2007年CMO第4题的别证

07年全国数学建模竞赛试题解答（由于懒得将图⽚依次贴出，需要者可以下载相关附件）乘公交看奥运摘要本设计要解决的是合理给出两站点间的最佳路线选择问题，即给出⼀条经济且省时的路线。

在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进⾏筛选，最终确定了以下三个影响较⼤的因素：第⼀是换乘次数；第⼆是乘车时间；第三是乘车费⽤。

依据各因素对路线选择的影响程度,我们按不同的权重对它们进⾏考虑。

从实际情况分析，⼈们通常宁愿多乘坐⼏站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较⼤的权重。

为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费⽤相对较少的问题，经过尝试与探索，我们采⽤了现代分析的⽅法，对起始站和终点站有⽆相交站点进⾏分类讨论，归纳出直达，换乘⼀次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制程序，给出了任意两站点间的最佳乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进⼀步的意见和建议。

关键词：最佳路线换乘次数乘车时间乘车费⽤⼀、问题的重述第29届奥运会明年8⽉将在北京举⾏，作为城市枢纽的公共交通承担着⾮常重的运输任务。

近年来，北京市的公交系统有很⼤的发展，公交线路的条数和公交车数量在迅速增多，给⼈民⽣活带来便利的同时，也⾯临多条线路得选择问题，有时出⾏往往还需要转乘多辆公交车才能到达⽬的地。

如何在短时间、换乘次数最少、成本最低的情况到达⽬的地，是⼈们所关注的问题。

因此，我们通过建⽴线路选择的模型与算法，设计⼀套⾃主查询计算机系统，查询到出⾏时所需的最佳公交路线及换乘⽅法，给⼈们出⾏节约更多的时间和⾦钱。

要求：1、仅考虑公汽线路，建⽴任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。

并求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线。

（1）S3359→S1828 （2）S1557→S0481 （3）S0971→S0485（4）S0008→S0073 （5）S0148→S0485 （6）S0087→S36762、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。

二00七年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要在增加其它中间档次. 一、选择题(本题满分30分，每小题5分)1、A2、B3、C4、C5、B6、D 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）7、32- 8、}51|{<<-x x 9、9 10、}11|{<<>x a ax x 或 11、715 12、1207411 三、解答题（本大满分80分，每小题20分）13、如图，CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆的三条高，垂足分别为F E D ,,.以BC 为直径的圆O 和AD 交于G 点，过G 的直径的另一端点为K .若FK EK ,和BC 分别交于M ，N .求证：ON OM =.证明： CF BE AD ,,分别是锐角ABC ∆∴ 它们必相交于一点，记为H∴ H 为ABC ∆的垂心 （连结DE GM GE ,,∵ GK 是⊙O 的直径 ∴90=∠GEM∵90=∠GDM ，∴ E M D G ,,,四点共圆 ∴ GDE GME ∠=∠又 ∵ E C D H ,,,四点共圆， ∴ GDE ∠=∠∴ FKE HCE GME ∠=∠=∠， ∴ GM ∥FK （15分） ∴ ONK OMG ∠=∠，∵ KON GOM ∠=∠，KO GO =，∴ ONK OMG ∆≅∆， ∴ ON OM = （20分）14、若)2,0(π∈x ，求x x x x x f 3cos 2cos 6cos 3cos 2)(23--+=的最大值及取最大值时x 的值.解：因为x x x x x x x sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos -=+=x x x x x x c o s 3c o s 4)c o s 1(c o s 2c o s )1c o s 2(322-=---= （5分） 所以)cos 21(cos 3cos 6cos 3)(232x x x x x f -=-=91)3cos 21cos cos (33=-++≤x x x （15分）等号当且仅当x x cos 21cos -=，即31cos =x 时取得.所以，当31arccos =x 时，)(x f 有最大值91. （20分）15、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，右准线与x 轴交于E 点，若椭圆的离心率22=e ，且1||=EF . （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若过F 的直线交椭圆于B A ,两点，且+与向量)2,4(-=共线，（其中，O 为坐标原点），求OA 与OB 的夹角.解：（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1222c ca a c ，解得1,2==c a ，从而1=b . （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)0,1(F ，显然直线AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：)1(-=x k y联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，消去y ，得0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k （10分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则2221214k k x x +=+，222121)1(2k k x x +-=22221212121222142)()1()1(k kk k k k k x x k x k x k y y +-=-+⋅=-+=-+-=+ 于是)212,214(),(2222121k kk k y y x x +-+=++=+依题意22124214222-+-=+k kk k ，即k 2=故2=k ，或0=k （舍去） 分）又[)1()1(22121=-⋅-=k x k x k y y 2222221421)1(2[k k k k k ++-+-=故02122121)1(22222222121=+-=+-+-=+=⋅kk k k k k y y x x 所以，与的夹角为90. （20分） 16、已知正整数列}{n a 满足条件：对于任意正整数n ，从集合},,,{21n a a a 中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得的数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与n a a a ,,,21 一起恰好是1至n S 全体自然数组成的集合，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求21,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式.解：（1）记},,2,1{n n S A =，显然111==S a .对于22121a a a S +=+=，有|}1|,1,,1{},,2,1{22222a a a S A -+== }4,3,2,1{=故412=+a ，所以32=a . （5分）（2）由题意知，集合},,,{21n a a a 按上述规则，共产生n S 个正整数；而集合},,,,{121+n n a a a a 按上述规则产生的1+n S 个正整数中，除n S ,,2,1 这n S 个正整数外，还有||,,11i a i a a n i n n -++++（n S i ,,2,1 =），共12+n S 个数.所以，13)12(1+=++=+n n n n S S S S . （10分） 因为 )21(3211+=++n n S S ，所以，21321213)21(111-⨯=-⨯+=++n n n S S （15分） 又因为当2≥n 时，1113)21321()21321(---=-⨯--⨯=-=n n n n n n S S a 而11=a 也满足13-=n n a .所以，13-=n n a （1≥n ）. （20分）。

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ）A.1027B.481C.1081D.2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33xx++=-+.令31log x t +=，则1433t t+=-，解得121,3t t =-=-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边A B 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34A D A B =,25A P A D B C =+ ，则APD ABCSS =△△ ( )A.310B.25C.715D.815解 连PD ，则25D P B C =，所以//D P B C ，故AD P B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABCAD D P AD P S S AB BC B⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）. 3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.2B.2-C.12D. 12-解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 333332f f f f ππππππ=-+=-=-=-=- 故选（B ）.4. 已知1111ABC D A B C D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1B B 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O AD M 的体积为 ( )A.724B.316C.748D.1148解 易知A C ⊥平面11D B BD ，设O 是底面A B C D 的中心，则A O ⊥平面1D O M .因为1111223S B D B M B M S O B B MB M⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M，所以113BM B M=，故113,44B M B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯⨯-⨯-⨯⨯=所以11733248V S AO =⋅=⨯=11A-O MD △DO M . 故选（C ）.5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A.521. B.27. C.13D.821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则CA C 138181(31)n k+=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。

2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。

2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为 （ ） （A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） （A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C. 解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y . 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___. 解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE . 4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____. 解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + …………………………5分由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥ ………………………………………………………………………………………………10分由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m ……………………………………………………15分 A B C DE F G M N22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m ……………………………………20分 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅. …………………………………5分又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅. ………………………………10分∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = …………………………………………………………15分 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC …………………20分 ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME. …………………………………25分三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x …………………………………………………………5分因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数. ……………………………………………………………………………………10分设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a . ………………………………………………………15分显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B C D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a ……………………………………………20分 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. …………………………………………………………………………………25分 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ； 一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.………5分所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1） ………………10分由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m ……………………………………………………15分 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m …………………………………20分 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x 56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1） ………………………………………5分 显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. ……………………………10分而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a . ……………………………………………………15分显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a …………………………………………20分 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--. …………………………………………………………25分 第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝ 113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1） ………………………………5分 如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， ……………………10分而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .………………………………………15分 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a …………………………………………20分 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-. …………………………………………………………………25分。

2007年(广东省)初中数学竞赛初赛试卷学校： 班级： 姓名：说明：竞赛时间：2007年3月9日上午9：00～10：00。

考试时间：60分钟．总分120分．每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在下面的答题卡上。

1．某校为了解学生的体能情况，随机抽查30名初三学生，测试1分钟内 仰卧起坐的次数，并绘制成如图1所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）A 、0.1B 、0.2C 、0.3D 、0.4 2．若26321nn aa =-，则的值为（ ）A 、17B 、35C 、53D 、14573．从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）A 、1张B 、2张C 、3张D 、4张4．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ） A 、上午12时 B 、上午10时 C 、上午9时30分 D 、上午8时 5．如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A 、525 B 、625 C 、1025 D 、19256．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、6对7．点M （sin 60cos60-，）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A 、122，） B 、1(22--） C 、1(22-，） D 122--（， 8．从鱼塘打捞草鱼300尾，从中任选10尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4（单位：kg ），依此估计这300尾草鱼的总质量大约是（ ） A 、450kg B 、150kg C 、45kg D 、15kgE 图3DCBA9．下列实数0221 sin 60 3.141597π-），，，属于无理数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 10．在函数 0)ky k x=>（的图像上有三点111222333(,) (,) (,)A x y A x y A x y ，，，已知1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）A 、120y y <<B 、310y y <<C 、213y y y <<D 、312y y y <<11．如果关于1)11x a x a x a +>+<的不等式（的解集为，那么的取值范围是（ ） A 、0a > B 、0a < C 、1a >- D 、1a <-12．如图4，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE=DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③AO=OE ；④D E O F ABCSS =四边形中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个13．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图5所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 、450a 元B 、300a 元C 、225a 元D 、150a 元14．观察下列算式：12345672=22=42=82=162=322=642=128=2568，，，，，，，2……通过观察，用你所发现的规律写出118的末位数字是（ ）A 、2B 、4C 、6D 、815．已知22125a b a b a b -=+=+，，的值为（ ） A 、7 B 、－7 C 、±7 D 、±916．某单位购买甲、乙两种纯净水若干桶，共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水桶数是甲种水桶数的75%。

第四届中国东南地区数学奥林匹克第一天(２00７年7月27日, 8:00-12:０0， 浙江镇海)一、 试求实数a 的个数,使得对于每个a ,关于x 的三次方程31x ax a =++都有满足1000x <的偶数根。

二、 如图，设Ｃ、D 是以O 为圆心、ＡＢ为直径的半圆上的任意两点，过点B 作O 的切线交直线CD 交于Ｐ,直线PO 与直线CA 、ＡＤ分别交于点E 、Ｆ。

证明:O Ｅ＝OF 。

三、 设*min i i a k k N k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭,试求[][]2212n n S a a a ⎡⎤=+++⎣⎦的值，其中[]2,n x ≥表示不超过x 的最大整数。

四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件12007ni i a ==∑的任一具有n 项的正整数数列12,,,n a a a ，其中必有连续的若干项之和等于３０。

第 二 天（200７年7月2８日, 8:00-12:００， 浙江镇海）五、 设函数()f x 满足:()()121f x f x x +-=+（x R ∈),且当[]0,1x ∈时有()1f x ≤,证明:当x R ∈时，有()22f x x ≤+。

六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点,MB AB ⊥，MD 交ＡC 于N ;MC 的延长线交A Ｂ于E 。

证明：DBN BCE ∠=∠。

七、 试求满足下列条件的三元数组(a , ｂ, ｃ):(i) a ＜b <c <100,ａ、b 、c 为质数; (ii) a +1、b +1、c ＋1组成等比数列。

八、 设正实数a 、b 、c 满足:ａｂc ＝1，求证:对于整数2k ≥,有32k k k a b c a b b c c a ++≥+++AF答案一、 令02x n =，n 为整数,且|2|1000n <,即||499n ≤，所以至多取24991999⨯+=个数，即{499,498,0,1,,499}n ∈--，。

2007年研究生入学考试数学四试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→等价的无穷小量是（A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122xx -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→==，或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()l im x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==， 202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）1arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）1arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] 【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握经济中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.（6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性.一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] 【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. 【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】（12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. 【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.（13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x +=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =1e x ->.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.（18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=+. 所以(D1(,)d 13f x y σ=+⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=+.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.（20） (本题满分10分)设函数()f x 具有连续的一阶导数，且满足()2220()()d xf x xt f t t x '=-+⎰，求()f x 的表达式.【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】由方程可得 (0)0f =. 方程两边对x 求导得 0()2()d 2()2()2xf x xf t t x f x xf x x '''=+⇒=+⎰，此为一阶线性方程，解之得22d 2d ()e 2e d e 1x x x x x f x x x C C -⎛⎫⎰⎰=+=- ⎪⎝⎭⎰， 将(0)0f =代入上式得 1C =，故2()e 1x f x =-.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第8讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例10.8－例10.10】.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A Eααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得 ()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(Ak a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】（23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.【分析】（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I ）{}()()1202722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为记max(,), min(,)U X Y V X Y == （I ）求(),U V 的概率分布； （II ）求U 与V 的协方差cov(,)U V .【分析】先写出(),U V 的可能取值，然后利用定义求概率. 【详解】（I ）(),U V 的可能取值为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)，则 4(1,1)(1,1)(1)(1)9P U V P X Y P X P Y =========； (1,2)0P U V ===；(2,1)(2,1)(1,2)P U V P X Y P X Y =====+==4(2)(1)(1)(2)9P X P Y P X P Y ===+===； 1(2,2)(2,2)(2)(2)9P U V P X Y P X P Y =========.故(),U V 的概率分布为（II ）由(),U V 的概率分布可得141016,,()999EU EV E UV ===， 所以 4cov(,)()81U V EUEV E UV =-=.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.32】，【例3.10】.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

浙江大学2007年数学分析考研试题及解答1. 证明:()()3sin 1xex x x O x -+=，()0x →.证明：()30sin 1lim x x e x x x x→-+ 20sin cos 12lim 3x x x e x e x xx →+--= 02cos 2lim6x x e x x→-= 01cos sin 1lim 313x x x e x e x →-==.2. 证明：2cos sin 1x x x x +>+-，()0,x ∈+∞.证明：设()()2cos sin 1f x x x x x =+-+-，()00f =，()sin cos 12f x x x x '=-+-+， ()00f '=，()cos sin 20f x x x ''=--+>，从而，当0x >时，()()00f x f ''>=， ()()00f x f >=，故2cos sin 1x x x x +>+-， ()0,x ∈+∞.3. 设f是[]1,1-上的可积函数，则有()()()22212111x y z f z dxdydz f u u du π-++≤=-⎰⎰⎰⎰.证明：()2221x y z f z dxdydz ++≤⎰⎰⎰()222111x y t f z dxdy dz -+≤-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()222111x y t f z dxdy dz -+≤-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()1211f z z dz π-=-⎰()()1211f u u du π-=-⎰.4. 叙述数集的上确界及下确界的定义.解：设E 是一非空数集，数β称为E 的上确界， 如果（1）x E ∀∈，有x β≤；（2）0ε∀>，x E ε∃∈，使得x εβε>-.设E 是一非空数集，数α称为E 的下确界，如果（1）x E ∀∈，有x α≤； （2）0ε∀>，x E ε∃∈，使得x εαε<+.5. 设E 是一个有上界的数集，用a E 表示E 的一个平移，即{}:a E x a x E =+∈,其中a 是一个实数，试证明：sup sup aE E a =+.证明：由于E 有上界，由确界原理，sup E β=是有定义的，证a β+是a E 的上确界.（1）任意a x x a E '=+∈，x E ∈，x x a a β'=+≤+；（2）0ε∀>，存在x E ε∈，使得x εβε>-，从而()a x a E ε+∈，有()()x a a εβε+>+-，故a β+是a E 的上确界，结论得证.6. 确定数集()22311,1,2,3,2n n S n n ⎧⎫-=-=⎨⎬⎩⎭的上确界和下确界. 解：()22223313131312222222n n n n n -⎛⎫⎛⎫-<--≤-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()()()2223213lim1222k k k k →∞--=， ()()()221232113lim 12221k k k k +→∞+--=-+， 所以3sup 2S =，3inf 2S =-. 7. Dirichlet 函数 ()10x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数.试分别用（1）极限的定义，（2）Cauchy 收敛准则， 证明：当1x →时，()Dx 的极限不存在.证明：（1）用极限定义证：00ε∃>，0δ∀>，存在无理数()1,u U δ∈，使得()()01011D u D ε-=-=≥.（2）Cauchy 收敛准则证：00ε∃>，0δ∀>，存在有理数()1,r U δ∈，存在无理数()1,u U δ∈，使得()()0101D r D u ε-=-=≥.8. 设函数列(){}nf x 与(){}ng x 在区间I 上分别一致收敛于()f x 与()g x ，且假定()f x ，()g x 都在I 上有界，试证明()(){}n n f x g x 在I 上一致收敛于()()f x g x .证明：由(){}nf x 在I 上一致收敛于()f x ，且()f x 在I 上有界，可知(){}nf x 在I 上一致有界，同理(){}ng x 在I 上一致有界.设()n f x A ≤，()n g x B ≤，由()()()()n n f x g x f x g x -()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-()()()()()()n n n f x g x g x f x f x g x ≤-+- ()()()()n n A g x g x B f x f x ≤-+-，再由条件，即可得到结论. 9. 在第8题中，如果只给出(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛于()f x 与()g x ，能否保证有()(){}nnf xg x 一致收敛于()()f x g x .解：不能保证. 例1：()()1n n f x g x x n==+，()()f x g x x ==，显然(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛，()()22112n n f x g x x x n n=++，()()2lim n n n f x g x x →∞=，但()()()()221supsupn n x Rx Rf xg x f x g x x n n∈∈-=+=+∞ 故()(){}nnf xg x 在R 上不一致收敛于()()f x g x .例2. 在(0,1)I =上, ()()11n n f x g x x n==+,()()1f xg x x ==, 显然(){}nf x 与(){}ng x 分别一致收敛，()()2211112n n f x g x x x n n =++，()()21lim n n n f x g x x →∞=，但()()()()2(0,1)(0,1)211sup supn n x x f x g x f x g x n x n∈∈-=+=+∞ 故()(){}nnf xg x 在(0,1)上不一致收敛于()()f x g x10. 设()f x 在[],a b 上可积，并且在x b =处连续，证明：()()()()11limbnn an n x a f x dx f b b a +→∞+-=-⎰.证明：由于()f x 在[],a b 上可积，从而()f x 在[],a b 上有界，0M ∃>，使得()f x M ≤，[](),x a b ∈，又()f x 在x b =处连续，0ε∀>，()0,b a δ∃∈-，使得[],x b b δ∈-时，有()()2f x f b ε-<.注意到()()111bnn an x a dx b a ++-=-⎰，我们有()()()()11bnn an x a f x dx f b b a ++---⎰()()()()11bnn a n x a f x f b dx b a ++=--⎡⎤⎣⎦-⎰()()()()11b nn an x a f x f b dx b a δ-++≤---⎰()()()()11bnn b n x a f x f b dx b a δ+-++---⎰()()()()111122b bnnn n ab n n Mx a dx x a dx b a b a δδε-++-++≤-+---⎰⎰()()1122n n b a Mb a δε++--≤+-1212n M b a δε+⎛⎫=-+⎪-⎝⎭，由于对该固定的δ，有1lim 10n n b a δ+→∞⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 从而*N N ∃∈，使得当n N >时，114n b a Mδε+⎛⎫-<⎪-⎝⎭，即有()()()()11bnn an x a f x dx f b b a ++---⎰道242MMεεε<+=，故结论得证.11. 设()f x 连续,证明Poisson 公式du c b a u f dS cz by ax f )(2)(22211++=++⎰⎰⎰-∑π，其中∑为2221x y z ++=.证明 取新坐标系Ouvw ，其中原点不变，平面0ax by cz ++=即为Ovw ，u 轴垂直于该面，点(,,)x y z 到平面0ax by cz ++=的距离为222ax by cz d a b c++=++；点(,,)x y z 在Ouvw 中的坐标为(,,)u v w ，则有 222ax by cz u a b c++=++在新坐标系下，公式左端的积分可写为()222Sf u a b c dS ++⎰⎰显然，球面S 的方程为2221u v w ++=或()22221v w u+=-，若表示成参数式，则为22,1cos ,1sin u u v u w u θθ==-=- 其中 11,02u θπ-≤≤≤≤；22(,1cos ,1sin )r u u u θθ→=--， 221(1,cos ,sin )11u u r uuθθ→=----，22(0,1sin ,1cos )r u u θθθ→=---，2211uE r u→==-， 221G r uθ→==-， 20,1u F r r EG F θ→→=⋅=-=从而2dS EG F dud dud θθ=-=，于是，最后得到()222()SSf ax by cz dS f ua b cdS ++=++⎰⎰⎰⎰()2122201d f u a b c du πθ-=++⎰⎰()122212f u a b c du π-=++⎰.12. 设10a >，1314nn na a a +=++，1,2,3,n =证明：数列{}n a 有极限，并求其值.证明：显然11n a +>，1311344nn na a a +=+<+=+，111331144n n n n n n a a a a a a -+-⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()113444n n n n a a a a --⋅=-++134n n a a -<-，()1,2,3,n =，由此，可知{}n a 收敛，设lim nn a a →∞=，在1314n n na a a +=++中，令n →∞取极限，得314aa a=++， 故得到2a =，lim 2nn a →∞=.13. 设()()211ln 1nn f x x n n ∞==+∑， 证明：（1）()f x 在[]1,1-上连续；（2）()f x 在1x =-处可导；（3）()1lim x f x -→'=+∞；（4）()f x 在1x =处不可导.证明：（1）设()()21ln 1n n u x x n n =+， 则()n u x 在[]1,1-上连续，由于()()2211ln 1n u x n n n ≤≤+，()2n ≥，[]()1,1x ∈-，所以()1n n u x ∞=∑在[]1,1-上一致收敛，于是()()1n n f x u x ∞==∑在[]1,1-上连续，对()1,1x ∈-，有()()1nn f x u x ∞=''=∑； （2）因为()()1111ln 1n n n n u x x n n ∞∞-=='=+∑∑，在[]1,0-上一致收敛，所以()f x 在[]1,0-上可导，且()()1nn f x u x ∞=''=∑，[]1,0x ∈-； （3）先证明一个引理： 引理. 设幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为R ，且0n a ≥， 则有11lim nn n n x Rn n a x a R -∞∞→===∑∑.对于0R =，不用证明.对于0R >，由于数列1n k k k a R =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑是递增的，若其有上界，则1n n n a R ∞=∑收敛， 从而1nn n a x ∞=∑在x R =左连续，结论成立， 若其无上界，则1nn n a R∞==+∞∑，于是0M ∀>，*N N∃∈，使得11Nnn n a R M =>+∑， 知0δ∃>，使得当[),x R R δ∈-，有111NNnnn n n n a R a x ==-<∑∑， 从而11Nn nnnn n a x a xM∞==≥≥∑∑，即11lim nn n n x Rn n a x a R -∞∞→===+∞=∑∑.现在回头来证明题目，()()11111lim lim ln 1n x x n f x x n n --∞-→→='=+∑()11ln 1n n n ∞==+∑，由于级数()11ln 1n n n ∞=+∑发散， ()11ln 1n n n ∞==+∞+∑， 从而()1lim x f x -→'=+∞；（4）由()()()111lim lim 1x x x f x f f x ξ--→→-'==+∞-，其中(),1x x ξ∈， 所以()()11lim 1x f x f x -→--不有限，()f x 在1x =处不可导.浙江大学2009年数学分析考研试题及解答1. 求22221cos sin dx a x b x +⎰，()0ab ≠.解：原式222221cos 1tan dx b a x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2t a n 11t a n b d x a ab b x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1a r c t a n t a n bx C ab a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 2. 求()()22022cos lim11cos arctan t xx xe tdt xex x→---⎰.解：原式()22220252cos lim1cos arctan 1t x x x e tdt xx x xx x xe →-=⋅⋅⋅--⎰2240cos 1lim 5x x e x x→-=()223cos sin lim20x x ex x x x →-=30c o s s i nl i m 20x x x x x →-=20sin 1lim6060x x x x →-==-. 3. 求2ln 1xdx x+∞+⎰. 解：2ln 1xIdx x+∞=+⎰2021l n 111t x d t t t t +∞-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+⎰ 2ln 1tdt t+∞=-+⎰I =-， 所以2ln 01xIdx x+∞==+⎰. 4. 求()()sgn Dx y x y dxdy +-⎰⎰，其中[][]0,10,1D =⨯.解：原式()()110x ydx x y dy dy x y dx =+-+⎰⎰⎰⎰()()11xxdx x y dy dx x y dy =+-+⎰⎰⎰⎰0=.5. 如果()f x 在0x 的某邻域内可导，且()001lim2x x f x x x →'=-， 证明：()f x 在点0x 处取极小值.证明：由()001lim02x x f x x x →'=>-，0δ∃>，使得当00x x δ<-<时，()0f x x x '>-，从而当00x x δ<-<时，()0f x '>；当00x x δ-<-<时，()0f x '<，即f在0x 的左领域上递减，在0x 的右邻域上递增，于是f在点0x 处取得极小值.6. 设(),,f x y z 表示从原点到椭球面2222221x y z a b c∑:++=，()0,0,0a b c >>>上点(),,P x y z 处的切平面的距离，求第一型曲面积分(),,dSf x y z ∑⎰⎰.解：容易知道，椭球面上点()000,,x y z 处的切平面方程为0002221x y z x y z a b c++=， 于是()0002220004441,,f x y z x y z a b c =++，即得()2224441,,f x y z x y z a b c =++，由对称性(){}1,,,0,0,0x y z x y z ∑=∈∑≥≥≥，22221x y z c a b=--，()2222,1,,0x y x y D x y a b ⎧⎫∈=+≤≥⎨⎬⎩⎭，221x y dS z z dxdy =++22244422221x y zc a b c x y a b++=--，()()18,,,,dS dS f x y z f x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰222281Dc dxdy x ya b =--⎰⎰12281c d abrdr rπθ=-⎰⎰12821r abc dr rπ=⋅-⎰()1122812abc r π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭4abc π=.7. 设()f x 在[],a b 上连续，且[](),min 1x a b f x ∈=，证明：()()1lim 1nb n a n dx f x →∞⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎰.解：直接利用，()[],gx a b ∈，()()[]()1,limmax bnnan x a b g x dxg x →∞∈=⎰，令()()1gx f x =，即得结果. 8. 设对任意0a >，()f x 在[]0,a 上黎曼可积，且()lim x f x C →+∞=，证明：()00lim tx t te f x dx C ++∞-→=⎰.证明：()0txu u tef x dx e f du t +∞+∞--⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰，由题设条件可知()f x 在[)0,+∞上有界，()f x M≤，u u u e f Me t --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，u u e f du t +∞-⎛⎫⎪⎝⎭⎰关于0t >是一致收敛的，在任意[],A δ上，uu e f t -⎛⎫ ⎪⎝⎭一致收敛于ue C -.由广义积分的控制收敛定理， 原式00lim u t u e f du t ++∞-→⎛⎫=⎪⎝⎭⎰00lim u t u e f du t ++∞-→⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰0ue Cdu C +∞-==⎰. 9. 证明()sin xf x x=在()0,1与()1,0-上均一致连续，但是在()()1,00,1-上不一致连续.证明：定义()1sin ,(0,1]1,0xx g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩，()[)2sin ,1,01,0xx g x xx ⎧∈-⎪=⎨⎪-=⎩， 即知()1g x ，()2g x 分别在[]0,1，[]1,0-上连续，从而一致连续，而他们的限制()f x 在()0,1，()1,0-上一致连续.用反正法. 若()f x 在()()1,00,1-上一致收敛，则对0ε∀>，0δ∃>，当()()12,1,00,1x x ∈-，且12x x δ-<，有()()12f x f x ε-<，特别，由柯西收敛定理， 可以推知()0limx f x →存在，但()0lim 1x f x +→=，()0lim 1x f x -→=-， 这是矛盾的， 所以()f x 在()()1,00,1-上不一致连续.10. 设()f x 在[],a b 上可导，导函数()f x '在[],a b 上单调下降，且()0f b '>.证明：()()2cos baf x dx f b ≤'⎰.证明：()cos baf x dx⎰()()()()()11cos f b f a y f x ydyf fy -='⎰()()()()11cos f b f aydy f fξ-='⎰ ()()()1sin sin f b f a f b =-'()2f b ≤'，其中用到了推广的积分第一中值定理.或者利用第二积分平均值定理，得()()()()11cos f b f aydy f f y -'⎰()()()11cos f b ydy f f b η-='⎰()2f b ≤'.浙大2010年数学分析考研试题及解答1. 求()2211limn n k n k+→∞=∑.解：由()221221221n k n n n n n k+=++≤≤+∑， 知()2211lim2n n k n k+→∞==∑. 2. 求()[][]0,0,1sin y xy dxdy π⨯⎰⎰.解：原式()1sin dy y xy dx π=⎰⎰()101cos 1y dy π=-=⎡⎤⎣⎦⎰.3. 求()30sin 1lim sin x x e x x x x→-+. 解：原式()3330sin 1lim sin x x e x x x x x x→-+=⋅ 20sin cos 12lim 3x x x e x e x xx →+--= 02cos 2lim6x x e x x→-= ()0sin cos 1lim 31x x e x x →-+=13=.4. 计算zdxdy ∑⎰⎰，其中∑是三角形(){},,:,,0,1x y z x y z x y z ≥++=，其法向量与()1,1,1相同.解：(){},,:,,0,1x y z x y z x y z Ω=≥++≤由高斯公式zdxdy zdxdy ∑∂Ω=⎰⎰⎰⎰16dxdydz Ω==⎰⎰⎰，()1,01x y x y dxdydz x y dxdy Ω+≤≥=--⎰⎰⎰⎰⎰()11001xdx x y dy -=--⎰⎰()()12201112x x dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰()12011126x dx =-=⎰， :1z x y ∑=--，(){},,:,0,1x y D x y x y x y ∈=≥+≤，zdxdy ∑⎰⎰()1Dx y dxdy =--⎰⎰()11001xdx x y dy -=--⎰⎰()()12201112x x dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰()12011126x dx =-=⎰.5. 求201sin xdx π+⎰. 解：201sin xdx π+⎰20cos 1sin x dx xπ=-⎰32223022cos 1sin x dx xπππππ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰()()()3211122222302221sin 21sin 21sin x x x πππππ=--+---()22221242=+--=.6. 求()120ln 11x dx x ++⎰.解：()120ln 11x dx x ++⎰()40tan ln 1tan x d πθθθ=+⎰()440ln sin cos ln cos d d ππθθθθθ=+-⎰⎰4400ln 2cos ln cos 4d d πππθθθθ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰404ln 2ln cos ln cos 8udu d πππθθ-=+-⎰⎰ln 28π=.7. 设1sin nn a a -=，()2,3,n =，且10a >，计算lim3n n na →∞. 解：（1）先证明lim 0n n a →∞=，事实上11sin n n n a a a --=≤，而limn n a A →∞=存在，由于211a -≤≤，n a ，()2,3,n =是同号的，所以lim nn a B →∞=存在，于1sin n n a a -=两边令n →∞，有sin A A =，而得0A =.（2）证1111,22,lim 0,,31,222,n n k a k n a a k k a k ππππππππ→∞<<+⎧⎪==⎨⎪-+<<+⎩，1,2,k =，事实上 （a ）当1a k π=时，0n a =，而lim03n n na →∞=； （b ）当1a k π≠时， 若122k a k πππ<<+时，则0na >；若1222k a k ππππ+<<+时，则0n a <.故此时，仅需证2lim13n n n a →∞=. 而这可以通过用Stolz 公式立即得到：221lim lim 133n n n n n n a a →∞→∞=22111lim 113n n n a a →∞-=-221111lim 113sin n n n a a →∞--=-221122111sin lim 3sin n n n n n a a a a --→∞--=-222201sin lim 3sin x x xx x→=-32201sin lim 3sin sin x x x x x x x x x →⎛⎫=⋅⋅ ⎪-+⎝⎭3011lim32sin x x x x →=⋅-2013lim61cos x x x→=-012lim 12sin x x x→==.8. 设函数()f x 在(),-∞+∞上连续，n 为奇数，试证：若()()limlim 1n n x x f x f x x x→-∞→+∞==，则方程()0nf x x +=有实根. 证明：有题设条件， 存在0A >，使得()0nf A A >,()()0n f A A ->-. ()()n F x f x x =+，n 为奇数，()()10n n f A F A A A ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()()()()10nn f A F A A A ⎛⎫--=-+< ⎪ ⎪-⎝⎭，于是由连续函数的介值定理， 存在(),A A ξ∈-，使得()0F ξ=，结论得证.9. 证明sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致连续，其中0δ>. 证明：由sin 2u du u π+∞=⎰， 可知()0sin xy f x dy y +∞=⎰0s i n 2u x y u d u u π+∞==⎰， 故()0sin xyf x dy y+∞=⎰在[),δ+∞上一致连续， （1）先证sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致收敛， 事实上，因为1001sin sin sin xyxy xy dy dy dy y y y+∞+∞=+⎰⎰⎰，由于111200sin sin x y x y dy dy y y -⎰⎰1120sin sin x y x ydy y -≤⎰()1120cos y x x dy yξ⋅-≤⎰12x x ≤-，所以10sin xydy y ⎰在[),δ+∞上一致连续；只需验证反常积分1sin xydy y+∞⎰一致收敛，而用Dirichlet 判别法， 1）122sin Axydy x δ≤≤⎰，2）1y 关于y 递减，且1lim 0y y→+∞=，由狄利克雷判别法， 于是1sin xydy y+∞⎰在[),δ+∞上一致收敛， 对于任意固定0ε>，1A ∃>，使得对一切[),x δ∈+∞，有sin 3Axydy ε+∞<⎰，1211sin sin x y x y dy dy y y +∞+∞-⎰⎰12121sin sin sin sin AAAx y x yx yx ydy dy dy yyy+∞+∞-≤++⎰⎰⎰()12213A x x ε≤--+ε≤，(当123x x Aε-<时)， 即1sin xydy y+∞⎰关于x 在[),δ+∞上一致连续， 故sin xydy y+∞⎰关于x 在[),δ+∞上一致连续. 11. 设{}n a ，{}n b 为实数序列，满足（1）limn n b →∞=+∞；（2）1111n i i i nb b b -+=⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑有界， 证明：若11limn n n n na ab b +→∞+--存在，则lim n n n ab →∞，也存在.证明：记11n nnn na a cb b ++-=-，不妨设lim 0nn c c →∞==，若不然，用n n a cb -代替n a ，而()()111lim0n n n n n n na cb a cb b b ++→∞+---=-，lim lim n n n n n nn a a cb c b b →∞→∞-=+， 往证lim 0n n na b →∞=， 由1111n i i i n b b b -+=⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑有界， 而设界为0M >，由lim 0n n c →∞=知，对任意固定的0ε>，*1N N ∃∈，使得 当1n N >时，有2n c M ε≤； 由1lim 0n nb →∞=，知 对于上述1N ，*N N ∃∈，当n N >时， 有 12N n a b ε<；现有()111n n n n n a a c b b ---=+-=()1111n N i i i i N a c b b -+==+-∑， 而()111112n N n i i i i N n n na a cb b b b M b ε-+=≤+⋅-∑ 22M M εε≤+⋅ ε≤，当n N >， 故lim0n n n a b →∞=.。

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C 解：由3210x x x +++=，得1x =-， 所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1． 2．答案：A 解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4．3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限． 5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab +=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则 △OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26，∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2；解：当x ≤-3时，y = -3x -6； 当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个；解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形．9．答案：5312； A D（第2题） AB CEFO G（第6题）解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得：︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ．解得AD =5312． 10．答案：1，或253±-；解：由已知，321x x x (200032120001)x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或2000x =．11．答案：238104；解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上． 12．答案：36；解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m +⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-， 即A （2-，0）． 所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ， 因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++，解得12x =-，25x =-． 将它们分别代入y =36x --，得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15． 14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形．∵F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵AB ∥CD ，∴DN AN PN MN =．∵AD ∥CE ，∴DN CQPN PQ =． ∴+PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +=DN CQ AN +． 又=OQ DN 31=OG DG ，∴OQ =3DN ．∴CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ，于是，AN +CQ =2DN ，∴+PN MN =PN PQ DNCQ AN +=2， 即MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，...，2008分成1004对，每对数的和为2009， 每对数记作(m ，2009-m )，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之 一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，(123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，BACMN P E FQ DG O每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，． 又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003，1004，…，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。

2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是6y y -=-，显然不可能．若0x <，则 12,6,x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-．所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）． 解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx（第3题答案图）恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 答：（D ）． 解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，0020=++b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>，所以0a b c ++=． 于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc +++-+++== 3()3ab a b abc-+==．故选（D ）．5．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 答：（A ）． 解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y ++++=-++（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ∆=⋅=⨯⨯=．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x =>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．答：（0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋b），（第7题答案图）所以2(2)a a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1-≤12a <-，或者3a =-解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数()233y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以[][]032)3(231)3(122<+⨯-+⨯+⨯-+a a ，得112a -<<-．由031)3(12=+⨯-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题意；由032)3(22=+⨯-+a ，得12a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．（Ⅱ）令()2330x a x +-+=，由判别式0∆=，得3a =±．当3a =+时，12x x ==3a =-12x x ==综上所述，a 的取值范围是1-≤12a <-，或者3a =-9．如图，90A B C D E F G n ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=⋅︒，则n ＝ ．答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ∠=∠+∠+∠，于是A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠B C E F AQG =∠+∠+∠+∠+∠ B C E F BQF =∠+∠+∠+∠+∠ 540690=︒=⨯︒． 所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 答：33100． 解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n =++++- ，3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+， 所以),111(31)1(3111n n n n a n --=-=- ,4,3,2=n 因此23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x =上的一个动点． （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线214y x =的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠． 解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则 PM20114x ==+;又因为点P 到直线1y =-的距离为220011(1)144x x --=+， 所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y =-的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y =-，所以，PH∥MN ∥QR ，于是QM MPRN NH =， 所以Q RP H R NH N=， 因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ∠=∠，从而PNM QNM ∠=∠．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以 12121122x x x x a b ab --=+-，124(1)(1)(21)(21)5x x a b --+--=.…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，1x -≥0,1x -≥0，21a -≥1,21b -≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b --=⎧⎨--=⎩ 或 ⎩⎨⎧=--=--.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （（1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x -+=，它的两个根为11x =，22x =．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x -+=，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x =，22x =． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=︒．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅，22PB BD BF AB ==⋅．……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-， 即 PA AE PB BF -=-， 所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+？ （2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n +=+？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n +=+，则22(1)1m n n +=++，显然1n >，于是2221(1)n n n n <++<+，（第13A 题答案图）所以，21n n ++不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k =时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n +=+，则2241244m m n n +=+，22(23)(21)8m n +=++，(2321)(2321)8m n m n +--+++=，(1)(2)2m n m n -+++=，而22m n ++>，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t =（t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t =-=-，则 2242()()()m m k t t t t t t +=-+=-， 2242(1)(1)n n t t t t +=-=-，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t =＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n -+-==，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t --+=++=+--， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t +-++=⋅=+--， 因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k =时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x =--+和抛物线2C ：234y x x =--相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间. （1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x ⎧=--+⎪⎨=--⎪⎩得 112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 222,6,x y =⎧⎨=-⎩所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）． 于是AB ==…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2+--t t t ， )43,(2--t t t ， 22t -<<，因此 PQ 22(4)t =-≤8， 当0t =时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ++=，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b +≥k c恒成立．解：当a b ==2c =时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b +≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立． 由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c >．因为2110,0ab a b c c=>+=-<，所以a ≤b 0<．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c++=的两个实数根，于是414c c∆=-≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c +=-+=≥44c c =． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC =．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ， 于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠， 从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DEPC CF =． 又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠， 所以APB DPC ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（B ）．证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u ，v 满足1≤u v <证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c >>．若结论不成立，则必有a b， ○1 b c． ○2 ………………5分记,b c s a b t c s t =+=+=++，显然,0s t >，代入○1得c s t c s +++≥12+， 11s t c c s c+++≥12+， 令,s tx y c c==，则11x y x +++． ○3 由a b c <+，得c s t c s c ++<++，即t c <，于是1ty c=<． 由○2得1b c s x c c +==+， ○4 由○3，○4得y≥11(1)2x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭1=， 此式与1<y 矛盾．从而命题得证．………………15分。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i - 10．211n - 311．212．(23)， 13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=。

又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当n=1时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴==又12DE AO ==．∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，tan CDO =CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan． 解法二：（I ）同解法一。