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组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
五年级奥数专题5消去法解决问题【同学们，这一讲我们要解决题目中含有两个或两个以上未知数量的应用题。
现在，就让我们一起进入这一讲的学习，开动脑筋,感受“消去法”的独特魅力吧!】例1：学校会议室第一次买了2个水壶和20个茶杯，共用去116 元;第二次又买了同样的2个水壶和16个茶杯，共用去100元。
水壶和茶杯的单价各是多少?【举一反三】：云云买了4本练习本和2支钢笔，共用去12元;小华买了同样的4本练习本和3支钢笔,一共用去17元。
练习本和钢笔的单价各是多少?例2：红红买了5本练习本和3支铅笔共花了18元，若买同样的3本练习本和5支铅笔需要花14元，练习本和铅笔的单价各是多少?【举一反三】：3个足球和2个篮球共140元，同祥的2个足球和3个篮球共135元。
足球和篮球的単价各是多少?例3：买9张桌子和3把椅子共花了780 元，5张桌子的价钱比3把椅子的价钱多340元。
桌子和椅子的单价各是多少?【举一反三】：3包味精和6包糖共重3000克.7包糖比3包味精重3000克。
1包味精和1包糖各重多少克?例4：某商店有篮球、足球和排球三种球。
1个篮球、1个足球和2个排球共60元;1个篮球、2个足球和1个排球共75元;2个篮球、1个足球和1个排球共65元。
每种球的单价各是多少?【举一反三】：买1支钢笔、2支圆珠笔和1个文具盒其花了31元;买同样的2支钢笔、1支圆珠笔和1个文具盒共花了38元;买同样的1支钢笔、1支圆珠笔和2个文具盒共花了43元。
求钢笔、圆珠笔和文具盒的单价。
例5：王航准备购买练习本铅笔和橡皮三种学习用品。
如果购买3支铅笔、7本练习本和1块橡皮要花6.9元;如果购买4支铅笔、10本练习本和1块橡皮要花9.5元。
那么购买1支铅笔、1本练习本和1块橡皮要花多少钱?【举一反三】：美术小组第一天买了3盒彩笔、1支毛笔和2盒油画棒，一-共用去84.4元;第二天买了同样的5盒彩笔、1支毛笔和3盒油画棒,一共用去131.2 元。
五年级奥数例题+练习平均数例题1：有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。
苹果和桃平均每箱37个。
求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？①1箱苹果+1箱梨+1箱橘子= 42×3（个）=126（个）②1箱桃+1箱梨+1箱橘子= 36×3（个）③1箱苹果+1箱桃= 37×2（个）=74（个）由①②两个等式可知：一箱苹果比一箱桃子多126—108=18（个），再根据等式③就可以算出，一箱桃有（74—18）÷2=28（个），一箱苹果有28+18=46（个）。
一箱苹果和一箱桃共有：37×2=74（个）一箱苹果比一箱桃多：42×3—36×3=18（个）一箱桃有：（74—18）÷2=28（个）一箱苹果有：28+18=46（个）答：一箱苹果46个，一箱桃28个。
练习A：1、一次考试，甲、乙、丙三人平均91分，乙、丙、丁三人平均89分，甲、丁二人平均95分，问甲、丁各得多少分？2、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克？3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。
三个小组各植树多少棵？例题2：一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分，男生平均每人90.5分，求这个班男生有多少人？（92—91.2）×21=16.8（分）16.8÷（91.2—90.5）=24（人）答：这个班男生有24人。
练习B：1、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳52下。
甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？2、有两块棉田，平均每100平方米产量是92.5千克。
已知一块田是500平方米，平均每100平方米产量是101.5千克；另一块田平均每100平方米产量是85千克，这块田是多少平方米？3、把甲级糖和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元。
第十讲逻辑推理（一）由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径.为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有很有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。
解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。
例1 公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。
请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A 市，说明第一、二辆车不可能都开往A市.（否则，如果第一、二辆车都开往A市的，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。
再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。
运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。
例2 李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
2021—2022学年五年级下册奥数专训题----最大最小问题姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．将1,2,3,4,5,6六个数填入圆圈内，使三角形每条边的和相等，并且最大。
2．把1～8 分别填入下图的圆圈内，使每个大圆的五个数的和相等，并且最大。
二、解答题3．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？4．有5位同学收集汽车票，他们共有3张1元、3张2元、2张5元和4张10元的车票，这五位同学每人的车票价钱数各不相同，问：收集汽车票价钱最多的同学最少收集了多少元的汽车票？5．4个人的年龄和是100岁，其中最小的17岁，且四人的年龄都不相同，那么年龄最大的最多是几岁？6．一把钥匙只能开一把锁，现有五把钥匙、五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
问：最多要试开多少次才能配好全部的锁和钥匙？7．一个三位数除以39，商是a，余数是b（a，b都是整数）。
求a-b的最大值。
8．一次考试满分100分，5个同学平均得分92分，且各人得分是不相同的整数。
已知分数最少的80分。
那么第三名同学最少得多少分？9．有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。
已知DE=3CE，BE=4AE，在AB、CD上取三点画三角形，问：怎样取三角形的面积最大？10．甲、乙、丙三同学移动7张桌子，由于桌子的远近关系，移动桌子所花的时间分别为4分钟、5分钟、6分钟、7分钟、8分钟、9分钟和10分钟。
现三人同时开始，至少要花多少时间全部移完？11．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m，从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m。
哪两家的店距离最近？相距多远？12．在一次考试中小明的语文和数学平均成绩是96分，数学和英语的平均成绩是88分，语文和英语的平均成绩是86分。
小学五年级数学经典奥数题训练50(含答案)word百度文库一、拓展提优试题1．如图所示，P为平行四边形ABDC外一点。
已知PCD∆的面积等于5平方厘米，PAB∆的面积等于11平方厘米。
则平行四边形ABCD的面积是CADBP2．（7分）爱尔兰作家刘易斯曾写过一篇反讽寓言，文中描述了一个名为尼亚特泊的野蛮国家．在这个国家里使用西巴巴数字．西巴巴数字的形状与通用的阿拉伯数字相同，但含义相反．如“0”表示“9”，“1”表示“8”，以次类推．他们写数字是从左到右，使用的运算符号也与我们使用的一样．例如，他们用62代表我们所写的37．按照尼亚特泊人的习惯，应怎样写837+742的和是419．【分析】“0”表示“9”，0+9＝9，“1”表示“8”，1+8＝9，由此可知西巴巴数字，表示的数字与正常数字的和都是9；由此找出837、742表示的数字，然后相加即可．3．用1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字组成两个不同的四位数（每个数字只用一次）使他们的差最小，那么这个差是．4．（7分）棱长都是1厘米的63个白色小正方体和1个黑色小正方体，可以拼成一个大正方体，问：一共可以拼成种不同的含有64个小正方体的大正方体．5．幼儿园给小朋友派礼物，如果有2人各派4个，其余各派3个，则还剩余11个，如果4人各派3个，其余各派6个，则剩余10个，问一共有多少件礼物？6．数一数，图中有多少个正方形？7．小松鼠储藏了一些松果过冬．小松鼠原计划每天吃6个松果，实际每天比原计划多吃2个，结果提前5天吃完了松果．小松鼠一共储藏了个松果．8．商店对某饮料推出“第二杯半价”的促销办法．那么，若购买两杯这种饮料，相当于在原价的基础上打 折．9．一艘船从甲港到乙港，逆水每小时行24千米，到乙港后又顺水返回甲港，已知顺水航行比逆水航行少用5小时，水流速度为每小时3千米，甲、乙两港相距 千米．10．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成 个不同的三位数．11．（8分）有一种细胞，每隔1小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个．若经过5小时后细胞的个数记为164．最开始的时候有 个细胞．12．如图，若长方形S 长方形ABCD ＝60平方米，S 长方形XYZR ＝4平方米，则四边形S 四边形EFGH ＝ 平方米．13．解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝，若10人需45分钟，20人需要20分钟，则14人修好大坝需 分钟．14．（8分）一个大于1的正整数加1能被2整除，加2能被3整除，加3能被4整除，加4能被5整除，这个正整数最小是 ．15．观察下面数表中的规律，可知x ＝ ．【参考答案】一、拓展提优试题1．12[解答]作PF AB ⊥，由于//AB DC ，所以PF CD ⊥。
数的整除姓名1(例)、判断：354796能不能被4整除？能否被8整除？2、（1）写一个六位数，使它能被4整除。
（2）写一个六位数，使它能被8整除。
3(例)、在□里填上适当的数，使47587□能被25整除。
4、在□里填上适当的数，使47587□能被9整除。
5(例)、923□□后面填上什么数字，使它能被60整除？6、97247□□后面填上什么数字，使它能被45整除？7(例)、在□里填上适当的数字，使七位数□2002□□能同时被8、9、25整除。
8、已知一个五位数□392□能被55整除，所有符合条件的五位数有哪些？9(例)、小明妈妈去批发市场购了72条毛巾，回家后不小心把发票弄脏了，只能看到总计栏里金额为□54.9□元，请你算算这些毛巾共用了多少钱？10、一位马虎的采购员购买了72只热水瓶，洗衣服时把发票洗烂了，只能依稀看到：72只热水瓶共□63.5□元（□内数字看不清），请你帮他算一算，共用了多少钱？11(例)、右边这个17位数333……3□999……9(其中3和9各8个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？12、右边这个41位数777……7□444……4(其中7和4各20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？13（例）、商店里有6箱货物，分别重18、19、20、22、25、27千克，两位顾客买去了其中的5箱，已知一个顾客买走的重量是另一个顾客的2倍，问商店里剩下的一箱货物重多少千克？14、有一水果店进了6袋水果，分别装着苹果和橘子。
重量分别是18、20、30、31、38、46千克，当天下午卖出一袋苹果，在剩下的5袋水果中，橘子是苹果的3倍，问水果店进了多少千克橘子？练习题(A组)1、在62的右边补上三位数，组成一个五位数使它能被3、4、5整除，求这样的最小五位数。
2、一个五位数各个数位上的数各不相同，它能被3、5、7、13整除，这样的五位数最小是几？3、一个五位数能被11整除，首位是7，其余数位上的数各不相同，这五位数最小是几？4、有一个六位数□2002□能被88整除，求这个六位数。
【备课说明】重点：掌握“火车过桥”问题的基本关系与火车过桥几个问题的分析方法。
难点：“火车过桥”的行程分析图的画法。
1、过桥问题是行程问题中的一类.我们所说的列车通过一座桥，是指从车头上桥到车尾离桥的这个过程.这时，列车行驶的总路程是桥长加上车长，这是解决问题的关键.2、火车过桥问题的基本数量关系式：路程=桥长+车长过桥时间=（桥长+车长）÷车速车速=（桥长+车长）÷过桥时间桥长=车速×过桥时间-车长车长=车速×过桥时间-桥长(北师大附小期末模拟)一列火车有18节车厢，每节车厢长45米，车厢与车厢之间相隔1米，问这列火车以30米/秒的速度过一座长103米的大桥需要多少秒？解：45×18＋(18－1)×1＋103＝930(米)930÷30＝31(秒)答：需要31秒。
【答案】31【知识点】火车行程【难度】★★火车长108米，每秒行12米，经过长48米的桥，要多少时间？解：()()秒13121561248108=÷=÷+答：经过长48米的桥，要13秒。
【答案】13【知识点】火车行程【难度】★★在铁路复线上两列火车相向而行，甲车车长172米，车速每秒16米，乙车车长128米，车速每秒24米，现两车车头相距180米，几秒钟后两车的车尾相离？解：(180＋172＋128)÷(24＋16)＝12(秒)。
答：12秒后两车的车尾相离。
【答案】12【知识点】火车行程【难度】★★客车以每秒钟21米的速度行驶，司机发现对面开来的一列货车，速度是每秒钟15米，从身边经过共用了10秒钟，问货车的车长是多少米？分析：这是一道相遇问题，路程和就是货车的车长。
解：(15＋21)×10＝360(米)。
答：货车的车长是360米。
【答案】360【知识点】火车行程【难度】★★在铁路复线上两列火车同向而行，甲车车长172米，车速每秒24米，乙车车长128米，车速每秒16米。
长方体与正方体一、走进来：大科学家伽里略说：“大自然用数学语言讲话。
这个语言的字母是：圆、三角形还有长方体及其它各种形体。
”圆、三角形等是平面图形；长方体、正方体等是立体图形平面图形是研究同一个平面内的各数量之间的关系；而立体图形研究的是若干个面内的数量和数量之间的关系。
长方体和正方体是我们最熟悉的几何体。
我国国家游泳中心就是一个巨大的长方体，它的长、宽、高分别为 177米、 177米、30米，又被称为“水立方”，2008年奥运会主要的游泳赛事将在这个巨大的长方体建筑内举行！本章我们将进一步认识长方体、正方体及其组合而成的立体图形的特征，学习其体积和表面积的计算方法和技巧。
提高作图能力、观察能力、计算能力和空间想象力。
二、一起做：【例1】有一个长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，表面被刷上了红油漆，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体教具，然后把各个小正方体教具中没有刷上红油漆面也刷上红油漆，问还要刷多少平方厘米的红油漆？提示：先画出图形，然后借助图形观察分析，弄清没有刷上红油漆的面处在大正方体的何位置。
【例2】老师为了考核同学们的空间想象能力，用若干个棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的立体图形。
你能计算出这个立方体的体积和表面积吗？提示：求体积关键是数一数小正方体的个数，注意数正方体时要讲究顺序性。
数一数相对的面，看看你有什么发现？【例3】有一个六个面都涂满巧克力的长方体的大蛋糕，长4分米，宽4分米，高6分米，把它切成棱长是1分米的若干个小正方体蛋糕分给幼儿园的小朋友，问：（1）没有吃到巧克力的小朋友共有多少人？（2）吃到三个面、两个面、一个面涂有巧克力蛋糕的小朋友各有多少人？提示：动手画一画图，看看三面、二面、一面涂巧克力及没有涂巧克力的小正方各在长方体的什么位置。
相信你一定能发现其中的规律！【例4】在一个棱长为9厘米的正方体的钢坯上、下底面正中间打一个对穿孔，制成一个机器零件。
已知这个对穿孔是底面边长为2厘米的正方形，这个机器零件的体积和表面积各是多少？如果在前、后、左、右面正中间也各打一个同样的对穿孔，你能算出这个零件的体积和表面积吗？提示：你能画出相应的图形吗？体积的计算可采用相减的办法，当打三个对穿孔时需注意如何处理三个孔的交汇处的立方体。
最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。
课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。
本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数可以记作（a，b）。
例1用短除法求36和54的最大公因数。
分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数，短除法的形式如下：2 36 54 ……先同时除以公因数2；3 18 27 ……再同时除以公因数3；3 6 9 ……再同时除以公因数3；2 3 ……除到两个商为互质数为止。
把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数，即（36,54）=2×3×3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。
例2求45、60、90这三个数的最大公因数。
分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数。
方法1：可以用列举法。
45的因数有：1，3，4，5，9，15，45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。
345 60 90 ……先同时除以公因数3；5 15 20 30 ……再同时除以公因数5；3 4 6 ……除到三个商只有公因数1为止。
把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3×5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。
例3求319和377的最大公因数。
分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377÷319=1 (58)上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319÷58=5 (29)上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58÷29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。
第九讲数学游戏游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。
例1 在一个3×3的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。
分析把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。
甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）；乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b ＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。
为了使叙述方便起见，我们分别用（甲2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在a处填数字5”，其余如（乙1），（甲1，b10）等含义类同。
一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。
1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了）3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。
同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。
因此，只有二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。
1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必有b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。
2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。
解：甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h 格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。
例2 在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？分析见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即○一1~○一3.而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有○+1和○+2,即○+1和○+2必须由甲来占领。
这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到○+1或○+2的那些方格中，即○一4~○一9.而从哪些方格（除了○+1和○+2外）中移动一次石子，石子必定落在○一1~○一9之一中呢？只有用○+3.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到○+3.中。
这样，所有的格子被分成“胜位”（○+1~○+3）和“负位”（○一1~○一9）.自然，上图中的○一10和○一11也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。
解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。
如果是5×5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？根据例2的分析，我们仍用○+表示胜位，○一表示负位，如图所示.因此，先移动石子者必输——第一次他只能把石子移动到负位。
例3 甲乙两人玩下面的游戏：有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（＞0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？分析解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。
为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有m个，另一堆有n个。
我们从最简单的情况（1，0）开始讨论。
显然，谁拿过球后两堆球成为（1，0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择——拿走最后一个球.因此（1，0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为①（1，0），胜位。
②（a）（n，0），负位，其中n＞1；（对方只需在n个球的那堆中拿走n—1个，对方就造出（1，0）局面，因而对方胜）。
显然，（b）（1，1），负位；（c）（n，1），负位，其中n＞1。
（对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出（1，0）局面.）此外，③（2，2），胜位.（对方拿走1个变（2，1），即②（c）中的情形；拿走2个变（2，0），即②（a）中的情形.对方均负）.因此④（n，2），负位，其中n＞2。
（对方只需在n个球的那堆中拿走n—2个，对方就占据了胜位（2，2）.）与③类似，有⑤（3，3），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④三种负位之一.）因此⑥（n，3），负位，其中n＞3。
（对方只需在n个球的那堆中拿走n—3个，对方就占据了胜位（3，3）.）还有⑦（4，4），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④，⑥四种负位之一.）因此⑧（n，4），负位，其中n＞4。
（对方只需在n个球的那堆中拿走n—4个，对方就占据了胜位（4，4）.）如此等等，因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是（1，0），或两堆各有1个球时，先拿的必胜（当为（n，0）时，拿走n-1个球；当为（n，1）时，拿走n个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。
解：如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，都是8个。
此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。
这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面.这时，乙只有两种选择：拿2个或拿1个，然后，甲拿1个或拿2个，乙也必输。
说明：我们也可用例2的分析中的思考方法来解这道题。
先如右图画一表格.其中有“*”的格子表示两堆球的个数分别为3和5.这个方格记为（3，5）（第四行第六列）.显然.（5，3）（第六行第四列）的含义与（3，5）一样（行、列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：在（8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”）.规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”）.问如果甲先移（即“甲先拿”），他有无必胜的策略？按照例2分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”、“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，（1，0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了（1，0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n，n），n＝2，3，4，….而（8，9）格是负位.因此，开始时石子在（8，9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜——把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8，8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位.接着，甲又能把石子移到胜位，….最后，甲必能把石子移到（1，0）格或（0，l）格.因此甲必胜。
请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略.习题九1.如果把例1中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。
2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就胜.先选的人有没有必胜的方案？3.把例2分别改成在8×8和9×9方格纸上，甲乙两人交替将右上角石子移到左下角，其他规则不变，问谁能有必胜策略？4.甲乙两人玩下面的游戏：有三堆玻璃球，A堆有29个，B堆有16个，C堆有16个，甲乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？。
