函数的单调性复习课

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高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件

解当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(

)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)

函数单调性与最值复习课课件

=f（x）+f（y）,当x＞1时，f（x）＞0.
（1）求f（1）;
（2）证明：函数在定义域上是增函数;
（3）如果
f

1 3

1，求y=f（x）在
1 3
, 3
上的最大值.
（1）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1）,故f（1）=0.
（2）证明:设0＜x1＜x2,
则f
(x2 )
作出图象：可知y的最大值为4,最小值为-4.
答案：4 -4
立体设计·走进新课堂
第二章函数
方法指津
1.判断函数单调性的常用方法（1）定义法. （2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数. （3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性. （4）如果f（x）在区间D上是增（减）函数，那么 f（x）在D 的任一子区间上也是增（减）函数. （5）若y=f（u）和u=g（x）单调性相同，则 y=f（g（x））是增函数；若y=f(u)和u=g（x）单调性相反，则 y=f（g （x））
答案：C 考点三函数的值域和最值
【案例3】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房.由于地理位置的限制，房屋侧面的长度x不得超过a m.房屋正面的造价为每平方米400元，房屋侧面的造价为每平方米150元，屋顶和地面的造价共5 800元.已知墙高3 m，且不计房屋背面的费用.
（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
第二章函数
第二节函数的单调性与最大(小)值
(对应学生用书P10)
知识梳理
1.函数
在区间（__-___a__,0_)_和__(_0_, __a_)_

函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习

3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
第2课时函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1

(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研核心考点
考点一确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]

高三第一轮复习函数的单调性课件

1.（多选题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ABC ）
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
3.函数f(x)=lg (x2-4)的单调递增区间为( C ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,0) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)
探究提高（1）复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域； ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
考点分类深度剖析
考点一函数的单调性与单调区间
1、常见函数的单调性及单调区间
（1）一次函数y=kx+b的单调性；（2）二次函数y=ax2+bx+c的单调性；（3）反比例函数 y k (k 0) 的单调性；
x
（4）指数函数y=ax的单调性；
（5）对数函数y loga xa 0, a 0的单调性；（6）幂函数 y x 的单调性；
故x∈(1,+∞).
判断函数的单调性与求函数单调区间的常见方法:
1、利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.
2、图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值的函数的单调区间常用此法.

函数单调性复习课

x − 2 > x −2
2
解得
0 < x <1
由(1),(2)得
0 < x <1
所以，x的取值范围为 ( 0 ,1 )
例4．函数 y = x − 2ax+ a −1 在(−∞,1)上是减函数，求实数a的取值范围．
2 2
分析：函数的图象开口向上，所以函数在对 y = x2 − 2ax+ a2 −1 的减区间为 (−∞, a ) 解：函数称轴左边为减函数，右边为增函数．由题意函数在 (−∞,1) 上是减函数则有
2 2
2 2
（作差）
2
(1 − x1 )(1 − x2 ) （变形） 2 2 2(x1 − x2 ) 2(x1 − x2 )(x1 + x2 ) = = 2 2 (1− x1 )(1− x2 ) (1 − x1 )(1 + x1 )(1 − x2 )(1 + x2 ) Q1 < x1 < x2 ,∴x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0 (定号)
2
2.已知函数 y = ax + 4 x + 3 在区间 [2,+∞ )上是增函数,求实数a的取值范围.
2
1 x2 −4 x+6 3.求函数 y = ( ) 减区间. 2
例7.函数 f (x) = ax − (5a − 2)x − 4 在 [2,+∞) 上是增函数，求实数a的取值范围．
2
解:(1)当a=0,则 f ( x) = 2 x − 4 那么 f (x) 是Ｒ上的增函数，符合题意. 5a − 2 (2)当a≠0,则 f (x)的对称轴为 x = 2a a > 0 由题设可得 5 a − 2 解得 0<a≤2

3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习

即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3

人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课复习(函数的单调性及函数的平均变化率)

所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
栏目导引
第三章函数
利用定义证明函数单调性的步骤
课件
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课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
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[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式．
栏目导引
第三章函数
的应用
解参数不等式
直观想象
第三章函数
课件
课件
课件
课件
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课件
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课件课件
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问题导学预习教材 P95－P100 的内容，思考以下问题： 1．增函数的概念是什么？ 2．减函数的概念是什导引
第三章函数
课件课件
课件课件
课件课件
课件
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(2)所示．
两种情况下，都称函数在 I 上具有单调性(当 I 为区间时，称 I 为函数的___单__调__区__间____，也可分别称为__单__调__递__增___区__间____或 _____单__调__递__减__区__间_____)．
栏目导引
第三章函数
栏目导引
第三章函数
2．函数的平均变化率
(1)直线的斜率
课件
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课件
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高考数学导数与函数的单调性复习课件

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第四章导数及其应用
17
2．已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.
若 a≤0，则 f′(x)>0 恒成立，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0；当 x∈1a，＋∞时，
()
A．在区间(－2，1)上 f(x)是增函数
√B．在区间(2，3)上 f(x)是减函数 √C．在区间(4，5)上 f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上 f(x)是增函数
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第四章导数及其应用
9
解析：在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)是增函数．在(2，3)上 f′(x)<0 恒成立，所以 f(x)是减函数．
7
2．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
√D．减函数
解析：因为 f′(x)＝－sin x－1<0.
所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.
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第四章导数及其应用
8
3．(多选)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是
f′(x)<0，所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
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第四章导数及其应用
18
求函数的单调区间 (2021·东北三校第一次联考)已知函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－12ax2－ x(a∈R)．设 f′(x)为函数 f(x)的导函数，求函数 f′(x)的单调区间．

高考数学复习知识点讲义课件19--- 函数的单调性

(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数 y＝x2＋2x－1 的单调减区间 (－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
(2)若函数 y＝f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增加(减少)的，一般不认为 y＝f(x)在区间 A∪B 上
一定是增加(减少)的．如：函数 f(x)＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，在区间 (0，＋∞)上也是减少的，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减少的．
对增函数与减函数定义的理解
(1)定义中x1，x2有三个特征：一是x1，x2同属于一个单调区间；二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1.
(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减．
(2)已知函数 f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且 f(x－2)＞f(1－x)，求 x 的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
a＜0时，在R上单调递减
反比例函数y＝(a≠0)
a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)； a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋ a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；
n(a≠0)

函数单调性复习教案

北京梦飞翔教育个性化辅导教案学生：教师：时间：年月日_____段课时：学管师签字：___________函数的单调性（二）考点分析考点1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性例1．求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；※（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．例2. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.例3．设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．题型2：研究抽象函数的单调性例1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）。

（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.例2．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<．题型3：函数的单调性的应用例1．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______ 例2．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____考点2 函数的值域（最值）的求法题型1：求分式函数的最值例1．（2007上海）已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值。

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要点·疑点·考点
1.函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：
（1）如果对于属于定义域 I 内某个区间上
的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
（2）如果对于属于定义域I内某个区间上的
任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
(C) h(x)= ? 2 (D) s(x)= log 1 (? x)
x? 1
2
2、函数f(x)=3x2－mx+4在[－5,+∞）上是增函数，
在(－∞,－5]上是减函数，则f(－1)的值是（ B ）
(A) 37
(B)―23
(C) 22
(D)―6
3.如果函数f (x) ? x2 ? 2(a ? 1)x ? 2在区间(?? ,4]上
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u) 在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．即
返回练习
例1 已知函数 y ? tan? x
在 ?? ? ? , ? ?? 内是减函数，则
? 2 2?
A．0<ω≤1 B. －1≤ω<0
C. ω ≥1
D． ω ≤－1
返回
针对性练习 1.下列函数中，在区间 (-∞，0)上是增函数的是 ( D )
(A) f(x)=x2-4x+8 (B) g(x)=ax+3 (a≥0)
分析:本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：
①使loga (2-ax)有意义，即 a＞0且a≠1，2-ax＞0．
②使a loga (2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分a 解为y=loga u,u=2-ax, 其中u=2-ax在a＞0时为减函数, 所以必须 a＞1；
a
③
[0， a
3.用定义证明函数单调性的步骤证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)；变形 (3)判定差的正负； (4)根据判定的结果作出相应的结论.
练习1
4.复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
1]
必须是
y=log
a
(2-ax)
定义域的子集
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域的子区间，在解题时，要注意这一点.
返回
练习：证明 f (x) ? x ? 1 在(0,1)上为减函数
是减函数, 那么实数a的取值范围是( ).
A.(?? ,5) B.(?? ,? 3) C.(? 3,?? ) D.(?? ,3)
返回
例设 0< a<1 ，函数
f (x) = loga(ax-2 )，则使f (x) < 0 的x取值范围是 _(_?_?_,_lo_g_a_3_)____
练习:函数 f (x) ? log1 (? x2 ? 3x ? 2) 的减区间是
3
3
(1, )
2
【解题回顾】函数的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义域 .
返回
2.已知函数 f(x)=loga(2-ax)在区间 [0 ，1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
函数
单调性
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
练2
5.函数的单调性：
① f ' (x) ? 0 （或 ? 0 )
? f (x) 单调递增（或单调递减）；
② f (x) 单调递增（或单调递减）
? f ?(x) ? 0（或 <0)
x
证明：设0 ? x1 ? x2 ? 1
则f (x1) ?
f (x2 ) ?
x1 ?
1 x1
?
x2 ?
1 x2
?
(x1 ?
x2 ) ?
x2 ? x1 x1x2
?
f ( x1) ?
?
f (x2 )

( x1
?
x2 )(1?
1 )? x1x2
0
? f (x) ? x ? 1 在(0,1)上为减函数 x
返回
（3）函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0) 时是减函数.
2.单调区间
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
3、证明要用定义证明
4、判断：1)观察 2)分解 3)图像 4)定义 5)导数
确定单调性一定是相对于某个区间而言，而且一定要在定义域内。
函数的单调性复习课
?要点·疑点·考点 ?例题1 例 2 ?针对性练习 ?小结
要点·疑点·考点
函数的单调性，是函数的重要性质之一，是高考数学中的常考内容，常与函数的最值或参数的取值范围联系在一起，有时也用于比较大小，多数在选择题中出现，但大题也有这类型的考题，不过难度稍大，若是放在前三道大题，则多与三角函数结合，求函数在某个区间的最值或值域为主。
(05广东)1.函数f (x) ? x3 ? 3x2 ? 1是减函数的区间为 A (2,?? ) B (?? ,2) C (?? ,0) D (0,2)
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小结
1、在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简转化为讨论一些熟知函数的单调性，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数，二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程 2、注意数形结合以及利用复合函数的性质