*5．x 2－3x －28=0．6．(2x ＋1)2=(x －1)2．。

一元二次方程的解法【学习目标】1.了解什么是一元二次方程根的判别式；2.知道一元二次方程根的判别式的应用。

【学习重点】重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。

【自主预习】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解用公式表示为：，由二次根式的意义可知：①当b2－4ac＞0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等）②当b2－4ac＝0时，方程有个的实数根x1＝x2③当b2－4ac＜0时，方程实数根.小结：这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝0，直接判断它实数根。

练习：不解方程，判断方程根的情况。

（1）x2＋2x－8＝0；（2）3x2＝4x－1；（3）（x＋2）（x－5）＝1；【合作探究】说明：不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。

解：把化为一般形式得则：Δ＝b2－4ac = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＝所以：【展示交流】【归纳总结】【巩固反馈】1.方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根；B 、有两个相等的实数根；C 、有一个实数根；D 、没有实数根.2.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A 、x 2＋1＝0B 、x 2+x-1＝0C 、x 2+2x ＋3＝0D 、4x 2-4x ＋1＝03.若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A 、k ＜41B 、k ＞41C 、k≤41D 、k≥41 4.关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ） A 、k ＜21 B 、k ＞21 C 、k≤21 D 、k≥21 5.ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0，有两个相等的实数根？求出这时方程的根。