高中数学第三章导数及其应用章末测试A新人教B版选修1_1
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1 第三章导数及其应用
测评A
(基础过关卷)
(时间：90分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的),
1.若f′(x0)＝－2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D.12
2．下列求导运算正确的是( )
A.x＋1x′＝1＋12x2 B．(log2x)′＝1xln 2
C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
3．已知P点在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1,0) C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1)
4．函数f(x)＝sin xx，则( )
A．f(x)在(0，π)内是减函数 B．f(x)在(0，π)内是增函数
C．f(x)在－π2，π2内是减函数 D．f(x)在－π2，π2内是增函数
5．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不正确
7．如图，过函数y＝xsin x＋cos x图象上点(x0，y0)的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图象大致为( ) 2
8．函数f(x)＝xex在点(1，e)处的切线方程为( )
A．y＝－2ex＋3e B．y＝2ex－e C．y＝ex D．y＝x－1＋e
9．设f(x)＝x2(2－x)，则f(x)的单调增区间是( )
A.0，43 B.43，＋∞ C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪43，＋∞
10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意的实数x恒有f(x)≥0，则f(－2)f′(0)的最小值是( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．函数f(x)＝x＋4x在(0，＋∞)上的最小值为__________，此时x＝__________.
12．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax3＋bx2＋5的单调减区间为__________．
13．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为__________．
14．若曲线y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处切线的倾斜角都是锐角，则整数a的值为__________．
15．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3 16．(6分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d的值．
17．(6分)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
18．(6分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)．(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
19．(7分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
4 参考答案
1. 解析：limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝－12f′(x0)＝1.
答案：C
2. 解析：x＋1x′＝1－1x2，(3x)′＝3x·ln 3，
(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x.
答案：B
3. 答案：C
4. 解析：f′(x)＝x(sin x)′－sin x(x)′x2＝xcos x－sin xx2.
当x∈0，π2时，tan x＞x，
所以sin x＞xcos x，
所以xcos x－sin x＜0，即f′(x)＜0；
当x＝π2时，xcos x－sin x＝－1＜0，
所以f′(x)＜0；
当x∈π2，π时，cos x＜0，
所以xcos x－sin x＜0，即f′(x)＜0.
综上可知，对于x∈(0，π)，总有f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，π)内是减函数．选A.
答案：A
5. 解析：由题意得f′(x)＝12x2－2ax－2b.
因为函数f(x)在x＝1处有极值，
所以f′(1)＝0.
所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.
又因为a＞0，b＞0，由基本不等式得a＋b≥2ab，
即ab≤a＋b22＝622＝9，故ab的最大值是9.
答案：D
6. 解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
因为f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以当x＝0时，f(x)最大＝m，所以m＝3.
从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以最小值为－37. 5 答案：A
7. 解析：因为y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
所以k＝g(x0)＝x0cos x0.
易知g(x0)为奇函数，且x∈0，π2时，g(x0)＞0.故选A.
答案：A
8. 解析：因为f′(x)＝ex＋xex，所以f′(1)＝2e.
所以切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.
答案：B
9. 解析：f(x)＝2x2－x3，f′(x)＝4x－3x2.
由f′(x)＞0，得0＜x＜43.
答案：A
10. 解析：因为f′(0)＞0，且对于任意实数x恒有f(x)≥0，
所以2040.abac＞，＝－所以f(－2)f′(0)＝－2＋4a＋cb≥－2＋24acb≥－2＋2b2b＝0.
答案：B
11. 答案：4 2
12. 解析：根据题意，函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则a＜0，b＜0.
由y＝ax3＋bx2＋5，得y′＝3ax2＋2bx，
令y′＜0，可得x＞0或x＜－2b3a，
故所求减区间为－∞，－2b3a，(0，＋∞)．
答案：－∞，－2b3a，(0，＋∞)
13. 解析：令F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2，
又对任意x∈R，f′(x)＞2，
所以F′(x)＞0，F(x)在x∈R上为增函数，
故F(x)＞0的解集为(－1，＋∞)，
即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
14．解析：f′(x)＝3x2－4ax＋2a，由题意知f′(x)＞0恒成立，则Δ＝16a2－24a＜0，6 得0＜a＜32，故a的值取1.
答案：1
15. 解析：y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0x＝±a，不难分析，当1＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．
答案：1＜a＜4
16. 解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得(2x＋1)2＋a(2x＋1)＋b＝4(x2＋cx＋d)，即4x2＋(4＋2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d，所以42414.acabd＋＝，①＋＋＝②由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，即a＝c，③
由①③可得a＝c＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋b.
又f(5)＝30，即25＋10＋b＝30，解得b＝－5，将a，b的值代入②得d＝－12.
综上可得a＝2，b＝－5，c＝2，d＝－12.
17. 解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即1331136312abab－＋＝－，－＋＝－，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3；
令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
18. 解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5(x∈N*，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，
因为x＞0，所以P′(x)＝0时，x＝12，
所以当0＜x＜12时，P′(x)＞0，
当x＞12时，P′(x)＜0，
