辽宁省实验中学2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。

2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学命题人：高三数学组 校对人：高三数学组一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AA ={xx |xx 2≤4}，BB ={xx ||xx |>1}，则AA ∩BB =( )AA . {xx |1<xx ≤2} BB . {xx |−2<xx <−1或1<xx <2} CC . {xx |−2≤xx <−1} DD . {xx |−2≤xx <−1或1<xx ≤2} 2.复数zz 满足：zz (1+ii )=1−ii ，则zz 的虚部等于（ ） AA . −ii BB . −1 CC .0 DD . 13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；标准差分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )AA . 12m m >，12s s > BB . 12m m >，12s s < CC . 12m m <，12s s <DD . 12m m <，12s s >4.设0.45a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） AA . a b c << BB . c a b <<CC .c b a << DD . b c a <<5. 已知α是第二象限角，54sin =α，则=α2sin （ ） AA . 2524− BB . 2524 CC .2512− DD . 25126. 四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（ ）种不同的排班方式.AA . 240 BB . 480 CC .420 DD . 360 7.已知抛物线CC ：yy 2=2ppxx (pp >0)，过焦点FF 的直线ll 交抛物线CC 于PP 、QQ 两点，交yy 轴于点AA ，若点PP 为线段FFAA 的中点，且|FFQQ |=2，则pp 的值为( )AA .32 BB . 34CC . 2 DD . 3 8.在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱长等于2，则（ ）AA . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有一个BB . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有两个CC . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有三个DD . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有四个二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分. 9.已知等比数列{aa nn }的前nn 项和为SS nn ，公比qq >1，nn ∈NN +，则（ ）AA . {aa nn }一定是递增数列 BB . {aa nn }可能是递增数列也可能是递减数列CC . aa 3、aa 7、aa 11仍成等比 DD . ∀nn ∈NN +,SS nn ≠010.定义在实数集RR 上的函数ff (xx )满足ff (1+xx )=−ff (1−xx )，且xx ≥1 时函数ff (xx )单调递增则（ ）AA . ff (1)=0 BB .ff (xx )是周期函数CC .方程ff (xx )=0有唯一实数解 DD .函数ff (xx )在(−∞,0)内单调递减11.为了得到)32sin(2π−=x y 的图像只需把函数)62cos(2π+=x y 的图像（ ） AA .向右平移2πBB .向左平移2πCC .关于直线xx =4π轴对称 DD .关于直线xx =6π轴对称12.方程ee xx +xx −2=0的根为xx 1，ln xx +xx −2=0的根为xx 2，则（ ） AA . xx 1xx 2>12BB .xx 1ln xx 2+xx 2ln xx 1<0CC .ee xx 1+ee xx 2<2ee DD . xx 1xx 2<√ee 2三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21,F F 为双曲线191622=−y x 的左、右焦点，则||21F F =14.已知正实数aa 、bb 满足aa +2bb =1，则2aa +1bb的最小值为15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有D C B A ,,,四位同学，已知AA 与BB 没有选择相同的兴趣小组，CC 与DD 没有选择相同的兴趣小组，BB 与CC 选择的兴趣小组恰有一个相同，且BB 选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①CC 可能没有选择足球兴趣小组；②AA 、DD 选择的两个兴趣小组可能都相同； ③DD 可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组； 其中正确判断是16.已知c b a ,,是平面向量，c a ,是单位向量，且3,π>=<c a ，若02092=+⋅−c b b ，则最大值是四、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)在①74=ac ②sin BB =2sin AA ③csin AA =√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在∆AABBCC ，它的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且bb cos AA +aa cos BB +2cc cos CC =0，∆AABBCC 的面积是32， ？18.(本小题满分12分)某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为XX ，求XX 的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19. (本小题满分12分)在四棱锥PP −AABBCCDD 中，PPDD ⊥底面AABBCCDD ，底面AABBCCDD 是菱形，PPDD =AADD =4， 60=∠BAD ，点FF 在棱PPDD 上. （1）若PD PF 21=，在棱BBCC 上是否存在一点EE ，使得CCFF //平面PPAAEE ，并说明理由； （2）若直线AAFF 与平面BBCCFF 所成的角的正弦值是1015，求二面角AA −FFBB −CC 的余弦值.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且，31=a11−=+n n a S ，数列{}n b 为等差数列，42b a =，且752b b b =+，（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若()12++=n nn nb n b ac ，求{}n c 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点FF 1、FF 2在x 轴上，离心率21=e ，经过点)3,(−c M (cc 为椭圆的半焦距).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)21MF F ∠的平分线l 与椭圆的另一个交点为N ，O 为坐标原点，求直线OOOO 与直线OONN 斜率的比值.22. (本小题满分12分)设函数x e ax x f 2)1()(−+=，曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为1+−=x y . （1）求实数a 的值.（2）求证：当[]1,0∈x 时，)6cos 4(2)(22−+≥−x x x x f .。

2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。

2020-2021学年辽宁省沈阳某中学七年级（上）期末数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、选择题（每题2分，共20分）1．下列各数：﹣8，，0.66666…，0，9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中有理数有（）A．6个B．5个C．4个D．3个2．如图是正方体的展开图，则原正方体“4”与相对面上的数字之和是（）A．10 B．9 C．7 D．53．在研究多边形的几何性质时．我们常常把它分割成三角形进行研究．从八边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．在下列调查中，适宜采用普查的是（）A．中央电视台《开学第一课》的收视率B．某城市6月份人均网上购物次数C．了解全国中学生的视力情况D．即将发射的气象卫星的零部件质量5．若3x m y2与﹣x3y n的差是单项式，则m n的值为（）A．﹣9 B．9 C．D．6．下列说法正确的是（）A．的系数为B．用一个平面去截一个圆柱，截面形状一定是圆C．经过两点有一条直线，且只有一条直线D．因为AM＝MB，所以M是线段AB的中点7．下列变形中，运用等式的性质变形正确的是（）A．若x＝y，则x+3＝y﹣3 B．若x＝y，则﹣4x＝﹣4yC．若，则2x＝3y D．若ax＝ay，则x＝y8．某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是（）A．22x＝16（30﹣x）B．16x＝22（30﹣x）C．2×16x＝22（30﹣x）D．2×22x＝16（30﹣x）9．已知∠AOB＝60°，∠AOC＝∠AOB，射线OD平分∠BOC，则∠COD的度数为（）A．20°B．40°C．20°或30°D．20°或40°10．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm二、填空题（每题3分，共18分）11．2020年全国抗击新型冠状肺炎病毒的战疫取得全面胜利．截止2020年9月底，国内共累计治愈新冠肺炎病例约86000例，将86000用科学记数法表示为．12．（a﹣1）2+|b+2|＝0，则（a+b）2015的值是．13．如图，AB＝10，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则MN＝．14．如图，将一副三角尺的直角顶点O重合在一起．若∠COB与∠DOA的比是5：13，OE平分∠DOA，则∠EOC＝度．15．某商场的家电商场在新年期间开展了消费暖心活动，即本次活动中的家电消费券单笔消费满600元立减128元（每次只能使用一张），某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元，则该电饭煲的进价为元．16．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[3﹣（﹣3）2]．18．（6分）解方程：．19．（6分）先化简，再求值：4ab+2（a2+b2）﹣2（a2﹣ab﹣2b2）+1，其中a＝﹣1，b＝．20．（8分）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句用没有刻度的直尺和圆规画图：（要求保留作图痕迹，并写明结论）（1）画线段AB；（2）画射线AC；（3）连接CD，并将其反向延长至E，使得DE＝2CD；（4）在平面内找到一点P，使P到A，B，C，D四点距离最短．21．（10分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查，设计的问题：对自己做错的题目进行整理，分析，改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是，将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：a＝%，b＝%，“常常”对应圆心角度数为；（2）请你直接补全条形统计图；（3）若该校有3600名学生，请你估计其中“常常”对错题进行整理，分析，改正的学生有多少名？22．（8分）某人计划以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事晚出发了20分钟，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A，B两地间的距离？23．（8分）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为，（2）如图①，如果∠AOC＝60°，请你求出∠COF的度数并说明理由；（3）若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC＝α，请直接写出∠COF 的度数．24．（10分）已知点A在数轴上对应的数是a，点B对应的数为b，且满足|a+3|+（b﹣5）2＝0，（1）点A到点B的距离为．（直接写出结果）（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴负方向运动，且M，N两点同时开始运动，重合后同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，则当MN＝3时，x的值为（直接写出结果）；（4）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N 在O，B之间），运动时间为t秒，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N的距离的一半（即QN＝），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，则v1与v2的数量关系为（直接写出结果）．1．B．2．C．3．B．4．D．5．B．6．C．7．B．8．D．9．D．10．B．11．8.6×10412．﹣1．13．5．14．25．15．580．16．170．17．2．18．y＝1．19．．20．21．（1）12；36；（2）“常常”所对的人数：200×30%＝60（人），如图所示：；（3）3600×30%＝1080（人），答：“常常”对错题进行整理，分析．22．解：设A、B两地间的距离为x千米，由题意得：＝++，解得x＝24．答：A、B两地间的距离为24千米．23．解：（1）∵∠COE＝90°，∴∠AOC+∠DOE＝180°﹣90°＝90°∴∠AOC与∠DOE互余故答案为：互余；（2）∠COF＝15°理由如下：∵∠AOC＝60°，∠COE＝90°∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝150°∵OF平分∠AOE∴∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝75°﹣60°＝15°；（3）∵∠AOC＝α，∠COE＝90，∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣α，∵OF依然平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE＝45°﹣，∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝α+45°﹣＝45°+．故答案为：45°+．24．解：（1）6；（2）设点P对应的数为n，根据题意，得|n+3|＝3|n﹣5|，解得n＝3或n＝9．答：点P在数轴上对应的数为5或9．（3）根据题意得（3﹣7）x＝5﹣3，解得x＝3．故答案为：2；（4）根据题意得MO＝v1t，NB＝v3t，∴AN＝8﹣v2t，AM＝5﹣v1t，即AQ＝NQ＝（8﹣v2t）＝4﹣v2t．∴QM＝AQ﹣AM＝4﹣v2t﹣（3﹣v6t）＝1﹣v2t+v1t，∵Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，∴6﹣v3t+v1t＝1﹣（v2﹣v2）t的值与t的值无关，∴v6﹣v1＝0，∴v2＝v4，即v2＝2v7．。

2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或1C．1D．不存在2．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x 轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（）A．3.6B．4.8C．3D．33．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是87 4．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（）A．64.2%（1+x）2＝70.8%B．64.2%（1+2x）＝70.8%C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE＝∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（）A．①②④B．①③⑤C．②③④D．①④⑤7．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（）A．B．C．D．8．设max{m，n}表示m，n（m≠n）两个数中的最大值．例如max{﹣1，2}＝2，max{12，8}＝12，则max{2x，x2+2}的结果为（）A．2x﹣x2﹣2B．2x+x2+2C．2x D．x2+2二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．方程x2＝4的解为．10．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．11．若，则的值为．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0123y75713则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为．13．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2．14．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是．15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．16．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．18．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（1）计算：（π﹣2019）0+2sin60°﹣+|1﹣|（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝020．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan B＝，求∠CAD的正弦值．21．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O ″A″B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为．22．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A、B、C、D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．23．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”24．如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．25．已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．26．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC＝30°，求tan∠BCO的值．27．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则，解得：m＝﹣2．2．解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，∵GM⊥EF，∴EF＝2FM＝2＝2，当GM的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，∵A（6，0），B（0，8），∴AB＝10，∵sin∠OAB＝＝，∴OM＝4.8，∵CD＝6，∴OG＝3，∴GM＝1.8，∴FM＝2.4，∴EF＝4.8；故选：B．3．解：A、极差是15，故A正确；B、众数是88，故B正确；C、中位数是87，故C错误；D、平均数是87，故D正确．故选：C．4．解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．5．解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故选：A．6．解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB＝AC＝BC＝，CD＝DE＝CE；∠B＝∠ACB＝∠DEC＝∠DCE＝45°；①∵∠ACB＝∠DCE＝45°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE；即∠ECB＝∠DCA；故①正确；②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC 必为锐角；故②不完全正确；④∵，∴；由①知∠ECB＝∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC＝∠B＝45°；∴∠DAC＝∠BCA＝45°，即AD∥BC，故④正确；③由④知：∠DAC＝45°，则∠EAD＝135°；∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；⑤△A BC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC＝AC＝，AD＝1；故S＝（1+2）×1＝，故⑤正确；梯形ABCD因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．7．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．故选：C．8．解：∵x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2+2＞2x，∴max{2x，x2+2}的结果为：x2+2．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．解：开方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．10．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．11．解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．12．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∵x＝3时，y＝13，∴x＝﹣1时，y＝13，∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，故答案为91．13．解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．故答案为：400π．14．解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5，∴斜边为＝13，∴斜边上中线长为×13＝6.5．故答案为：6.5．15．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．16．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．17．解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，过D作DF⊥OA，∵S＝OD•DE＝OE•DF，△OED∴DF＝，OF＝＝，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）18．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．三．解答题（共10小题，满分96分）19．解：（1）原式＝1+2×﹣2+﹣1＝1+﹣2+﹣1＝0；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1．20．解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，∴BC＝2由勾股定理得，AB＝＝＝∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE＝∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE＝＝∴DE＝∴由勾股定理得AD＝＝＝∴cos∠CAD＝＝＝∴sin∠CAD＝＝＝则∠CAD的正弦值为21．解：（1）如图，△O′A′B即为所求；（2）如图，△O″A″B即为所求；（3）如图，∵点M是OA的中点，∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．22．解：根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，其中小明和小华查找同一位院士资料的有4种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为＝．23．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，x＝，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，12×5＝13CP，CP＝，同理得：△CDG∽△CAB，∴＝，∴＝，x＝＜，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步）．24．（1）证明：∵∠AOB＝120°，∴∠ATB＝＝60°，∵PT切⊙O于T，∴∠BTP＝∠TAP，∵PC平分∠APT，∴∠APC＝∠CPT，∵∠TCD＝∠TAP+∠APC，∠CDT＝∠BTP+∠CPT，∴∠TCD＝∠CDT＝＝60°，∴△CDT为等边三角形；（2）解：设CT＝DT＝x，∵∠TCD＝∠CDT＝∠BDP，∠BPD＝∠CPT，∴△PCT∽△PDB，∴，∵∠DTP＝∠PAC，∠APC＝∠DPT，∴△ACP∽△TDP，∴，∴，即，∴x2＝4，∴x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，∴，PC＝4．25．解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，∴点A不在抛物线上，把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，解得m＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．（2）①∵函数y1经过定点（2，3），对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．②∵m≤2，∴抛物线的对称轴x＝≤2，∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的左侧，由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴3m+3n≤﹣3，∴m+n≤﹣1．26．（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）过O作OE⊥BD，则BE＝ED．在Rt△BEO中，∠B＝30°，∴OE＝OB，BE＝OB．∵BD＝DC，BE＝ED，∴EC＝3BE＝OB．在Rt△OEC中，tan∠BCO＝．27．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，＝AB×FH＝×BF×AD，∵S△ABF∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．28．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），综上，m＝5或m＝4或或3．。

CBA2020—2021学年度第一学期期末调研试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1. 点P （2，1）关于原点对称点的坐标是A ．（2，1）B ．（2，1）C ．（1，2）D ．（1，2）2．抛物线2yx 的对称轴是A ．直线1xB ．直线1xC ．y 轴D ．x 轴3．如果右图是某几何体的三视图，那么该几何体是A ．球B ．正方体C ．圆锥D ．圆柱4．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其它差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 A ．16B ．13C ．12D ．235．⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为3，点P 与⊙O 的位置关系是A ．无法确定B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．点P 在⊙O 内6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，AD CD ，如果∠CAB =40°，那么∠CAD的度数为 A ．25° B ．50° C ．40°D ．80°7．如果左图是一个正方体的展开图，那么该正方体是A B C DxyOABxyOCA8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A ．4.25分钟 B ．4.00分钟 C ．3.75分钟D ．3.50分钟二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知∠A 为锐角，1sin 2A =，那么∠A = °． 10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB = 5，BC =4，那么cos B11．写出一个图象位于第一，三象限的反比例函数的表达式 ． 12．如图，等边三角形ABC 的外接圆半径OA = 2，其内切圆的半径为 ．13．函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，那么ac 0．（填“＞”，“=”，或“＜”）14．将抛物线2y x =沿y 轴向上平移2个单位长度后的抛物线的表达式为 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （1，1），B （3，1），如果抛物线2y ax =（a ＞0）与线段AB 有公共点， 那么a 的取值范围是 ．16．电影公司随机收集了2 000部电影的有关数据，经分类整理得到下表：注：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，那么抽到的这部电影是获得好评的第四类电影的概率是 ；（2）电影公司为了增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可使改变投资策略后总的好评率达到最大？ 答： ．xyO 三、解答题 （本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算：(1112cos 454-⎛⎫+-︒+ ⎪⎝⎭．18．已知二次函数243y x x =-+．（1）用配方法将其化为()2y a x h k =-+的形式； （2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．19．下面是小明同学设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O 和⊙O 外的一点P ． 求作：过点P 作⊙O 的切线． 作法：如图2，① 连接OP ；② 作线段OP 的垂直平分线MN ，直线MN 交OP 于C ； ③ 以点C 为圆心，CO 为半径作圆，交⊙O 于点A 和B ； ④ 作直线P A 和PB ．则P A ，PB 就是所求作的⊙O 的切线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接OA ，OB ，∵ 由作图可知OP 是⊙C 的直径， ∴ ∠OAP =∠OBP = 90°， ∴ OA ⊥P A ，OB ⊥PB ， 又∵ OA 和OB 是⊙O 的半径，∴ P A ，PB 就是⊙O 的切线（ ）（填依据）．OP图1图 2OPNMC20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），B （4，0），C （0，1-）．xyO ABC（1）以点C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的△''A B C ； （2）在（1）的条件下，① 点A 经过的路径'AA 的长度为 （结果保留π）； ② 点'B 的坐标为 ．21．如图，在四边形ABCD 中，AB = AD ，∠A = 90°，∠CBD = 30°，∠C = 45°，如果AB =求CD 的长．ABCD22．如果抛物线2224y x x k =++-与x 轴有两个不同的公共点．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 为正整数，且该抛物线与x 轴的公共点的横坐标都是整数，求k 的值．23．如图，直线4y ax =-（0a ≠）与双曲线ky x=（0k ≠）只有一个公共点A （1，2-）． （1）求k 与a 的值；（2）在（1）的条件下，如果直线y ax b =+（0a ≠）与双曲线ky x=（0k ≠）有两个 公共点，直接写出b 的取值范围．xyO A1-224．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于F ，AD DC =，连接AC 和AD ，延长AD 交BM 于点E ． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接OE ，如果DE = 2，求OE 的长．DBEM OFCA25．阅读材料：工厂加工某种新型材料，首先要将材料进行加温处理，使这种材料保持在一定的温度范围内方可进行继续加工．处理这种材料时，材料温度y（℃）是时间x（min）的函数．下面是小明同学研究该函数的过程，把它补充完整：（1）在这个函数关系中，自变量x的取值范围是．（2）下表记录了17min内10个时间点材料温度y随时间x变化的情况：上表中m的值为．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，已经描出了上表中的部分点．根据描出的点，画出该函数的图象．yO x（4）根据列出的表格和所画的函数图象，可以得到，当0≤x≤5时，y与x之间的函数表达式为，当x＞5时，y与x之间的函数表达式为．（5）根据工艺的要求，当材料的温度不低于30℃时，方可以进行产品加工，在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工的时间长度为min．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n 经过点A （0，2），B （3，4）．（1）求该抛物线的函数表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），如果直线CD 与图象G 有两个公共点，结合函数的图象，直接写出点D 纵坐标t 的取值范围．xyO27．如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，D 是线段AC 延长线上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ．（1）求证：∠CAE =∠CBD ．（2）将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后，所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ，连接CE ．① 依题意补全图形；② 用等式表示线段EF ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明．ABCDE28．对于平面直角坐标系xOy 中的⊙C 和点P ，给出如下定义：如果在⊙C 上存在一个动点Q ，使得△PCQ 是以CQ 为底的等腰三角形，且满足底角∠PCQ ≤60°，那么就称点P 为⊙C 的“关联点”．（1）当⊙O 的半径为2时，① 在点P 1（2，0），P 2（1，1），P 3（0，3）中，⊙O 的“关联点”是 ； ② 如果点P 在射线3yx （x ≥0）上，且P 是⊙O 的“关联点”，求点P 的横坐标m 的取值范围．（2）⊙C 的圆心C 在x 轴上，半径为4，直线22yx与两坐标轴交于A 和B ，如果线段AB 上的点都是⊙C 的“关联点”，直接写出圆心C 的横坐标n 的取值范围．xyO第（1）问图xyO第（2）问图2020—2021学年度第一学期期末调研试卷九年级数学答案及评分参考三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）17．（本小题满分5分）解：(1 0112cos454-⎛⎫+-︒+ ⎪⎝⎭124=+…………………………………………………………………………………………4分5.=……………………………………………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：（1）配方正确；……………………………………………………………………………………………3分（2）图象正确．……………………………………………………………………………………………5分19．（本小题满分5分）解：（1）补图正确；……………………………………………………………………………………………3分（2）依据正确．……………………………………………………………………………………………5分20．（本小题满分5分）解：（1）画图正确；…………………………………………………………………………………………3分（2）①52；……………………………………………………………………………………………4分②（-1，3）. ………………………………………………………………………………………5分21．（本小题满分5分） 解：过点D 作DE ⊥BC 于E . ……………………………………………………………………………1分∵ 在Rt △ABD 中，∠BAD = 90°，2ABAD，∴ 由勾股定理得B D =2. ………………………………………………………………………………2分∵ DE ⊥BC ，∴ 在Rt △DBE 中，∠DEB = 90°，∠CBD = 30°，∴DE =1， (4)分又∵ 在Rt △DEC 中，∠DEC = 90°，∠C = 45°， ∴ 由勾股定理得2CD．…………………………………………………………………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）由题意，得 △=()44240.k -->∴5.2k <……………………………………………………………………………………………2分（2）∵ k 为正整数，∴ k =1，2．………………………………………………………………………………………3分当k =1时，方程2220x x +-=的根1x =-±不是整数；………………………………4分当k =2时，方程220x x +=的根12x =-，20x =都是整数；综上所述，k =2．…………………………………………………………………………………5分23．（本小题满分6分）解：（1）∵ 直线4y ax =-（0a ≠）过点A （1，2-），∴24a -=-，……………………………………………………………………………………1分∴2.a =……………………………………………………………………………………………2分又∵ 双曲线ky x=（0k ≠）过点A （1，2-）， ∴21k-=，…………………………………………………………………………………………3分 ∴2.k =-………………………………………………………………………………………4分（2）b ＜-4，b ＞4. ………………………………………………………………………………………6分24．（本小题满分6分）（1）证明：∵ AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线， ∴ AB ⊥BM .∵ CD ∥BM ， ∴ AB ⊥CD .∴ AD AC .…………………………………………1分∵ AD DC .∴AD AC DC .………………………………………………………………………………2分∴ AD =AC =DC . ∴ △A C D 是等边三角形. …………………………………………………………3分（2）解：连接BD ，如图.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =90°. ∵ ∠ABD =∠C =60°， ∴ ∠DBE =30°. 在Rt △BDE 中，DE =2，可得BE =4，BD = ………………………………………………………………………………………………………4分在Rt △ADB 中，可得AB =∴OB = . ……………………………………………………………………………………5分在R t △O B E 中，由勾股定理得O E =. ……………………………………………………6分25．（本小题满分6分） 解：（1）x≥0；…………………………………………………………………………………………………1分 （2）20；……………………………………………………………………………………………………2分 （3）略；……………………………………………………………………………………………………3分（4）915y x ，300yx；……………………………………………………………………………5分 A E MA BE M（5）25.3……………………………………………………………………………………………………6分26．（本小题满分6分）解：（1）∵ 点A ，B 在抛物线y =2x 2+mx +n 上，∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩……………………………………………………………………………1分 解得4,2.m n =⎧⎨=⎩...................................................................................................2分 ∴ 抛物线的表达式为y =－2x 2+4x +2. (3)分 ∴ 抛物线的对称轴为x =1. ………………………………………………………………………4分 （2）43≤t＜4. ……………………………………………………………………………………………6分27．（本小题满分7分） （1）证明：如图1，∵ ∠ACB = 90°，AE ⊥BD ， ∴ ∠ACB =∠AEB = 90°， 又∵ ∠1=∠2，∴ ∠CAE =∠CBD ．………………………………3分（2）① 补全图形如图2. ………………………………………4分②2EFCEBE (5)分证明：在AE 上截取AM ，使AM =BE . 又∵ AC =CB ，∠CAE =∠CBD ， ∴ △ACM ≌△BCE .∴ CM =CE ，∠ACM =∠BCE . 又∵ ∠ACB =∠ACM +∠MCB =90°， ∴ ∠MCE =∠BCE +∠MCB =90°. ∴ 2.MECE又∵ 射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后得到AF ，且∠AEF =90°，图2图1∴EF=AE=AM+ME=BE.………………………………………………………………………7分28．（本小题满分7分）解：（1）①P1，P2；……………………………………………………………………………………………2分②由题意可知⊙O的“关联点”所围成的区域是以O为圆心，半径分别为1和2的圆环内部（包含2，不包含1）. ……………………………………………………………………………3分设：射线3y x（x≥0）与该圆环交于点P1和点P2，由题意易得P1，0），P20）.∴＜m……………………………………………………………………………………5分（2）23≤n＜3，1＜n≤ 3.…………………………………………………………………7分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

2020-2021学年辽宁省锦州市八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列各数为无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．2．下列命题为假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．互补的两个角不一定相等D．两点之间，线段最短3．某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（）A．300，150B．300，200C．300，300D．600，3004．下面四个数与最接近的是（）A．2B．2.5C．2.6D．35．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．73°6．已知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm7．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（）A．B．C．D．8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸二、填空题（共8小题）.9．的平方根是．10．若点P（﹣1，y1）和点Q（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1，y2的大小关系是：y1y2（填“＞，＜或＝”）．11．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为．12．如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学考试成绩的平均分与方差：甲乙丙丁平均分93969693方差（s2） 5.1 5.1 1.2 1.2要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择．13．李刚师范大学毕业后参加了某市教育局组织的教师招聘考试，这次考试包括笔试、面试两项，其笔试、面试成绩按3：7的比例确定各人的最终成绩．考试结束后他笔试、面试的成绩分别为90分、96分，那么李刚参加这次招聘考试的最终成绩为分．14．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，则可列方程组为．15．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为．16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为．三、计算题（本大题共15分）17．（1）计算：；（2）计算：（+1）2+（+2）（﹣2）；（3）用适当的方法解方程组：．四、解答题（本大题共3个题，第18，19题各6分，第20题7分，共19分）18．争创全国文明城市，从我做起．某校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，该校举办了八年级全体学生参加的《创文明城，做文明人》知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（单位：分），整理数据后得到下列不完整的频数分布表和频数直方图：成绩/分人数（频数）78≤x＜58282≤x＜a8686≤x＜129090≤x＜b9494≤x＜298请根据图表提供的信息回答下列问题：（1）频数分布表中a＝，b＝；（2）补全频数直方图；（3）若成绩不低于90分为优秀，估计该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数．19．在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别（2，4），（﹣3，1）．（1）在平面直角坐标系中，描出点A；（2）若函数y＝mx的图象经过点A，求m的值；（3）若一次函数y＝kx+b的图象由（2）中函数y＝mx的图象经过平移，且经过点B得到，求这个一次函数的表达式，并在直角坐标系中画出该函数对应的图象．20．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF．∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°．∴FG∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴＝∠2+∠4，即∠＝∠EFC．∴DE∥BC（）．五、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）21．在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是，未知数q表示的是；张红所列出正确的方程组应该是；（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？22．小明和妈妈元旦假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，约定小明爸爸驾车到A地接他们回家．一家人在A地见面，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离s（km）和小明从外婆家出发的时间t（h）之间的函数关系如图所示．（1）小明家与外婆家的距离是km，小明爸爸驾车返回时平均速度是km/h：（2）点P的实际意义是什么？（3）求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．六、解答题（本大题共2个题，每题9分，共18分）150-023．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．24．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列各数为无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．解：A、﹣1是有理数，故本选项不符合题意；B、0是有理数，故本选项不符合题意；C、是有理数，故本选项不符合题意；D、是无理数，故本选项符合题意．故选：D．2．下列命题为假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．互补的两个角不一定相等D．两点之间，线段最短解：A、对顶角相等，是真命题；B、∵两直线平行，同位角相等，∴本选项说法是假命题；C、互补的两个角不一定相等，是真命题；D、两点之间，线段最短，是真命题；故选：B．3．某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（）A．300，150B．300，200C．300，300D．600，300解：众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是＝300；故选：C．4．下面四个数与最接近的是（）A．2B．2.5C．2.6D．3解：∵2.42＝5.76，2.52＝6.25，∴2.42＜6＜2.52，∴，∴给出的四个数中，与最接近的是2.5．故选：B．5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．73°解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，∴∠2＝∠ABC＝54°，∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，∴AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC＝54°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝72°．6．已知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，∵该函数经过点（6，15），（20，22），∴，解得，即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，当x＝0时，y＝12，即弹簧不挂物体时的长度为12cm，故选：A．7．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，∴k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）9．的平方根是．解：的平方根是，故答案为：±．10．若点P（﹣1，y1）和点Q（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，则y1，y2的大小关系是：y1＜y2（填“＞，＜或＝”）．解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣1＞﹣2，∴y1＜y2．故答案为：＜．11．如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°），目标B的位置为（4，210°），则目标C的位置为（3，150°）．解：由题意，点C的位置为（3，150°）．故答案为（3，150°）．12．如表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学考试成绩的平均分与方差：甲乙丙丁平均分93969693方差（s2） 5.1 5.1 1.2 1.2要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择丙．解：∵1.2＜5.1，∴丙和丁的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵96＞93，∴丙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择丙．故答案为：丙．13．李刚师范大学毕业后参加了某市教育局组织的教师招聘考试，这次考试包括笔试、面试两项，其笔试、面试成绩按3：7的比例确定各人的最终成绩．考试结束后他笔试、面试的成绩分别为90分、96分，那么李刚参加这次招聘考试的最终成绩为94.2分．解：李刚参加这次招聘考试的最终成绩为＝94.2（分）．故答案为：94.2．14．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，则可列方程组为．解：依题意得：．故答案为：．15．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为．解：∵直线y＝x﹣2经过点M（3，b），∴b＝3﹣2，解得b＝1，∴M（3，1），∴关于x，y的二元一次方程组的解为，故答案为．16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点B1在y轴上，点D1在x轴上，点C1在第一象限内，以C1为顶点作等边△C1A2B2，使得点A2落在x轴上，A2B2⊥x轴，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2（记为第2个正方形），点D2在x轴上，以C2为顶点作等边△C2A3B3，使得点A3落在x轴上，A3B3⊥x轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为22020．解：∵正方形A1B1C1D1（称为第1个正方形）的边长为1，∴C1D1＝1，∵C1A2B2为等边三角形，∵∠B2A2C1＝60°，∵A2B2⊥x轴，∴∠C1A2D1＝30°，∴A2B2＝2C1D1＝2＝22﹣1，同理得A3B3＝4＝23﹣1，A4B4＝8＝24﹣1，…由上可知第n个正方形的边长为：2n﹣1，∴第2021个正方形的边长为：22021﹣1＝22020．故答案为：22020．三、计算题（本大题共15分）17．（1）计算：；（2）计算：（+1）2+（+2）（﹣2）；（3）用适当的方法解方程组：．解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2+2+1+3﹣4＝2+2；（3）①×3+②得3x+4y＝9+5，解得x＝2，把x＝2代入①得2﹣y＝3，解得y＝﹣1，所以方程组的解为．四、解答题（本大题共3个题，第18，19题各6分，第20题7分，共19分）18．争创全国文明城市，从我做起．某校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，该校举办了八年级全体学生参加的《创文明城，做文明人》知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（单位：分），整理数据后得到下列不完整的频数分布表和频数直方图：成绩/分人数（频数）78≤x＜58282≤x＜a8686≤x＜129090≤x＜b9494≤x＜298请根据图表提供的信息回答下列问题：（1）频数分布表中a＝5，b＝6；（2）补全频数直方图；（3）若成绩不低于90分为优秀，估计该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数．解：（1）由频数分布直方图知b＝6，则a＝30﹣（5+12+6+2）＝5，故答案为：5，6；（2）补全频数分布直方图如下：（3）600×＝160（人），答：该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数约为160人．19．在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别（2，4），（﹣3，1）．（1）在平面直角坐标系中，描出点A；（2）若函数y＝mx的图象经过点A，求m的值；（3）若一次函数y＝kx+b的图象由（2）中函数y＝mx的图象经过平移，且经过点B得到，求这个一次函数的表达式，并在直角坐标系中画出该函数对应的图象．解：（1）点A（2，4），如图所示：（2）∵函数y＝mx的图象经过点A，∴4＝2m，∴m＝2；（3）由（2）可得经过点A的函数为y＝2x，∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x经过平移，且经过点B，∴，解得，∴这个一次函数的表达式为y＝2x+7，依题意画出图象如图所示；20．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF．∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DEF＝∠EFC．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【解答】证明：连接EF．∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DEF＝∠EFC．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：HE，同位角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；∠1+∠3，DEF，内错角相等，两直线平行．五、解答题（本大题共2个题，每题8分，共16分）21．在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是甲工程队修建的天数，，未知数q表示的是乙工程队修建的天数，；张红所列出正确的方程组应该是；（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？解：（1）方程组中未知数p表示的是：甲工程队修建的天数，未知数q表示的是：乙工程队修建的天数，列出正确的方程组应该是：．故答案为：甲工程队修建的天数，乙工程队修建的天数，；（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据题意，得，解得，所以甲工程队修建的天数＝＝12（天），乙工程队修建的天数＝＝6（天）．答：甲、乙两个工程队分别修建了12天、6天．22．小明和妈妈元旦假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，约定小明爸爸驾车到A地接他们回家．一家人在A地见面，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离s（km）和小明从外婆家出发的时间t（h）之间的函数关系如图所示．（1）小明家与外婆家的距离是300km，小明爸爸驾车返回时平均速度是60km/h：（2）点P的实际意义是什么？（3）求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．解：（1）由图象可得小明家与外婆家的距离为300km，小明经过2小时到达点A，点A 到小明外婆家的距离＝（300﹣2×90）＝120（km），∴小明爸爸驾车返回时平均速度＝＝60（km/h），故答案为：300，60；（2）点P表示小明出发2小时到达A地与小明爸爸相遇；（3）设s与t之间的函数关系式为s＝kt+b，且过点（2.5，180），（4.5，300），∴，解得，∴s与t之间的函数关系式为s＝60t+30（2.5≤t≤4.5）．六、解答题（本大题共2个题，每题9分，共18分）150-023．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．【解答】（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．24．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．①求点E的坐标；②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，∵一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴点A（1，0），点B（0，3），∵点D与点C关于y轴对称，点C（3，0），∴点D（﹣3，0），∵EG⊥OC，EH⊥OB，∴OE平分∠BOC，又∵OB＝OC＝3，∴OE＝BE＝EC，∴点E（，）；②△AOB≌△FOD，理由如下：设直线DE解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线DE解析式为y＝x+1，∵点F是直线DE与y轴的交点，∴F（0，1），∴OF＝OA＝1，又∵OB＝OD＝3，∠AOB＝∠FOD＝90°，∴△AOB≌△FOD（SAS）；（3）∵点G与点B关于x轴对称，点B（0，3），∴点G（0，﹣3），∵点G（0，﹣3），点C（3，0），∴直线GC的解析式为y＝x﹣3，∵点B（0，3），点A（1，0），∴AB2＝1+9＝10，设点P（a，a﹣3），若AB＝AP时，则10＝（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2，∴a＝0或4，∴点P（0，﹣3）或（4，1）；若AB＝PB时，则10＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，∴a2﹣6a+13＝0，∵△＜0，∴方程无解，若AP＝BP时，则（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，∴a＝，∴点P（，），综上所述：点P（0，﹣3）或（4，1）或（，）．。

2020——2021学年度上学期期末考试高二年级历史科试卷第I卷一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．有学者认为，“封略之内，何非君土”比“普天之下，莫非王土”更真实地反映了西周时期的土地关系。

这一看法的主要依据是A．生产力的客观现实B．宗法制的血缘亲疏C．礼乐制的等级划分D．井田制的日趋瓦解2．考古资料显示商代遗址中出土的海贝，很多来自渤海至南海海域，甚至还有产于印度洋的，一些刻写甲骨文的龟甲也被证实产于南海。

这反映出A．价值认可与跨地域交往相互促进B．统一多民族国家的基础初步奠定C．我国辽阔疆域版图已经基本奠定D．中心政治权力有效控制较为广泛3．上计制是古代中国由地方行政长官定期向上级呈上计文书，报告地方治理状况的一种制度。

西汉时郡、国上计主要由郡丞、长史承担；东汉后期郡、国上计则由郡丞、长史的下属——“上计缘史”承担。

这一变化的主要原因是A．王国问题的基本解决B．外戚与宦官交替专权C．专制集权的相对削弱D．地方长官的地位下降4．曹魏实行九品中正制之初，中正由现任中央职官兼任，须“德充才盛”，经郡国长官推举，报请司徒确认并予以任命。

这表明九品中正制A．无法为政府选拔优秀的人才B．有利于推动官僚政治的形成C．彻底改变了乡里评议的传统D．顺应了加强中央集权的趋势5．据下表可以得出的认识是，汉代A．人口数呈下降趋势B．家庭经济生存压力过大C．男女性别严重失衡D．国家政策控制人口增长6．唐律规定，借款人到期不按契约偿还，出借人可以到官府告发，官府依法追究借款人责任，并强制如数归还。

材料表明唐律A．深受社会契约论影响B．协调了社会经济纠纷C．比前代法律更加完备D．体现了契约法则精神7．秦朝田赋税率极高，汉代虽大大下降，但人头税依然很重。

后来曹魏按田亩征田租，西晋按户等征户调，北魏到唐前朝在均田制下按丁夫征租调，到唐中期开始实行两税法。

2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−5x −6<0}，则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则ac 2<bc 2B. 若a >b ，则1a <1b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ，则a <b3. 已知q ：∀x ∈[−2,3)，x 2<9，则￢q 为( )A. ∃x ∈[−2,3)，x 2<9B. ∃x ∉[−2,3)，x 2<9C. ∃x ∈[−2,3)，x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3)，x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3，则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0，x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ，下列选项正确的是( )A. 奇函数，在(−1,1)上有零点B. 奇函数，在(−1,1)上无零点C. 偶函数，在(−1,1)上有零点D. 偶函数，在(−1,1)上无零点8. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据图形分析，下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时，f(x)=−2x2+4x，x≤0时，y=f(x+2)，以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数，且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根，则12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，2x2−3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．14.函数f(x)=x2sinx−2，则f(2021)+f(−2021)=______ ．15.有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为______ ．16.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={−1,0，2}的不同分拆种数是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）+a,x>−1}．17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1}，B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B；(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1．(Ⅰ)若m=0，求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)=x2+4x．(1)求f(x)解析式；(2)若f(2a)<f(1−a)，求a的取值范围．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的零点；)，求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值．(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6}，所以A∩B={x|12≤x<6}，则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}．故选：C．先求出集合A，B，然后利用集合交集与补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集定义的运用，涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a>0>b，则1a >1b，故B错误；对于C，若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故C错误；对于D，若1ab2<1a2b，则a2b2>0，所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b，即a<b，故D正确．故选：D．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题q：∀x∈[−2,3)，x2<9，则￢q：∃x∈[−2,3)，x2≥9．故选：C．根据全称命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2+log 31<2+log 32<2+log 33，即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围，从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y =f(x +1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(x +2)，又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=f(x +2)， 则有f(x +2)=−f(x)，综合可得：f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的函数， 则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1， 故选：A ．根据题意，分析可得f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，据此可得f(985)=f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A ． 故选：A ．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex)，其定义域为R ，有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t =√e x+1√ex ，在区间[0,1)上，t =√e x+1√ex>2且是增函数，而y =lnt ，在(2,+∞)上为增函数，则f(x)在区间[0,1)上为增函数，又由f(0)=ln2>0，则在区间[0,1)上，f(x)≥f(0)>0恒成立，故f(x)在区间[0,1)上没有零点，又由f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,1)上无零点； 故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，再设t =√e x+1√ex，则y =lnt ，利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数，求出f(1)的值，分析可得区间[0,1)上没有零点，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数零点的判断，属于基础题、8.【答案】B【解析】解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．由题意可得AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：x+1x≥2恒成立，不成立，因为x可以小于0，所以A不正确；√a2+4√a2+4的最小值大于2，所以B不正确；m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4，当且仅当m=n=1，表达式取得最小值为4，所以C正确；a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用基本不等式，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos(−x)=cosx，∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．11.【答案】ABD【解析】对于A ，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多，是加速增长，故A 正确；对于B ，第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段，是匀速增长，故B 正确； 对于C ，第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少，故C 错误；对于D ，第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨， 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨，∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨，故D 正确． 故选：ABD ．由分段函数图象，能够读出各段上y 对于x 变化状态，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．12.【答案】BD【解析】解：x ≤0时，y =f(x +2)，∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环，如下图所示，由图象可知，f(x)在区间[−6,−4]上先增后减，所以A 错误； f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2，所以B 正确；当x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，f(3)≠f(1)，所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数，所以C 错误；y =kx +1恒过(0,1)，由图象可知，直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到，x ∈(−2,0)时，f(x)=−2x 2−4x ，∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3，画出g(x)图象，如下图所示，x ∈(−2,0)时，g(x)最大值为4−2√2，g(−2)=−12，x ∈(0,2)时，g(x)最小值为2√2−4， ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点，满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12， 解得12<k <4−2√2或k =2√2−4，所以D 正确． 故选：BD ．画出图象，即可判断A ；由x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，x ≤0时，y =f(x +2)，即可判断BC ；参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即可判断D ． 本题考查了函数的图象与性质，函数零点问题，D 选项较难下手，属于难题．13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2−4×2×9≤0，解得：−2√2≤a ≤2√2． 故答案为：[−2√2,2√2]根据题意，原命题的否定“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14.【答案】−4【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx−2，则f(−x)=−x2sinx−2，则f(x)+f(−x)=−4，则有f(2021)+f(−2021)=−4，故答案为：−4．根据题意，求出f(−x)的解析式，分析可得f(x)+f(−x)=−4，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.【答案】(√2+1)L．【解析】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t=t1+t2，即：LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得：V12−2V1V2−V22=0解得：V1=(√2+1)V2；将上式等号两边同乘总时间t，即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L．故答案为：(√2+1)L．以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．本题考查路程的计算，关键是计算向前的距离和向后的距离，难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同，向后的时候人和队伍前进方向相反，解决此类问题常常用到相对运动的知识．16.【答案】27【解析】解：因为集合A中有三个元素，当A1=⌀时，必须A2=A，分拆种数为1；当A1有一个元素时，分拆种数为C31⋅2=6；当A1有2个元素时，分拆种数为C32⋅22=12；当A1=A时，分拆种数为C33⋅23=8．所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种．故答案为：27．由题意中的定义，分A1=⌀，A1有一个元素，A1有2个元素，A1=A四种情况，分别求出分拆种数，即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2}，B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}．(2)∵集合A={x|x<2}，B={x|x≥a+1}．∴∁U B={x|x<a+1}，∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件，∴x<2⇒x<a+1，∴a+1>2，解得a>1．∴a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A，利用均值定理能求出集合B．(2)推导出x<2⇒x<a+1，由此能求出a的取值范围．本题考查集合、实数的取值范围的求法，对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=2x 2−1，可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减，∴f(x)min =f(0)=−1，f(x)max =f(−3)=17；(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12，∴m =12或−18成立； 由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0，解得：−18<m <12； 综上：满足条件的m 的取值范围是：[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值； (2)根据f(0)f(1)<0，再验证f(0)=0及f(1)=0，可求得m 范围． 本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则有f(−x)=x 2−4x ，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=x 2−4x ， 则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，∴|2a|<|1−a|，得(2a)2<(1−a)2，解得：a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0，则−x <0，再根据函数为偶函数可求得解析式；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，可求得a 的取值范围．本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20，x ∈[0,10]；(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，因为x∈[0,10]，所以4≤x+4≤14，则(x+4)+45kx+4≥6√5√k，当且仅当x+4=45kx+4，即x=3√5√k−4时取“=”，因为k∈[0.5,1]，则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即有3√5√k−4∈[0,10]，所以y≤180k+12−48√5√k，即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+ 12−48√5√k；(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，即180k≥(8x+20)(x+4)x+2，记m=x+2，则m∈[2,12]，此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20，由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增，所以当m∈[2,12]时，f max(m)=f(12)=11623，∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k，结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，令−x|x−2|+1=0．当x≥2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1+√2；当x<2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1．故函数零点为：1+√2和1；(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ，其中f(0)=f(2a)=1，于是最大值在f(1)，f(2)，f(2a)中取．得0<2a ≤1，即0<a ≤12时，f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)max =f(1)=2a ； 当a <1<2a <2，即12<a <1时，f(x)在[1,2a]上单调递增，在[2a,2]上单调递减，故f(x)max =f(2a)=1；当1≤a <2<2a ，即1≤a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,2]上单调递增，故f(x)max =max{f(1),f(2)}，∵f(1)−f(2)2a −3<0，故f(x)max =f(2)=5−4a ．综上：f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32．．【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题； (2)根据a 讨论函数图象，根据图象特点可求函数最大值． 本题考查函数零点与最值，考查数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞)，令x 1=12,x 2=14，则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1， 而2|x 1−x 2|=12，∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|，∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1>x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立，∵1≤x 2<x 1≤4， ∴14<√x +√x <12，∴k 的最小值为12；(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|，f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，∴设x 1>x 2，则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|，∵2x1−a>0,2x2−a>0，且2x1−a2x2−a>1，∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2，∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1，∴a⋅2x1>a⋅2x2，∵x1>x2，∴a>0，∵2x−a>0，∴a<2x，∵x∈[1,2]，∴a<2，综上，实数a的取值范围为(0,2)．【解析】(1)令x1=12,x2=14，即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)依题意，k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立，而14<√x+√x<12，由此可得k的最小值；(3)由题意可得，a⋅2x1>a⋅2x2，结合x1>x2，可得a>0，由2x−a>0，x∈[1,2]，可得a<2，综合即得答案．本题以新定义为背景，考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及运算求解能力，属于中档题．。

2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()7,+∞ B.()6,+∞ C.(]1,7- D.(]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（）A.5B.6C.7D.84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.2- D.25.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若()1235MF MF MN λλ+=∈R，则双曲线E 的离心率为（）A.87 B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020~2021学年度第一学期南开区期末考试试卷高三年级数学学科共150分，考试用时120分钟一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，{}0,2,4,6B =，则()A B A B 等于（ ） A. {}1,3,4,6B. {}0,1,3,4,6C. {}0,2D. {}2 【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、并集和补集运算求解.，{}0,2,4,6B =，所以{}{}0,1,2,3,4,6,0,2A B A B ⋃=⋂=， 所以(){}1,3,4,6A B A B =，故选：A2. “22m n <”是“ln ln m n <”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】 【分析】直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】由ln ln m n <，可得0m n <<，故22m n <成立； 当22m n <，当0,0m n <<时，ln ln m n <不成立；所以“22m n <”是“ln ln m n <” 必要不充分条件.故选：B.3. ） A. ()1,2B. ()(),02,-∞+∞C. ()(),11,2-∞D. ()()0,11,2 【答案】D【解析】【分析】求使函数有意义的x 的取值范围即可.【详解】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩， 即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选：D4. 已知等比数列{}n a 满足12a =，23564a a a ⋅=，则3a 的值为（ ）C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据23564a a a ⋅=，利用等比数列的性质求得2q ，再利用通项公式求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，12a =，23564a a a ⋅=， 所以46224a a =，所以2311a a q ==，故选：C5. 函数sin2y x =的图像经过怎样的平移变换得到函数( )A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】 【详解】试题分析：因为2sin(2)sin[(2)]sin(2)sin 2()3333y x x x x πππππ=-=--=+=+，所以将函数sin 2y x =向左平移3π个单位长度即可得到函数sin(2)3y x π=-的图象，故选B ． 考点：三角函数图象的平移变换．6. 已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A. 2-B. 4-C. 6-D. 8- 【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径2r a =-，弦心距为22112211d -++==+ ．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以22222,4a a +=-∴=-．故选B ．7. 已知函数2()ln(1)f x x =+，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. c a b <<C. c b a >>D. b c a >>【答案】D【解析】【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0和1比较幂和对数的的大小，最后可得结论．【详解】由题意知()f x 是偶函数，由复合函数单调性知在[0,)+∞上，函数单调递增，0.200.21<<，3log 41>，13log 31=-，13(log 3)(1)(1)c f f f ==-=， 又0.2300.21log 4<<<，∴a c b <<．故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对数函数的性质，属于中档题．8. 已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =（ ）A. 12B. 9C. 6D. 3【答案】C【解析】 【分析】画出图形，由圆的性质可得AN MN ⊥，结合抛物线的方程求出F 到准线的距离，进而可求出AN ，结合抛物线的定义即可得解.【详解】因为A ，F ，M 三点共线，所以AM 为圆F 的直径，AN MN ⊥,因为点F 到准线的距离为3，所以||236AN =⨯=，由抛物线定义知||||6AF AN ==.故选：C ．9. 已知a ∈R ，若函数21()22f x x x a =--有三个或者四个零点，则函数2()41g x ax x =++ 的零点个数为（ ）A. 1或2B. 2C. 1或0D. 0或1或2 【答案】A【解析】得.当2x a ≥时个零点.对2()41g x ax x =++，由0∆≥得1640,4(0)a a a -≥≤≠.当0a =时，()41g x x =+有一个零，所以2()41g x ax x =++有一个零点或两个零点，选A. 考点：函数的零点.二､填空题：10. .【解析】【分析】 结合复数的乘除法法则求出z 17i =-+，进而可求出模.故答案为11. ___________，其焦点到渐近线的距离为_____________．【答案】 (1).(2). 1 【解析】（1，所以2c =，所以焦点()2,0到它们12. 在点()()1,1f 处的切线方程是________.【答案】230x y +-= 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义先求解出切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程. 【详解】()()2110f x x x x'=-->，()1112k f ==--=-'.又()11f =，所以切点坐标为()1,1. 所以曲线()11ln f x x x=+在点()()1,1f 处的切线方程为()121y x -=--，即230x y +-=. 故答案为：230x y +-=.【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程的求法，主要考查导数的几何意义，难度较易.13. 已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD ＝2，则多面体的体积 ．【答案】833； 【解析】试题分析：如图，连接AC ，AC∩BD ＝O.因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC.因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A-BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AO ＝3，S 四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥ABDEF ＝433，即多面体的体积为833.考点：棱锥体积14. 如图，在边长1为正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AM AC ⋅=______，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=______.【答案】 (1).32 (2). 85【解析】【分析】 设向量,AB a AD b ==，根据向量的数量积的运算公式，可求得AM AC ⋅，再根据向量的线性运算法，化简得11()()22AM BN a b λμλμλμ+=-++和AC a b =+，列出方程组，即可求解. 【详解】设向量,AB a AD b ==，则1,0a b a b ==⋅=可得2213113()()1022222AM AC a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+=++=， ()()())1]2AM BN AB BM BD DN AB AD AD AB DN λμλμλμ⎛⎫⎡+=+++=++-+ ⎪⎣⎝⎭1111()()()()2222a b b a a b λμλμλμ=++-=-++， 又因为AC a b =+，可得112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得62,55λμ==，所以85λμ+=. 15. 已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a +++的最小值为______. 【答案】4【解析】【分析】由已知得11a b a b a b b a b a+++=+++，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】由题可知，0,0a b >>，且1ab =，所以 11224a b a b a b a b a b a b ab b a b a ab b a b a++++=++=+++≥⋅+=， 当且仅当1a b ==等号成立，故答案为：4.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1b c -=，1cos 3A =，ABC 的面积为22.（1）求a ，b ，c 的值；（2）求()cos 2C A +的值.【答案】（1）3a =，3b =，2c =；（2）2327-. 【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得sin A 的值，结合面积公式求得6bc =，再根据1b c -=和余弦定埋，即可求得,,a b c 的值； （2）由（1）及正弦定理求得42sin 9C =，进而求得7cos 9C =，结合三角恒等变换的公式，即可求得()cos 2C A +的值【详解】（1）由1cos 3A =，因为0A π<<，可得22sin 3A =， 又由1122sin 22223S bc A bc ==⨯=，解得6bc =，又因为1b c -=，解得3b =，2c =， 根据余弦定埋得()222222cos 293a b c bc A b c bc bc =+-=-+-=，即3a =， 所以3a =，3b =，2c =.（2）由（1）及正弦定理sin sin a c A C =，可得32sin 223C =，解得42sin 9C =， 因为c b <，所以27cos 1sin 9C C =-=， 所以562sin 22sin cos 81C C C ==，217cos 22cos 181C C =-=， 所以()1715622223cos 2cos 2cos sin 2sin 81381327C A C A C A +=-=⋅-⋅=-. 【点睛】方法规律总结：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.17. 如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求二面角B AC E --的正弦值；（3）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）63；（3）233. 【解析】【分析】（1）由已知条件推导出BF AE ⊥，CB AB ⊥，从而得到CB ⊥平面ABE ，由此能够证明AE ⊥平面BCE .（2）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法可求出二面角B AC E --的正弦值. （3）求出AD 的坐标，利用向量法点到平面的距离公式，可求出点D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）因为BF ⊥平面ACE ，所以BF AE ⊥. 因为二面角D AB E --为直二面角，且CB AB ⊥， 所以CB ⊥平面ABE .所以CB AE ⊥.因为BC 与BF 相交，且都属于平面BCE .所以AE ⊥平面BCE .（2）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图.因为AE ⊥面BCE ，BE ⊂面BCE ，所以AE BE ⊥，在Rt AEB 中，2AB =，O 为AB 的中点， 所以1OE =.所以()0,1,0A -，()1,0,0E ，()0,1,2C ，()1,1,0AE =，()0,2,2AC =.设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =.则0,0,AE n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,220,x y y z +=⎧⎨+=⎩化简得,,y x y z =-⎧⎨=-⎩ 令1x =，得()1,1,1n =-是平面AEC 的一个法向量.又平面BAC 的一个法向量为()1,0,0m =，13cos ,33m nm n m n ⋅===. 所以二面角B AC E --的正弦值为63.（3）因为//AD z 轴，2AD =，所以()0,0,2AD =，所以点D 到平面ACE 的距离23AD nn ⋅==【点睛】用向量法求二面角的正弦值或余弦值、点到面的距离关键点为：①建立三维空间直角坐标系②求点坐标，求相关向量坐标③求法向量④带公式，计算⑤得结果.18. 已知点F a ＞b ＞0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1•k 2＝e 2﹣1（e 为椭圆的离心率）.【答案】（12）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1，则有31a c a c +=⎧⎨-=⎩求解.（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，3-），分别设直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点M ，N 的坐标，再利用斜率公式代入k 1•k 2求解. 【详解】（1）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝3， ；（2）由（1）可知，A （2，0），B （0，设直线AM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率也为k ，故直线AM 的方程为y ＝k （x ﹣2），直线BN 的方程为y ＝由()2234122x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得：（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣12＝0，∴k 1•k 2＝e 2﹣1.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19. 已知等差数列{}n a 满足121n n a a n +=-+，12a ，123a a a ++分别是等比数列{}n b 的首项和第二项. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，求数列的前n 项和； （3）求()*121ni i i a b n N =-∈∑.【答案】（1）n a n =，123n n b -=⋅；（2（3）()2232n n -+. 【解析】【分析】(1)由已知条件求出21211a a =-+，32221a a =-+，结合等差数列的通项公式，用首项和公差表示2a 和3a ，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式，即可得1b 和2b ，求出公比即可求出通项公式.(2)结合等差数列的求和公式求出n S ，进而求出的前n 项和. (3)由错位相减法可求出()*121ni i i a b n N =-∈∑.【详解】解：（1）由已知{}n a 为等差数列，记其公差为d .因为121n n a a n +=-+， 所以21211a a =-+，32221a a =-+，则()211112221a a d a a d a d =+=⎧⎨+=+-⎩. 解得11a d ==，所以n a n =.从而1122b a ==，21236b a a a =++=， 所以公比3q =，所以123n n b -=⋅. （2（3）因为21113253231211n n i i n n n n i M ab a b a b a b a b a b ----===+++⋅⋅⋅++∑()()01221236310322332213n n n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+-所以()()12313236310322332213n n n M n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+- 所以()012312234343103432213n n n M n --=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--()4434n n =--， 所以()2232nn M n =-+. 【点睛】易错点睛:在用错位相减法求和时，一是注意两式相减后，n S 的系数，二是两式相减后等号右边计算要仔细.20. 已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--. （1）求()f x 的最小值；（2）设函数()()()h x f x g x '=-，讨论()h x 的单调性；（3）设函数()()()2G x g x a x =+-，若函数()f x 的图像与()G x 的图像有()11,A x y ，()22,B x y 两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.【答案】（1（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求得最小值；（2）求出()h x 的表达式并求导，通分，分解因式，然后根据导函数在定义域内的零点的不同情况对实数a 进行分类，利用导数与函数单调性的关系讨论()h x 的单调性；（3）消去参数a 得()12ln 2ln 2x x >+.【详解】解：（1）()ln 1f x x '=+.令()0f x '>，得，所以()f x 在令()0f x '<，得. 所以()f x 的最小值为（2）()()()()2ln 21h x f x g x x ax a x =-=-+-+'，定义域为()0,∞+，当0a ≥时，()h x 在. 当20a -<<时.令()0h x '>，得10,2⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，所以()h x 在 令()0h x '<，得 所以()h x 在. 当2a =-时，()0h x '≥，()h x 在()0,∞+上单调递增. 当2a <-时，令()0h x '>，得10,a ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎭⎝⎭， 所以()h x 在上单调递增； 令()0h x '<，得 所以()h x 在. （3）()()()22G x g x a x ax =+-=，因为函数()f x 的图象与()G x 的图象有两个不同的交点. 所以关于x 的方程2ln 1ax x x =-，即.①+②得 ②-①得.不妨设120x x <<，记所以()F t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10F t F >=.，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增.，所以2122x x e >.两边同时取对数可得()12ln 2ln 2x x >+，得证.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，和含参数的函数单调性问题，利用导数证明不等式，属于难题. 难点一：（2）中根据导函数在定义域内的零点情况分类讨论；难点二：（3）中的由得到通过变形成，消去a 并得到关于要证不等式不等号左边12ln x x 的关于12x x ，的表t 的函数表达式.。

辽宁省大连市金普新区2020-2021学年八年级上学期期末学业质量监测数学试题注意事项：本试卷共五大题，26小题，满分150分，考试时间 110分钟，请考生准备好答题工具。

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确) 1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是① ② ③ ④A. ②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④ 2. 下列运算正确的是A.(a²)³=a ⁵B. a²+a ⁴=a ⁶C. a³÷a³=1D.(a³-a)÷a=a² 3.下列多项式乘法，能用平方差 公式进行计算的是A. (x+y)(-x-y)B. (2x+3y)(2x-3z)C. (x-y)(y-x)D. (-a-b)(a-b) 4.下列各式从左到右的变形中是因式分解的是A. x(a-b)=ax-bxB. y²-1=(y+1)(y-1)C. x²-1-2y²=(x+1)(x -1)-2y²D. ax+bx+c=x(a+b+c) 5.下列二次根式中是最简二次根式的是A.√16 B. √7 C.√8D. √9 6.如图，下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是A. ∠A=∠D, ∠C=∠F, AC=DFB. AB=DE, BC=EF, ∠A=∠DC. ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠FD. AB=DE,△ABC的周长等于△DEF 的周长7.如图,在△ABC中,AB=AC,D 为BC 中点, ∠BAD=35°,则∠C 的度数为A. 35°B. 45°C. 55°D. 60°（第6 题） （第 7 题）8.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AD=5, AE=4,则△ADC的周长是A. 9B. 13C. 14D. 189.如图, 在△ABC中,AB=AC, D,E, F分别是边 BC, AB, AC上的点, 且BE=CD,CF=BD,若∠EDF=44°,则∠A 的度数为A. 44°B. 88°C. 92°D. 136°10. 已知a+b=5, ab=3, 则ba +ab的值是A.193B.199C.253D.259二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.点A的坐标为(-6，7)，点A关于y轴的对称点为点B，则点B的坐标是 .12. 使式子√16−3x有意义的实数x的取值是 .13. 可燃冰是一种新型能源,1cm³可燃冰的质量为 0.00092kg.数字0.00092用科学计数法表示是 .14. (6a³+8a²-4a)÷(-2a)= .15.分解因式: a²c+2abc+b²c= .16.如图,△ACB在平面直角坐标系中, AC=BC,∠ACB=90°,O是BC的中点, 点A 的坐标是(0, a),点B的坐标是(4, -2), 则a的值为 .三、解答题(本题共4小题, 其中17、18、19题各9分, 20题12分,共39分)17. 计算: (3−√2)2+√32+4√12−(√6)0.18. 计算:a 2+6a+9a 2−16÷a+32a−8−2aa+4.19. 如图, AB=CD, AE⊥BC, DF⊥BC, 垂足分别为E, F, CE=BF. 求证: AE=DF.20. 如图,在△ABC中, ∠C=90°,D是AB 上一点(D 与A 不重合).(1)尺规作图: 过点D 作BC 的垂线DE 垂足为E.作∠BAC的平分线 AF 交DE 于点F ，交 BC 于点H(不写作法，保留作图痕迹) ； (2)求证: DF=AD.四、解答题 (本题共3小题, 其中21题9分, 22、23题各 10分,共29分) 21.列方程解应用题甲、乙二人做某种机械零件. 甲每小时比乙多做4个，甲做85个所用的时间与乙做75个所用的时间相等. 求甲每小时做零件多少个.Ⅰ22.观察下列各式：1+112+122=(1+11−12)2①1+122+132=(1+12−13)2②1+132+142=(1+13−14)2③1+142+152=(1+14−15)2④……(1)类比上述式子，写出第5个式子，并验证；(2)用含字母 n的式子表示你发现的规律，并证明.23.如图,△ABC中, AB=AC, ∠A<90°, BD⊥AC 垂足为D, 点 E 在AD上, BE 平分∠ABD,点 F在 BD上, BF=CE, 延长EF交BC 于点 H.(1)求证: ∠CBE=45°;(2)写出线段 BH和 EH 的位置关系和数量关系，并证明.五、解答题(本题共 3小题, 其中24、25题各 11分, 26题12分,共34分)24.甲、乙两船在静水中的最大航速均为x千米/时.甲船以最大航速沿江逆流航行 n千米的时间与以最大航速沿江顺流航行n千米的时间之和记为t₁；乙在静水中以最大航速航行2n千米的时间记为 t₂.设水流速度为 y千米/时.(1)列式表示出t₁、t₂:(2)计算 t₁-t₂、t₁÷t₂.25. 如图, △ABC中,AC=BC, ∠ACB=90°,D是线段 AC上一点, 连接 BD.(1)当BD平分∠ABC时,如图1,作AE⊥BD垂足为 E.写出线段BD与AE 的数量关系，并证明；(2)当D是AC中点时,如图2,作CE⊥BD垂足为F, 交AB于点E,连接 DE.用等式表示线段 CE，DE，BD的数量关系，并证明.26.如图,△ABC中,AC=BC,∠C≤60°,点D、E分别是AC、BC上的点, F是BD延长线上一点, AF=AE, ∠FAE+∠C=180°.(1)当∠C=60°时,如图1,写出线段 CE与AD的数量关系,并证明;(2)当∠C<60°时,如图2,写出线段 FD与BD的数量关系,并证明.八年级数学参考答案一.选择题(本题共8小题，每小题3分，共30分)1. B;2. C;3. C;4. B;5. A;6. A;7. C:8. D:9. C: 10. A.二.填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11.(6,7); 12. x<3; 13.9.2×10⁻⁴; 14.-3a²-4a+2; 15. c(a+b)²; 16.10.三、解答题(本题共4小题, 其中17、18、19题各9分,20题12分,共39分)17. 解: 原式 =9−6√2+2+4√2+2√2−1 …………………………………………7分=10. ………………………………………………9分18.解: 原式 =(a+3)2(a−4)(a+4)⋅2(a−4)a+3−2aa+4 …………………………………………………………4分=2(a+3)a+4−2aa+4 …………………………………………6分=2a+6a+4−2aa+4=6a+4. …………………………………………………9分19. 证明: ∵AE⊥BC, DF⊥BC, 垂足分别为E, F,∴∠AEB=∠DFC=90°. …………………………………2分 ∵BF=CE, ∴BF -EF=CE-EF.∴BE=CF.………………………………………………………………………4分 在Rt△ABE和Rt△DCF中, {AB =CD,BE =CF,∴Rt△ABE≌△DCF.……………………………………………………………………7分 ∴AE=DF.……………………………………………………9分20.(1)如图，垂线作图形正确，并写结论DE 即为所求，……………………………3分角平分线作图形正确，并写结论AF 即为所求，……………………6分(2)证明: ∵DE⊥BC,∴∠EDB=90°. …………7分∵∠C=90°,∴∠C=∠EDB=90°. …………………8分 ∴AC∥DE.∴∠AFE=∠CAF. …………………9分 ∵AF为∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠CAF. ……………10分∴∠AFE=∠BAF. ……………11分∴EF =AE. …………………………12分四、解答题(本题共3小题, 其中21题9分, 22、23题各10分,共29分) 21.解：设甲每小时做零件 x 个. …………………………………1分根据题意，得 85x =75x−4 . …………………………………………………………4分 方程两边同乘x(x-4), 得 85(x-4) =75x.解得x=34……………………………………………………………………………………………………7分检验: 当x=34时,x(x-4)≠0.所以，原分式方程的解为 x=34. ……………………………8分 答：甲每小时做零件34个. …………………….9分22. (1)1+152+162=(1+15−16)2. ……… 1分验证：左式 =1+152+162=1+125+136=961900 ………2分右式 =(3130)2=961900. ……………………… .3分 左式=右式，等式成立. ………………………….4分 (2)1+1n2+1(n+1)2=[1+1n−1n+1]2. ………….5分证明：左式 =n 2(n+1)2n 2(n+1)2+(n+1)2n 2(n+1)2+n 2n 2(n+1)2=n 2(n+1)2+(n+1)2+n 2n 2(n+1)2 =n 2(n+1)2+n 2+2n+1+n 2n 2(n+1)2 =n 2(n+1)2+2(n 2+n )+1n 2(n+1)2 =n 2(n+1)2+2n (n+1)+1n 2(n+1)2 =[n (n+1)+1]2n 2(n+1)2=[n (n+1)+1n (n+1)]2. ………………………………………………………………8分右式 =[n (n+1)n (n+1)+n+1n (n+1)−nn (n+1)]2=[n (n+1)+1n (n+1)]2. ……………………………………………………9分左式=右式，等式成立.…………………………………10分23. (1) ∵BE平分∠ABD, ∴∠ABE=∠DBE.设∠DBE=α, ∠CBD=β, 则∠ABE=α,∴∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠CBD=α+α+β=2α+β.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=2α+β.∵BD⊥AC垂足为D,∴∠ADB=90°.∵∠C+∠CBD=∠ADB=90°,即2α+β+β=90°,∴α+β=45°.∴∠CBE=∠DBE+∠CBD=α+β=45°.……………………………………………………………4分(2) BH=EH, BH⊥EH.……………………………………………………………5分过点E作EM∥BC交AB于点M.∴∠AEM=∠C, ∠AME=∠ABC, ∠MEB=∠CBE=45°.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∴∠AME=∠AME.∴AM=AE.∴AB -AM=AC -AE.即BM=CE.∵BF=CE,∴BM=BF.在△BEM和△BEF中,{BM=BF,∠ABE=∠DBE BE=BE,∴△BEM≌△BEF.∴∠HEB=∠MEB=45°.∵∠CBE=45°,∴∠HEB=∠CBE.∴BH=EH.∵∠EHC=∠HEB+∠CBE=45°+45°=90°.∴BH⊥EH. ……………………………………………………10分五.解答题(本题共3小题, 其中24、25题各11分, 26题12分,共34分)24.解: (1)甲船时间t1=nx+y +nx−y=n(x−y)(x+y)(x−y)+n(x+y)(x−y)(x+y)=2nxx2−y2.………………………………4分乙船时间t2=2nx.…………………………………………………6分(2)t1−t2=2nxx2−y2−2nx=2nx⋅x(x2−y2)x−2n(x2−y2)x(x2−y2)=2ny2(x2−y2)x.……………………………9分t1÷t2=2nxx2−y2÷2nx=x2x2−y2.………………………………………………………11分25. (1)延长AB交BC的延长线于点F.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴AF=2AE.在Rt△ADE和Rt△BDC中, ∵∠ADE∠BDC,∴90°-∠ADE=90°-∠BDC. 即∠DAE=∠DBC. ∵∠ACB=90°,∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-90°=90°=∠ACB. 在△BCD和△ACF中, {∠DBC =∠DAE,BC =AC,∠ACB =∠ACF, ∴△BCD≌△ACF. ∴BD=AF.∴BD=2AE. ……………………………………5分(2)过点A 作AH⊥AC交CE 于点H.∵AH⊥AC,∴△BCD≌△ACH. ∴BD=CH, AH=CD. ∵D是AC 中点, ∴AD=CD. ∴AH= AD. ∵AC=BC, ∴∠BAC=∠ABC. ∵∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠BAC=45°.∴∠HAB=∠CAH -∠BAC=90°-45°=45°=∠BAC.∵AE⊥BE垂足为E, ∴∠AEB=∠FEB=90°. 在△ABE和△FBE中, {∠ABD =∠CBD,BE =BE,∠AEB =∠FEB, ∴△ABE≌△FBE. ∴EF=AE. ∵AE +EF=AF,∴∠CAH=90°. ∵CE⊥BD垂足为F, ∴∠CFD=90°.∵∠CBD+∠BCE=∠CFD=90°, ∠ACE+∠BCE =90°, ∴∠CBD=∠ACE. 在△BCD和△ACH中, {∠CBD =∠ACE,BC =AC,∠ACB =∠CAH,在△AED和△AEH中,{AD =AH,∠BAC =∠BAH,AE =AE,∴△AED≌△AEH.∴EH=DE.∴BD=CH=CE+EH=CE+DE……………………………………………11分26. (1) 过点F 作FH∥AB交AC 于点H.∵FH∥AB,∴∠FHA=∠CAB.∵AC=BC, ∠C=60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠CAB =∠C=60°, AC=AB.∴∠FHA=∠C.∵∠FAE+∠C=180°, ∠CAE+∠AEC+∠C=180°,∴∠FAE=∠CAE+∠AEC.即∠FAC+∠CAE=∠CAE+∠AEC.∴∠FAC=∠AEC.在△FAH和△AEC中,{∠FAH =∠C,∠FAC =∠AEC,AF =AE,∴DH=AD.∵AH=DH+AD,∴AH =2AD.∴CE=2AH.………………………………………………………………………………………6分(2)过点F 作FH∥AB交AC 于点H, 以A 为圆心AB 为半径画弧交AB 于点M.∵FH∥AB,∴∠FHA=∠CAB.∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA.∴△FAH≌△AEC.∴FH=AC, AH=CE.∴FH=AB.在△FHD和△BAD中,{∠FDH =∠BDA,∠FHA =∠CAB,FH =AB,∴△FAD≌△BAD.∵AM=AB,∴△FAH≌△AEM.∴FH=AM.∴FH=AB.在△FHD和△BAD中,{∠FDH =∠BDA,∠FHA =∠CAB,FH =AB,∴△FAD≌△BAD.∴DF=DB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 ∴∠AMB=∠CBA.∴∠FHA=∠AMB.∵∠FAE+∠C=180°, ∠CAE+∠AEC+∠C=180°, ∴∠FAE=∠CAE+∠AEC.即∠FAC+∠CAE=∠CAE+∠AEC.∴∠FAC=∠AEC.在△FAH和△AEM中,{∠FHA =∠AMB,∠FAC =∠AEC,AF =AE,。

辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试数学第一命题校：大连市第二十四中学张宁第二命题校：辽宁省东北育才学校王成栋参与命题校：沈阳市第二十中学李蕾蕾第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=-，则()U A B ⋂=ð（）A.{}1- B.{}1,3- C.{}2,3 D.{}1,2,3-2.若复数1i2i 1i z +=+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.3B.3iC.-3D.3i -3.0.1352,log 4,log 27a b c -===，则（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<4.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用,,,A B C D 表示黄金分割点.若照片长､宽比例为4:3，设CAB ∠α=，则1cos2tan sin2ααα+-=（）A.18-B.18C.712-D.7125.现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（）种.A.144 B.72 C.36 D.246.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）B. C. D.6cm7.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n 中正六边形的个数记为n a ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为,n n C S ，其中图n 中每个正六边形的边长是图1n -中每个正六边形边长的13，则下列说法正确的是（）A.4294a =B.31003C =C.存在正数m ，使得n C m ≤恒成立D.133729n n S -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭8.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且1224F PF S a = ，则曲线C 的离心率为（）B.5121二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若随机变量210,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的是（）A.()3731012333P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.期望()203E X =C.期望()3222E X += D.方差()3220D X +=10.已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上恰有三个零点，则（）A.ω的最大值为196B.()f x 在[]0,π上只有一个极小值点C.()f x 在[]0,π上恰有两个极大值点D.()f x 在0,5π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增11.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,A B 两点，若11225,513AF BF BF AF ==，则（）A.221:6:5AF B AF F S S =B.212tan 5AF B ∠=C.椭圆C 的离心率为12D.直线2BF 的斜率的绝对值为22912.如图，矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1AC 的中点，二面角1A DE C --大小为α，直线1A E 与平面DEBC 所成角为β，则在ADE 折起过程中，下列说法正确的是（）A.存在某个位置，使得1BM A D ⊥B.1A EC 面积的最大值为C.当α为锐角时，存在某个位置，使得sin 2sin αβ=D.三棱锥1A EDC -体积最大时，三棱锥1A EDC -的外接球的表面积为16π第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的90%分位数是__________.14.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=，若()a b c +⊥ ，则t =__________.15.在平面直角坐标系xOy 中，笛卡尔曾阐述：过圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上一点()00,M x y 的切线方程()()()()200x a x a y b y b r --+--=.若22:(1)9C x y -+=，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，分别以点,A B 为切点作圆C 的切线12,l l ，设直线1l ，2l 的交点为(),P m n ；若1,4m n ==时，则直线AB 的方程是__________；若圆O ：221x y +=，且l 与圆O 相切，则m 的最小值为__________.16.关于x 的不等式221e ln 12ln 0x a x x a +-+++≥在()0,∞+上恒成立，则a 的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项的积()()()*122n n n T n N ++=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足n n b na =，求20231sin 2nn n b π=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.18.（本小题12分）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：体育项目第一项第二项第三项第四项第五项第六项学生人数14050300200800510未达标率0.40.20.150.250.20.1未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值.假设所有体育项目是否达标相互独立.（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率；（3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“1k ξ=”表示第k 项体育运动项目达标，“0k ξ=”表示第k 项体育运动项目未达标()1,2,3,4,5,6k =.计算12,D D ξξ并直接写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（不用写出计算过程）.19.（本小题12分）将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像.（1）设()()sin cos ,2,1,sin cos a x x b x x =-=⋅ ，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()()a b h x f x ⋅= 的值域；（2）在①2cos 2B =②a =1b =三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的三条边，()2g A =，__________，__________.求ABC 的面积ABC S .20.（本小题12分）在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠= ，四边形BCED 为直角梯形，,90,1,4,2,BC DE DBC BD BC DE F ∠==== ∥为AB 的中点.（1）证明：DF ∥平面ACE ；（2）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.21.（本小题12分）已知曲线Γ在x 轴上方，它上面的每一点到点()0,2Q 的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点,,A B C 分别在该曲线Γ上，且点A C ､在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC 的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点M 且满足3AM BM <，直线BC 交y 轴于点N .记,,ABC AMG CNG 的面积分别为123,,S S S （1）求曲线Γ方程；（2）求231S S S +的取值范围.22.（本小题12分）已知函数()2ln a x f x x x=+.（1）若()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()()g x xf x =，且()()()12123g x g x x x ==≠，证明：2212a x x ae <<.2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷答案一､单选题1-8CCBDABDA二､多选题9.BCD10.BD11.ABD12.BD三､填空题13.2114.2315.94y =72-16.22e四､解答题17.解：（1）123n n T a a a a = ，∴当2n ≥时，()()()()112/221/2nn n n n n T a T n n n-+++===+.当11,3n a ==，满足上式，()2nn a n+∴=（3）2n n b na n ==+ ()()()20231357202120231sin(2)50610122n n n b b b b b b b π=∴⋅=-+-++-=-⨯=-∑ 18.（1）由题意知，全校总人数是140503002008005102000+++++=第四项体育运动中达标的人数是2000.75150⨯=故所求概率为1500.0752000=.（2）设事件A 为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则()P A 估计为0.75设事件B 为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则()P B 估计为0.8.故所求概率为()(()P AB AB P AB P AB +=+()()()()()()110.750.20.250.80.35P A P B P A P B =-+-=⨯+⨯=⋯（3）120.24,0.16D D ξξ==142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>19.解：（1）()sin cos 2sin cos sin cos 1sin2sin2x x x x x xh x x x-+-==+设()sin cos ,0,,0,1444t x x x x t πππ⎛⎫⎛⎫=-=--∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 2211sin2,1111t t x y t t t=-∴=+=+--又因为y 在()0,1t ∈上单调递增，则()1,y ∞∈+，所以()h x 的值域为()1,∞+（2）()sin 323g A A A ππ⎛⎫=+=∴= ⎪⎝⎭选①②：22sin 2cos 2sin 32a B B ab A====；1163sin 22484ABC S ab C ++=== .选①③：)1116233sin 122488ABC a S ab C ++===⋅==.选②③：因为2131212c c =+-⋅⋅⋅所以220c c --=则2c =或1c =-（舍）13sin 22ABC S bc A ==20.解：（1）法一：证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，有//FG AC ，FG ∴∥平面ACE ，又,DG EC DG ∴∥∥平面,ACE FG DG G ⋂= ，∴平面DGF ∥平面ACE .又DF⊂平面,DGF DF ∴∥平面ACE法二：取BC AC ､中点G K ､，连接,,,EK FK F K 分别是,AB AC 的中点，,FK GC FK GC ∴=∥，又,DE GC DE GC = ∥，所以,DE FK DE FK =∥，KEDF ∴为平行四边形DF EK∴∥又DF ⊄ 平面,ACE EK ⊂平面ACE ，DF ∴∥平面ACE（2）法一： 四边形BCED 为梯形，2,4,DE BC G ==为BC 中点，DE CG ∴∥，即四边形GCED 为平行四边形，CE GD ∴∥.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接,GE AG由题意可知，,,AG BC GE BC BC ⊥⊥∴⊥面AGE ，又BC ⊂ 平面ABC ∴平面ABC ⊥平面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.,DE BC DE ∴⊥ ∥面,90,2,AGE AED DE AD AE ∠∴==== 又1,2GE AG == ∴点E 到AG 的距离为32在三棱锥D ABG -中，3D ABGE ABG V V --==，根据1,S 2ABD BD AD AB ====，记点G 到面ABD 的距离为h ，由1732213237D ABG G ABD V V h h --==⋅⋅==所以CE 与平面ABD所成角的正弦值为35h DG =法二：过点A 作平面ABC 的垂线AT ，以,,AB AC AT的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示设点()()())()0,0,0,,,,,,A B C GD a b c，1,BD CD AD ===222222222222(1(177BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪⎪∴=+-+=⎨⎪=++=⎪⎩,442a b c ∴==-=7223,,442D ⎛∴- ⎝⎭设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =，(),,,442BD AB ⎛=--= ⎝⎭(00,0n BD n n AB ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩又,,,442GD GD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭2105sin cos co s |35n CE n GD α=⋅>=⋅=∣，故CE 与平面ADB 所成角的正弦值为21053521解（1）曲线上每一点到点()0,2Q 的距离减去到X 轴的距离的差都是2，即曲线上每一点到点()0,2Q 的距离与到直线2y =-的距离相等，所以曲线Γ为抛物线，248(0)p x y x =∴=≠ （2）设点()()()112233123,,,,,,0,0,0A x yB x yC x y x x x <>>32,ABGCBGAM CN S S S ABS BC==G 为ABC 的重心113ABG CBG S S S ∴== 213111,33AM CN S S S S AB BC∴=⋅=⋅由相似三角形可知311232,AMCN x x AB x x BC x x ==--且1230x x x ++=可得2331112321133AM CN S S x x S AB BC x x x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1121212132x x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭令2312111111,2312312S S x u u u x S u u u u ++⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()132312u u ⎛⎫=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因为3AM BM <，所以123x x <-，故103u -<<，()()220122,29u u u u ⎛⎫-+=+-∈-- ⎪⎝⎭231113,660S S S +⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22.（1）函数()2ln a x f x x x =+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求导得：()3ln 20x x x af x x '--=≥恒成立，即2ln a x x x ≤-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，令()ln h x x x x =-，则()ln h x x'=-当()1,1,0x h x e ⎡⎤⎥⎦'∈>⎢⎣，则()h x 单调递增，[]()1,,0x e h x ∈'<，则()h x 单调递减，而()()min 12,0,()0200h h e h x h e a a e e⎛⎫==∴==∴≤∴≤ ⎪⎝⎭（2）因为()g x ln a x x =+，则()2x ag x x -='，当0a ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意当0a >时，()0g x '<的解集为()()0,,0a g x >'的解集为(),a ∞+，即()g x 的单调增区间为(),a ∞+，单调减区间为()0,a ，依题意：()min g()1ln 3x g a a ==+<，解得()20,a e∈，设12x x <，则120x a x <<<，要证212x x a >，即证221a x a x >>，即证()221a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证()211a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设()()()22ln 2ln ,0,a a xx g x g x a x a x x a ϕ⎛⎫=-=+--∈ ⎪⎝⎭，则()22221()0a x a x x x a ax ϕ--=--=<'，即()x ϕ在()0,a 上单调递减，有()()0x a ϕϕ>=，即()()()2g 0,a x g x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则()211g a x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立，因此212x x a >成立.要证212x x ae <，即证221ae a x x <<，即证()221g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()211g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()11123ln ln 2,0,x x a x a e <-++∈，而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-，即证()()11121ln 3ln ,0,x x x a e<+-∈，令()()()22T ln 3ln ,0,x x x x e e=+-∈，则()()2113ln T x x x e =-+-'，设()()()2G 3ln ,0,x x x x e=-∈，求导得()2ln 0G x x =->'，即()G x 在()20,e 上单调递增，则有()()220G x G e e <<=，即()()0,T T x x '<在()20,e 上单调递减，而()()20,0,a e ⊆，当()0,x a ∈时，()()()21T x T a T e >>=，则当()0,x a ∈时，()21ln 3ln x x e <+-成立，故有212x x ae <成立，所以2212a x x ae <<.。

2020-2021学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每题2分，共20分）1．2﹣3的值是（）A．﹣6B．﹣8C．D．﹣2．下面各图形中，对称轴最多的是（）A．长方形B．正方形C．等边三角形D．等腰三角形3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（m3）2＝m5C．x3+x3＝x6D．（﹣a2）3＝﹣a6 5．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD 6．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．7．下列因式分解正确的是（）A．﹣3x2n﹣6x n＝﹣3x n（x2+2）B．x2+x+1＝（x+1）2C．2x2﹣＝2（x+）（x﹣）D．4x2﹣16＝（2x+4）（2x﹣4）8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（）A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE 10．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣5），若平面内存在一点C，使△ABC是等腰直角三角形，则下列C点坐标不符合题意的是（）A．（﹣8，﹣3）B．（﹣5，﹣8）C．（2，3）D．（5，﹣3）二、填空题：（每题2分，共16分）11．（﹣）2020•（1.5）2021＝．12．已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是．13．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝31°，则∠B＝．14．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是边形．15．已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是．16．甲、乙两个港口之间的海上行程为skm，一艘轮船以akm/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为h．17．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使P A+PB最短，则点P应选点（C或D）．18．如图，在△ABC中，若∠ABC＝45°，P为BC边上一点，且PC＝2PB，∠APC＝60°，过点C作CE⊥AP，则∠ACB的度数是．三、解答题：（本题共44分）19．计算：（1）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）2；（2）（m+2+）•．20．先化简，再求值：（a2b﹣2ab﹣b2）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝0.5，b＝﹣1．21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点M．（1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC全等且A与M是对应点；（2）以点M所在的水平直线为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△A2B2C2．23．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）22+32+52＝2×（22+32+6）32+62+92＝2×（32+62+18）…（1）请用a，b，c表示左边由小到大的三个底数，并写出它们之间的关系；（2）请用字母a，b写出上述等式的规律，并加以证明．四、综合题：（本题共20分）24．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？25．如图，在△ABC中．（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；①猜想BE与CD的数量关系是；②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB ＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直请接写出∠APC与α的数量关系2020-2021学年辽宁省鞍山市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．2﹣3的值是（）A．﹣6B．﹣8C．D．﹣【分析】直接利用负整数指数幂的性质分析得出答案．【解答】解：2﹣3＝＝．故选：C．2．下面各图形中，对称轴最多的是（）A．长方形B．正方形C．等边三角形D．等腰三角形【分析】利用轴对称图形的性质分别判断各选项的对称轴条数，进而得出答案．【解答】解：∵长方形有两条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，∴对称轴最多的是：正方形．故选：B．3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．【解答】解：∵图中的两个三角形全等a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角∴∠α＝50°故选：D．4．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．（m3）2＝m5C．x3+x3＝x6D．（﹣a2）3＝﹣a6【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a3•a4＝a7，∴选项A不符合题意；∵（m3）2＝m6，∴选项B不符合题意；∵x3+x3＝2x3，∴选项C不符合题意；∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴选项D符合题意．故选：D．5．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点∴∠B＝∠C，（故A正确）AD⊥BC，（故B正确）∠BAD＝∠CAD（故C正确）无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．故选：D．6．下列各分式中，最简分式是（）A．B．C．D．【分析】利用最简分式定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式＝＝x+y，不符合题意；C、原式＝＝，不符合题意；D、原式＝＝，不符合题意．故选：A．7．下列因式分解正确的是（）A．﹣3x2n﹣6x n＝﹣3x n（x2+2）B．x2+x+1＝（x+1）2C．2x2﹣＝2（x+）（x﹣）D．4x2﹣16＝（2x+4）（2x﹣4）【分析】运用提取公因式法，完全平方公式和平方差公式进行因式分解，并作出正确的判断．【解答】解：A、﹣3x2n﹣6x n＝﹣3x n（x n+2），故本选项计算错误．B、x2+x+1≠（x+1）2，故本选项计算错误．C、2x2﹣＝2（x+）（x﹣），故本选项计算正确．D、4x2﹣16＝4（x+2）（x﹣2），故本选项计算错误．故选：C．8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，故选：A．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（）A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF ⊥AB，垂足为点F，∴DC＝DF，故A正确，在Rt△DCE与Rt△DFB中，，∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），∴CE＝BF，故B错误，在Rt△ADC与Rt△ADF中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，故C正确，∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，故选：B．10．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，﹣5），若平面内存在一点C，使△ABC是等腰直角三角形，则下列C点坐标不符合题意的是（）A．（﹣8，﹣3）B．（﹣5，﹣8）C．（2，3）D．（5，﹣3）【分析】根据由全等三角形的判定和性质可求点C坐标．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，﹣5），∴OA＝3，OB＝5，∵△ABC是等腰直角三角形，∴点C的坐标为（﹣8，﹣3），（﹣5，﹣8），（2，3），（5，﹣2），故选：D．二．填空题11．（﹣）2020•（1.5）2021＝．【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．【解答】解：（﹣）2020•（1.5）2021＝（﹣）2020•（1.5）2020×＝（﹣）2020•（）2020×＝＝＝＝．故答案为：．12．已知△ABC的两条边长分别为2和5，则第三边c的取值范围是3＜c＜7．【分析】根据三角形三边关系定理可得5﹣2＜c＜5+2，进而求解即可．【解答】解：由题意，得5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7．故答案为：3＜c＜7．13．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，若∠A＝68°，∠BCD＝31°，则∠B＝50°．【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，∴∠ACB＝2∠BCD＝62°，∵∠A＝68°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣68°＝50°，故答案为：50°．14．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是四边形．【分析】利用多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故答案为：四．15．已知x+y＝6，xy＝7，则x2y+xy2的值是42．【分析】将所求式子因式分解，然后将x+y＝6，xy＝7代入，即可解答本题．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝7，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝7×6＝42，故答案为：42．16．甲、乙两个港口之间的海上行程为skm，一艘轮船以akm/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为h．【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间．【解答】解：∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h，∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h，∴返回时的时间为：h．故答案是：．17．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使P A+PB最短，则点P应选C点（C或D）．【分析】首先求得点A关于直线a的对称点A′，连接A′B，即可求得答案．【解答】解：如图，点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a 的交点，即为点P，此时P A+PB最短，∵A′B与直线a交于点C，∴点P应选C点．故答案为：C．18．如图，在△ABC中，若∠ABC＝45°，P为BC边上一点，且PC＝2PB，∠APC＝60°，过点C作CE⊥AP，则∠ACB的度数是75°．【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：连接BE，在Rt△CEP中，∠PCE＝90°﹣∠APC＝90°﹣60°＝30°，∴PE＝PC，∵PC＝2PB，∴PE＝PB，∴∠PBE＝∠PEB，∵∠PBE+∠PEB＝∠APC＝60°，∴∠PBE＝∠PEB＝30°，∵∠ABE＝∠ABC﹣∠PBE，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABE＝∠BAE，∴EB＝EA，∵∠EBP＝30°，∠PCE＝30°，∴∠EBP＝∠PCE，∴EB＝EC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵CE⊥AP，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠ECA＝45°，∴∠ACB＝∠ECA+∠PCE＝45°+30°＝75°，故答案为：75°．三．解答题19．计算：（1）4xy2z÷（﹣2x﹣2yz﹣1）2；（2）（m+2+）•．【分析】（1）先进行乘方运算，然后进行同底数幂的除法运算；（2）先把括号内通分，再把分子分母因式分解，然后约分即可．【解答】解：（1）原式＝4xy2z÷（4x﹣4y2z﹣2）＝x5z3；（2）原式＝•＝﹣•＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6．20．先化简，再求值：（a2b﹣2ab﹣b2）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝0.5，b＝﹣1．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把a，b的值代入得出答案．【解答】解：原式＝a2﹣2a﹣b﹣（a2﹣b2）＝a2﹣2a﹣b﹣a2+b2＝﹣2a﹣b+b2，当a＝0.5，b＝﹣1时，原式＝﹣2×0.5﹣（﹣1）+（﹣1）2＝﹣1+1+1＝1．21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长．【分析】由AE⊥CM．BF⊥CM，推出∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，推出∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，可得∠CAE＝∠BCF，根据AAS即可证△ACE≌△CBF，可得AE＝CF＝0.9cm，BF＝CE＝2.6cm，即可求解．【解答】证明：∵AE⊥CM．BF⊥CM，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6（cm），∴EF＝CE﹣CF＝1.7（cm）．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点M．（1）在给出图上画出一个格点△MB1C1，并使它与△ABC全等且A与M是对应点；（2）以点M所在的水平直线为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△A2B2C2．【分析】（1）根据对称性即可画出一个格点△MB1C1，使它与△ABC全等且A与M是对应点；（2）根据对称性即可以点M所在的水平直线为对称轴，画出△ABC的轴对称图形△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△MB1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．23．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）22+32+52＝2×（22+32+6）32+62+92＝2×（32+62+18）…（1）请用a，b，c表示左边由小到大的三个底数，并写出它们之间的关系；（2）请用字母a，b写出上述等式的规律，并加以证明．【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出用a，b，c表示左边由小到大的三个底数对应的等式，然后即可写出它们之间的关系；（2）根据（1）中结果，可以用a、b表示出相应的等式，然后证明即可．【解答】解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3），22+32+52＝2×（22+32+6），32+62+92＝2×（32+62+18），…，∴用a，b，c表示左边由小到大的三个底数，这个式子是a2+b2+c2＝2×（a2+b2+ab），它们之间的关系是c＝a+b；（2）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab），证明：∵a2+b2+（a+b）2＝a2+b2+a2+2ab+b2＝2a2+2b2+2ab＝2（a2+b2+ab），∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）成立．24．假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？【分析】（1）设大车速度为x千米/时，则小车速度为1.4x千米/时，根据“小车比大车早一个小时到达”列出方程并解答．（2）设原速度为a千米/时，小车后来提速到原来得m倍，根据两车行驶时间相等列出方程并解答．【解答】解：（1）设大车速度为x千米/时，由题意，得，解得x＝40，经检验x＝40是方程的解，∴1.4x＝56（千米/时）．∴大车得速度是40千米/时，小车得速度是56千米/时；（2）设原速度为a千米/时，小车后来提速到原来得m倍，则，解得m＝2.5，且符合题意．答：应提速到原来的2.5倍．25．如图，在△ABC中．（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；①猜想BE与CD的数量关系是BE＝CD；②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB ＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直请接写出∠APC与α的数量关系【分析】（1）①证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；（2）连接AN，由①得：△ABE≌△ADC（SAS），则BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，再证△ADN≌△ABM（SAS），得AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，然后证∠MAN＝∠BAD＝60°，得△AMN为等边三角形，即可得出∠AMN＝60°；（3）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM ≌△ABN（SAS），则∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，证出P A平分∠DPE，得∠APE＝∠DPE，再证∠EPC＝∠CAE＝α，得∠DPE＝180°﹣α，则∠APE＝90°﹣α，即可得出结论．【解答】解：（1）①BE＝CD，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝60°，AC＝AE，∴∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，故答案为：BE＝CD；（2）连接AN，如图①所示：由①得：△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∵点M，N分别是BE和CD的中点，∴BM＝DN，又∵AD＝AB，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN＝AM，∠DAN＝∠BAM，∴∠BAM+∠BAN＝∠DAN+∠BAN，即∠MAN＝∠BAD＝60°，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN＝60°；（3）∠APC＝，理由如下：过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，如图②所示：同（2）得：△ABE≌△ADC（SAS），△ADM≌△ABN（SAS），∴∠AEB＝∠ACD，AM＝AN，∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴P A平分∠DPE，∴∠APE＝∠DPE，又∵∠EPC+∠ACD＝∠CAE+∠AEB，∴∠EPC＝∠CAE＝α，∴∠DPE＝180°﹣α，∴∠APE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝90°﹣α+α＝90°+α．。

2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤4}，B={x||x|>1}，则A∩B=()A. {x|1<x≤2}B. {x|−2<x<−1或1<x<2}C. {x|−2≤x<−1}D. {x|−2≤x<−1或1<x≤2}2.复数z满足z(1+i)=1−i，则z的虚部等于()A. −iB. −1C. 0D. 13.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是()A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s24.设a=50.4，b=log0.40.5，c=log50.4，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a5.已知α是第二象限角，sinα=45，则sin2α=()A. −2425B. 2425C. −1225D. 12256.四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有()种不同的排班方式．A. 240B. 480C. 420D. 3607.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交y轴于点A，若点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，则p的值为()A. 23B. 43C. 2D. 38.在底面边长为1的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱长等于2，则()A. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有一个B. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有两个C. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有三个D. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有四个二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>1，n∈N+，则()A. {a n}一定是递增数列B. {a n}可能是递增数列也可能是递减数列C. a3，a7，a11仍成等比D. ∀n∈N+，S n≠010.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1+x)=−f(1−x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则()A. f(1)=0B. f(x)是周期函数C. 方程f(x)=0有唯一实数解D. 函数f(x)在(−∞,0)内单调递减11.为了得到y=2sin(2x−π3)的图象只需把函数y=2cos(2x+π6)的图象()A. 向右平移π2B. 向左平移π2C. 关于直线x=π4轴对称 D. 关于直线x=π6轴对称12.方程e x+x−2=0的根为x1，lnx+x−2=0的根为x2，则()A. x1x2>12B. x1lnx2+x2lnx1<0C. e x1+e x2<2eD. x1x2<√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F1，F2为双曲线x216−y29=1的左、右焦点，则|F1F2|=______ ．14.若正数a、b满足a+2b=1，则2a +1b的最小值是______ ．15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有A，B，C，D四位同学，已知A与B没有选择相同的兴趣小组，C与D 没有选择相同的兴趣小组，B与C选择的兴趣小组恰有一个相同，且B选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①C可能没有选择足球兴趣小组：②A、D选择的两个兴趣小组可能都相同；③D可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；其中正确判断是______ ．16.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是平面向量，a⃗，c⃗是单位向量，且<a⃗，c⃗>=π3，若b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，则|2a⃗−b⃗ |最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=4√7，②sinB=2sinA，③csinA=√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA+acosB+2ccosC=0，△ABC的面积是2√3，____？18.某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖.现有一位员工参加此摸奖游戏．(1)如果该员工选择有放回的方式(即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个)摸球，求他能中奖的概率；(2)如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，PD=AD=4，∠BAD=60°，点F在棱PD上．PD，在棱BC上是否存在一点E，使得CF//平面PAE，并(1)若PF=12说明理由；(2)若直线AF与平面BCF所成的角的正弦值是√15，求二面角A−FB−C10的余弦值．20.已知数列{a n}前n项和为S n，且a1=3，S n=a n+1−1，数列{b n}为等差数列，a2=b4，且b2+b5=b7．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．(n+2)b n+121.已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率e=1，经过点2M(c,−3)(c为椭圆的半焦距)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)∠F1MF2的平分线l与椭圆的另一个交点为N，O为坐标原点，求直线OM与直线ON斜率的比值．22.设函数f(x)=(1+ax)e−2x，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1．(1)求实数a的值；(2)求证：当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|−2≤x≤2}，B={x|x<−1或x>1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1或1<x≤2}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=1−i，∴z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=1−2i+i21−i2=−i，∴z的虚部为−1．故选：B．推导出z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，由此能求出z的虚部．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67．乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1<m2，s1<s2．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵a=50.4>1，b=log0.40.5∈(0,1)，c=log50.4<0，则a，b，c的大小关系为：c<b<a．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较大小即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为α是第二象限角，sinα=45，所以cosα=−√1−sin2α=−35，则sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，有C41C52=40种选法，②将剩下3人，安排到其余3天值班，有A33=6种排法，则有40×6=240种不同的排班方式，故选：A．根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，②将剩下3人，安排到其余3天值班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分布计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图所示，分别过点P，Q做QB⊥l，PE⊥l，垂足分别为B，E，抛物线的焦点坐标F(p2,0)，不妨P在第四象限，由题意，点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，P(p4,−√22p)，则A(0,−√2p)，Q(2−p2,√2p(2−p2))，A 、F 、Q 三点共线，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(p 2,√2p)，FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−p,√2p(2−p 2))， 所以√2p(2−p)=p 2⋅√2p(2−p2)，解得p =43或p =83(舍去)，故选：B ．如图所示，分别过点P ，Q 作PE ⊥l ，QB ⊥l ，垂足分别为E ，B ，通过抛物线的性质，求出A 、P 、Q 的坐标，利用三点共线，求解即可．本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查数形结合思想方法和距离公式的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：如图，BC 是异面直线A 1B 和C 1C 的公垂线段，可得线段BC 的中点到它们的距离相等，都为12，点D 1到异面直线A 1B 和C 1C 的距离都为1，在正四棱柱的棱上到异面直线A 1B 和C 1C 距离相等的点有且只有两个．故选：B ．根据正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中的线线、线面位置关系，即可判断．本题考查了正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的性质，考查了空间想象能力，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当a 1<0时，若q >1，{a n }为递减数列，A 错误，对于B ，已知q >1，当a 1<0时，{a n }为递减数列，当a 1>0时，{a n }为递增数列，B 正确， 对于C ，数列{a n }为等比数列，则a 3，a 7，a 11仍成等比，C 正确， 对于D ，等比数列{a n }中，q >1，则S n =a 1(1−q n )1−q，必有S n ≠0，D 正确，故选：BCD ．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查等比数列前n 项和、等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(1+x)=−f(1−x)得f(1+x)+f(1−x)=0， 即f(x)的图象关于点(1,0)对称，令x =0得f(1)=−f(1)，则2f(1)=0，即f(1)=0，故A 正确；又因当x ≥1时，函数f(x)单调递增，f(x)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)在(−∞,1)内单调递增，故D 不正确；函数f(x)在R 上单调递增，f(1)=0，所以方程f(x)=0有唯一实数解，故C 正确； 故选：AC ．根据f(1+x)=−f(1−x)得f(x)的图象关于点(1,0)对称，结合x ≥1时，函数f(x)单调递增，可得在(−∞,1)上的单调性，以及方程的解得情况．本题主要考查抽象函数及其应用，解题的关键是得到函数图象关于点对称，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向右平移π2个单位，得到y=2cos[2(x−π2)+π6]=2cos(2x−5π6)=2sin(2x−π3)的图象，故A正确；对于B：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向左平移π2个单位，得到y=2cos[2(x+π2)+π6]=−2cos(2x+π6)=2sin(2x−π3)的图象，故B正确；对于C：当x=π4时，函数取不到最值，故C错误；对于D当x=π6时，函数取不到最值，故D错误．故选：AB．直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的图象和性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：令f(x)=e x+x−2，g(x)=lnx+x−2，则函数y=−x+2与函数y=e x和函数y=lnx的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数y=e x、y=lnx、y=−x+2、y=x的图象如下图所示，选项A：因为点A，B关于点C对称，且0<x1<1<x2，又因为C(1,1)，所以x1+x2=2，且e x1=x2，故A错误，对于选项B：因为e x1+x1−2=0，由零点存在定理知0<x1<12，记F(X)=xe x +lnxx，则F′(x)=1−xe x+1−lnxx2，故当0<x<12时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,12)上单调递增，因为0<x 1<12，所以F(x 1)<F(12)， 即x 1e x 1+lnx 1x 1<12e 12+ln1212=2√eln4<0，即x 1e x 1+lnx 1x 1<0，又e x 1=x 2， 故lnx 2x 2+lnx 1x 1<0，故B 正确，对于C 选项：因为点A ，B 关于点C 对称，且0<x 1<1<x 2， 又因为C(1,1)，所以x 1+x 2=2，由基本不等式得e x 1+e x 2≥2√e x 1+x 2=2e ，而x 1≠x 2， 所以e x 1+e x 2>2e ，故C 错误；对于选项D ：记G(x)=2−x −lnx ，则G(1)=1>0， G(√e)=2−√e −12=32−√e <0，则1<x 2<√e ，由x 1x 2=(2−x 2)x 2=x 2lnx 2，易知y =xlnx 在(32,e)单调递增， 故x 1x 2=x 2lnx 2<√eln √e =√e2，故D 正确．故选：BD ．观察两个函数的解析式易发现y =−x +2与函数y =e x 和函数y =lnx 的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数图象即可判断选项A ，通过构造函数F(x)=lnx x，再利用其单调性来构造相关的不等式，可以判断选项B ，利用基本不等式的相关性质即可判断选项C ，构造函数G(x)=2−x −lnx ，利用其单调性和x 2的取值范围进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了对数函数、指数函数图象和性质的应用、利用导数研究函数的应用，综合性较强，对于学生的化归与转化能力、构造函数的能力以及计算能力都有很高的要求． 13.【答案】10【解析】解：F 1，F 2为双曲线x 216−y 29=1的左、右焦点，可得a =4，b =3，c =√a 2+b 2=5， 所以|F 1F 2|=10． 故答案为：10．利用双曲线方程求解a ，b ，推出c ，即可得到结论．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 14.【答案】8【解析】解：∵正数a 、b 满足a +2b =1， 则2a +1b =(a +2b)(2a +1b )=4+4b a+a b ≥4+2√4b a ×ab =8，当且仅当a =2b =12时取等号．∴2a +1b 的最小值是8．故答案为：8．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：对于①，若C没有选择足球兴趣小组，则B与C相同的为其它三项中的一项，可以是如下选法：故①正确；对于②，A、D选择的两个兴趣小组都相同，因为C与D不同，所以A与C不同，而C与B有一个相同，故A必有一个与B相同，与题意不符，故②错误；由分析①的图示可知，D可能没有选择篮球兴趣小组，故③正确；对于④，B已选了足球，则A不选足球，若C选足球，则D不选足球，若D选足球，则C不选足球，且C与D中必有一人选足球，故这四人中恰有两人选择足球兴趣小组，故④正确．故答案为：①③④．利用图示法说明①③正确；由反证法思维说明②错误；直接推理证明④正确．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．16.【答案】√61+12【解析】解：因为a⃗，c⃗是单位向量，所以|a⃗|=|c⃗|=1，又因为<a⃗，c⃗>=π3，不妨设a⃗=(1,0)，c⃗=(12,√32)，又因为b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⋅(b⃗ −5c⃗ )=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⊥(b⃗ −5c⃗ )，作图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，所以b ⃗ −4c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −5c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点B 在以CD 为直径的圆上，圆心为CD 中点(94,9√34)，r =12√(52−2)2+(5√32−2√3)2=12，|2a ⃗ −b⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以问题转化为点A 到圆上距离的最大值√(94−2)2+(9√34−0)2+r =√61+12．故答案为：√61+12．根据题意不妨设a ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(12,√32)，b ⃗ 2−9b ⃗ ⋅c ⃗ +20=0⇒(b ⃗ −4c ⃗ )⊥(b ⃗ −5c ⃗ )，作图OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，点B 在以CD 为直径的圆上，计算圆心，及半径，问题转化为点A 到圆上距离的最大值点A 到圆心的距离+r 即可得出答案．本题考查向量的运算，最值，解题关键是利用几何图形转化问题，属于中档题．17.【答案】解：由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵bcosA +acosB +2ccosC =0，∴sinBcosA +sinAcosB +2sinCcosC =0，即sin(A +B)+2sinCcosC =0， ∵A +B +C =π，∴sin(A +B)=sinC ， ∴sinC +2sinCcosC =0，∵sinC ≠0，∴1+2cosC =0，即cosC =−12， 又C ∈(0,π)，∴C =2π3．∵△ABC 的面积S =12absinC =12absin 2π3=2√3，∴ab =8． 选择条件①：由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−2×8×cos2π3=a 2+b 2+8，又ac =4√7， ∴c 2=(4√7c)2+(√7)2+8，化简得，3c 4−56c 2−784=0，解得c 2=28或−283(舍负)，∴c =2√7．选择条件②：由正弦定理知，a sinA =bsinB ， ∵sinB =2sinA ，∴b =2a ， 又ab =8，∴a =2，b =4，由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+16−2×2×4×cos 2π3=28，∴c =2√7． 选择条件③：由正弦定理知，asinA =csinC ， ∴asinC =csinA =√3， ∵C =2π3，∴a =2，又ab =8，∴b =4． 下面的步骤同②．【解析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，并结合三角形的内角和定理与正弦的两角和公式，可推出C =2π3，再由S =12absinC ，可得ab =8． 选择条件①：结合余弦定理，ab =8和ac =4√7，解该方程组，即可得解；选择条件②：由正弦定理可得b =2a ，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解；选择条件③：由正弦定理可得asinC =√3，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，涉及边化角的思想，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式与两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)摸出红球的概率为37，摸出白球的概率为47，如果该员工选择有放回的方式摸球，则他能中奖的概率为C 32(37)2×47+C 33(37)3=135343． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 43C 73=435，P(X =1)=C 31C 42C 73=1835， P(X =2)=C 32C 41C 73=1235，P(X =3)=C 33C 73=135，则X 的分布列为 X 0123P43518351235135X 的数学期望为E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．(3)如果该员工选择不放回的方式摸球，则他中奖的概率为1235+135=1335<135343，所以该员工选择有放回的方式摸球中奖的可能性更大．【解析】(1)由独立事件概率公式计算即可得解．(2)由题意可得X 的取值为0，1，2，3，利用古典概型求概率，可得分布列，然后求解数学期望； (3)求出不放回的方式摸球中奖的概率与有放回的方式摸球中奖的概率比较大小，即可求得结论．本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．证明如下：取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ//AD 且FQ =12AD ，CE//AD 且CE =12AD ， 故CE //FQ 且CE =FQ.∴四边形CEQF 为平行四边形． ∴CF//EQ ，又CF ⊄平面PAE ，EQ 在平面PAE 内， ∴CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，由底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，得DM ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设DF =a ，则D(0,0，0)，F(0,0，a)，C(0,4，0)， B(2√3,2，0)，A(2√3,−2,0)， FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−a)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)，FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−a)， 设平面FBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −az =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x −2y =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,4√3a )，∵直线AF 与平面BCF 所成的角的正弦值是√1510，∴√1510=|cos <FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|4√3|√16+a 2⋅√4+48a 2，解得a =4√3(舍)或a =2．则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,2√3)；此时FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)，设平面AFB 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{n ⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x 1−2y 1−2z 1=0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y 1=0，取x 1=1，得n ⃗ =(1,0,√3)．cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=74×2=78，由图可知，二面角A −FB −C 为钝角，则二面角A −FB −C 的余弦值为−78．【解析】(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，推导出四边形CEQF 为平行四边形．由此能证明CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DF =a ，利用空间向量求解线面角可得a 值，然后利用平面BFC 与平面AFC 法向量所成角的余弦值可得二面角A −FB −C 的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)a 1=3，S n =a n+1−1，可得a 1=S 1=a 2−1， 即有a 2=4，n ≥2时，S n−1=a n −1，又S n =a n+1−1，两式相减可得a n =S n −S n−1=a n+1−1−a n +1， 即有a n+1=2a n ，可得n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ， 则a n ={3,n =12n ,n ≥2；设等差数列{b n }的公差为d ，由a 2=b 4=b 1+3d =4， b 2+b 5=b 7，即为2b 1+5d =b 1+6d ，即b 1=d ， 解得b 1=d =1， 则b n =n ；(Ⅱ)n ≥2时，c n =a n b n(n+2)b n+1=n⋅2n (n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，所以前n 项和T n =33×2+12(244−233+255−244+⋯+2n+2n+2−2n+1n+1)=12+12((2n+2n+2−83)=2n+1n+2−56．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式； (Ⅱ)求得n ≥2时，c n =n⋅2n(n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y2b2=1，a >b >0， 因为e =c a =12，即a =2c ， 所以b 2=a 2−c 2=3c 2， 所以椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1， 把M(c,−3)代入上式得，c 24c 2+93c 2=1，解得c =2，所以a =4，b 2=12， 所以椭圆的方程为x 216+y 212=1．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)， 因为M(2,−3)，F 1(−2,0)， 所以MF 1所在直线y +34x +32=0， 因为MN 平分∠F 1MF 2， 所以CD =CF 2， 所以|34m+32|√1+916=2−m ，解得m =12，所以C(12,0)，所以直线MN 的方程为y +2x −1=0，联立{y +2x −1=0x 216+y 212=1，解得M(2,−3)，N(−2219,6319)，所以k OM =−32，k ON =−6322， 所以k OMk ON=1121．【解析】(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1，根据题意可得a =2c ，b 2=3c 2，推出椭圆的方程为x 24c2+y 23c 2=1，把M(c,−3)代入上式解得c ，a ，b 2，进而可得椭圆的方程．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)，由MN 平分∠F 1MF 2，推出CD =CF 2，即|34m+32|√1+916=2−m ，解得m ，进而可得C 坐标，直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆的方程，解得M ，N 坐标，进而可得k OM ，k ON ， 得出结论．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)∵f(x)=(1+ax)e −2x ， ∴f′(x)=ae −2x −2(1+ax)e −2x ， ∴f′(0)=a −2=−1，解得：a =1； (2)由(1)得：f(x)=(x +1)e −2x ， f′(x)=(−2x −1)e −2x ，x ∈[0,1]时，f′(x)<0，f(x)在[0,1]单调递减， 故x =1时，y =2f(x)−2的最小值是4e 2①， 即2f(x)−2的最小值是4e 2，当x ∈[0,1]时，cosx ∈(0,1]，故x(x 2+4cosx −6)≤x(x 2+4−6)=x(x 2−2)， 令g(x)=x 3−2x ，则g′(x)=3x 2−2，令g′(x)>0，解得：x >√63，令g′(x)<0，解得：x <√63，故g(x)在[0,√63)递减，在(√63,1]递增，故g(x)的最大值是g(0)或g(1)，而g(0)=0，g(1)=−1，故g(x)≤0，>0，故4e2故当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(0)=−1，求出a的值即可；(2)根据函数的单调性分别求出2f(x)−2的最小值和x(x2+4cosx−6)的最大值，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。