人教版数学必修四：2.2.3向量的数乘(1)学案(教师版)

2．2.3 向量的数乘(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．(3)掌握向量共线的条件．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：数乘向量的运算及其几何意义．难点：两向量共线的含义及共线定理．(教师用书独具)●教学建议1．关于数乘向量的概念的教学教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．●教学流程创设问题情境，引入向量数乘的概念，并引导学生探究向量数乘的运算律.⇒引导学生结合向量数乘的定义及共线向量的定义，探究向量共线定理的推导和证明.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数乘基本运算的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握结合向量数乘运算，用已知向量表示未知向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量共线定理解决有关三点共线问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】我们知道a ＋a ＋a ＝3a ，那么a ＋a ＋a 是否等于3a ？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？ 【提示】 a ＋a ＋a ＝3a ，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？【提示】结合律，分配律．(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)【问题导思】若b＝2a，b与a共线吗？【提示】根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.(1)化简23[(4a －3b)＋13b －14(6a －7b)]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b)－(a －23b)＋(2b －a)．【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简． 【自主解答】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b] ＝23(52a －1112b)＝53a －1118b. (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j)＋53(2i －j)＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－53i －5j.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．计算：(1)(－7)×(6a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．【解】(1)(－7)×(6a)＝－42a.(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)＝a＋7c.图2－2－21如图2－2－21，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.【思路探究】 由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE →均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．【自主解答】 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ， 又D ，E 为边AB 的两个三等分点， 所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a)＝a ＋43b.用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．若本例条件不变，如何求BD →？【解】 BD →＝23BA →＝－23(2b －3a)＝2a －43b ，或BD →＝BC →＋CD →＝－2b ＋2a ＋23b ＝2a －43b.已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2e1＋8e2，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k 的值．【思路探究】 对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． 【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e1＋e2，BD →＝BC →＋CD →＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k －λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】 BD →＝CD →－CB →＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.对向量共线定理理解不透致误图2－2－22如图2－2－22所示，在△ABC中，已知D，E 分别为BC ，AC 的中点，若AD →＝m ，BC →＝a ，试用a ，m 表示DE →. 【错解】 由题意知DB →＝12BC →＝12a ，AB →＝AD →＋DB →＝m ＋12a.∵DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴DE →＝12AB →＝12m ＋14a.【错因分析】 DB →与BC →共线，D 为BC 的中点，但DB →与BC →的方向相反，所以DB →＝－12BC →＝－12a.DE→与AB →平行且方向相反，故DE →＝－12AB →.【防范措施】 正确理解向量共线的充要条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa.当b 与a 同向时，λ＞0，b 与a 反向时，λ＜0. 【正解】 ∵D 为BC 的中点，∴DB →＝－12BC →＝－12a ，∴AB →＝AD →＋DB →＝m －12a.又∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE →＝－12AB →＝－12m ＋14a.1．向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa(a≠0)，则a 与b 共线；反之，若a 与b 共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b ＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a ＝b ＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a ，b 不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.1．化简5(3a －2b)－4(2b －3a)的结果为________．【解析】 5(3a －2b)－4(2b －3a)＝15a －10b －8b ＋12a ＝27a －18b. 【答案】 27a －18b2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝________(用向量a ，b 表示)．【解析】 延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形， 则AD →＝12AE →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量； ③存在λ∈R ，b ＝λa；④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0.【解析】 由两个非零向量a ，b 共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是． 【答案】 ④4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线．【证明】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b)＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|； ④|λa|>0.【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa|∈R ，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立． 【答案】 ①②④ 2．(2013·滨海高一检测)将112[2(2a ＋8b)－4(4a －2b)]化简成最简式为________． 【解析】 原式＝16(2a ＋8b)－13(4a －2b)＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a.【答案】 2b －a3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线且AC →与AB →同向，|AC AB |＝57(如图)，∴|BC AC |＝25，又BC →与AC →反向， ∴BC →＝－25AC →.【答案】 －254．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线的交点为O ，则用a ，b 表示OB →为________．【解析】 ∵DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →， ∴OB →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)5．点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，且GA →＋GB →－GC →＝λGD →，则λ＝________. 【解析】 ∵GA →＋GB →－GC →＝GA →＋GB →＋CG →＝2CG →＝4GD →， ∴λ＝4. 【答案】 4图2－2－236．如图2－2－23所示，OA →与OB →分别在由点O 出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．①OA →＋2OB →；②OA →＋12OB →；③OA →－13OB →；④34OA →－15OB →.【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件．【答案】 ①②7．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________． 【解析】 通过观察，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，与a ＋2b 有2倍关系，即2AB →＝BD →.符合向量共线定理，∴A ，B ，D 三点共线．故填A ，B ，D. 【答案】 A ，B ，D8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 法一 如图， MN →＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b)＝14(b －a)． 法二 设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的34分点，则有N 为OC 的中点，MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a)．【答案】 14b －14a二、解答题 9．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线，求实数m 的值． 【解】 由ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线可知， 存在实数λ满足ma －3b ＝λ[a＋(2－m)b]， 即(m －λ)a－[3＋λ(2－m)]b ＝0， 又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，3－λm －2＝0，解得m ＝3或m ＝－1.10．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.【解】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b.∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a.∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d. ②①×2－②，得b ＝23(2c －d)．②×2－①，得a ＝23(2d －c)．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d.11．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论． 【解】 b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc.① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa.②由①－②得，a －c ＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ， 即a ＋b ＋c ＝0. ∴a ＋c ＝－b. 故a ＋c 与b 共线.(教师用书独具)如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 到N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．【思路探究】 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题． 【自主解答】 在△AMC 中，D 为MC 的中点， ∴2AD →＝AM →＋AC →.又∵D 是AB 的中点，∴2AD →＝AB →. ∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →. 同理可证AN →＝AC →－AB →＝BC →.∴AM →＝－AN →.∴AM →，AN →共线且有公共点A.∴A ，M ，N 三点共线．1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．已知任意平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．【证明】 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又 ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.3 向量数乘运算及其几何意义1．理解向量数乘运算的几何意义．2．掌握向量数乘运算的运算律．3．掌握向量共线的条件．基础梳理一、向量的数乘运算1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa．(1)|λa|＝|λ||a|．(2)λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ＝0时λa＝0．2．运算定律．结合律：λ(μa)＝(λμ)a，第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．练习1：a为单位向量，则|3a|＝3，|2a|＝2，|2(3a)|＝6．练习2：(－3)×4a＝－12a．思考应用1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行加法、减法运算呢？解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．二、向量共线 1．向量共线的条件．(1)对于向量a (a ≠0)、b ，若有实数λ，使b ＝λa ，则a 与b 为共线向量． (2)若a 与b 共线(a ≠0)，则有实数λ，使b ＝λa ． 2．向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的条件是 当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ．练习3：M 是线段AB 的中点，对于任意一点O ，都有OM →＝12(OA →＋OB →)．思考应用2．在向量共线定理中，为什么附加上条件a ≠0?解析：当a ＝0时，不论实数λ为何值，都有b ＝0，而当b ≠0，a ＝0时，向量a 与b 共线，此时λ不存在，共线定理不成立．也就是说当a ＝0时，不能表示任意的向量b .自测自评1．若a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2，则a ＝－12b ，b ＝－2a .解析：根据向量共线条件得a ＝－12b ，b ＝－2a .2．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →.3．已知|a |＝3，|b |＝5，b 与a 的方向相反，若a ＝λb ，则λ＝－35．解析：|a |＝35|b |，b 与a 的方向相反，∴a ＝－35b ，∴λ＝－35.4．若C 是线段AB 的中点，则AC →＋BC →为(D ) A.AB → B.BA → C ．0 D ．0解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC →＝CB →.∴AC →＋BC →＝AC →－CB →＝AC →－AC →＝0.故选D .基础提升1．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为(B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a2．(2015·新课标全国高考Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数________．解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12. 答案：123．已知向量是不共线向量e 1，e 2，给出下列各组向量： ①a ＝2e 1，b ＝e 1＋e 2；②a ＝2e 1－e 2，b ＝－e 1＋12e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2. 其中共线的向量组共有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有(C ) A.AD →＝0 B .AB →＝0或AD →＝0C ．ABCD 为矩形 D ．ABCD 为正方形解析：由于AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，由条件得|AC|→＝|DB|→，又ABCD 是平行四边形，∴ABCD 为矩形，故选C .5．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是(C )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：只有⑥错误，应为a ＋(－a )＝0.故选C . 巩固提高6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．答案：CA →7．设两个非零向量a 和b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线． 又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解析：∵ka ＋b 和a ＋kb 共线， ∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )， 则(k －λ)a ＝(λk －1)b .由于a 与b 不共线．只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.8．证明：向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得OC →＝λOA →＋μOB →，反之也成立．证明：∵向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线，∴存在实数t ，使得AC →＝tAB →，即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)，OC →＝(1－t )OA →＋tOB →.令λ＝1－t ，μ＝t .则有OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1. 反之，若OC →＝λOA →＋μOB →，(*) ∵λ＋μ＝1，把λ＝1－μ带入(*)式得OC →＝(1－μ)OA →＋μOB →， OC →－OA →＝μ(OB →－OA →)，即得AC →＝μAB →.∴向量OA →、OB →、OC →终点A 、B 、C 共线．9．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2 OB →＋3 OC →＝0. (1)若D ，E 分别是BC ，CA 的中点，求证：D ，E ，O 共线； (2)求△ABC 与△AOC 的面积之比．(1)证明：如右图，OB →＋OC →＝2 OD →，OA →＋OC →＝2 OE →， ∴OA →＋2 OB →＋3 OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)．∴2OD →＋OE →＝0，∴OD →与OE →共线，即D ，E ，O 共线． (2)解析：由(1)知2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.1．若向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一实数λ，使b ＝λa ；若存在实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，则向量a 与向量b 共线．2．若存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0，则向量a 与b 共线；若向量a 与b 共线，则必存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标：1．掌握向量数乘的定义，理解向量数乘的几何意义；2．掌握向量数乘的运算律；3．理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线的条件判定两向量是否平行．教学重点：理解向量数乘的几何意义．教学重点：向量共线的充要条件及其应用．教学过程情景平台已知非零向量a，把a+a+a记作3a，(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，试作出3a和－3a．a概念导入我们规定这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（1）（2）有上可知：λ=0时，λa=向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.运算律完成以下三个问题（1）已知非零向量a，求作向量2(3a)和6a，并进行比较．a（2）已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并进行比较a（3）已知非零向量a ，b ，求作向量2(a +b )和2a +2b ，并把结果进行比较分析．总结运算律：设μλ,为实数,那么能力平台例1.计算：（1）(-3)×4a（2）3(a +b )-2(a -b )-a（3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c )变式训练1、点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC = AB ,BC = AB . 2、课本练习3、5题a b3、若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .问题引导1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？2、如果a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ,使b =λa . 那么由向量数乘的定义,知a 与b 具有怎样的位置关系?3、已知向量a 与b 共线,a ≠0,且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍,即|b |=μ|a |,那么当a 与b 同方向时,有b = , 当a 与b 反方向时,有b = .有上可知：两个向量共线的等价条件是：能力平台 例2 如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?例 3 如图, ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD 吗?变式训练1、课本练习第4题2、课本练习第6题【小结】1°定义实数与向量的积与a同向，且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0)λa=与a反向，且|λa|=|λ||a|=-λ|a|(λ<0)a=0(λ=0)2°实数与向量积的运算律．3°向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa．作业：习题2.2 A组第9、10题课下练习：习题2.2 A组第11、12、13题课下思考：习题2.2 B组第1、2、3、4、5题活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义Q 情景引入ing jing yin ru夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．那么向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？X 新知导学in zhi dao xue 1．向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的数乘，记作λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向__相同__ λ＝0λa＝__0__λ<0λa的方向与a的方向__相反__λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．[知识点拨](1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．(2)对于非零向量a，当λ＝1|a|时，λa表示a方向上的单位向量．(3)注意向量数乘的特殊情况：①若λ＝0，则λa＝0；②若a＝0，则λa＝0.应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0. 3．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ、μ为实数，则 (1)λ(μa )＝__(λμ)a __； (2)(λ＋μ)a ＝__λa ＋μa __； (3)λ(a ＋b )＝__λa ＋λb __(分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝__－(λa )__＝__λ(－a )__，λ(a －b )＝__λa －λb __. 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__b ＝λa __. [知识点拨]关于共线向量定理的说明：(1)定理中，向量a 为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况．(2)条件a ≠0是必须的．否则当a ＝0，b ≠0时，虽然b 与a 共线，但不存在实数λ，使得b ＝λa ；当a ＝0，b ＝0时，λ可以是任意实数．(3)要证明向量a ，b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa 即可． (4)若b ＝λa (λ∈R )，则a 与b 共线．(5)由本性质定理知，若向量AB →＝λAC →，则AB →，AC →共线．又AB →，AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．5．向量的线性运算向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__λμ1a ±λμ2b __.Y 预习自测u xi zi ce1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)对于任意向量a 和任意实数λ，λa 与a 一定是共线向量．( √ ) (2)向量λa 与a 的方向不是相同就是相反．( × ) (3)若向量a 和b 共线，则必有b ＝λa .( × )(4)若向量a 和b 不共线，且λa ＝μb ，则必有λ＝μ＝0.( √ ) (5)若向量AB →，CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线．( × ) 2．已知非零向量a 、b 满足a ＝4b ，则( C )A ．|a |＝|b |B ．4|a |＝|b |C ．a 与b 的方向相同D ．a 与b 的方向相反[解析] ∵a ＝4b,4>0，∴|a |＝4|b |. ∵4b 与b 的方向相同， ∴a 与b 的方向相同．3．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简式为( B )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112[(4－16)a ＋(16＋8)b ]＝112(－12a ＋24b )＝2b －a4．在□ABCD 中，AB →＝2a ，AD →＝3b ，则AC →等于( C ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2a ＋3bD ．2a －3b [解析] AC →＝AB →＋AD →＝2a ＋3b .H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量的线性运算典例1 计算：(1)4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； (2)(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； (3)23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]． [思路分析] 运用向量数乘的运算律求解． [解析] (1)原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b. (2)原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c.(3)原式＝23(4a －3b ＋13b －32a ＋74b )＝23(52a －1112b )＝53a －1118b.『规律总结』 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．〔跟踪练习1〕计算：(1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )； (2)(m ＋n )(a －b )－(m －n )(a ＋b )．[解析] (1)25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0. (2)原式＝m (a －b )＋n (a －b )－m (a ＋b )＋n (a ＋b ) ＝(m ＋n －m ＋n )a ＋(－m －n －m ＋n )b ＝2n a －2m b . 命题方向2 ⇨共线向量定理及其应用典例2 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．[思路分析] (1)欲证三点A 、B 、D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →，只要由已知条件找出λ即可．(2)由两向量共线，列出关于a 、b 的等式，再由a 与b 不共线知，若λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.[解析] 证明：(1)∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b ) 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ，∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.『规律总结』 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．〔跟踪练习2〕已知向量AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)求证：CA →＝xCB →＋yCD →(其中x ＋y ＝1)．[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ， AB →＝a ＋5b ，∴AB →＝BD →，∴AB ∥BD ，又AB →、BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)∵CA →＝CB →＋BA →＝－BC →－AB → ＝2a －8b －a －5b ＝a －13b ， xCB →＋yCD →＝x (2a －8b )＋3y (a －b ) ＝(2x ＋3y )a ＋(－8x －3y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝1－8x －3y ＝－13，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1∴CA →＝xCB →＋yCD →，其中x ＋y ＝1.命题方向3 ⇨用向量的线性运算表示未知向量典例3 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.[思路分析] 用a ，b 表示BM →→表示OM →，ON →→MN →＝ON →－OM →[解析] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， ∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23a ＋23b ， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b＝12a －16b . 『规律总结』 解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．〔跟踪练习3〕如图所示，已知在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AE →，DE →，AM →，AN →.[解析] ∵DE →∥BC →，AD →＝23AB →＝23a ，∴AE →＝23AC →＝23b ，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE →＝23BC →＝23(b －a )．∵△ADN ∽△ABM ，且AD →＝23AB →，∴AN →＝23AM →.又∵AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝a ＋b 2，∴AN →＝13(a ＋b )．命题方向4 ⇨三角形内心在向量形式下的判断典例4 O 为平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个动点，动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞ )，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[思路分析] 题目向量式中有OP →，OA →两共起点的向量，于是可利用移项得：OP →－OA →＝AP →，从而将向量式中的点O 去掉，转化为以A 为起点的两向量相等．[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，则AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)．而AB →|AB →|是与AB →同向的单位向量，AC →|AC →|是与AC →同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB 1P 1C 1，易得平行四边形AB 1P 1C 1是菱形，对角线AP 1平分∠B 1AC 1，且AB 1→＝AB →|AB →|，AC 1→＝AC →|AC →|，所以AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝AB 1→＋AC 1→＝AP 1→，则AP →＝λAP 1→. 由λ∈[0，＋∞)，可知点P 在∠BAC 的平分线上，即动点P 的轨迹经过△ABC 的内心． 『规律总结』 (1)三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等．(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．若M 是△ABC 内一点，满足|MA →＝|MB →|＝|MC →|，则点M 为△ABC 的外心．(3)三角形的垂心：三角形三条高线的交点．(4)三角形的重心：三角形三条中线的交点．若G 是△ABC 内一点，且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，则G 是△ABC 的重心．〔跟踪练习4〕若题设中的条件“OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．”改为“OP→＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)．”则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )A ．外心B ．重心C ．垂心D ．内心[解析] 由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，得AP →＝λ(AB →＋AC →)，则AP →与△ABC 中边BC 的中线共线，又由λ∈[0，＋∞)，知点P 的轨迹通过△ABC 的重心．X 学科核心素养ue ke he xin su yang三点共线定理1．三点共线的判定定理在实际问题的描述中经常会遇到判断三点共线的问题，那么如何利用向量共线的判定定理来寻找三点共线的判定呢？我们知道，对于平面内任意三点A ，B ，C ，都可以写成AB →，AC →，BC →的形式，若存在一个实数λ使得AB →＝λAC →(或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →)，则根据向量共线的判定定理可知向量AB →，AC →共线(或AB →，BC →共线或AC →，BC →共线)．又由它们具有公共点A (或B 或C )可知三点A ，B ，C 共线．所以我们有：对于平面内任意三点A ，B ，C ，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，若实数λ，μ满足λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．2．三点共线的性质定理根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理．若平面内三点A ，B ，C 共线，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1.典例5 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．[解析] 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →，故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1.〔跟踪练习5〕在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( D )A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(－12，0)D ．(－13，0)[解析] 当点O 与点C 重合时AC →＝0AB →＋(1－0)AC →，所以x ＝0；当点O 与点D 重合时AD →＝－13AB →＋43AC →，此时x ＝－13，所以－13<x <0.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi进行向量的线性运算时忽略图形的性质典例6 已知点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.[错解] 如图所示，连接BE 并延长，交CD 于点G ，连接AG ，由于点E 是AC 的中点，所以四边形ABCG 是平行四边形，所以AG →＝BC →，所以DG →＝DA →＋AG →＝b ＋a .又EF 是△BGD 的中位线， 所以EF →＝12GD →＝－12DG →.所以EF →＝－12(a ＋b )．[错因分析] 由于四边形ABCD 不一定是梯形，只是一般的四边形，所以点E 不一定为BG 的中点，所以四边形ABCG 不一定是平行四边形，即AG →不一定等于a .[正解] 如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．[误区警示] 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解．〔跟踪练习6〕已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点． 求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．[解析] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又∵AC →＝AD →＋DC →， ∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( B ) A ．a －2b B ．－2b C ．0D ．b －a2．已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( C ) A ．λa 与a 同向 B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |[解析] 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |.3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( D ) A ．－2AB →B ．13AB →C ．－13AB →D ．2AB →[解析] BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →.4．已知向量a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，若a ∥b ，则( D ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或e 1＝0[解析] 当e 1＝0时，显然有a ∥b ；当e 1≠0时，b ＝2e 1≠0，又a ∥b ，∴存在实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝2μe 1，∴λe 2＝(2μ－1)e 1，又λ≠0，∴e 1∥e 2.5．已知两个非零向量e 1、e 2不共线，若AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2.求证：A 、B 、D 三点共线．[证明] ∵AD →＝AB →＋B C →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6A B →，∴AD →∥AB →.又∵AD 和AB 有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．。

2.2.3.向量数乘运算及其几何意义学习目标.1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一.向量数乘的定义思考1.实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案.向量.思考2.向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案. 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3.λa 的几何意义是什么？答案.λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩.当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍. 梳理.向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |. (2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二.向量数乘的运算律思考.类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案. 结合律，分配律. 梳理.向量数乘运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三.向量共线定理思考1.若b ＝2a ，b 与a 共线吗？答案.根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线.如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .思考2.若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？ 答案.若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 梳理.(1)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .类型一.向量数乘的基本运算例1.(1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )].解.14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )] ＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b ) ＝－4a ＋4b .(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解.⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟.(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1.(1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 解.(a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________.答案.29a －29b ＋19c解析.因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二.向量共线的判定及应用 命题角度1.判定向量共线或三点共线 例2.已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线.解.∵b ＝6a ，∴a 与b 共线.(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线. 证明.∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.反思与感悟.(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点.跟踪训练2.已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________. 答案.A ，B ，D解析.∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.命题角度2.利用向量共线求参数值例3.已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值.解.∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思与感悟.利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练 3.已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案.1解析.由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1. 类型三.用已知向量表示其他向量例4.在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于(..) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB →D.23AC →＋13AB → 答案.D解析.示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.反思与感悟.用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练4.如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解.∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1.已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c 等于(..) A.5e B.－5e C.23e D.－23e答案.C解析.2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e . 2.在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于(..) A.12AM → B.AM → C.2AM → D.MA → 答案.C解析.如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则(..) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝12答案.D解析.当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.所以n ＝2m ，此时，m ，n 共线.4.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则(..) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 答案.D解析.∵PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →， ∴PC →＝－2PA →，∴P 在AC 边上.5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解.OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量.3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是(..) A.λa 与a 的方向不是相同就是相反 B.若a ，b 共线，则b ＝λa C.若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D.若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 答案.D解析.显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |.2.在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于(..) A.23a ＋43b B.23a －23b C.23a －43b D.－23a ＋43b答案.A解析.由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .3.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于(..)A.a －12bB.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b 答案.D解析.连接CD ，OD ，如图所示.∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ， ∴CD ∥AO ，∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .4.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于(..)A.13B.23 C.12 D.34答案.B解析.∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.5.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则(..) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案.A解析.∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.6.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是(..) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A.①④B.①②C.①③D.③④答案.B解析.①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误. 二、填空题7.已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则________三点共线. 答案.A ，B ，D8.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案.12解析.∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 9.(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 答案.a ＋10b10.在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示) 答案.14b －14a解析.如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ).三、解答题11.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，求△ABM 的面积与△ABN 的面积之比.解.如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ，∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝23. 12.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值. 解.∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b . ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk －2＝0，∴k ＝± 6.13.在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解.如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②.. ①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c ). ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d . 四、探究与拓展14.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________.答案.－1或315.已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形.证明.如图所示.∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形.。

2. 2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

二、教学目标设计1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F m a=，位移与速度的关系s v t=。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a++和-+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什a a a()()()么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a a a++的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，-+-+-的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。

()()()a a a师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。

难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。

你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。

再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。

3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。

§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。

难点：正确运用法则解决几何问题。

教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。

若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。

并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。

（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。

）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。

）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。

%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。

预习内容：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。

如力与加速度的关系F m a =，位移与速度的关系s v t =。

这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）课内探究学案学习目标：1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

学习过程： 1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行。

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa. 它的长度和方向规定如下：（1） .（2） .2）运算律：问：求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较，向量2()a b +与向量22a b+ 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： .师：设a 、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1）()λμa λa μa +=+ ； （2）()()λμa λμa = ； （3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

重点、难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

自主学习1．向量的数乘(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa .(2)规定：|λa |＝|λ||a |.当λ>0时，λa 的方向与a 的方向________；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝________.(3)几何意义：λa 可以看作是把向量a 沿着a 的方向(λ>0时)或a 的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a ＝__________；(2)λ(μa )＝(________)a ；(3)λ(a ＋b )＝__________(分配律)． 特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝__________. 3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__________. 4．共线向量定理(1)向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________． (2)如果向量a 与b 不共线，且λa ＝μb ，那么λ＝μ＝0.已知平面内O ，A ，B ，C 四点，若OC →＝xOA →＋yOB →，(x ，y ∈R )． (1)若x ＋y ＝1，求证A 、B 、C 三点共线；(2)若A 、B 、C 三点共线，则实数x ，y 应满足怎样的条件？对点讲练向量的线性运算例1 计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．回顾归纳 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 变式训练1 计算：(1)3(6a －b )－9(a －13b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－(a ＋12b )－2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a .共线向量定理的应用例2 判断下列各组向量是否共线(其中e 1、e 2为不共线向量)．(1)a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；(2)a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－3e 2.回顾归纳 判断两个非零向量a ，b 是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b ＝λa ，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解． 变式训练2 两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．共线向量在平面几何中的应用例3如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．回顾归纳 向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．变式训练3 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( )A ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋AD →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，221.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.一、选择题1．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( ) A.12a ＋b B ．a ＋12b C.12(a ＋b ) D ．a ＋b 2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝123．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D4．在△ABC 中，点D 在线段CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0 B.45 C.83D ．35．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边上或其延长线上 D ．P 在AC 边上题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题6．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________________. 7.如图所示，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)8．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA → ②－BC →－12BA →③BC →－12BA → ④BC →＋12BA →三、解答题9．化简：8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )． 10.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．(1)向量 (2)相同 0 2．(1)λa ＋μa (2)λμ (3)λa ＋λb λa －λb 3．λμ1a ±λμ2b 4．(1)b ＝λa 自主探究证明 (1)若x ＋y ＝1，则OC →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OC →－OB →＝xBA →，∴BC →＝xBA →. 又∵BC →与BA →有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线．(2)若A 、B 、C 三点共线．∴存在实数λ使AC →＝λAB →成立．∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)． ∴OC →＝OA →＋λ(OB →－OA →)＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝x ，λ＝y ，∴x ＋y ＝1.∴若OC →＝xOA →＋yOB →，A 、B 、C 三点共线时，x ，y 应满足条件x ＋y ＝1. 对点讲练例1 解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .变式训练1 解 (1)原式＝18a －3b －9a ＋3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －⎝⎛⎭⎫a ＋34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .例2 解 (1)设a ＝λb ，∴12e 1－13e 2＝λ(3e 1－2e 2) ∴⎝⎛⎭⎫12－3λe 1＋⎝⎛⎭⎫2λ－13e 2＝0. ∵e 1，e 2为不共线向量∴⎩⎨⎧12－3λ＝0，2λ－13＝0，解得λ＝16. ∴a ＝16b .∴a ∥b ，即a 与b 共线．(2)设a ＝λb ，∴e 1＋e 2＝λ(3e 1－3e 2) ∴(1－3λ)e 1＋(1＋3λ)e 2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3λ＝0，1＋3λ＝0，该方程组无解．∴a 与b 不共线． 变式训练2 (1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6AB →，又∵AD →与AB →有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )．∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 例3 2解析 如图所示，过点O 作OD ∥AB 交AC 于点D .∵点O 是BC 的中点，∴点D 是AC 的中点．由作图知△NDO ∽△NAM . ∴OD MA ＝DNAN ，即|AB →|2|AM →|＝|AC →|2－|NC →||AN →|，∴m|AM →|2|AM →|＝n |AN →|2－|nAN →－AN →||AN →|，即m 2＝n2－(n －1)．∴m ＝n －2n ＋2，即m ＋n ＝2.变式训练3 A [AP →与AC →共线，且菱形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，由点P 在线段AC →上，得AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，又AD →＝BC →， ∴AP →＝λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1)．] 课时作业1．C 2．D [由共线向量定理知，m ＝λn ，即(－e 1＋k e 2)＝λ(e 2－2e 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝－1k ＝λ，∴k ＝λ＝12.]3．C [∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，且BD →与AB →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．]4．C [∵CD →＝CB →＋BD →＝4BD →，∴CB →＝3BD →. ∴CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC →＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC →∴r ＝43，s ＝－43，r －s ＝83.]5．D [∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．] 6.421a －17b ＋17c 7.14(b －a ) 解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．8．①解析 CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.9．解 原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝6a ＋4b .10．证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量加法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b ＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →公共点为C .∴C 、M 、N 三点共线．。

《向量数乘运算及其几何意义》教课设计一、教材解析1.《新课程标准》的解读解析向量拥有丰富的现实背景和物理背景，是交流几何、代数、三角等内容的桥梁, 是重要的数学模型 . 在本模块的教课中，应鼓舞学生使用计算器和计算机研究和解决问题. 在相应的内容中能够插入数学研究或数学建模活动.2.在整个高中教材中的地位和作用.向量，拥有“数”与“行”的两重身份，是办理问题的一种工具，作用特别大，贯串于整个高中数学的学习中.3.本章节地位、本节的逻辑关系.向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修 4》节，在本章节中起着承前起后的作用. 学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难. 经过前方学习二、教课重难点要点：掌握实数与向量的积的定义、运算律, 理解向量共线定理 .难点：向量共线定理的研究及其应用.三、三维目标设计1.知识与技术 :经过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理. 娴熟运用定义、运算律进行相关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.过程与方法 :理解掌握向量共线定理及其证明过程，会依据向量共线定理判断两个向量能否共线.3.态度感情与价值观：经过由实例到观点，由详细到抽象，培育学生自主研究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力. 激发学生学习数学的兴趣和踊跃性，陶冶学生的感情，培育学生脚踏实地的科学态度，勇于创新的精神.四、教课过程（一）引入1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采纳发问的形式 .问题 1：向量加法的运算法例？问题 2：向量减法的几何意义？学生回答完成后，教师经过多媒体上的图像让学生更直观感觉.CbD aCOaAa ba bbAbba baBABaB向量的加法：三角形法例（首尾相连）和平行四边形法例（共起点） .向量的减法： OA a ， OB b 则 BAa b . （共起点，连终点，方向指向被减数）.2. 问题情境 ：一质点从点出发做匀速直线运动，若经过1 的位移对应的向量用a 表示，Os那么在同方向上经过 3s 的位移所对应的向量可用来表示 . 这是何种运算的结果？启迪学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系3. 【研究 1】已知非零向量 a ，作出 aa a 和 ( a) ( a) ，你能说处他们的几何意义吗？a O a a a A 问题 1：相加后，和的长度和方向有什 么-aB -a-a变化？P问题 2：这些变化与哪些要素相关？将学生疏成两组，第一组：a aa ；第二组： ( a) ( a) . 让学生在白纸上作出图像，并议论两个问题 . 最后学生之间相互交流，总结结论.生：a 与 a 方向同样且 3 a 3 a ；3生：a 与方向相反且2a 2 a 2 a师：特别好！教师经过多媒体，看长度和方向的图像变化形式.（二）新课解说1. 实数与向量的积的定义请大家依据上述问题并作一下类比，看看如何定义实数λ 与向量 a 的积？启迪学生从以下角度思虑：a 是向量？长度？方向？依据学生总结，让学生看大屏幕.2. 实数与向量的积的运算律一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这类运算叫做向量的数乘，记作： a ，它的长度和方向规定以下：（1）a a（2）当λ >0 时，当λ<0 时，由（ 1）可知，当a 的方向与 a 的方向同样；a 的方向与 a 的方向相反。

一、课题：向量的数乘（1）二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。

四、教学过程：（一）复习：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．例1 计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； （3）(23)(32)a b c a b c +---+．解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-．3．向量共线的充要条件：定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+=∴AC 与AE 共线．例3 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ=∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-a -E a a a O B A CD a - A B C D E若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线． 若1λ≠-时，221b a λλ-=+，∴b 与a 共线．例4 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。

2．2.3向量数乘运算及其几何意义[目标] 1.记住数乘的定义及其规定． 2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题． 3.记住数乘运算法则并能进行相关运算．[重点] 数乘的定义．[难点] 向量共线基本定理．知识点一向量数乘的定义[填一填]一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0.[答一答]1．数乘向量与数乘数有什么区别？提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．2．－2a与a有什么关系？提示：－2a与a方向相反，－2a的长度是a长度的2倍．知识点二向量数乘的运算律[填一填]设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．[答一答]3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa ＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．知识点三向量共线基本定理[填一填]向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[答一答]4．定理中条件a≠0能漏掉吗？提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋k e2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝1 2.知识点四线性运算[填一填](1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[答一答]6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．7．若向量x ，a 满足2x －3(x －2a )＝0，则向量x ＝6a .类型一 向量数乘的运算[例1] 计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b . [分析] 可综合运用向量数乘的运算律求解． [解] (1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ； (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.[变式训练1] (1)若a ＝2b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( C )A ．－aB ．－bC ．－cD ．以上都不对(2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝4b －3a .解析：(1)3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝a －2b －2c ＝2b ＋c －2b －2c ＝－c .故选C.(2)由已知得：3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a .类型二 用已知向量表示未知向量[例2] 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别为K ，L ，且AK→＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.[解] 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝e 1－12x ， DL →＝12DC →＝12AB →＝12e 1－14x .由AD →＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2， 解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1. 由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝12x －e 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43e 2－23e 1－e 1＝－43e 1＋23e 2.由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.[变式训练2] 如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．①AC →＝e 2＋12e 1. ②MN →＝14e 1－e 2. 解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|， 所以AB →＝2DC →，DC →＝12AB →， 所以AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1， MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 类型三 向量共线定理的应用[例3] 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA→＋yOB →，则x ＋y ＝________. [解析] 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一条线上， 由共线向量定理可知，必定存在实数λ使AP→＝λAB →， 即OP→－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. [★★答案★★] 1用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a ，b 为由这三点构成的任意两个向量).证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线.[变式训练3] 已知非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：(1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→， ∴AB→、BD →共线， 又∵它们有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.1．设λμ∈R ，下列叙述不正确的是( D ) A ．λ(μa )＝(λμ)a B ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa C ．λ(a ＋b )＝λa ＋λb D ．λa ，a 的方向相同(λ≠0)解析：A ，B ，C 选项是向量数乘满足的运算律，均正确；D 不正确，当λ<0时，λa 与a 的方向相反．2．若点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，AC →＝λBC →，则λ等于( D ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析：由题意知CB →＝25AB →，即AB →＝－52BC →， ∴AC →＝35×⎝⎛⎭⎪⎫－52BC →＝－32BC →，故λ＝－32.3．若|a |＝m ，b 与a 方向相反，|b |＝2，则a ＝－m2b . 解析：∵2|a |＝m |b |，a 与b 方向相反，∴a ＝－m2b .4．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝32e 2－e 1.解析：结合题目画出图形如图所示．BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →) ＝12(3e 2－2e 1)＝32e 2－e 1.5．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，是否存在这样的实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：∵d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．——本课须掌握的三大问题1．向量数乘运算的意义(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．(2)λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．2．对向量共线定理的理解(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，则a 与b 共线；反之，若a 与b 共线(a ≠0)，则必存在一个实数λ，使b ＝λa .(2)定理中，之所以限定a ≠0是由于若a ＝b ＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a ，b 不共线，且λa ＝μb ，则必有λ＝μ＝0. 3．判断两个向量是否共线的方法判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程．若方程有解且与题目条件无矛盾，则存在，反之不存在．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。