全国高考数学复习微专题： 归纳推理与类比推理

微专题99 归纳推理与类比推理一、基础知识： （一）归纳推理：1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理2、处理归纳推理的常见思路：（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：（1）函数的迭代：设f是D D →的函数，对任意x D ∈，记()()()()()()()()()()()()0121,,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征（特征与n ）有关。

在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到()()n fx 的通式（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。

（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。

对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。

横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列。

例如：34a 表示第3行第4列。

在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例 1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n= ．【答案】a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O 分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。

高三数学证明题推理方法数学学科担负着造就运算实力、逻辑思维实力、空间想象实力，以及运用所学学问分析问题、解决问题的实力的重任。

下面就是我给大家带来的高三数学证明题推理方法，盼望大家宠爱!高三数学证明题推理方法一一、合情推理1.归纳推理是由局部到整体，由个别到一般的推理，在进展归纳时，要先依据确定的局部个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某特性质，那么另一个对象也具有类似的性质。

在进展类比时，要充分考虑确定对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

二、演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进展的，只要接受的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论必需是正确，必需要留意推理过程的正确性与完备性。

三、干脆证明与间接证明干脆证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的干脆证明。

综合法一般地，利用确定条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。

分析法一般地，从要证明的结论启程，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(确定条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。

间接证明是相对于干脆证明说的，反证法是间接证明常用的方法。

假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

四、数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来探究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

高三数学的复习的记忆法二一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。

第五节归纳推理与类比推理错误!１．归纳推理（１）定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．（２）特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．２．类比推理（１）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．（２）特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．在类比推理中，可从定义、性质、方法结论中类比，易忽视类比推理中结论不一定正确．[试一试]１．数列２,５,１１,２0，x,４7，…中的x等于（）Ａ．２8 Ｂ．３２Ｃ．３３Ｄ．２7解析：选B 由５—２＝３,１１—５＝6,２0—１１＝9．则x—２0＝１２，因此x＝３２．２．（２0１４·长春调研）类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S（x）＝a x—a—x，C（x）＝a x＋a—x，其中a＞0，且a≠１，下面正确的运算公式是（）１S（x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）S（y）；２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y）；３２S （x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）·S（y）；４２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y）．Ａ．１２Ｂ．３４Ｃ．１４Ｄ．２３解析：选B 经验证易知１２错误．依题意，注意到２S（x＋y）＝２（a x＋y—a—x—y），又S（x）C （y）＋C（x）S（y）＝２（a x＋y—a—x—y），因此有２S（x＋y）＝S（x）C（y）＋C（x）S（y）；同理有２S（x—y）＝S（x）C（y）—C（x）S（y）．综上所述，选Ｂ．归纳推理与类比推理的步骤（１）归纳推理的一般步骤：１通过观察个别情况发现某些相同性质；２从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）；３检验猜想．错误!→错误!→错误!（２）类比推理的一般步骤：１找出两类事物之间的相似性或一致性；２用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；３检验猜想．错误!→错误!→错误![练一练]在平面上，若两个正三角形的边长的比为１∶２，则它们的面积比为１∶４．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为１∶２，则它们的体积比为________．解析：错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案：１∶8错误!考点一类比推理：１“若a，b∈R，则a—b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a—c＝0⇒a＝c”；２“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b错误!＝c＋d错误!⇒a＝c，b＝d”；３“a，b∈R，则a—b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a—b＞0⇒a＞b”；４“若x∈R，则|x|＜１⇒—１＜x＜１”类比推出“若z∈C，则|z|＜１⇒—１＜z＜１”．其中类比结论正确的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选B 类比结论正确的有１２.２．在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC ＝错误!（a＋b＋c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S１，S，S３，S４，内切球的半径为r，则四面体的体积为____________”．２解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中错误!类比为三维图形中的错误!，得V四面体ABCD＝错误!（S１＋S２＋S３＋S４）r.答案：V四面体ABCD＝错误!（S１＋S２＋S３＋S４）r[类题通法]类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法（１）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；（２）类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；（３）类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．考点二归纳推理[典例] （１）（２0（１＋１）＝２×１（２＋１）（２＋２）＝２２×１×３（３＋１）（３＋２）（３＋３）＝２３×１×３×５…照此规律，第n个等式可为________．（２）已知函数f（x）＝错误!（x＞0）．如下定义一列函数：f１（x）＝f（x），f２（x）＝f（f１（x）），f３（x）＝f（f２（x）），…，f n（x）＝f（f n—１（x）），…，n∈N＋，那么由归纳推理可得函数f n（x）的解析式是f n（x）＝________.[解析] （１）观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为（n＋１），（n＋n），右边为连续奇数之积乘以２n，则第n个等式为：（n＋１）（n＋２）（n＋３）·…·（n＋n）＝２n×１×３×５×…×（２n—１）．（２）依题意得，f１（x）＝错误!，f２（x）＝错误!＝错误!＝错误!，f３（x）＝错误!＝错误!＝错误!，…，由此归纳可得f n（x）＝错误!（x＞0）．[答案] （１）（n＋１）（n＋２）（n＋３）·…·（n＋n）＝２n×１×３×５×…×（２n—１）（２）错误!（x＞0）[类题通法]归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类（１）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（２）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．[针对训练]下面图形由小正方形组成，请观察图１至图４的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由图知第n个图形的小正方形个数为１＋２＋３＋…＋n.∴总个数为错误!.答案：错误!错误![课堂练通考点]１．（２0１３·汕头模拟）观察下列各式：１＝１２,２＋３＋４＝３２,３＋４＋５＋6＋7＝５２,４＋５＋6＋7＋8＋9＋１0＝7２，…可以得出的一般结论是（）Ａ．n＋（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（３n—２）＝n２Ｂ．n＋（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（３n—２）＝（２n—１）２Ｃ．n＋（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（３n—１）＝n２Ｄ．n＋（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（３n—１）＝（２n—１）２解析：选B 由条件得一般结论为：n＋（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（３n—２）＝（２n—１）２.２．给出下列三个类比结论．１（ab）n＝a n b n与（a＋b）n类比，则有（a＋b）n＝a n＋b n；２log a（xy）＝log a x＋log a y与sin（α＋β）类比，则有sin（α＋β）＝sin αsin β；３（a＋b）２＝a２＋２ab＋b２与（a＋b）２类比，则有（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２.其中结论正确的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选B 只有３正确．３．观察下列各式：a＋b＝１，a２＋b２＝３，a３＋b３＝４，a４＋b４＝7，a５＋b５＝１１，…，则a１0＋b１0＝（）Ａ．２8 Ｂ．76Ｃ．１２３Ｄ．１99解析：选C 记a n＋b n＝f（n），则f（３）＝f（１）＋f（２）＝１＋３＝４；f（４）＝f（２）＋f （３）＝３＋４＝7；f（５）＝f（３）＋f（４）＝１１．通过观察不难发现f（n）＝f（n—１）＋f（n—２）（n∈N＋，n≥３），则f（6）＝f（４）＋f（５）＝１8；f（7）＝f（５）＋f（6）＝２9；f（8）＝f （6）＋f（7）＝４7；f（9）＝f（7）＋f（8）＝76；f（１0）＝f（8）＋f（9）＝１２３．所以a１0＋b １0＝１２３．４．（２0１３·青岛期末）如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x１，x２，…，x n，都有错误!≤f错误!.若y＝sin x在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足错误!≤f错误!，sin A＋sin B＋sin C≤３sin错误!＝３sin错误!＝错误!.答案：错误!５．设等差数列{b n}的前n项和为S n，则S４，S8—S４，S１２—S8，S１6—S１２成等差数列．类比以上结论．设等比数列{a n}的前n项积为T n，则T４，________，________，错误!成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{a n}的前n项积为T n，则T４＝a１a２a３a４，T8＝a１a２…a8，T１２＝a１a２…a１２，T１6＝a１a２…a１6，所以错误!＝a５a6a7a8，错误!＝a9a１0a１１a１２，错误!＝a１３a１４a１５a１6，所以T４，错误!，错误!，错误!的公比为q１6，因此T４，错误!，错误!，错误!成等比数列．答案：错误!错误!6．（２0１４·山西四校联考）已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：x＋错误!≥２，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥３，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!≥４，…，类比得x＋错误!≥n＋１（n∈N＋），则a＝________.解析：第一个式子是n＝１的情况，此时a＝１１＝１；第二个式子是n＝２的情况，此时a＝２２＝４；第三个式子是n＝３的情况，此时a＝３３＝２7，归纳可知a＝n n.答案：n n[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题１．观察下列各式：５５＝３１２５,５6＝１５6２５，５7＝78 １２５，…，则５２0１１的末四位数字为（）Ａ．３１２５Ｂ．５6２５Ｃ．0 6２５Ｄ．8 １２５解析：选D ∵５５＝３１２５,５6＝１５6２５,５7＝78 １２５,５8＝３90 6２５，５9＝１9５３１２５,５１0＝9 76５6２５，…∴５n（n∈Z，且n≥５）的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为４，记５n（n∈Z，且n≥５）的末四位数字为f（n），则f（２0１１）＝f（５0１×４＋7）＝f（7）．∴５２0１１与５7的末四位数字相同，均为8 １２５．２．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：１“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；２“（m＋n）t＝mt＋nt”类比得到“（a＋b）·c＝a·c＋b·c”；３“（m·n）t＝m（n·t）”类比得到“（a·b）·c＝a·（b·c）”；４“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；５“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“错误!＝错误!”类比得到“错误!＝错误!”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选B １２正确，３４５⑥错误．３．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S１，外接圆面积为S２，则错误!＝错误!，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P—ABC的内切球体积为V１，外接球体积为V２，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为１∶３，故错误!＝错误!.４．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）Ａ．设数列{a n}的前n项和为S n.由a n＝２n—１，求出S１＝１２，S２＝２２，S３＝３２，…，推断：S n＝n２Ｂ．由f（x）＝x cos x满足f（—x）＝—f（x）对任意x∈R都成立，推断：f（x）＝x cos x为奇函数Ｃ．由圆x２＋y２＝r２的面积S＝πr２，推断：椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的面积S＝πab Ｄ．由（１＋１）２＞２１，（２＋１）２＞２２，（３＋１）２＞２３，…，推断：对一切n∈N＋，（n ＋１）２＞２n解析：选A 选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n}是等差数列，其前n项和等于S n＝错误!＝n２，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．５．将正奇数按如图所示的规律排列，则第２１行从左向右的第５个数为（）错误!Ａ．809 Ｂ．8５２Ｃ．786 Ｄ．89３解析：选A 前２0行共有正奇数１＋３＋５＋…＋３9＝２0２＝４00个，则第２１行从左向右的第５个数是第４0５个正奇数，所以这个数是２×４0５—１＝809．6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c２＝a２＋b２.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S１，S２，S３表示三个侧面面积，S４表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S错误!＋S错误!＋S错误!＝S错误!.答案：S错误!＋S错误!＋S错误!＝S错误!7．若{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：（m—n）a p＋（n—p）a m＋（p—m）a n＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n}，有__________________．解析：设{b n}的首项为b１，公比为q，则b错误!·b错误!·b错误!＝（b１q p—１）m—n·（b１q m—１）n—p·（b１q n—１）p—m＝b错误!·q0＝１．答案：b错误!·b错误!·b错误!＝１8．（２0１３·湖北高考）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝１，N＝0，L＝４．（１）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；（２）已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝7１，L＝１8，则S＝________（用数值作答）．解析：（１）由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有１个，边界上格点有6个，S四边形DEFG＝３．（２）由待定系数法可得，错误!⇒错误!当N＝7１，L＝１8时，S＝１×7１＋错误!×１8—１＝79．答案：（１）３,１,6 （２）799．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：（１）三角形两边之和大于第三边；（２）三角形的面积S＝错误!×底×高；（３）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的错误!；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：（１）四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（２）四面体的体积V＝错误!×底面积×高；（３）四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的错误!.１0．（２0１２·福建高考）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（１）sin２１３°＋cos２１7°—sin １３°cos １7°；（２）sin２１５°＋cos２１５°—sin １５°cos １５°；（３）sin２１8°＋cos２１２°—sin １8°cos １２°；（４）sin２（—１8°）＋cos２４8°—sin（—１8°）cos ４8°；（５）sin２（—２５°）＋cos２５５°—sin（—２５°）cos ５５°.（１）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（２）根据（１）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：（１）选择（２）式，计算如下：sin２１５°＋cos２１５°—sin １５°cos １５°＝１—错误!sin ３0°＝１—错误!＝错误!.（２）三角恒等式为sin２α＋cos２（３0°—α）—sin α·cos（３0°—α）＝错误!.证明如下：法一：sin２α＋cos２（３0°—α）—sin αcos（３0°—α）＝sin２α＋（cos ３0°cos α＋sin ３0°sin α）２—sin α（cos ３0°·cos α＋sin ３0°sin α）＝sin２α＋错误!cos２α＋错误!sin αcos α＋错误!sin２α—错误!sin αcos α—错误!sin２α＝错误!sin２α＋错误!cos２α＝错误!.法二：sin２α＋cos２（３0°—α）—sin αcos（３0°—α）＝错误!＋错误!—sin α（cos ３0°cos α＋sin ３0°sin α）＝错误!—错误!cos ２α＋错误!＋错误!（cos 60°cos ２α＋sin 60°sin ２α）—错误!sin αcos α—错误!sin２α＝错误!—错误!cos ２α＋错误!＋错误!cos ２α＋错误!sin ２α—错误!sin ２α—错误!（１—cos ２α）＝１—错误!cos ２α—错误!＋错误!cos ２α＝错误!.第Ⅱ组：重点选做题１．观察下列算式：１３＝１，２３＝３＋５，３３＝7＋9＋１１，４３＝１３＋１５＋１7＋１9，……若某数m３按上述规律展开后，发现等式右边含有“２0１３”这个数，则m＝________.解析：某数m３按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为１＝１２＋0,５＝２２＋１,１１＝３２＋２,１9＝４２＋３，…，所以第m行的最后一个数为m２＋（m—１）．因为当m＝４４时，m２＋（m—１）＝１979，当m＝４５时，m２＋（m—１）＝２069，所以要使等式右边含有“２0１３”这个数，则m＝４５．答案：４５２．（２0１４·东北三校联考）在数列{a n}中，a１＝１，a２＝２，a n＝（—１）n·２a n—２（n≥３，n ∈N＋），其前n项和为S n.（１）a２n＋１关于n的表达式为________；（２）观察S１，S２，S３，S４，…S n，在数列{S n}的前１00项中相等的项有________对．解析：（１）错误!＝错误!＝…＝错误!＝—２，又a１＝１，从而a２n＋１＝（—２）n.（２）由（１）及条件知，数列{a n}为１,２，—２,２２，（—２）２,２３，（—２）３，２４，…，从而可知S１＝S３，S５＝S7，S9＝S１１，…，故在{S n}的前１00项中相等的项有２５对．答案：（１）a２n＋１＝（—２）n（２）２５。