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“哥德巴赫猜想”讲义（3）第三讲“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展（二）主讲王若仲第2讲中我们介绍了“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展途径一，这一讲我们介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展的其他途径。
途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。
在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。
x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。
我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。
这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。
当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。
在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。
这就是例外集合的思路。
从1920年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题为《“整数拆分”的几个问题》的论文，系统地发展出了堆垒素数论中一个新的分析方法。
这个新方法的思想在1918年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的论文《组合分析的渐进公式》中就有表现。
应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分当且只当整数的时候，上面的积分才等于1。
因此，如果考虑积分式：其中，那么这个积分式实际上等于：上式中第二项等于0，所以方程“”的解的个数。
所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数，单位圆上的环路积分式。
同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式和中以质数为变数的三角多项式。
哈代和利特尔伍德猜测，当变量接近于分母“比较小”的既约分数时，的值会“比较大”，而当接近于分母“比较大”的既约分数时，的值会“比较小”。
也就是说，积分的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。
但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。
欧拉一直到死也没有对此作出证明。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。
随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。
哥德巴赫猜想的介绍哎，你们听说过哥德巴赫猜想吗？这可是数学界里的大明星，就像咱们平时聊的明星八卦一样，但它是智慧的八卦，让人琢磨不透，又让人欲罢不能。
话说在很久很久以前，哦不对，是1742年，德国有个叫哥德巴赫的数学家，他老人家在给欧拉（也是个大数学家，厉害得不得了）的信里提了个事儿，说：“嘿，欧拉兄，我发现个规律，就是所有大于2的偶数，好像都能拆成两个质数加起来。
比如4就是2+2，6就是3+3，8就是3+5，你瞅瞅是不是这么回事儿？”欧拉一看，嘿，这挺有意思啊，但咱俩都别急着下结论，得证明看看。
结果呢，欧拉忙活了半辈子，也没能给出个确切的答案。
这一来二去的，哥德巴赫猜想就成了数学界的一块硬骨头，几百年了，无数数学家前赴后继，愣是没啃下来。
它就像个谜，吸引着全世界的数学爱好者，大家都想知道，这背后的真相到底是什么。
说到这，咱们得说说质数是啥。
质数啊，就是那些只能被1和自己整除的数，比如2、3、5、7这些，它们就像数学王国里的独行侠，高冷又神秘。
哥德巴赫猜想呢，就是拿这些独行侠来玩游戏，看它们能不能组队，把所有的偶数都“消灭”掉。
当然了，数学家们也不是吃素的，他们虽然没能直接证明哥德巴赫猜想，但也取得了不少进展。
比如咱们中国的数学家陈景润，他就证明了“1+2”的命题，啥意思呢？就是说，任何一个足够大的偶数，都可以表示成一个质数和一个半质数（就是除了1和自己外，还有其他因数的数，但因数不多）的和。
这已经是很大的突破了，陈景润也因此被誉为“哥德巴赫猜想第一人”。
说到这，你们是不是觉得这猜想挺有意思的？其实啊，它不仅仅是个数学问题，更是个哲学问题。
它让我们思考，数学的世界到底有多大？我们能不能找到那个终极的答案？每一次的尝试和突破，都是人类智慧的闪光，都是我们对未知世界的探索。
而且啊，哥德巴赫猜想还跟我们的生活息息相关呢。
你们知道吗？现在的密码学、物理、工程等领域，都离不开数学的支撑。
而哥德巴赫猜想作为数学的一个重要分支，它的研究成果也会推动这些领域的发展。
哥德巴赫猜想作者：来源：《求知导刊》2013年第10期在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
“a + b”问题的推进哥德巴赫哥德巴赫，德国数学家，出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）。
曾在英国牛津大学学习，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，所以对数学研究产生了兴趣，曾担任中学教师。
1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士。
1725年～1740年担任彼得堡科学院会议秘书。
1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
欧拉国籍：瑞士出生日期：1707年4月15日逝世日期：1783年9月18日职业：数学家、物理学家毕业院校：巴塞尔大学欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样。
——阿拉戈欧拉的回信正如在你给我的来信中所观察到的那样，每个偶数看来是两个素数之和，还蕴藏着每个数如果是两个素数之和，则它可以是任意多个素数之和，个数由你而定。
如果给定一个偶数n，则它是两个素数之和，对n-2也是如此，则n是三到四个素数之和。
如果n是奇数，则它一定是三个素数之和，因为n-1是两个素数之和。
所以，n是一个任意多个素数之和。
虽然我现在还不能证明，但我肯定每个偶数是两个素数之和……摘译1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的一封信陈景润及其“1+2”国籍：中国出生日期：1933年5月22日逝世日期：1996年3月19日职业：数学家毕业院校：厦门大学代表作品：《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》“1+2”1966年，陈景润发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
趣味数学故事之哥德巴赫猜想趣味数学故事之哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。
但验格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。
200年过去了，没有人证明它。
哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9 + 9）。
这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9＋9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了"哥德巴赫"。
证明哥德巴赫猜想《和为偶数的奇素数对的个数》续论
本文探讨了哥德巴赫猜想的一个续论，即关于和为偶数的奇素数对的个数的证明。
首先，我们知道哥德巴赫猜想可以简单地表述为任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
而对于和为偶数的奇素数对的个数，我们需要分别考虑两种情况。
第一种情况是两个奇素数都是奇数。
此时，它们的和一定是偶数。
我们可以通过反证法来证明，即假设存在一个奇数N，它可以表示为两个奇素数之和的个数为偶数，那么我们可以得到：
N = p1 + p2 = q1 + q2
其中p1、p2、q1、q2都是奇素数。
将这两个等式相减，我们得到：
p1 - q1 = q2 - p2
显然，左边是奇数，右边是偶数，矛盾。
因此不存在这样的N。
第二种情况是一个奇素数是2。
此时，它与任何一个奇素数之和都是偶数。
因此，我们只需要证明存在无穷多个奇素数，即可证明存在无穷多个和为偶数的奇素数对。
关于存在无穷多个奇素数的证明，可以参考欧几里得的证明方法。
我们知道，素数的个数是无穷多的，因此可以找到任意大的素数p，然后构造出一个数q = 2p+1。
由于p是素数，因此2p也是偶数，而2p+1又是奇数，因此q一定是奇素数。
而且，因为p可以取无穷大，所以存在无穷多个这样的奇素数。
综上所述，我们证明了存在无穷多个和为偶数的奇素数对，从而证明了哥德巴赫猜想的一个续论。
如何解出世界十大无解数学题——哥德巴赫猜想一、引言数学作为一门古老而又神秘的学科，一直以来都有许多难以解决的问题。
这些问题有的历经数百年甚至数千年依然未能解决，而其中最著名的就是哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想是世界数学史上最著名的未解问题之一，它声名远扬，备受世人关注。
数学家们长期以来努力寻找解答，但至今仍未有明确的证明。
本文将就如何解出世界十大无解数学题之一——哥德巴赫猜想展开讨论。
二、哥德巴赫猜想的历史及概念1. 哥德巴赫猜想的历史哥德巴赫猜想最早可以追溯到1742年，德国数学家Christian Goldbach首次在给友人哥德巴赫的信中提出了这一问题。
这一问题被命名为哥德巴赫猜想是因为它首先被提出时是由哥德巴赫亲自提出的。
哥德巴赫在信中提到：“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
” 这就是哥德巴赫猜想的由来。
从此之后，数学家们开始对这一问题进行研究，但至今尚未找到证明。
2. 哥德巴赫猜想的概念哥德巴赫猜想的表述很简单，即任何一个大于2的偶数都可以分解为两个质数之和。
数字4可以被分解为2+2，数字6可以被分解为3+3，数字8可以被分解为3+5，以此类推。
三、哥德巴赫猜想的重要性哥德巴赫猜想之所以备受关注，是因为它涉及到了数论和素数的研究。
解决了哥德巴赫猜想，将有助于深化对素数分布规律的认识，对数论研究会有显著的推动作用。
哥德巴赫猜想的解答也将对现代密码学和计算机安全领域产生一定的影响。
解决哥德巴赫猜想对于数学领域的发展具有重要的意义。
四、哥德巴赫猜想的证明尝试1. 历史上的尝试自哥德巴赫猜想被提出以来，数学家们对此进行过多次证明尝试。
这些尝试大多基于对素数性质的研究，但很遗憾，至今仍未有一个符合数学领域普遍认可的证明方案。
2. 近年来的尝试随着数学计算能力的提升和数学工具的不断发展，近年来有一些新的证明尝试出现。
有数学家运用了复杂的计算机算法和程序来进行尝试。
然而，这些尝试大多还处于实验阶段，尚未获得全面的认可。
哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
（n＞5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n 为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和）欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。
1966年陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。
常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。
后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。
2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。
猜想提出1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，然而一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，哥德巴赫猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
（n＞5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和）。
哥德巴赫猜想名词解释
哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
（n＞5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和）欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。
1966年陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。
常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。
后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。
2013年5月，巴黎高等师范
学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
哥德巴赫猜想的完整证明这篇文章是歌德巴赫猜想的完整证明，在2006年9月19日发表的证明是成立的，但没有应用数学公式编辑，所以版面上不容易看，有些地方也有省略，在这里从新写出完整的证明。
哥德巴赫猜想困扰了人们两百多年，但始终没有被证明，看似越简单的越难证明，数学中也还有许多类似的猜想，表面看很简单，但证明确很困难。
这是数学猜想的一个共性。
素数是整数的基础，也就是除了1和自身以外，不能被其他数所整除的数是素数，由素数相乘得到的是合数，每一个大于等于6的偶数可以分解成两个素数的和，这是1742年哥德巴赫首先提出，但两百多年过去了，至今还没有证明。
其实哥德巴赫猜想比人们想象的要简单，其一是偶数分解为两个素数的和不是唯一的，一个偶数可以分解为多种两个素数的和，而且随着偶数的增大，可以有更多的解，当然证明的过程不是用普通筛选，也不是用随机概率。
证明的过程是建立在一个新的简单的公式基础上，类似于数学归纳法。
确定几率和随机概率是不同的，在这里用的是确定几率，如果确定几率大于1，最后的结果就成立。
比如对于任意一个数，是奇数的可能性是50﹪，是偶数的概率也是50﹪，对于任意的m 个整数，奇数的概率是2m ，但是不能说一定就有奇数，但对于连续的m 个整数，则一定有2m 个数是奇数，证明的思路就是将偶数2N 分解成两个数的和，而这两个数的不同组合有着连续性，只要证明在这N 种组合中，两个数都是素数的确定几率大于1，这样就可以完全证明哥德巴赫猜想。
首先素数是无限的，这个是已经被人所证明，这里只是提一下。
偶数我们用2N 表示，N+K 和N-K 的和等于2N ，其中K ＜N ，K 是任意的正整数，对于任意的2N ，可以表示为两个数的和，由于我们通常认为1不是素数，所以这种组合的可能有N-1个，在这N-1种组合中，我们要找出N+K 和N-K 都是素数的组合，对于比较小的数可以做到，对于无限的数来讲，我们要证明的是N+K 和N-K 都是素数的可能性随着N 的增大而增大，这样就能证明任意的偶数都可以分解成两个素数的和。
至今无解的数学题
1. 停机问题：一个程序是否有有限步数的计算会停机？这个问题不能通过当前任何形式化的数学方法来解决。
2. 连续统假设：在集合论中，连续统假设是一个未解决的问题，它涉及到实数集合的无穷性质。
3. 哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想是一个著名的数学问题，它试图找出最小的正整数x，使得任何大于2的偶数都可以表示为x个质数之和。
4. 孪生素数猜想：孪生素数猜想是一个未解决的问题，它涉及到寻找无穷多的素数对，这些素数的差是2。
5. 费马大定理：费马大定理是数论中一个著名的未解决的问题，它涉及到寻找一个整数解的方程。
数学家哥德巴赫的猜想
任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
(n\ue5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和
哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一。
年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式宣布明确提出了以下的悖论：a.任何一个大于 6的偶数都可以则表示成两个素数之和。
b.任何一个大于9的奇数都可以则表示成三个素数之和。
这就是哥德巴赫猜想。
欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
从此，这道数学难题引发了几乎所有数学家的特别注意。
哥德巴赫猜想由此沦为数学皇冠上一颗料不容及的“明珠”。
中国数学家陈景润于年证明：任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者可表示为两个质数的乘积。
”通常这个结果表示为 1+2。
这是目前这个问题的最佳结果。
㊀㊀㊀㊀㊀１３４㊀哥德巴赫猜想的完美证明哥德巴赫猜想的完美证明Һ何海浪㊀何㊀雷㊀（江苏省连云港市灌云县，江苏㊀连云港㊀２２２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过分组重排㊁抽取淘汰算出等于两个质数之和的式子个数在等于两个奇数之和的式子总数中所占的比大于０证明哥德巴赫猜想一，根据哥德巴赫猜想一证明哥德巴赫猜想二．ʌ关键词ɔ合数；质数；含合数的式子；两个质数之和的式子１７４２年，德国哥德巴赫提出哥德巴赫猜想，２００多年来，人们努力地想证明它，却始终未能完全证明它，１９６６年我国的陈景润证明了 １＋２ 即一个大偶数等于一个质数加上两个质数的积．一㊁任何一个偶数等于两个质数之和（一）１０以内的偶数等于两个质数之和对于１０以内的偶数，我们可以逐个验证：４＝２＋２，６＝３＋３，８＝３＋５，１０＝３＋７＝５＋５．（二）大于１０的偶数等于两个质数之和因为质数只等于１乘它本身，合数含除１和它本身外的因数，大于２的偶数都是合数，大于２的质数都是奇数，所以我们所说的奇数㊁合数㊁质数是指大于１的奇数㊁奇合数㊁奇质数，可以用（２ｋ＋１）（ｋȡ１）表示：３㊁５㊁７ （２ｋ＋１）．一定范围内的数，必然存在着质数，合数就是由这些质数中的一些作为质因数相乘得到的，但我们当作合数由它的最小质因数形成．若单独看以某质数为质因数形成的合数，它们的个数是一定的且占所有数总个数的比非常接近且小于该质数的倒数或约为该质数的倒数．若用两种方法将所有数分组重排：假设Ｎｙ㊁Ｎｚ为质数，分别以３㊁５㊁７ （２Ｎｙ＋１）为首项㊁２Ｎｙ为公差的等差数列将所有数排成Ｎｙ组；分别以３㊁５㊁７ （２Ｎｚ＋１）为首项㊁２Ｎｚ为公差的等差数列将所有数排成Ｎｚ组，则从Ｎｙ组中抽取一组数，将该组数分到Ｎｚ组的每一组中且每组分到的数占的比是相同的；从Ｎｚ组中抽取一组数，将该组数分到Ｎｙ组的每一组中且每组分到的数占的比是相同的．证明：假设Ｎｒ（或Ｎｙ或Ｎｚ或 ）为质数，分别以３㊁５㊁７ （２Ｎｒ＋１）为首项㊁２Ｎｒ为公差的等差数列将所有数排成Ｎｒ组：３㊁（３＋２Ｎｒ）㊁（３＋４Ｎｒ） ５㊁（５＋２Ｎｒ）㊁（５＋４Ｎｒ） ７㊁（７＋２Ｎｒ）㊁（７＋４Ｎｒ）Ｎｒ㊁３Ｎｒ㊁５Ｎｒ（２Ｎｒ＋１）㊁（４Ｎｒ＋１）㊁（６Ｎｒ＋１）数的个数最多的一组比最少的一组多１个，其中有一组为Ｎｒ㊁３Ｎｒ㊁５Ｎｒ 该组除首项Ｎｒ外均为含质因数Ｎｒ的合数，该组不论是个数最多的一组还是最少的一组，除去首项Ｎｒ，含质因数Ｎｒ的合数个数占所有数总个数的比为ａｒＮｒ（０＜ａｒ＜１，ａｒʈ１且ａｒ等于含质因数Ｎｒ的合数个数除以所有数总个数且分母为Ｎｒ时的分子值），所以含质因数Ｎｒ的合数个数占所有数总个数的比非常接近且小于１Ｎｒ或约为１Ｎｒ．若从Ｎｒ组中抽取首项为Ｎｐ的一组，则当Ｎｐ为Ｎｒ时，该组除首项Ｎｒ外均为含质因数Ｎｒ的合数，抽取后剩下的每组是都不含质因数Ｎｒ的合数，而以其他质数为质因数形成的合数个数所占的比在每组中（抽取的或未抽取的）或在所有数总个数中是相同的．若用两种方法将这些数重排得到Ｎｙ㊁Ｎｚ组，从Ｎｙ组中抽取首项为Ｎｐ（Ｎｐ可以为Ｎｙ）的一组中的某个数，与该数相差２ＮｙＮｚ的数在Ｎｙ组的同一组中也在Ｎｚ组的同一组中，而首项为Ｎｐ的一组数每相邻两数之间相差２Ｎｙ，从相差２Ｎｙ到相差２ＮｙＮｚ有Ｎｚ个数，它们必然分到Ｎｚ组中，每组分到的数的个数占该组数总个数的比都相同且为ａｙＮｙ（０＜ａｙ＜１且ａｙʈ１，ａｙ等于以Ｎｐ为首项㊁２Ｎｙ为公差的等差数列数的个数除以所有数总个数且分母为Ｎｙ时的分子值）；从Ｎｚ组中抽取首项为Ｎｐ（Ｎｐ可以为Ｎｚ）的一组中的某个数，与该数相差２ＮｙＮｚ的数Ｎｚ组的同一组中也在Ｎｙ组的同一组中，而首项为Ｎｐ的一组数每相邻两数之间相差２Ｎｚ，从相差２Ｎｚ到相差２ＮｙＮｚ有Ｎｙ个数，它们必然分到Ｎｙ组中，每组分到的数的个数占该组数总个数的比都相同，且为ａｚＮｚ（０＜ａｚ＜１，ａｚʈ１且ａｚ等于以Ｎｐ为首项㊁２Ｎｚ为公差的等差数列数的个数除以所有数总个数且分母为Ｎｚ时的分子值）．我们假设该偶数为Ｎ＝２ｋ＋２（ｋȡ２）＝（２ｋ１＋１）＋（２ｋ２＋１）（ｋ１，ｋ２ȡ１），即该偶数等于两个奇数之和，按照前面那个加数从小到大，后面那个加数从大到小，把该偶数等于两个奇数之和的所有算式列出：Ｎ＝３＋（２ｋ－１）Ｎ＝５＋（２ｋ－３）Ｎ＝７＋（２ｋ－５）Ｎ＝（２ｋ－５）＋７Ｎ＝（２ｋ－３）＋５Ｎ＝（２ｋ－１）＋３因为合数由它的最小质因数形成，所以在３ң（２ｋ－１）范围内能够作为质因数的最大质数为与２ｋ－１最接近且小于或等于２ｋ－１的质数．我们假设：与２ｋ－１最接近且小于或等于２ｋ－１的质数为Ｎｗ，与Ｎｗ最接近且小于Ｎｗ的质数为Ｎｍ，把所列式子个数看作１，按一定顺序分组重排㊁抽取淘汰算出含合数的式子（某式子的前面加数中含有或某式子的后面加数中含有或某式子的前后两个加数中都含有）等于两个质数之和的式子在所列式子总个数中所占的比．将所列式子的前后加数分别按以３㊁５㊁７为首项㊁６为公差的等差数列把前后加数都排成３组（共６组）：３㊁９㊁１５㊁２１㊁２７ ５㊁１１㊁１７㊁２３㊁２９ ７㊁１３㊁１９㊁２５㊁３１把所列式子也排成了３组，式子个数最多的一组比最㊀㊀㊀１３５㊀㊀少的一组多１，其中有两组为３㊁９㊁１５ 这两组除首项３外均为含质因数３的合数，如果该偶数含质因数３，那么这两组出现在同一组式子的前后加数中；如果该偶数不含质因数３，那么这两组分别出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些组中抽取并淘汰含质因数３的合数的式子，则抽取淘汰式子个数占式子总个数的比㊁抽取淘汰后剩下式子个数占式子总个数的比分别为ａ１３㊁３－ａ１３（当该偶数含质因数３时，ａ１ʈ１且ａ１等于含质因数３的合数个数除以所有数总个数且分母为３时的分子值；当该偶数不含质因数３时，ａ１ʈ２且ａ１等于含质因数３的合数个数的２倍除以所有数总个数且分母为３时的分子值）．在抽取淘汰式子的数中和抽取淘汰后剩下式子的数中，含质因数５㊁７㊁１１ Ｎｍ㊁Ｎｗ的合数所占的比约为１５㊁１７㊁１１１ １Ｎｍ㊁１Ｎｗ．对剩下的占式子总个数的比为３－ａ１３的不含质因数３的合数式子中的数进行分组重排，将前面抽取淘汰式子中的数全部放回剩下的数中参加重排，分别以３㊁５㊁７㊁９㊁１１为首项㊁１０为公差的等差数列把前后加数都排成５组（共１０组）：３㊁１３㊁２３㊁３３㊁４３ ５㊁１５㊁２５㊁３５㊁４５ ７㊁１７㊁２７㊁３７㊁４７ ９㊁１９㊁２９㊁３９㊁４９ １１㊁２１㊁３１㊁４１㊁５１把所列式子也排成５组，式子个数最多的一组比最少的一组多１，其中有两组为５㊁１５㊁２５ 这两组除首项５外均为含质因数５的合数，如果该偶数含质因数５，则这两组出现在同一组式子的前后加数中；如果该偶数不含质因数５，则这两组分别出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些组式子中抽取出含质因数５的合数的式子，则抽取出式子的个数占式子总个数的比㊁抽取后剩下式子个数占式子总个数的比分别为ａ２５㊁５－ａ２５（当该偶数含质因数５时，ａ２ʈ１且ａ２等于含质因数５的合数个数除以所有数总个数且分母为５时的分子值；当该偶数不含质因数５时，ａ２ʈ２且ａ２等于含质因数５的合数个数的２倍除以所有数总个数且分母为５时的分子值），将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数３的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数５的合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为ａ２５ˑ３－ａ１３，抽取淘汰后剩下式子个数占式子总个数的比为３－ａ１３－ａ２５ˑ３－ａ１３＝５－ａ２５ˑ３－ａ１３．对剩下的式子占总个数的比为５－ａ２５ˑ３－ａ１３的不含质因数３㊁５的合数式子中的数进行分组重排，将前面抽取淘汰式子中的数全部放回剩下的数中参加重排，分别以３㊁５㊁７㊁９㊁１１㊁１３㊁１５为首项㊁１４为公差的等差数列把前后加数都排成７组（共１４组）：将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数３㊁５的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数７的合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３，抽取淘汰后剩下的式子个数占式子总个数的比为５－ａ２５ˑ３－ａ１３－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３＝７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３．在抽取淘汰式子的数中和抽取淘汰后剩下式子的数中，含质因数１１㊁１３㊁１７ Ｎｍ㊁Ｎｗ的合数所占的比分别约为１１１㊁１１３㊁１１７ １Ｎｍ㊁１Ｎｗ．对剩下的占式子总个数的比为Ｎｍ－ａｍＮｍˑ ˑ７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３的不含质因数３㊁５㊁７ Ｎｍ的合数式子中的数进行分组重排，将前面淘汰式子中的数全部放回剩下的数中参加重排，分别以３㊁５㊁７ （２Ｎｗ＋１）为首项㊁２Ｎｗ为公差的等差数列把前后加数都排成Ｎｗ（共２Ｎｗ组）：３㊁（３＋２Ｎｗ）㊁（３＋４Ｎｗ） ５㊁（５＋２Ｎｗ）㊁（５＋４Ｎｗ） ７㊁（７＋２Ｎｗ）㊁（７＋４Ｎｗ）Ｎｗ㊁３Ｎｗ㊁５Ｎｗ（２Ｎｗ＋１）㊁（４Ｎｗ＋１）㊁（６Ｎｗ＋１）把所列的式子也排成了Ｎｗ组，式子个数最多的一组比最少的一组多１，其中有两组为Ｎｗ㊁３Ｎｗ㊁５Ｎｗ 这两组除首项Ｎｗ外均为含质因数Ｎｗ的合数，如果该偶数含质因数Ｎｗ，则这两组出现在同一组式子的前后加数中；如果该偶数不含质因数Ｎｗ，则这两组出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些式子中抽取出含质因数Ｎｗ合数的式子，则抽取出式子个数占式子总个数的比㊁抽取后剩下式子个数占式子总个数的比分别为ａｗＮｗ㊁Ｎｗ－ａｗＮｗ（当该偶数含质因数Ｎｗ时，ａｗʈ１且ａｗ等于含质因数Ｎｗ合数个数除以所有数总个数且分母为Ｎｗ的分子值；当该偶数不含质因数Ｎｗ时，ａｗʈ２且ａｗ等于含质因数Ｎｗ合数个数的２倍除以所有数总个数且分母为Ｎｗ的分子值），将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数３㊁５㊁７ Ｎｍ的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数Ｎｗ合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为ａｗＮｗˑＮｍ－ａｍＮｍˑ ˑ７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３，抽取淘汰后剩下式子个数占式子总个数的比为Ｎｍ－ａｍＮｍˑ ˑ７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３－ａｗＮｗˑＮｍ－ａｍＮｍˑ ˑ７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３＝Ｎｗ－ａｗＮｗˑＮｍ－ａｍＮｍˑ ˑ７－ａ３７ˑ５－ａ２５ˑ３－ａ１３．在抽取淘汰式子的数中只含质因数Ｎｗ的合数，在抽取淘汰后剩下式子的数中不含合数，否则合数的最小质因数将大于Ｎｗ，合数将大于（２ｋ－１），是不可能的．二、任何一个奇数等于三个质数之和我们先把该奇数表示为一个偶数与一个质数之和，再根据哥德巴赫猜想一的结论，把加数中的偶数表示为两个质数之和，这样就可以证明哥德巴赫猜想二：任何一个奇数等于三个质数之和．综上所述，通过分组重排㊁抽取淘汰算出等于两个质数之和式子个数在等于两个奇数之和式子总个数中所占的比大于０证明哥德巴赫猜想一，根据哥德巴赫猜想一证明哥德巴赫猜想二．。
实验报告
数据二：
算法实验题1.2：
把
让整个程序少算了许多。
这个程序不是怎么复杂，实验中不怎么遇
）。
这一题我在roj试试了一下，一些边界取值还是有点不懂。
一开始写成了
i<sqrt(n)，得到的结果不是我们想要的。
要注意区分
：
实验报告说明
实验名称要用最简练的语言反映实验的内容。
如验证某程序、定律、算法，可写成“验证×××”；分析×××。
实验目的目的要明确，要抓住重点，可以从理论和实践两个方面考虑。
在理论上，验证定理、公式、算法，并使实验者获得深刻和系统的理解，在实践上，掌握使用实验设备的技能技巧和程序的调试方法。
一般需说明是验证型实验还是设计型实验，是创新型实验还是综合型实验。
实验环境实验用的软硬件环境（配置）。
实验内容（算法、程序、步骤和方法）这是实验报告极其重要的内容。
这部分要写明依据何种原理、定律算法、或操作方法进行实验，要写明经过哪几个步骤。
还应该画出流程
图（实验装置的结构示意图），再配以相应的文字说明，这样既可以节省许多文字说明，又能使实验报告简明扼要，清楚明白。
数据记录和计算指从实验中测出的数据以及计算结果。
结论（结果）即根据实验过程中所见到的现象和测得的数据，作出结论。
小结对本次实验的体会、思考和建议。
备注或说明可写上实验成功或失败的原因，实验后的心得体会、建议等。
注意：
∙实验报告将记入实验成绩；
∙每次实验开始时，交上一次的实验报告，否则将扣除此次实验成绩。
