2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用章末检测卷新人教版选修

第一章 导数及其应用章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．由曲线y ＝x 2，直线y ＝0和x ＝1所围成的图形的面积是( ) A.18 B.16 C.13D.12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解 答案 C解析 由题意知，其围成的图形的面积为ʃ10x 2d x ＝⎪⎪⎪13x 310＝13. 2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 A解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上单调递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上单调递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．3．已知某物体运动的路程与时间的关系为s ＝13t 3＋ln t ，则该物体在t ＝4时的速度为( )A.649B.645C.657D.654考点 求瞬时速度题点 用极限的思想求瞬时速度 答案 D解析 s ′(t )＝t 2＋1t，则该物体在t ＝4时的速度为s ′|t ＝4＝42＋14＝654.4．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以f ′(x )≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1≤0.解得0<x ≤22. 5．已知曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，则实数a 的值为( ) A.12 B ．－2 C ．2 D ．－12答案 D解析 f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，可得曲线f (x )＝ln x 在点(2，f (2))处的切线斜率为12，由切线与直线ax ＋y ＋1＝0平行，可得－a ＝12，解得a ＝－12.故选D.6．若函数f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(－1)f (－1)等于( )A ．－34B.34 C ．－65D ．－56考点 导数公式的应用 题点 导数公式的应用 答案 C解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝－4＋2x ，f ′(－1)＝－6， 又f (－1)＝－2f ′(1)＋1＝5，∴f ′(－1)f (－1)＝－65.7．下列定积分不大于0的是( ) A ．ʃ1－1|x |d x B ．ʃ1－1(1－|x |)d x C ．ʃ1－1|x －1|d x D ．ʃ1－1(|x |－1)d x考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 D解析 A 项，ʃ1－1|x |d x ＝2ʃ10x d x ＝1>0；B 项，ʃ1－1(1－|x |)d x ＝ʃ1－11d x －ʃ1－1|x |d x ＝2－1>0； C 项，ʃ1－1|x －1|d x ＝ʃ1－1(1－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 21－1＝2>0； D 项，ʃ1－1(|x |－1)d x ＝ʃ1－1|x |d x －ʃ1－11d x ＝1－2<0，故选D.8．若函数y 1＝sin 2x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.212π＋52－64B.2π12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52－642D.(π－33＋15)272考点 导数的综合运用 题点 导数的综合运用 答案 D 解析(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示两函数图象上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y 1上与直线y 2平行的切线的切点到直线y 2的距离． ∵y ′1＝2cos 2x 1，令y ′1＝1， ∴cos 2x 1＝12，∵x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∴x 1＝π6，∴y 1＝1＋32，故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1＋32，切点到直线y 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π6－1＋32＋32＝π－33＋1562，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为(π－33＋15)272.故选D.9．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝x －33x. 令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；令f ′(x )＝0得x ＝3. 故函数f (x )在区间(0,3)内为减函数，在区间(3，＋∞)内为增函数， 在x ＝3处有极小值f (3)＝1－ln 3<0. 因为f (1)＝13>0，f (e)＝e3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 10．函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0.设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( ) A ．c <a <b B ．a >b >c C ．a <b <cD ．a <c <b考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 ∵当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0， ∴f ′(x )>0，∴f (x )在区间(－∞，1)上为增函数．又∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在区间(1，＋∞)上为减函数．∵a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)＝f (3)， ∴c <a <b .11．如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m ，则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 考点 数学思想方法在导数中的应用 题点 转化与化归思想在导数中的应用 答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－x 2＋a ，f ′(x )＝3x 2－2x ， 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )， 满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a＝a 2－a ， ∴方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的解． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，0<13<a ，解得12<a <1.12．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 B解析 当a ＝0时，由f (x )＝－3x 2＋1＝0， 解得x ＝±33，函数f (x )有两个零点，不符合题意． 当a >0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a>0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵当x →－∞时，f (x )→－∞，且f (0)＝1>0， ∴存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，不符合题意．当a <0时，令f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ＝0，解得x ＝0或x ＝2a<0，此时f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵f (0)＝1>0，且当x →＋∞时，f (x )→－∞， ∴存在x 0>0，使得f (x 0)＝0. 又f (x )存在唯一的零点x 0，∴极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1>0，∴a >2或a <－2. ∵a <0，∴a <－2.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－2)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.14．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在区间(－1,1)上恒成立，故a ≥3.15.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法有________． 考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 ①④解析 由图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误； 当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，④正确．16．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)， ∴当x <－a 或x >a 时，f ′(x )>0， 当－a <x <a 时，f ′(x )<0，则当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，解得a >22. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列两个条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b ，若不存在，请说明理由． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，则g ′(x )＝x 2－bx2，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， 又∵f (x )的最小值为1，则g (x )的最小值为3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝0，g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件．18．(12分)设函数f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x(x >0)．令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． ∵切线与y 轴相交于点(0,6)， ∴6－16a ＝8a －6，∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝(x －5)＋6x＝(x －2)(x －3)x(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，f (x )在区间(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在区间(2,3)上为减函数． 故f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 19．(12分)已知函数f (x )＝x e x－x －ax 2. (1)当a ＝12时，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，则x ＝－1或0， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x－1－ax ，则g ′(x )＝e x－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数， 而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0， 从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为kex (e 为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设该产品一年的销售量为Q (x )＝ke x ，则ke40＝500，所以k ＝500e 40，则该产品一年的销售量Q (x )＝500e40e x ，则该产品一年的利润L (x )＝(x －a －30)500e40e x＝500e 40·x －a －30ex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x. ①若2≤a ≤4，则33≤a ＋31≤35，当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，L (x )单调递减， 所以当x ＝35时，L (x )取得最大值为500(5－a )e 5； ②若4<a ≤5，则35<a ＋31≤36，令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知当x ＝a ＋31时，L (x )取得最大值为500e 9－a .综上所述，当2≤a ≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5，且每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e 9－a 万元．21．(12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系． 考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小解 (1)由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x， 即g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x . 设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 即h (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 22．(12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 (1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立． 令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2， 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0；当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 故当x ＝e 时，g (x )有最小值且最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]．(2)由题意，得k (x )＝x －2ln x －a .令φ(x )＝x －2ln x ， 又函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x， 当x ∈(1,2)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2<a <3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。

A. B.
C. D.
解析：由s＝ t3＋lnt，得s′＝t2＋ ，所以s′|t＝4＝42＋ ＝ .
答案：C
4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()
A．e2B．e
C. D．ln2
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
f′(x0)＝lnx0＋1＝2⇒x0＝e.
答案：B
5．函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
解析：由f′(2)，f′(3)的几何意义知f′(2)>f′(3)>0，
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中，其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
14．函数f(x)＝ (x∈[－2,2])的最大值是________．最小值是________．
答案：C
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()
A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1.

第一章导数练习题（第一单元）班级______姓名______组别_______2012-02-14题组A1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2. 23y x x =+在 x =1处的导数为（ ）A ．2xB ．3C ．3x +∆D ．53. 在0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于04. 如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k →--等于 6. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.题组B1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为4. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆= 5.已知曲线C:y=x 3求过曲线C 上横坐标为1的点P 的切线方程，题组C1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2. 已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .5.求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.6.求在曲线y=x 2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-57：求在曲线y=x2上过哪一点的切线垂直于直线2x-6y+5=08.求下列函数的导数:(1)y=3x(x2+2); (2)y=(2+x3)2;(3)y=(x-1)(2x2+1); (4)y=(2x2+3)(3x-2).9. 一质点作直线运动, 它所经过的路程S(单位: m)和时间t(单位: s)的关系是S=3t 2+t+1.(1)求[2, 2.01]这段时间内质点的平均速度; (2)当t=2时的瞬时速度.题组D1.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．2.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2, 0), 且在点P处有公共切线, 求f(x)、g(x)的表达式.3.已知曲线C: y=x3-3x2+2x, 直线l: y=kx, 且直线l与曲线C相切于点(x0, y0)(x0 0), 求直线l的方程及切点坐标.。

高中数学 第一章 导数及其应用综合检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪(π2，3π4][答案] A[分析] 先求导数，再依据弦函数性质得到导函数的值域，即切线斜率的取值范围，最后求直线的倾斜角的取值范围．[解析] y ′＝cos x ， ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是[0，π4]∪[3π4，π)．2．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 又因为在x ＝1处有极值， ∴a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0， ∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 所以ab 的最大值等于9.故选D.3．下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( )A ．f (x )＝－x 3B ．f (x )＝－cos xC ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[答案] B[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝1x在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)，∪(3，＋∞) B．(－3，3)C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．[－3，3][答案] D[解析] f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－3≤a≤3，故选D.5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是( ) A．f(sin A)>f(cos B) B．f(sin A)<f(cos B)C．f(sin A)>f(sin B) D．f(cos A)<f(cos B)[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x>0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，又△ABC为锐角三角形，则A＋B>π2，即π2>A>π2－B>0，故sin A>sin(π2－B)>0，即sin A>cos B>0，故f(sin A)>f(cos B)，选A.7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－310<a <67B ．－85<a <－316C ．－83<a <－116D ．a <－310或a >67[答案] D[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)， 要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0， 即(103a ＋1)(－76a ＋1)<0，解得a <－310或a >67.故选D.8．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.11．已知函数f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1][答案] B[解析] 由于g (x )＝x 3－x 2－5⇒g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f (x )≥1恒成立，即a x ＋x ln x ≥1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，h ″(x )<0， 所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2单调递减， 由于h ′(1)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)－1，∴a ≥1.12．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )A ．[－32，3]B ．[32，6]C ．[3,12]D ．[－32，12][答案] C[分析] 根据极值的意义可知，极值点x 1、x 2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域．利用参数表示出f (－1)的值域，设z ＝x ＋3y ，再利用z 的几何意义求最值．[解析] f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2， 且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0. 由此得b ，c 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0.满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分． 由题设知f (－1)＝2b －c ， 令z ＝2b －c ，当直线z ＝2b －c 经过点(0，－3)时，z 最小， 最小值为3.当直线z ＝2b －c 经过点C (0，－12)时，z 最大， 最大值为12.故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________________．[答案] 57[解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0,3]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，∴最大值为f (3)＝54＋3＝57.14．如图阴影部分是由曲线y ＝1x、y 2＝x 与直线x ＝2、y ＝0围成，则其面积为______．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛1x d x ＋⎠⎛121xd x ＝23x 32 | 10＋ln x | 21＝23＋ln2.15．函数f (x )＝ax 3－3x 在区间(－1,1)上为单调减函数，则a 的取值范围是__________．[答案] a ≤1[解析] f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≤1x2，∵x ∈[－1,1)，∴a ≤1.[警示] 本题常因混淆f (x )在区间A 上单调递减与f (x )的单调递减区间为A 致误，f (x )在区间A 上单调递减时，A 可能是f (x )的单调减区间的一个真子集．若f (x )的单调减区间为[m ，n ]，则在x ＝m (x ＝n )两侧函数值异号，f ′(m )＝0(f ′(n )＝0)；若f (x )在区间[m ，n ]上单调递减，则f ′(x )≤0在[m ，n ]上恒成立．16．已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])，其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．有以下三个命题，其中正确的命题为________________．(请把正确命题序号填在横线上)．①若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，则f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]； ②函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0,1]上的2阶收缩函数；③若函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4. [答案] ①②③[解析] 对于①，由于f (x )＝cos x 在[0，π]上单调递减，由已知可得f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f (0)＝1，故①正确；对于②，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )>0，f (x )在[0,1]上单调递增，故f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )＝－x 3＋3x 2，f 2(x )－f 1(x )＝－x 3＋3x 2≤kx 对∀x ∈[0,1]成立，当x ≠0时，k ≥－x 3＋3x 2x＝－x 2＋3x 恒成立，又当x ＝1时，－x 2＋3x取得最大值2，∴k ≥2，即②正确；③中，f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[－1，00，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1x 2，x ∈[1，4]，∴f (x 2)－f (x 1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，01，x ∈[0，1x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，k ≥2. 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，∴k ≥1. 当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，∴k ≥165. 即f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]是[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，则k ＝4.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)． 因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x >0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x＝2x －1x －ax(x >0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －12x≥0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x ≥11ex ＋2x －a ，x <1(a 为常数，e 为自然对数的底数)的图象在点A (e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围．[解析] 由于f ′(e)＝1e ，得f (x )在点A 处的切线方程为：y －1＝1e (x －e)，即1e x －y＝0由题意知切线与y ＝1e(x ＋2)(x －a )(x <1)有两个交点，即1e x ＝1e (x ＋2)(c －a )有两个小于1的根，即x 2＋(1－a )x －2a ＝0有两个小于1的根，设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1＋x 2<2x 1－1x 2－1>0即⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋8a >0a －1<2－2a －a －1＋1>0解得：a <－3－22或－3＋22<a <23.21．(本题满分12分)(2015·重庆文，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝ 3.从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|得， |QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a .于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a . 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2aλ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a λ＋1＋λ2－11＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得41＋λ＋1＋λ22＋λ＋1＋λ2－121＋λ＋1＋λ22＝e 2，若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝4＋t －22t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性， 得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59，即22<e<53.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x (a >0)．(1)若∃x >0，使得不等式f (x )>6a 2－4a 成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数y ＝f (x )图象上任意不同的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，证明：k >f ′(x 0)．[解析] (1)∵f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x －2ax －(1－2a )＝－x －12ax ＋1x，∵a >0，x >0，∴2ax ＋1>0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；从而当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－a －(1－2a )＝a －1， 由题意得a －1>6a 2－4a ，解得13<a <12，即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)∵f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )，∴f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－(1－2a )＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，又k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝[ln x 2－ax 22－1－2a x 2]－[ln x 1－ax 21－1－2a x 1]x 2－x 1＝[ln x 2－ln x 1]－a x 22－x 21－1－2a x 2－x 1x 2－x 1＝lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )． 不妨设x 2>x 1>0，要证明k >f ′(x 0)，即证明lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )>2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )，只需证明lnx 2x 1x 2－x 1>2x 1＋x 2，即证明ln x 2x 1>2x 2－x 1x 2＋x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，构造函数g (x )＝ln x －2x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－4x ＋12＝x －12x x ＋12≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，当x >1时，g (x )>g (1)＝0，又x 2x 1>1，所以ln x 2x 1>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，从而k >f ′(x 0)成立．一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] ∵点(1，－1)在曲线上，y ′＝3x 2－6x ， ∴y ′|x ＝1＝－3，即切线斜率为－3.∴利用点斜式得，切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5.3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] ∵y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 4.⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D. 9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12JD ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.06＝0.18.10．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确[答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.12．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3] D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′0>0，f ′1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B. 二、填空题13．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极值，则实数b 的取值范围是________________．[答案] (0,1)[解析] f ′(x )＝3x 2－3b ，∵f (x )在(0,1)内有极值，∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，∴0<b <1.14．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为____________________．[答案] y ＝－1e[解析] y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________________．[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n(1－x )，∴y ′＝(x n)′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )－x n.f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n. ∴切线方程为y ＋2n＝(－n －2)·2n －1(x －2)．令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为22n－12－1＝2n ＋1－2.16．已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________________．[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f x ＋3>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f x ＋3<0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数． (1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围．[解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )， 令f ′(x )＝0得x ＝±b ，x (－∞，－b )－ b (－b ，b )b(b ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增依题意有⎩⎨⎧f －b >0，f b <0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)． 18．已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R .(1)若函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝0处取得最小值，求a 的取值范围．[解析] (1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，∵f (x )在(0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)内恒成立． ∴x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)内恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ≤g (0)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，0]；(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2ex －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，∵g (x )＝x ＋2－2e x ，在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R .∴存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0；∴f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾；②若x 0＝0，当x ∈(－∞， 0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f (x )>0；∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾；③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0；∴f (x )在x ＝0处取得极小值；综上所述，x 0<0，∴a ＝g (x 0)<g (0)＝0. ∴a 的取值范围是(－∞，0)．19．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′23＝3×232＋2a ×23＋b ＝0，f ′1＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： x －4(－4，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值 单调递减极小值 单调递增函数值－111395274∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.20．已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ， 由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1. 21．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)． 22．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)(x ≥0，a >0)，g (x )＝x －2x ＋2. (1)讨论函数y ＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ＝1时，证明：13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12f (n )(n ∈N *)．[解析] (1)∵y ＝f (x )－g (x )＝ln(ax ＋1)－x －2x ＋2， y ′＝a ax ＋1－4x ＋22＝ax 2＋4a －4ax ＋1x ＋22，当a ≥1时，y ′≥0，所以函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数； 当0<a <1时，由y ′>0得x >21a－1，所以函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫21a－1，＋∞上是单调递增函数，函数y ＝f (x )－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a－1上是单调递减函数；(2)当a ≥1时，函数y ＝f (x )－g (x )是[0，＋∞)上的增函数． 所以f (x )－g (x )≥f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x )≥g (x )＋1在x ∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a <1时，函数y ＝f (x )－g (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，21a－1上的减函数，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，21a－1，使得f (x 0)－g (x 0)<f (0)－g (0)＝1，即不等式f (x 0)≥g (x 0)＋1不成立，综上，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a ＝1时，由(2)得不等式f (x )>g (x )＋1在x ∈(0，＋∞)时恒成立， 即ln(x ＋1)>2x x ＋2，所以ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1>21＋2k(k ∈N *)，即12k ＋1<12[ln(k ＋1)－ln k ]． 所以13<12(ln2－ln1)，15<12(ln3－ln2)， 17<12(ln4－ln3)，…， 12n ＋1<12[ln(n ＋1)－ln n ]． 将上面各式相加得到，13＋15＋17＋…＋12n ＋1<12[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n ＋1)－ln n )]＝12ln(n ＋1)＝12f (n )．∴原不等式成立．。