2018年欧洲女子数学奥林匹克答案

2018年ACT数学练习题及答案解析本文主要为考生整理了ACT数学5道选择题，并对这5道选择题进行了详细解析。

除练习题外，我们还为考生整理了9点ACT 数学答题技巧，详情如下：1、3x3·2x2y·4x2y is equivalent toA. 9x7y2B. 9x12y2C. 24x7y2D. 24x12yE. 24x12y2正确答案选C。

常数相乘(3·2·4)，合并x项(x3x2x2 → x3+2+2 → x7) 和y项(y·y → y1y1 → y1+1→ y2)，结果为24x7y2。

解析：The correct answer is C. To find an equivalent expression, you can multiply the constants (3·2·4), combine the x term (x3x2x2 → x3+2+2 → x7, because when you have a common base you use the base and add the exponents), and combine the y t erms (y·y → y1y1 → y1+1 → y2). The result is 24x7y2.2、 Mr. Dietz is a teacher whose salary is $22,570 for this school year, which has 185 days. In Mr. Dietz's school district, substitute teachers are paid $80 per day. If Mr. Dietz's takes a day off without pay and a substitute teacher is paid to teach Mr. Dietz's classes, how much less does the school district pay in salary by paying a substitute teacher instead of paying Mr. Dietz's for that day?F. $ 42G. $ 80H. $ 97J. $105K. $122正确答案选F。

目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明： （1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪 供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏 供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明 供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明 供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平 供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂 供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓 供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊 斌 供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪 供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕 供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓 供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平 供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。

imo试题答案[正文]imo试题答案1. 概述国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最具影响力的数学竞赛之一。

每年，来自各国的高中生代表队齐聚一处，共同参与这场为期两天的激烈角逐。

本文将介绍并回答最近一次IMO试题的答案。

2. 第一题答案第一题要求计算一个三角形的面积。

给定三条边的长度a、b、c，我们可以使用海伦公式来求解。

根据海伦公式，设三角形的半周长为s，面积可以通过以下公式计算得到：面积 = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，sqrt表示开平方运算。

将给定的边长代入公式，即可得到最终的答案。

3. 第二题答案第二题是一道几何问题，要求证明或者推导一些几何结论。

根据题目的描述，我们可以采取不同的方法来解决。

例如，可以运用数学归纳法、反证法或者特殊案例等思路。

根据题目的具体要求，给出相应的证明过程和结论即可。

4. 第三题答案第三题通常是一道代数或者组合数学的题目。

它要求我们运用一些数学定理和技巧，进行一系列的计算和推导。

解答这类题目时，可以运用数学归纳法、数学分析、数学推理等思维方式。

根据题目的要求，给出详细的推导过程和最终的答案。

5. 第四题答案第四题常常是一道数论题或者图论题。

我们需要根据题目的描述和给定的条件，构建一些数学模型或者图论模型，并通过一系列的计算和推理找到最终的答案。

在解答这类问题时，可以借助一些已知的数论定理、图论算法等。

附上详细的计算过程和最终的答案，确保答案的准确性和完整性。

6. 第五题答案第五题是一道综合性较强的问题，可能涉及多个数学分支的知识。

解答这类题目时，需要结合题目的要求，迅速找到解题思路，并采取相应的数学方法求解。

根据题目的指导，给出详细的解题过程和最终的答案。

7. 第六题答案第六题常常是一道较为复杂的几何问题或者数学推理题。

解答这类题目时，需要对较深入的几何知识或者数学推理进行充分的理解和运用。

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

中国第二届女子数学奥林匹克（CGMO ）试题第一天2018.8.27 上午8：30~12：30 武汉1．已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点，设,,AD AE DF x y z AB AC DE===．证明: (1)(1);(1)(1)BDF ABC CEF ABC S x yzS S x y z S ∆∆∆∆=-=--；≤2．某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(),i j 表示位于第i 排第j 列的座位．新学期准备调整座位，设一个学生原来的座位为(),i j ，如果调整后的座位为(),m n ，则称该生作了移动[][],,a b i m j n =--，并称a b +为该生的位置数，将所有学生的位置数之和记为S ，求S 的最大可能值与最小可能值之差．3．如图，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD ⊥AC ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上，连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得DG ∥BF ，H 在GF 的延长线上，使得CH ⊥GF ．证明：B 、E 、F 、H 四点共圆．4．(1)证明：存在和为1的五个非负实数a,b,c,d,e ，使得将它们任意放置在一C个圆周上，总有两个相邻的数的乘积不小于19． (2)证明：对于和为1的任意五个非负实数a,b,c,d,e ，总可以将它们适当放置在一个圆周上，并且任意相邻两数的乘积均不大于19． 中国第二届女子数学奥林匹克（CGMO ）试题第二天2018.8.28 上午8：30~12：30 武汉5．定义数列{}n a 如下：2112,1,1,2,n n n a a a a n +==-+=． 证明：20031220031111112003a a a -<+++<． 6．给定正整数2n ≥，求最大的实数λ，使得不等式()21212n n n a a a a a -≥λ++++对任何满足12n a a a <<<的正整数12,,,n a a a 均成立．7．设△ABC 的三边长分别为,,AB c BC a CA b ===，a,b,c 互不相等，AD 、BE 、CF 分别为△ABC 的内角平分线，且DE ＝DF ．证明：(1)a b c b c c a a b=++++； (2)090BAC ∠>．8．对于任意正整数n ，记n 的所有正约数组成的集合为S n ．证明：S n 中至多有一半元素的个位数为3．。

罗马尼亚丸户日第氷卡第一天4 I. RrjtMIl 三角砒,4/?「的给按H •点。

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2018年CMO中的一个操作问题剖析与解答【附】为便于编辑修改，特提供纯文本文档如下：2018年CMO中一个操作问题剖析与解答冯跃峰2018年CMO有一个颇为有趣的极值操作问题，题目如下：【问题】在n×n方格的每个格都填一个整数，每次操作选取一个方格，将其同行、同理的2n-1个数都加1，其余数不变。

求最大的正整数N，使得任何数表，均可通过有限次操作使表中至少有N个偶数。

（2018中国数学奥林匹克第5题）该题难度适中，解题入口较低，可从多个角度思考。

下面介绍我们的一种思考方式。

【题感】本题所求的极值，既是“任意型”的，又是“存在型”的，从而不等式论证及验证等号成立两个方面都需要构造。

对于证明不等式N≤C，需要构造一个特定的数表，证明不论怎样操作，都不能使M中多于C个偶数；对于验证N=C合乎要求，需要对任一数表M，构造一系列操作，使M产生至少C个偶数。

由于两种构造都一时难以发现，可先研究特例。

【研究特例】当n=1时，显然N的最大值为1。

当n=2时，先考虑“最难”操作的棋盘（偶数最少）能产生多少偶数。

为方便，将表中的数都按模2理解。

取数表M=，尝试如下操作。

第一次操作本质上是唯一的：→。

至此，表中剩下惟一的奇数，自然想到对该奇数操作，得到：→。

现在，表中有2个奇数，接下来自然想是对其中一个奇数操作，得到：→。

以下无需继续操作，仔细观察，便有惊喜。

【发掘性质】通过上述3次操作后，恰有格（1，2）改变了奇偶性。

我们将上述3次操作捆绑看成一个“大操作”，并认为该大操作是对格（1，2）进行的，它包含的3个基本操作分别是对格（1，2）所在行与列的3个格进行的。

显然，将每个填奇数的格都进行一次大操作，则所有数都变成偶数，所以N的最大值为4。

【归纳通式】上述大操作的性质是否对任何阶数表都成立呢？考察一般的n×n数表，可类似定义大操作。

为叙述问题方便，先给出如下定义：【引入定义】由棋盘一行与一列方格构成的图形称为“十字形”，其中既在行中又在列中的那个格称为十字形的中心。

两道欧洲女子数学奥林匹克试题的证法探究陆华杰(广西壮族自治区钦州市浦北中学ꎬ广西钦州５３５３００)摘㊀要:２０１３年欧洲女子数学奥林匹克试题的第１题和第５题是平面几何题ꎬ试题的题干简洁㊁结构漂亮ꎬ用初中的平面几何知识即可证明.笔者对两道试题进行深度探究ꎬ给出两道试题的多种证明方法.关键词:欧洲女子数学奥林匹克ꎻ数学竞赛ꎻ平面几何中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００６１－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陆华杰(１９７８.９ )ꎬ男ꎬ广西灵山人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀研究平面几何试题ꎬ可培养几何直观能力㊁锻炼数学思维能力和逻辑推理能力.笔者对２０１３年欧洲女子数学奥林匹克试题的第１题和第５题进行多角度探究ꎬ然后分别给出两道试题的多种证明.１第１题在әＡＢＣ中ꎬ延长边ＢＣ到点Ｄꎬ使ＣＤ＝ＢＣꎬ延长ＣＡ到点Ｅꎬ使ＡＥ＝２ＣＡꎬ证明:若ＡＤ＝ＢＥꎬ则әＡＢＣ为直角三角形[１].该题简短精练ꎬ一道构思精巧的几何试题ꎬ形式简洁㊁优美.作为竞赛试题的第一题ꎬ难度不算大ꎬ证明的方法也多ꎬ但均需要较好的数学能力与素养.证法１㊀如图１ꎬ延长ＡＣ到点Ｆꎬ使ＡＣ＝ＣＦꎬ连接ＤＦꎬＢＦꎬ易得四边形ＡＢＦＤ为平行四边形.则ＡＤ＝ＢＦꎬＡＣ＝ＣＦ.又由于ＡＤ＝ＢＥꎬＡＥ＝２ＣＡꎬ则ＢＦ＝ＢＥꎬＡＥ＝ＡＦ.即ＡＢ为等腰әＥＢＦ的底边ＥＦ上的中线ꎬ所以ＡＢʅＡＣꎬ即әＡＢＣ为直角三角形.证法２:如图２ꎬ取ＡＥ的中点ＰꎬＡＢ的中点Ｑꎬ连接ＰＱꎬＣＱꎬ则ＰＱ为әＡＢＥ的中位线.又由图１㊀构造平行四边形于ＣＤ＝ＢＣꎬ则ＣＱ为әＡＢＤ的中位线.又因为ＡＤ＝ＢＥꎬ于是ＰＱ＝１２ＢＥ＝１２ＡＤ＝ＣＱꎬ图２㊀作中位线又因为ＡＰ＝ＡＣꎬ则ＡＱ为等腰әＣＱＰ底边上的中线ꎬ所以ＱＡʅＣＰꎬ则әＡＢＣ为直角三角形.证法３:如图３ꎬ取ＢＥ的中点Ｍꎬ连接ＡＭ.由于ＣＤ＝ＢＣꎬ且ＡＥ＝２ＣＡꎬ则点Ａ为әＢＤＥ的重心ꎬ所以әＢＤＥ的中线ＢＭ经过重心Ａꎬ且ＡＭ＝１２ＡＤ.又由于ＡＤ＝ＢＥꎬ则１６ＡＭ＝１２ＢＥ＝ＢＭ＝ＥＭꎬ于是øＥＡＭ＝øＡＥＭꎬøＭＢＡ＝øＭＡＢꎬ所以øＥＡＢ＝øＥＡＢ＋øＥＢＡ＋øＡＥＢ２＝９０ʎꎬ即әＡＢＣ为直角三角形.图３㊀利用三角形的重心性质证法４:如图４ꎬ取ＡＥ的中点Ｐꎬ连接ＢＰ.由于ＡＥ＝２ＣＡꎬ则ＡＣ＝ＥＰ.又由于ＣＤ＝ＢＣꎬ则由等底等高两三角形面积相等知ꎬＳәＡＣＤ＝ＳәＡＢＣ＝ＳәＢＥＰ.图４㊀构造等面积的两个三角形又由于ＡＤ＝ＢＥꎬ且ＡＣ＝ＥＰꎬ且ＳәＡＣＤ＝１２ＡＣ ＡＤ ｓｉｎøＣＡＤꎬＳәＢＥＰ＝１２ＥＢ ＥＰ ｓｉｎøＢＥＰꎬ则ｓｉｎøＣＡＤ＝ｓｉｎøＢＥＰꎬ所以øＣＡＤ＝øＢＥＰ或øＣＡＤ＝１８０ʎ－øＢＥＰ.又由于øＢＡＣ>øＢＥＰꎬ且øＢＡＣ＋øＣＡＤ＝øＢＡＤ<１８０ʎꎬ所以øＣＡＤ＝１８０ʎ－øＢＥＰ应舍去ꎬ只能为øＣＡＤ＝øＢＥＰꎬ所以әＢＥＰ≅әＤＡＣꎬ则øＢＰＥ＝øＤＣＡꎬ所以øＢＰＡ＝øＡＣＢꎬ又ＡＰ＝ＡＣꎬ则ＢＡ为等腰әＣＢＰ底边ＣＰ上的中线ꎬ所以ＡＢʅＰＣꎬ即әＡＢＣ为直角三角形.证法５㊀如图１ꎬ设øＥＣＢ＝βꎬＡＣ＝ｘꎬＢＣ＝ＣＤ＝ｙꎬＢＥ＝ＡＤ＝ｚ.由于ＡＥ＝２ＣＡꎬ则ＥＣ＝３ｘ.在әＡＣＤ与әＢＣＥ中由余弦定理知ꎬｚ２＝ｘ２＋ｙ２＋２ｘｙｃｏｓβꎬｚ２＝９ｘ２＋ｙ２－６ｘｙｃｏｓβ.消去ｃｏｓβ得ꎬｚ２－ｙ２＝３ｘ２.过点Ｂ作ＡＣ的垂线ꎬ垂足记为Ｈꎬ设ＢＨ＝ｈꎬ则ｙ２－ｈ２＝ＣＨ２ꎬｚ２－ｈ２＝ＥＨ２ꎬ所以ｚ２－ｙ２＝ＥＨ２－ＣＨ２.又因为ＥＡ２－ＣＡ２＝３ｘ２ꎬ所以ＥＨ２－ＣＨ２＝３ｘ２＝ＥＡ２－ＣＡ２ꎬ所以点Ｈ与点Ａ相互重合ꎬ则әＡＢＣ为直角三角形.证法６㊀如图１ꎬ设ＢＣ＝ａꎬＣＡ＝ｂꎬＡＢ＝ｃꎬ则ＡＥ＝２ｂ.在әＡＢＣꎬәＡＥＢꎬәＡＣＤ中由余弦定理知ꎬａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓøＡꎬｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓøＣꎬＥＢ２＝４ｂ２＋ｃ２＋４ｂｃｃｏｓøＡꎬＡＤ２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂｃｏｓøＣ.消去ｃｏｓøＡꎬｃｏｓøＣ得ꎬＥＢ２＝６ｂ２＋３ｃ２－２ａ２ꎬＡＤ２＝２ａ２＋２ｂ２－ｃ２.由于ＡＤ＝ＢＥꎬ所以ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ知әＡＢＣ为直角三角形.证法７㊀如图１ꎬ设ＢＣ＝ａꎬＣＡ＝ｂꎬＡＢ＝ｃꎬＡＤ＝ＢＥ＝ｘꎬ则在әＢＣＥ中由斯特瓦尔特定理得ꎬｂ ｘ２＋２ｂ ａ２＝３ｂ ｃ２＋ｂ ２ｂ ３ｂꎬ则ｘ２＝３ｃ２＋６ｂ２－２ａ２.同理在әＡＢＤ中由斯特瓦尔特定理得ꎬａ ｘ２＋ａ ｃ２＝２ａ ｂ２＋ａ ａ ２ａꎬ则ｘ２＝２ｂ２＋２ａ２－ｃ２ꎬ于是３ｃ２＋６ｂ２－２ａ２＝２ｂ２＋２ａ２－ｃ２ꎬ所以ａ２＝ｂ２＋ｃ２ꎬ知әＡＢＣ为直角三角形.２第５题设Ω为әＡＢＣ的外接圆ꎬ圆ω与ＡＣꎬＢＣ相切ꎬ且与圆Ω内切于点Ｐꎬ一条平行于ＡＢ的直线与圆ω相切于点Ｑꎬ且经过әＡＢＣ的内部ꎬ证明:øＡＣＰ＝øＱＣＢ.该题以三角形的外接圆为背景证明两角相等ꎬ考查证明平面几何试题的常用方法ꎬ同时也可从四点共圆㊁反演变换和同位变换等角度来证明.证法１㊀如图５ꎬ设圆ω与ＡＣꎬＢＣ相切于点Ｅꎬ２６ＦꎬＰＥꎬＰＦꎬＰＱ与圆Ω交于点ＫꎬＬꎬＭ.设ＩꎬＯ分别为圆ω和圆Ω的圆心ꎬ则ＥＩʅＡＣꎬ所以ＯＫʅＡＣꎬＫ为ＣＡ(中点.类似可证Ｌ为ＢＣ(中点ꎬＭ为ＢＡ(中点.由此可得ＬＭ(＝ＣＫ(ꎬ这是因为ＢＭ(＝ＭＡ(⇒ＢＬ(＋ＬＭ(＝ＭＫ(＋ＫＡ(⇒ＬＣ(＋ＬＭ(＝ＭＫ(＋ＣＫ(⇒２ＬＭ(＋ＭＣ(＝ＭＣ(＋２ＣＫ(⇒ＬＭ(＝ＣＫ(所以ＦＱ(＝ＤＥ((Ｄ是ＣＰ与圆ω的交点).因为ＣＥꎬＣＦ是圆ω的切线ꎬ所以øＤＥＣ＝øＣＦＱꎬ且ＣＥ＝ＣＦꎬ从而әＣＥＤɸәＣＦＱꎬ故øＥＣＤ＝øＱＣＦꎬ命题得证.图５㊀构造全等三角形证法２㊀同证法１ꎬ我们证明ＦＱ(＝ＤＥ(ꎬ从而四边形ＤＥＦＱ为等腰梯形ꎬøＦＥＤ＝øＱＦＥ.又由于ＦＱ＝ＤＥꎬ故在øＣ平分线ＣＩ的映射下ꎬＥ与Ｆꎬ线段ＥＱ与ＦＤꎬＤ与Ｑ互相对应ꎬ所以øＥＣＤ＝øＱＣＦꎬ命题得证.证法３㊀我们来证明ＱＥ(＝ＦＤ(ꎬ这样我们就完成主要的证明过程.如图６ꎬ设ＰＢ交ω于Ｚꎬ考虑ω和Ω的位似变换Ｒꎬ在Ｒ下ꎬＤＣꎬＺＢꎬ得ＤＺʊＣＢ(也可以考虑ω和Ω的公切线并结合斜切角定理)ꎬ由切割线定理ꎬＢＦ２＝ＢＺ ＢＰꎬＣＦ２＝ＣＤ ＣＰ.㊀由ＤＺʊＣＢ得ＢＺＢＰ＝ＣＤＣＰꎬ分别对上式两个方程去平方根ꎬ得ＢＦＣＦ＝ＢＰＣＰꎬ从而ＰＦ平分øＢＰＣ.设øＢＰＦ＝øＦＰＣ＝βꎬ由斜切角定理ꎬøＣＦＤ＝βꎬ且øＢＡＣ＝øＢＰＣ＝２β.设过Ｑ且平行于ＡＢ的切线交ＡＣ于Ｘꎬ则øＱＸＣ＝２β.又因为ＸＱ＝ＸＥꎬøＱＥＸ＝βꎬ所以ＱＥ(＝ＦＤ(.图６㊀作同位变换证法４㊀我们来证明ＰꎬＩꎬＱꎬＣ四点共圆.设α＝øＢＡＣꎬβ＝øＣＢＡꎬγ＝øＡＣＰ.为方便ꎬ假设Ａ和Ｐ在øＣ的平分线ＣＩ的同侧ꎬ则øＰＣＩ＝１２øＡＣＢ－øＡＣＰ＝９０ʎ－１２α－１２β－γ.注意到ꎬøＰＢＡ＝øＡＣＰ＝γꎬ所以øＣＡＰ＝１８０ʎ－β－γꎬøＰＡＢ＝１８０ʎ－α－β－γ.又ＰＯ是Ω的半径ꎬ所以øＡＰＯ＝９０ʎ－γ.设ＡＢ交ＰＯ于Ｔꎬ则øＢＴＯ＝１８０ʎ－øＰＡＢ－øＡＰＯ＝α＋β＋２γ－９０ʎ.又ＱＩʅＡＢꎬ所以øＯＩＱ＝９０ʎ－øＢＴＯ＝１８０ʎ－α－β－２γ⇒øＱＩＰ＝１８０ʎ－øＯＩＱ＝α＋β＋２γ⇒øＰＱＩ＝９０ʎ－１２α－１２β－γ.所以øＩＣＱ＝øＰＱＩꎬ从而ＰꎬＩꎬＱꎬＣ四点共圆.又ＰＩ＝ＱＩꎬ所以ＣＩ平分øＰＣＱꎬ证毕.３结束语通过对两道平面几何试题的多角度探究ꎬ我们不仅熟悉了证明平面几何试题的常用方法ꎬ也巩固了平面几何的各模块知识ꎬ同时还培养了几何直观能力㊁锻炼了数学思维能力和逻辑推理能力ꎬ也提升直观想象素养和逻辑推理素养.参考文献:[１]李朝晖.２０１３欧洲女子数学奥林匹克[Ｊ].中等数学ꎬ２０１３(８):２９.[责任编辑:李㊀璟]３６。

Thursday,April 12,2018Problem 4.A domino is a 1×2or 2×1tile.Let n ≥3be an integer.Dominoes are placed on an n ×n board in such a way that each domino covers exactly two cells of the board,and dominoes do not overlap.The value of a row or column is the number of dominoes that cover at least one cell of this row or column.The configuration is called balanced if there exists some k ≥1such that each row and each column has a value of k .Prove that a balanced configuration exists for every n ≥3,and find the minimum number of dominoes needed in such a configuration.Problem 5.Let Γbe the circumcircle of triangle ABC .A circle Ωis tangent to the line segment AB and is tangent to Γat a point lying on the same side of the line AB as C .The angle bisector of ∠BCA intersects Ωat two different points P and Q .Prove that ∠ABP =∠QBC .Problem 6.(a)Prove that for every real number t such that 0<t <12there exists a positive integer n with the following property:for every set S of n positive integers there exist two different elements x andy of S ,and a non-negative integer m (i.e.m ≥0),such that|x −my |≤ty.(b)Determine whether for every real number t such that 0<t <12there exists an infinite set S of positive integers such that|x −my |>ty for every pair of different elements x and y of S and every positive integer m (i.e.m >0).Language:English Time:4hours and 30minutes Each problem is worth 7points Language:English Day:2。