高中数学类比推理 同步练习北师大版选修2-2

高手支招6体验成功 基础巩固1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数,即1 111 111. 2.在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=2a n+2,则a n 是( ) A.2n-221-B.2n -2C.2n-1+1D.2n+1-4 答案：B思路分析：当n=1,2,3时,求得a 2=2,a 3=6,a 4=14,观察知a n =2 n -2. 3.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1，则a 12的值是（ ）A.15B.30C.31D.64 答案：A 思路分析：用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12,故选A 项. 4.已知322+=232,833+=383,1544+=4154,…,若b a +6=6ba (a,b 均为实数),请推测a=________________,b=________________.答案：6 35思路分析：由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测ba +6中,a=6,b=62-1=35. 即a=6,b=35. 5.已知f(n)=1+21+31+…+n 1(n ∈N +),经计算:f(2)=23,f(4)＞24,f(8)＞25,f(16)＞3,f(32)＞27,推测当n≥2时,有_______________. 答案：f(2n )＞22+n 思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一,这样便于找到共性特征,看出其规律,故本题应将所给的式子写成f(21)=23,f(22)＞2,f(23)＞25,f(24)＞26,f(25)＞27，从而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2n )＞22+n .6.若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2,则三角形面积之比为:212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON .若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2,则类似的结论为:_______________. 答案：21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 思路分析：在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,所以有21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 7.已知数列{a n }的通项公式a n =2)1(1+n (n ∈N +),f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值. 答案：(1)f(1)=1-a 1=14341=-,f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)·(191-)=43·98=32=64, f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=f(2)·(1161-)=32·1615=85,由此猜想f(n)=)1(22++n n . 思路分析：利用题目所给的关系式,可以计算出函数值,根据f(1),f(2),f(3)的值,找到共性特征,进而可得f(n)的值.8.已知:sin 230°+sin 290°+sin 2150°=23,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=23. 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之. 答案：一般性的命题为sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=23. 证明如下:sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=2)2240cos(12)2120cos(122cos 1θθθ+++++++ =2123+［cos2θ+cos(120°+2θ)+cos(240°+2θ)］ =2123+［2cos60°cos(60°+2θ)+cos(180°+60°+2θ)］ =2123+［cos(60°+2θ)-cos(60°+2θ)］=23. 思路分析：仔细分析两个式子中角的特点,就会发现角的度数成等差数列,从而找到了规律.对角的观察是本题的突破口,若从两个式子中未能找到规律,可将两个式子中的三个角同时变化较小的度数,即可发现角的关系,从而找到式子的规律. 综合应用9.设数列{a n }的首项a 1=a≠41,且a n+1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+.,41,,21为奇数为偶数n a n a n n记b n =a 2n-141-,n ＝1,2,3,… （1）求a 2,a 3;（2）判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论.答案：（1）a 2＝a 1+41=a+41,a 3=21a 2=21a+81; （2）∵a 4=a 3+41=21a+83,所以a 5=21a 4=41a+163,所以b 1=a 1-41=a-41,b 2=a 3-41=21(a-41),b 3=a 5-41=41(a-41),猜想:{b n }是公比为21的等比数列.证明如下:∵b n+1＝a 2n+1-41=21a 2n -41=21(a 2n-1-41)=21b n ,(n ∈N *) ∴{b n }是首项为a-41,公比为21的等比数列.思路分析：本题是考查猜想归纳能力及等比数列的定义.10.如图,点P 为斜三棱柱状ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥B 1B 交AA 1于点M,PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.答案：(1)证明:∵PM ⊥BB 1,PN ⊥BB 1,∴BB 1⊥平面PMN. ∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1,∴CC 1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有S a BB 1A 12=211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN,∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2-2PN·MN·cos ∠MNPPM 2·CC 12=PN 2·CC 12+MN 2·CC 12-2(PN·CC 1)·(MN·CC 1)·cos ∠MNP, 由于11B BCC S =PN·CC 1,11A ACC S =MN·CC 1,11A ABB S =MP·BB 1, ∴211A AAB S =211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.思路分析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高,由已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.11.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边;(2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边;(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心; (4)三角形的面积为S=21(a+b+c)r(r 为内切圆的半径). 解：三角形与四面体有下列共同性质：(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形,四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形,四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体的性质如下:有与另一类事物类似(或相同)的性质,充分分析出三角形和四面体之间所具有的共同性质,再进行类比推理.。

（1）归纳与类比1、已知扇形的弧长为l ,半径为r ,类比三角形的面积公式:,可推出扇形的面积公式( )A. 22rB. 22lC.2lr D.不可类比2、下面使用类比推理正确的是( )A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a b c ccc+=+≠”D.“() nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”3、由数列1,10,100,1000⋯，，猜测该数列的第n 项可能是( ) A.10nB.110n －C.110n ＋D.11n4、如果对象A 和对象B 都具有相同的属性P 、Q 、R 等,此外已知对象A 还有一个属性S ,而对象B 还有一个属性x ,由此类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立?( ) A. x 就是P B. x 就是Q C. x 就是R D. x 就是S5、下列推理正确的是( )A.把()a b c +与()log a x y +类比,则有: ()log log log a a a x y x y +=+B.把()a b c +与()sin x y +类比,则有: ()sin sin sin x y x y +=+C.把()nab 与()n x y +类比,则有: ()nn n x y x y +=+ D.把()a b c ++与()xy z 类比,则有: ()()xy z x yz =6、已知,αβ是两个不同的平面,直线a α⊂,直线b β⊂,命题p :a 与b 没有公共点,命题q ://αβ,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7、α、β是两个不重合的平面, a 、b 是两条不同的直线,在下列条件下,可判定//αβ的是( )A.α、β都平行于直线a 、bB.a 、b 是相交直线,且//a α,//b βC.a 、b 是α内的两条直线,且//a β,//b βD.a 、b 是两条异面直线,且//a α,//b α,//a β,//b β 8、已知13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,则33a 为( )A.3B.-3C.6D.-6 9、给定数列, 1,234++,56789++++,10111213141516++++++,…则这个数列的通项公式是( )A. 2231n a n n =+- B. 255n a n n =+-C. 322331n a n n n =-+- D. 3222n a n n n =-+-10、设[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]22=,514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦),对于给定的*x N ∈,定义()[]()()[]()1111x nn n n x Cx x x x --+=--+,[1,)x ∈+∞,则当3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时,函数8xC 的值域是( )A. 16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. [)284,28,563⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D. 16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦11、观察下列等式:11=2349++= 3456725++++= 4567891049++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律,第五个等式应为_____________________.12、设平面内有n 条直线(3n ≥),其中有且仅有两条直线互相平行,且任意三条直线不过同一点.若用()f n 表示这n 条直线交点的个数,则(4)f =__________;当4n >时,()f n =__________.(用含n 的数学表达式表示)13、现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a 的正方形,其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间,有两个棱长均为a 的正方体,其中一个正方体的某顶点在另一个正方体的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .14、把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).试求第七个三角形数是__________.15、根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想它的通项公式。

课时分层作业(二)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行D [利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．]2．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心D [由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．] 3．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n与(a ＋b )n类比，则有(x ＋y )n＝x n＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz )D [乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy )z ＝x (yz )．故选D.]4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1A [从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b＋zc＝1．] 5．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4a 6>a 3a 7.类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则关于b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系正确的是( )A ．b 5b 7>b 4b 8B ．b 7b 8>b 4b 5C ．b 5＋b 7<b 4＋b 8D ．b 7＋b 8<b 4＋b 5C [b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 1(q 4＋q 6－q 3－q 7) ＝b 1[q 3(q －1)＋q 6(1－q )] ＝b 1[－q 3(q －1)2(1＋q ＋q 2)]<0， ∴b 5＋b 7<b 4＋b 8.] 二、填空题6．椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，即x 2r 2＋y 2r2＝1，类比圆的面积S ＝πr 2，推理可得椭圆的面积S ＝________.πab [根据类比原理：圆的标准方程x 2r 2＋y 2r 2＝1对应椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，所以圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r 类比椭圆的面积S ＝π·a ·b ＝πab .]7．在Rt△ABC 中，若C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_____________．在三棱锥A ­BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A ­BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22[Rt△ABC 类比到空间为三棱锥A ­BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A ­BCD 的外接球．]8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论____________________．10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30 [由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.]三、解答题9．如图(1)，在平面内有面积关系S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．(1) (2)[解] 类比S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，有V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.证明：如图，设C ′，C 到平面PAB 的距离分别为h ′，h . 则h ′h ＝PC ′PC， 故V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC ＝13S △PA ′B ′·h ′13S △PAB ·h＝PA ′·PB ′·h ′PA ·PB ·h ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.10．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？ [解] 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N＋)成立，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)．[能力提升练]1．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15C [原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.]2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A ­BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM－MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1．] 3．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．465 [类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.]4．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题： 已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，求a 18及这个数列的前n 项和S n . [解] 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数，52n ，n 为偶数.5．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题？(1) (2)[解] 命题是：三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．证明如下：如图，延长DM 交BC 于E ， 连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ， 所以AE 2＝EM ·ED .于是S 2△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .。

1.2 类比推理一、选择题1．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×92．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于()A.VS1＋S2＋S3＋S4 B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4 D.4VS1＋S2＋S3＋S43．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行4．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于()A．28B．76C．123D．1995．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，下列正四面体的性质比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③6．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题7．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．8．已知点A (x 1，log a x 1)，B (x 2，log a x 2)是函数y ＝log a x (a >1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间的函数图像的下方，因此有结论log a x 1＋log a x 22<log a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法，若点C (x 1，cos x 1)，D (x 2，cos x 2)是函数y ＝cos x (x ∈(－π2，π2))的图像上任意不同的两点，则类似地有____________成立． 9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋ax n ≥n＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________.10．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列{S nn }为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)d2，类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________． 三、解答题11．若数列{a n }为等差数列，且a m ＝x ，a n ＝y (m ≠n )，则a m ＋n ＝mx －nym －n .现已知数列{b n }是各项均大于0的等比数列，且b m ＝x ，b n ＝y (m ≠n )，则类比等差数列，你能得到什么结论？12．在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．13．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2；(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，则AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．四、探究与拓展14．对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________． 15．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．答案精析1．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 8.cos x 1＋cos x 22<cos x 1＋x 229．n n 10.n T n ＝b 1(q )n －111．解 等差数列中的和与等比数列中的积相对应，等差数列中的差与等比数列中的商相对应，因此有理由认为等差数列中的积与等比数列中的乘方相对应，等差数列中的商与等比数列中的开方相对应．因此类比得到的结论是b m ＋n ＝m －n x my n .12．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(bc )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(gl )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.13．(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a )．令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ，同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 20a 2＋y 20b2＝1，因此y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)解 －(a 2＋b 2)．14．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝015.解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.猜想正确．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2， 故猜想正确．。

03课后巩固提升③检测学习效果，体验成功快乐[A组基础巩固J1.巳知错误!为等比教列,。

5 = 2,则如。

2力3力4・。

5力6,7,8・。

9 = 2气若错误!为等差教列，05 = 2,则错误!的类仞结论为（）A. SQ2Q3...Q9 = 2。

B .+。

2 +。

3 + • •. +。

9 = 29C.SQ2Q3..09 = 2x9D、QI + Q2 + Q3 + ... +。

9 = 2x9解析：等此教列中积的关条在等爰教列中应为加，同理，等比教列中的乘方在等差教列中应为积'答秦：D2.三角形的面积为5 =错误!（。

+ /? +刃r,。

、b、c为三角形的辿长，,为三角形内切圆的半径，利用类此推理可以得出四面体的体积为（）A、V=错误\abcB.V =错误!S/zC.1^=错误!（Si + S2 + S3 + S4）尸（Si、S2、S3、S4 为四个面的面积， ,为内切球的半径）D、V =错误！（ab + bc + ac）h（h为四面体的嵩）解析：设左ABC的内心为0,连接Q4、OB、OC,将ZkAgC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是,，底也长分别为。

、 b、c；类此:设四面体A.BCD的内切球的球心为O,连接Q4、OB、OC、0Q,将四面体分割为四个以。

为顶点，以原来面为底面的四面体，蒿都为r,所以有k=错误!(Si + S2 + S3 + S4) r. 答秦：C3,巳知扇形的弧长为e,半径为r,类此三角形的面积公式:S=错误!，可推出扇形的面积公式S扇=( )Ao错误！Bo错误！Co错误！D,不可类此解析：由扇形的弧与半径类此于三角形的底也与高可得C.答案:C4,类此三角形中的性质：(1)中住线长等于对应底也长的一半、C2J三内角平分线交于一点、可得四面体的对应性质：(1)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第人1四个而面积的日。

C2J四面体的六个二面角的平分面交于~点,其中类此推理方法正确的为（）A、Cl）B, （2）C. （1）（2J D,都不对解析：以上类此推理方法都正确，需注意的是类此推理得到的结论是否正确与类此推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不、—定正确、答秦：C5、巳知£7?“｝为等此教列力5 = 2,则bvbr...'b9 = 29,若｛s_?为等爰教列，必=2,则在教列｛。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。

类比推理.通过具体实例理解类比推理的意义.(重点).会用类比推理对具体问题作出判断.(难点)[基础·初探]教材整理类比推理阅读教材“类比推理”至前行，完成下列问题.由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其，他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征我们把这种推理过程称为类，比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③教材整理合情推理阅读教材的最后个自然段，完成下列问题.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，的推理方式.某些结果推测出正确.合情推理的结果不一定下列说法正确的是( ).由合情推理得出的结论一定是正确的.合情推理必须有前提有结论.合情推理不能猜想.合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]，，也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列{}中，若是{}的前项和.()写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；()写出一个更为一般的结论(不必证明).【精彩点拨】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔项和的有关性。

[A 基础达标]1．给出下列三个类比结论：①类比a x ·a y ＝a x ＋y ，则有a x ÷a y ＝a x －y ；②类比log a (xy )＝log a x ＋log a y ，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③类比(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，则有(xy )z ＝x (yz )． 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.根据指数的运算法则知a x ÷a y ＝a x －y ，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知：(xy )z ＝x (yz )，③正确．2．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．3．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A -BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.面的重心类比几何体重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM ＝3，故选C.4．类比三角形中的性质：(1)中位线长等于对应底边长的一半． (2)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：(1)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14.(2)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的为( ) A ．(1)B ．(2)C ．(1)(2)D ．都不对解析：选C.以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·…·b 9＝29，若{a n }为等差数列，a 5＝2，则在数列{a n }中类似的结论为( )A ．a 1·a 2·…·a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1·a 2·…·a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D.由等差数列的性质知：a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5.6．我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大．将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________.解析：平面图形的周长类比到空间应该是空间图形的表面积；平面图形的面积类比到空间应该是空间图形的体积；平面中的矩形、圆类比到空间中的图形应该是长方体、球．答案：在表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大7．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面8．类比平面几何中的三角形中的有关定理：△ABC 中，若DE ∥BC ，则有S △ADE ∶S △ABC＝DE 2∶BC 2.若三棱锥A -BCD 中有截面EFG ∥面BCD ，则截得三棱锥的体积与原来三棱锥的体积之间的关系式为：________________________．解析：由平面几何类比到立体几何，对应于二维空间类比三维空间，由面积比为相似比的平方类比到体积比为相似比的立方．答案：V A ­EFG ∶V A ­BCD ＝EF 3∶BC 39．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边． (2)三角形的面积S ＝12×底×高．(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高．(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．若a 1，a 2∈(0，＋∞)，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222成立．类比此不等式，从所含未知数个数上进行推广，写出相应的不等式．解：相应的不等式为：a 21＋a 22＋a 233≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 332， a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 3＋a 442，…a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n 2(n ∈N ＋)．[B 能力提升]11. 如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.在“黄金双曲线”中，B (0，b )，F (－c ，0)，A (a ，0)． 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2得e 2－e －1＝0，又e ＞1， 所以e ＝5＋12. 12．对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有_______________________．解析：根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0. 答案：V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝013．在平面几何中，对于Rt △ABC ，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，C ＝90°.则：(1)cos 2A ＋cos 2B ＝1；(2)Rt △ABC 的外接圆的半径r ＝12a 2＋b 2；(3)S △ABC ＝12ab .把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．解：(1)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.(核验：因为S 1＝S cos α，S 2＝S cos β，S 3＝S cos γ)(2)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的外接球半径为R ＝m 2＋n 2＋t 22.(核验：补形为长、宽、高分别为m 、n 、t 的长方体)(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m 、n 、t ，则这个直四面体的体积为V ＝13mnt . 14．(选做题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当n >2时，有c n >a n ＋b n 成立，请你类比直角三角形的这个性质，猜想一下空间四面体的性质．解：如图，与Rt △ABC 对应的是四面体P -DEF ；与Rt △ABC 的两条边交成一个直角相对应的是四面体P -DEF 的三个面在一个顶点D 处构成3个直二面角；与Rt △ABC 直角边a ，b 相对应的是四面体P -DEF 的平面△DEF ，△FPD ，△DPE 的面积S 1，S 2，S 3；与Rt △ABC 的斜边c 相对应的是四面体P -DEF 的平面△PEF 的面积S .由此猜想：当n >2时，S n >S n 1＋S n 2＋S n3.由Ruize收集整理。

高二数学 第一章 推理与证明§1 归纳与类比1．1 归纳推理1．2 类比推理 课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中________事物具有某种属性，推断该类事物中______________都有这种属性，我们把这种推理方式称为归纳推理．归纳推理是____________，由________________的推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断____________________________________，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是由________________的推理．一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 的值为( )A ．28B ．32C ．33D ．272．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值( ) A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，通过计算a 2，a 3，猜想a n等于( )A ．nB ．n 2C ．n 3 D.n ＋3－n4．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－65．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( )A.a 1＋a 2＋…＋a n 2≥a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )B.a 1＋a 2＋…＋a n 3≥3a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n ) C.a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i ∈R ，i ＝1,2，…n )D.a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )6．已知函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (8)＝3，对任意的正实数x 1，x 2，f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝0二、填空题7．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为__________________________．8．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________. 9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________．三、解答题10．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割的区域数，试求f (n )．11.观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．能力提升12．观察下列等式：①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.13．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数．(1)求f (4)；(2)当n >4时，用n 表示出f (n )．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答 案知识梳理1．部分 每一个事物 由部分到整体 个别到一般2．另一类对象也具有类似的其他特征 特殊到特殊作业设计1．B [∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，∴x －20＝12，∴x ＝32.]2．C [(1)当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝0为偶数． (2)当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N )，18(n 2－1)[1－(－1)n ]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数． 由①②知，18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．] 3．B [计算得a 2＝4，a 3＝9，∴猜想a n ＝n 2.]4．A [由a n ＋2＝a n ＋1－a n 得：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3.a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…，6个数即为一个循环，所以a 33＝a 3＝3.]5．D [a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．]6．C [由于log 28＝log 223＝3，即满足f (8)＝3.log 2(x 1·x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2，即满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．]7．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n ) 8.⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n 为偶数12n －13n n 为奇数解析 观察T n 表达式的特点可以看出T 2＝0，T 4＝0，……，∴当n 为偶数时，T n ＝0；又∵T 3＝123－133，T 5＝125－135，……，∴当n 为奇数时，T n ＝12n －13n . 9．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题10．解 ∵f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n ，又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1，f (3)－f (2)＝2×2，f (4)－f (3)＝2×3，……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)．将以上n －1个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2.11．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明：①γ＝0时，等式显然成立．②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2， 得α＋β＝π2－γ， 所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， 所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)＝1tan γ(1－tan α·tan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1 tan γ(1－tan αtan β)＝1. 综上所述，等式成立．12．962解析 观察得：式子中所有项的系数和为1，∴m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162，又p ＝10×5＝50，m ＝29＝512，∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962.13．解 (1)如图所示，可得f (4)＝5.(2)∵f (3)＝2；f (4)＝5＝f (3)＋3；f (5)＝9＝f (4)＋4；f (6)＝14＝f (5)＋5；……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n －1)＝12(n ＋1)(n －2)．。