2020—2021学年人教版 八年级数学下册 第17章 勾股定理 同步课时训练(含答案)

2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷一．选择题1．如图所示，点B，D在数轴上，OB＝3，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，以D为圆心，DC 长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A．B．+1C．﹣1D．不能确定2．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（）A．7B．10C．20D．253．如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（）A．B．C．D．4．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（）A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm26．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（）A．25B．14C．7D．7或257．如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（）A．甲B．乙C．丙D．一样长8．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（）A．B．C．h2＝ab D．h2＝a2+b2二．填空题9．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，﹣3），那么点P到原点O的距离OP的长度为．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD ＝．11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．12．已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝．13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，若△ACD为以AC为腰的等腰三角形，则DC的长为．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为时，△BCP为等腰三角形．三．解答题15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交BC于点E．（1）求证：BC＝BD；（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．17．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．18．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．19．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．（1）求证：BD⊥AC；（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝；（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．答案一．选择题1．解：由题意可得：BD＝4，BC＝1则CD＝＝，A点对应的实数为：﹣1，选：C．2．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∵S1＝9，S2＝16，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．选：D．3．解：∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项A不符合题意；∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项B不符合题意；∵＝3，可能是“格点线”的长度，选项C不符合题意；∵＝，不可能是“格点线”的长度，选项D符合题意；选：D．4．解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，∴PM＝3，当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM＝PN，∵PM＝3，∴PN的最小值为3．选：B．5．解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝144，∴（a+b）2﹣2ab＝144，∴196﹣2ab＝144，∴ab＝26，∴S△ABC＝ab＝13cm2．选：A．6．解：分两种情况：①当3和4为两条直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25；②当4为斜边长时，第三边长的平方＝42﹣32＝7；综上所述：第三边长的平方是7或25．选：D．7．解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：甲：（2018+2019）2+20202；乙：（2018+2020）2+20192；丙：（2019+2020）2+20182．∵（2018+2019）2+20202﹣[（2018+2020）2+20192]＝40372+20202﹣40382﹣20192＝（40372﹣40382）+（20202﹣20192）＝（4037+4038）（4037﹣4038）+（2020+2019）（2020﹣2019）＝﹣8075+4039＝﹣4036＜0，∴甲的斜边的小于乙的斜边；∵（2018+2020）2+20192﹣[（2019+2020）2+20182]＝40382+20192﹣40392﹣20182＝（40382﹣40392）+（20192﹣20182）＝（4038+4039）（4038﹣4039）+（2019+2018）（2019﹣2018）＝﹣8077+4037＝﹣4040＜0，∴乙的斜边的小于丙的斜边，∴斜边最长的是丙．选：C．8．解：设斜边为c，根据勾股定理得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝•h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝+，即．选：B．二．填空题9．解：∵点P的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，∴OP＝＝．答：点P到原点O的距离OP的长度为．答案为：．10．解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，在Rt△BCD中，BC＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∴＝，解得，BD＝9，答案为：9．11．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，答案为：4．12．解：依题意，得＝．解得t＝7或t＝﹣1．答案是：7或﹣1．13．解：①当AC＝CD时，∵AC＝6，∴CD＝6时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形；②当AC＝AD′时，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵•AC•BC＝•AB•CE，∴EC＝∴AE＝＝＝，∴ED′＝AD′﹣AE＝6﹣＝，∴CD′＝＝＝，综上所述，CD的长为6或．答案为：6或．14．解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，∵∠ACB＝90°，∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴PB＝AB，即5﹣2t＝，解得：t＝，②PB＝BC，即5﹣2t＝3，解得：t＝1，③PC＝BC，如图3，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝＝4（cm）．∵S△ABC＝×AB×CD，∴CD＝＝，∴BD＝＝，∵PC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝BP，∴＝×（5﹣2t），解得：t＝，∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．答案为：1或或．三．解答题15．解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，∵BH＝＝＝BC＝9，∴BC＝3，∴CH＝2BC＝6，∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠ACD＝45°，∴∠D＝∠BCD，∴BC＝BD；（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∴BD＝3，∵∠BCD＝∠D＝45°，∴∠CBD＝90°，∴CD＝＝＝3．17．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．18．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4．∴BC＝＝＝2，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°，∴BM＝BC＝，∴CM＝＝3，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝，∴CD＝CM﹣MD＝3﹣．19．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，∴CD＝AC﹣AD＝5，∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC．（2）当DE⊥AB时，DE最短，∵AB＝＝20，∵•AD•DB＝•AB•DE，∴DE＝＝9.6，∴线段DE使得最小值为9.6．20．解：（1）∵DC＝BC＝6，∴2t＝6，解得：t＝＝3，当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝3；答案为：3；（2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，∴AB＝＝10，∴△ABC的周长＝6+8+10＝24，①当点D在CA上运动时，如图1，BC+CD＝AB+AD，即6+2t＝，解得：t＝3；②当点D在AB上运动时，如图2，AC+AD＝BD+BC，即2t＝，解得：t＝6；③当点D在BC上运动时，如图3，AB+BD＝CD+AC，即2t﹣8＝，解得：t＝10；综上所述，t的值是3或6或10．。

人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM=．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时，才能使△ABC与△QPA全等．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是cm．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是cm．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有个．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于cm2．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．25．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求CD的长．26．如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D 与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．28．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=20，AD=8，BC=12，E为AB上一点，且DE=CE，求AE．29．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．30．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D，（1）判断直线BE与AD的位置关系是；BE与AD之间的距离是线段的长；（2）若AD=6cm，BE=2cm，求BE与AD之间的距离及AB的长．31．如图，将在Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2=c2．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．33．如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．（1）点P的坐标是（，）；（2）点Q的坐标是（，）；（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？34．在如图的5×5网格中，小方格的边长为1．（1）图中格点正方形ABCD的面积为；（2）若连接AC，则以AC为一边的正方形的面积为；（3）在所给网格中画一个格点正方形，使其各边都不在格线上且面积最大，你所画的正方形面积为．35．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上；探索创新：（3）若△ABC中有两边的长分别为、（a＞0），且△ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上．36．已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．37．已知a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求这个直角三角形的斜边长．38．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的整数部分为a，那么a=．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=，c=．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．39．如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．40．在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．41．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？42．在数轴上作出表示的点．43．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，（1）求AB的长；（2）求CD的长．44．如图已知，每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长（结果用根号表示）．45．图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．46．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形BC边上的高．杰杰同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高．（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形BC边上的高．47．美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．48．在图中，BC长为3，AB长为4，AF长为12，求正方形的面积．（其中∠FAC 和∠ABC都为直角．）49．用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点．50．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，．（2）如下图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连接DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．人教新版八年级下学期《17.1 勾股定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共19小题）1．在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM= 1.5．【分析】本题要靠辅助线的帮助．根据题意画出图形，作出辅助线，根据各边的关系求解．【解答】解：如图，延长DM、AB，交于E，在AE上取中点F，连接DF．∵∠BAD=60°，∠ADC=120°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，∴∠EBM=∠DCM；在△EMB和△DMC中，，∴△EMB≌△DMC，∴BE=CD；∵AB+CD=2，点F为EA的中点，∠BAD=60°，AD=AF=EF=，∴∠EDA=90°；根据勾股定理可得ED=AD，∴ED=3∵M为ED的中点∴MD=1.5．【点评】本题是一道根据三角形的中线定义结合勾股定理求解的综合题，有利于锻炼学生综合分析、解答问题的能力．2．如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置．【分析】根据等腰三角形的性质在表格中找出C点．【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C2、C3；以B为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点C1，∴BC1=AC2=AC3=AB==，∵因为AB的中点不在格点上，因此AB的垂直平分线不会经过格点∴C1、C2、C3是所要找的点．【点评】心动不如行动，赶快拿起圆规，画出图形，根据数形结合思想，利用全等三角形的性质解答此题．3．如图，已知，直角△ABC中，∠ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长AD=5，BE=2，则斜边AB之长为．【分析】设BC=x，AC=y，根据已知列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．【解答】解：设BC=x，AC=y根据题意运用勾股定理，得整理得，=65，即x2+y2=52∴斜边的长是2．【点评】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．4．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=5或10时，才能使△ABC与△QPA全等．【分析】分两种情形分别求解即可．【解答】解：当AP=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA，理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，当AP=5=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），当AP=AC=10，AQ=BC=5时，△ABC≌△PQA，故答案为：5或10．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．【分析】可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算．【解答】解：如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．【点评】此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要．6．如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，则第10个直角三角形的斜边长为．【分析】分别求出图中所给直角三角形的斜边长，找出规律，即可解答．【解答】解：根据图形，运用勾股定理知，第一个直角三角形的斜边是，第二个直角三角形的斜边是，推而广之，则第n个直角三角形的斜边是，所以第10个直角三角形的斜边长为．故答案为：．【点评】熟练运用勾股定理，能够根据具体数据进行推广，发现规律．7．直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为 2.4．【分析】根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==5，设斜边上的高为h，根据直角三角形的面积公式得：S△=×3×4=×5h，∴h==2.4．【点评】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．8．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为10或2．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x，（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2解得：x=10，（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x=2．故第三边长为10或2．故答案为：10或2．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D 点到直线AB的距离是6cm．【分析】首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．【解答】解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm【点评】运用了勾股定理以及角平分线的性质．10．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为15cm2．【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，由勾股定理得出a2+b2=c2，求出以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2，代入求出即可．【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2=c2，则分别以a b为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2=7cm2+8cm2=15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S=c2=a2+b2=15cm2，故答案为：15．【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积，关键是得出c2=a2+b2=15cm2，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．11．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为4或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当5是斜边时，第三边长==4；当5是直角边时，第三边长==．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．12．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是10或2cm．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：8是斜边时，第三边长=2cm；8是直角边时，第三边长=10cm．故第三边应该是10或2cm．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．13．已知：如图，△ABC中，过AB的中点F作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点D．若EF=3，BE=4，∠C=45°，则DF：FE的值为7：3．【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据DE⊥BC，F是AB中点，利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6，再根据∠C=45°，DE⊥BC，求出DF，然后即可得出答案．【解答】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，∵DE⊥BC∴EF∥AG又∵F是AB中点∴E也为BG中点，==∴EG=BE=4 AG=2EF=6又∵∠C=45°∴AG=GC=6∴EC=EG+GC=10又∵∠C=45° DE⊥BC∴DE=EC=10∴DF=DE﹣EF=10﹣3=7∴DF：FE=7：3．故答案为：7：3．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形中位线定理求出EG=BE=4，AG=2EF=6．14．直角三角形的两条直角边长分别为cm、cm，则这个直角三角形的斜边长为2cm，面积为cm2．【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长==2cm；直角三角形的面积=×=cm2．故填2cm，cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．15．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3=12．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．故答案为12．【点评】此题是勾股定理题目，解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关．16．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=5，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=×+×+×，=（AC2+BC2+AB2），=AB2，=×52=．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．17．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S=×3×4=×5×CD，△ABC∴CD=．故答案为：．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．18．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个4×4的方格纸中，找出格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C共有8个．【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理分别求出以AB为腰的等腰三角形的个数和以AB为底边的等腰三角形的个数即可得出答案．【解答】解：如图所示：以AB为腰的等腰三角形共4个，其底边长为=2的共有4个；以AB为底边的等腰三角形共有4个，其中腰长为的2个，腰长为2的有2个．故答案为：8．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和勾股定理的理解和掌握，此题难易程度适中，适合学生训练．19．如图，三个正方形A，B，C如图放置，且正方形A，B的面积分别是2cm2和3cm2，则正方形C的面积等于5cm2．【分析】先根据角之间的关系以及正方形的性质证明两空白三角形全等，然后根据勾股定理即可解答．【解答】解：如图所示∵∠1+∠5=90°，∠1+∠2=90°，∴∠5=∠2，同理∠1=∠3，又FD=DE，∴△FGD≌△EDH，可得，FG=DH，由勾股定理的几何意义可知S A+S B=S C即2+3=S C．∴S C=5．【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．二．解答题（共31小题）20．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．【解答】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+；（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD=1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形．【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP 为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．21．如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=，（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于AC为半径画弧，两弧相交于点C，D，过CD作直线l即可．（2）所求线段DE等于BC的一半，那么根据题中的数据利用三角函数求出BC 即可．【解答】解：（1）如图，（2）因为直线l垂直平分线段AC，所以CE=AE，又因为BC⊥AC，所以DE∥BC，所以DE=BC．因为在Rt△ABC中，AB=5，cosA=，所以AC=ABcosA=5×=3，由BC===4得DE=2．【点评】本题考查基本作图和利用三角函数来解决相关问题．22．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．【分析】根据大正方形面积=四个相同直角三角形面积+小正方形面积，得c2=4×ab+（a﹣b）2即得c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【解答】解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2=4×ab+（a﹣b）2，即c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，要认真理解勾股定理．23．如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．【分析】根据题意，我们可在图中找等量关系，有中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积；化简得a2+b2=c2，即证在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用．24．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17①试说明△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等；②请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练（附答案）1．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE ＝30°．（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．（1）求△ABD的面积．（2）求BC的长（结果保留根号）．3．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．（1）求出CD的长；（2）求出CF的长．5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为，（分别用含p的代数式表示）．6．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最值（填“大”或“小”）为（两个空直接写出答案不需要解答过程）．7．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．8．如图，某港口A位于东西海岸线上，甲乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45海里，乙船每小时航行60海里，它们离开港口1.2小时后分别位于点B、C处，且相距90海里．若甲船沿南偏西25度方向航行，问乙船沿哪个方向航行？9．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝cm，AB边上的高为cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．11．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？14．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；（3）用所学知识加以说明．15．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．17．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）18．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：（1）在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴BE＝（m），∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°∴∠D＝∠BAE＝30°，∴DE＝2CE＝80（m），∴DE+BE＝80+40＝120（m），∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝40（m），CD＝＝40（m），∴AB＝CD，∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．2．解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝3+4．3．解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．4．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，则AC＝＝＝3，∵DE是AC的中垂线，∴CD＝AC＝；（2）∵DF是AC的中垂线，∴F A＝FC，∵AB＝3，∴FB＝F A﹣3＝CF﹣3，在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，解得：CF＝．5．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．6．解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC＝5米，AB＝13米，∴由勾股定理得：AC＝＝12（米），∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11（米），∴B1C＝＝4（米），∴BB1＝B1C﹣BC＝（4﹣5）（米），答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米．（2）设AA1＝BB1＝x米，则A1C＝（12﹣x）米，CB1＝（5+x）米，由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，解得：x＝7，即AA1＝7米．答：下移的距离为7米．（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，最大值＝×13×＝平方米．故答案为：大，．7．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：∵AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，∴AC2＝AH2+CH2，∴△ACH是直角三角形；解：（2）∵△ACH是直角三角形，∴AH⊥BC，设AB＝BC＝xkm，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝，∴AB＝km．8．解：由题意可得：AB＝45×1.2＝54（海里），AC＝60×1.2＝72（海里），BC＝90海里，则AB2+AC2＝BC2，故△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵甲船沿南偏西25度方向航行，∴乙船沿南偏东65方向航行．9．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．10．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．11．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．12．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+M y＝OB，M y＝3﹣＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，所以此时M（，）．②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣＝OB，M y＝3+＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，所以此时M（﹣，）．③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．13．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．14．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为，故答案为：；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．15．解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab；∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．17．解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．18．解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM＝＝＝30，即凳子的高度为30cm．（2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）．19．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．。

第02课勾股定理逆定理【例1】若△ABC三边长满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角．（1）BC=，AB=，AC=1；（2）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1（n＞1）【例2】如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【例3】如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点。

⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长。

【例4】观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：_________________________________。

【例5】如图,已知在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CB=4CE.求证：AF⊥FE．【例6】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.求证：AE2＋BF2＝EF2．课堂同步练习一、选择题：1、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可能为( )A．2：3：4 B．3：4：6 C.5：12：13 D.4：6：72、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是( )A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B.如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形3、△ABC的三边为a、b、c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则( )A.△ABC是锐角三角形B.c边的对角是直角C.△ABC是钝角三角形D.a边的对角是直角4、下列命题中，其中正确的命题的个数为( )①Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边长为5；②有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a，b，c，若a2＋c2=b2，则∠C=90°；④在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:5:6，则△ABC是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( )A. CD、EF、GHB. AB、CD、GHC.AB、EF、GHD.AB、CD、EF6、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=45°，AB=3，CD=1，则BC的长为( )A．3 B．2 C． D．7、如图,有一块地ABCD,已知AD=4米，CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地面积为（） A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米28、在△ABC中，∠C=90°，c2=2b2，则两直角边a，b的关系是( )A．a<b B．a>b C．A=b D．以上三种情况都有可能9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状( )。

微课堂第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作AD ⊥BC 于点D ， 设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时 勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图 第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图 第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】 直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图 第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】 如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图 第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )． 如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )． 如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。

人教版八年级数学下册勾股定理同步单元解答典型习题解答题1.已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形(1)a=1.5,b=2,c=2.5(2)a=11,b=26,c=20(3)a:b:c=25:7:24.2.如图，在水池中离岸边点D1.5m的点C处有一根垂直于水面的芦苇AB，它高出水面部分BC的长是0.5m，把芦苇拉向岸边，它的顶端B 恰好落到点D，求水的深度AC.3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3m，BC ＝4m，CD＝12m，AD＝13m，求这块草坪的面积．4.在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为2+2的△ABC，并求它的面积．5.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．6.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，交BC于D，AB于E.（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）求AE的长.7.如图，在三角形纸片ABC中，90513∠=︒==，，在AC上取ACB BC AB一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合．（1）AC的长=________．（2）求CE的长8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．9.已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有（a－3）2＋(b－2)2＝0，求该直角三角形的斜边长．10.已知正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F为AD上的一点，AD，试判断△EFC的形状.且AF=1411.已知：如图，在∠ABC中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD∠BC，垂足为点D，求BC的长．12.如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？13.如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点)．判断AB与BC的关系，并说明理由．(利用勾股定理的相关知识解答)14.图①为一个上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图②.已知展开图中每个正方形的边长均为1.（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度的平方？这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？15.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF ＝b﹣aS四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c216.两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图1。

人教版数学八年级下册第17章勾股定理单元练习题一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝2，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝C．∠A+∠B＝2∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对3．下列是勾股数的有（）①3，4，5 ②5、12、13 ③9，40，41④13、14、15 ⑤⑥11、60、61A．6组B．5组C．4组D．3组4．若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A．6 B．7 C．9 D．125．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则BC边上的高AD为（）A．8 B．9 C．D．106．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（）A．3B．5 C．6 D．47．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3 B．C．D．18．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1 B．﹣1 C．1﹣D．10．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．4 B．16 C．D．4或二．填空题（共9小题）11．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．12．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是．13．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是米．14．一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有cm．15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．16．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为．17．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．19．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为．三．解答题（共6小题）20．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12，求BC的长度．21．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．22．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？24．如图：Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．25．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；C、∠A+∠B＝2∠C，此时∠C＝60°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；D、∠A＝2∠B＝3∠C，那么∠A＝（）°、∠B＝（）°、∠C＝（）°，△ABC不是直角三角形，不符合题意．故选：B．2．【解答】解：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝＝5，AC＝＝，AB＝＝，在△ABC中，∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．故选：A．3．【解答】解：①32+42＝52，是勾股数；②52+122＝132，是勾股数；③92+402＝412，是勾股数；④132+142≠152，不是勾股数；⑤不是正整数，不是勾股数；⑥112+602＝612，是勾股数；故是勾股数的有4组．故选：C．4．【解答】解：如图：AB＝AC＝13，BC＝10．△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；∴BD＝DC＝BC＝5；Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5；由勾股定理，得：AD＝＝＝12．故选：D．5．【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，∴62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，则由面积公式知，S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴AD＝．故选：C．6．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B．7．【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．故选：C．8．【解答】解：由勾股定理得：OA＝＝，如图所示：OA＝OP有2个、AP＝OA有1个（不符合题意舍去）、AP＝OP有1个，一共2+1＝3（个）．则m可取的值最多有3个．故选：B．9．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故点A表示1﹣．故选：C．10．【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；当5是斜边长时，第三边长为：＝4．故选：D．二．填空题（共9小题）11．【解答】解：由勾股定理，AC＝＝＝12（m）．则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．故答案为：612．12．【解答】解：作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，由勾股定理得，AB＝＝＝5，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，解得，PC＝，故答案为：．13．【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4米，∴折断前高度为2+4＝6（米）．故答案为6．14．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．故答案为：3．15．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：3．16．【解答】解：∵52+122＝169＝132，∴△ABC是直角三角形，S阴影＝π（）2+π（）2﹣[π（）2﹣×5×12]＝30．故答案为：30．17．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．故答案为：36．18．【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（6﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（6﹣2t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝．故答案为：3.75或6或．19．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AC＝，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共6小题）20．【解答】解：在△ABD中，∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴BD2+AD2＝AB2∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得，∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．21．【解答】解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．22．【解答】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD＝×20×15+×24×7＝234．23．【解答】解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．24．【解答】解：连接CE，由勾股定理得，AB＝＝＝4，∵DE是BC的中垂线，∴EC＝EB＝4﹣AE，由勾股定理得，AC2+AE2＝EC2，即32+AE2＝（4﹣AE）2，解得，AE＝．25．【解答】解：（1）S2+S3＝S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．（2）∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列条件：①222b c a =-；②C A B ∠=∠-∠；③111::::345a b c =；④::3:4:5A B C ∠∠∠=，能判定ABC 是直角三角形的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2、如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA ＋PB 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123、如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个4、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A B．2 C D．35、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c26、如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）．A．B C D．5BC，F是AC的中点，连接EF并延长7、如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝12EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（）∠BCN；②GF＝12A．2个B．3个C．4个D．5个8、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79、下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13 B．23，24，25C．1D．7，24，2610、如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A ．﹣1.5BCD ．﹣2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图每个小方格都是边长为1的小正方形，则正方形A 的面积是_____，正方形B 的面积是_____，正方形C 的面积＝边长为7的正方形与4个直角边为_____的直角三角形的面积差为_____2、细心观察图形，认真分析各式，然后填空．OA22）2+1＝2S 1OA32＝12+）2＝3S 2OA 42＝12+2＝4S 3_____个三角形？3、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A ，(2,5)B ，(3,2)M ．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C ，使得点M 是ABC 的三边垂直平分线的交点，则点C 的坐标为___________．4、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，以△ABC 的各边为边，在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，若S 1＝81，S 2＝225，则BC ＝__________．5、（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4 km ，乙往南走了3 km ，这时甲、乙两人相距_____km ．（2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A 角走到C 角，至少走_____米．（3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB ＝16 ，高BC ＝12，P 为BC 的中点，蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．2、已知△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm，△ABC的面积是6cm2．（1）求AB的长度；（2）求△ABD的面积．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB 的长度比BC长度的2倍短10cm．（1）求Rt△ABC的各条边的长．（2）求AB边上的高．（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．①用含t的代数式表示线段BD的长为；②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．5、我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30º，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45º，求该船在这一段时间内的航程（计算结果保留根号）．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】解：①222b c a =-即222+=a b c ，△ABC 是直角三角形，故①符合题意；②∵∠A +∠B +∠C =180°，∠C =∠A −∠B ，∴∠A +∠B +∠A −∠B =180°，即∠A =90°，∴△ABC 是直角三角形，故②符合题意； ③∵111::::345a b c =，设a =3k，b =4k ，c =5k ， 则222543k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴△ABC 不是直角三角形，故③不合题意；④∵::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴∠C =5345++×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意． 综上，符合题意的有①②，共2个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．【分析】如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．【详解】解：如图，连接PC，∵EF是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴PA+PB=PA+PC，∴PA＋PB的最小值即为PA＋PC的最小值，当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，∴在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理可得：AC，8∴PA＋PB的最小值为8；故选B．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 与E 重合时，AD 最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE =EC ，进而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE 长，然后可得AD 的取值范围，进而可得答案．【详解】解：如图：过A 作AE ⊥BC 于E ，∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE 3，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C ).若线段AD 的长为正整数，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故符合条件的点D 有3点.故选B .【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.4、B【分析】首先由勾股定理得AB ，AC ，BC 的三边长，从而有AB 2+AC 2＝BC 2，得∠BAC ＝90°，再根据S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=AC BC5=，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC1122AC AB BC AD =⋅=⋅，5AD=⨯，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．5、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．6、B【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解．【详解】解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=12AB设BD为x，则CD=8-x，∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，在Rt △BDE 中，BE 2+DE 2=BD 2，即(2+DE 2=52，∴DE故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．7、B【分析】由ABC 是等边三角形，M 不是AB 中点可判断①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得30E ∠=︒，由60B ∠=︒可判断⑤；设AG x =，则2AF FC CE x ===，表示EF 和FG 的长可判断②；作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得NH NM =，由线段垂直平分线的性质得BN CN NG ==，证明()Rt NGM Rt NCH HL ≅，NG GM >可判断③④．【详解】解：ABC 是等边三角形，MN 是BG 的垂直平分线M ∴不是AB 中点，N 点不在∠ACB 的角平分上，∴CN 不平分∠ACB ，ACN BCN ∴∠≠∠，故①错误； ABC 是等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=∠=︒，AC BC =， 12CE BC =，F 是AC 的中点， CF CE ∴=，E CFE ∴∠=∠，60ACB E CFE ∠=∠+∠=︒，30E ∴∠=︒，90BGE ∴∠=︒，EG AB ∴⊥，故⑤正确；设AG x =，则2AF FC CE x ===，FG ∴=，6BE x =，在Rt BGE 中，3BG x =，EG =，EF EG FG ∴=-==，12GF EF ∴=，故②正确；如图，过N 作NH AC ⊥于H ，连接BN ，在等边ABC 中，AD BC ⊥，AD ∴平分BAC ∠，BN CN =，MN AB ⊥，NH NM ∴=， MN 是BG 的垂直平分线，BN NG ∴=，BN CN NG ∴==，在Rt NMG 中，NG GM >，GM CN ∴≠，故④错误；在Rt NGM 和Rt NCH △中，MN NH GN NC =⎧⎨=⎩， ()Rt NGM Rt NCH HL ∴≅，GNM CNH ∴∠=∠，MNH CNG ∴∠=∠，60ANM ANH ∠=∠=︒，120GNC ∴∠=︒，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．8、C【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【详解】解：∵由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∴S 3+S 2=S 1，∵S 1+S 2+S 3=12，∴2S 1=12，∴S 1=6，故选：C ．【点睛】题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．9、A【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足222+=a b c ，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A 、22251213+=，是勾股数，符合题意；B 、222222(3)(4)(5)+≠，不是勾股数，不符合题意；CD 、22272426+≠，不是勾股数，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．10、C【分析】利用勾股定理求得线段OB 的长，结合数轴即可得出结论．【详解】解：OB∵OA ＝OB ，∴OA∴数轴上点A故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段OB 的长度是解题的关键．二、填空题1、9 16 3和4 25【分析】利用网格求各图形的面积，利用面积和差填空即可．【详解】解：正方形A 的面积是239=，正方形B 的面积是2416=，正方形C 的面积＝边长为7的正方形与4个直角边为3和4的直角三角形的面积差为217434252-⨯⨯⨯=； 故答案为：9；16；3和4；25．【点睛】本题考查了网格面积问题，解题关键是准确识图，熟练运用网格求面积．2、20【分析】根据题意可以得到规律2211n n OA nS -=+==，由此求解即可． 【详解】解：∵OA 222+1＝2S 1＝2；OA32＝12+）2＝3S 2OA42＝12+2＝4S 3∴2211n n OA nS -=+==，= ∴21n =，∴它是第21-1=20个三角形，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了勾股定理和与实数运算有关的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．3、（4，5）或（6，1）或（6,3）【分析】连接MA ，MB ，根据线段垂直平分线的性质结合勾股定理可求出MA MB MC ===C 点坐标为()a b ，，则MC ==C 点在第一象限内，且横、纵坐标都为整数，即可确定a ，b 的值，即得出答案．【详解】如图，连接MA ，MB ，根据图可知MA MB ==∵点M 是△ABC 的三边垂直平分线的交点，∴MA MB MC ===设C 点坐标为()a b ，．根据题意可知00a b >>，，且a b ，都为整数．∴MC 33a ->-，22b ->-．=∴3123a b -=⎧⎨-=⎩或3123a b -=-⎧⎨-=⎩或3321a b -=⎧⎨-=⎩或3321a b -=⎧⎨-=-⎩， 解得：45a b =⎧⎨=⎩或25a b =⎧⎨=⎩（舍）或63a b =⎧⎨=⎩或61a b =⎧⎨=⎩． ∴C 点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)．故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，两点的距离公式．理解题意，结合线段垂直平分线的性质，分析出MA MB MC ==是解答本题的关键．4、12【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2=AB 2，再由正方形的面积公式计算即可得到答案．【详解】解：∵∠ABC =90°，∴由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵21=S AB ，23=S BC ，22=S AC ， ∴213=S S S +，∴2321===144S BC S S -，∴BC =12故答案为：12．【点睛】本题主要考查的是勾股定理和算术平方根，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．5、5 50 10【分析】（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；（2）连接AC ，利用勾股定理求出AC 的长即可解决问题；（3）把圆柱的侧面展开，连接AP ，利用勾股定理即可得出AP 的长，即蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离．【详解】解：（1）如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴AB km．故答案为：5；（2）如图连接AC，∴四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=30米，BC=40米，∴AC=米)．根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，故答案为：50；（3）解：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16π，高BC=12，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是8π，BP=6，∴AB=12×2×8π•π=8，在Rt△ABP中，AP，∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10．故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．三、解答题1、CD＝74cm【分析】由翻折易得DB＝AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长．【详解】解：由题意得DB＝AD；设CD＝xcm，则AD＝DB＝（8﹣x）cm，∵∠C＝90°，∴在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2，即（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x ＝74；即CD ＝74cm ．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知翻折前后对应边相等，勾股定理的应用．2、（1）5cm （2）230cm【分析】（1）根据直角三角形ABC 的面积求得AC ，再根据勾股定理即可求得AB 的长；（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形，即可求解．【详解】解：（1）∵∠C ＝90° ∴16,32ABCS AC BC BC =⋅== ∴4AC =∵90C ∠=︒∴5cm AB（2）∵22251213+=∴222AB BD AD +=∴90ABD ∠=︒ ∴2130cm 2ABDS AB BD =⋅=． 【点睛】此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．注意：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．3、（1）AB =50cm ，BC =30cm ，AB =40cm ，（2）AB 边上的高为24cm ；（3）①2t ；②当△BCD 为等腰三角形时， t 的值为15s 或18s 或252s ． 【分析】（1）设cm BC x =，则()10cm AC x =+，()210cm AB x =-，然后利用勾股定理求解即可；（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，然后利用面积法求解即可；（3）①根据路程=速度×时间即可得到答案；②分三种情况：当30cm BD BC ==时，当30cm CD CB ==时，当CD BD =时，讨论求解即可．【详解】解：（1）设cm BC x =，则()10cm AC x =+，()210cm AB x =-，∵∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=，∴()()22210210x x x ++=-，解得30x =或0x =（舍去），∴30cm BC =，则40cm AC =，50cm AB =；（2）如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴11=22ABC S AC BC AB CE ⋅=⋅， ∴24cm AC BC CE AB ⋅==， ∴AB 边上的高为24cm ；（3）①由题意得：2cm=，BD t故答案为：2cmt；②如图3-1所示，当30cm==时，BD BC∴2=30t，解得15t=；如图3-2所示，当30cm==时，过点C作CE⊥AB于E，CD CB由（2）得24cmCE=，∴236cm==，BD BE∴236t=，解得18t=；如图3-3所示，当CD BD =时，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由（2）得24cm CE =，设cm CD BD y ==，在直角△CEB 中18cm BE ==，∴()18cm DE BD BE y =-=-，在直角△CDE 中，222CD DE CE =+，∴()2221824y y =-+，解得25y =，∴225t =， 解得252t =； 综上所述，当t 的值为15或18或252时，△BCD 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键．4、（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；（3【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；（310，符合题意．【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．5、50)AB =米【分析】先求出∠A =∠EDA =30°，∠DBC =∠EDB =45°，∠C =90°，即可得到AD =2CD =100米，∠BDC =45°，然后分别求出AC ，BC 的长，即可求得AB 的长．【详解】解：如图所示，由题意得：∠EDA =30°，∠EDB =45°，AC ∥ED ，CD ⊥AC ，CD =50米，∴∠A =∠EDA =30°，∠DBC =∠EDB =45°，∠C =90°，∴AD =2CD =100米，∠BDC =45°，∴AC BDC =∠DBC =45°，∴BC =CD =50米，∴()50AB AC BC =-=米，∴该船在这一段时间内的航程为()50米．【点睛】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

勾股定理一、选择题1.一同学从A 地沿北偏西60°方向走了100ｍ到达B 地，又从B 地向正南方向走了200ｍ到C 地，此时该同学距离A 地（ ）A ．50ｍB ．100ｍC ．150ｍD ．1003ｍ2.把直角三角形的两直角边同时扩大为原来的3倍，则斜边扩大为（ ）倍；A 、3；B 、6；C 、3；D 、9;3.直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ）A ．6B ．8C ．1380 D ．1360 二、填空题4.△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C ＝90°， ①若a ＝7，b ＝24， 则c ＝______；②若b ＝8，c ＝17， 则a ＝______；③若a ＝9，c ＝41， 则b ＝______.5.在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

6.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

7.13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。

同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。

8.把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．9.在直角三角形ABC 中，AC=4，BC=3，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 小于AC 的概率为__________；三、解答题10.已知直角三角形的斜边长为37，一条直角边为2，求另一条直角边长.11.在数轴上作出表示20的点12.△ABC 中，∠C=900;①a=8，b=6，求c 的长；②c=34，a ：b=8：15，求a ，b 两边的长；③b=6，c 比a 大2，求c 边长；④已知a=5cm,b=12cm,求c 边上的高;13.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！《17．1勾股定理》课时练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是()A ．6，8，10B ．5，12，13C ．1，2，3D ．9，12，152．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm 、6cm 和6cm ，在罐内点E 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD 中心的正上方2cm 处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm ．()A ．BC ．24D3．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）平方厘米．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC 中BC 边上的高等于（）A ．BC ．D5．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A ．6B ．62C ．63D ．126．已知，如图，AD 平分BAC Ð，E 是BC 的中点，DE BC ^，DM AB ^，DN AC ^，若8AB =，5AC =，则CN 的长为（）A ．1B ．32C ．2D ．37．如图，在ABC 中，4,3,60,AB BC B M ==Ð= 是BC 延长线上一点，2,CM P =是边AB 上一动点，连结PM ，作DPM △与BPM △关于PM 对称(点D 与点B 对应)，连结AD ，则AD 长的最小值是（）A ．0.5B ．0.6C ．521D 1338．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，已知90ACB Ð=°，4BE =， 7AD =，则AB 的长为（）．A ．13B ．53C ．10D ．15二、填空题9．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为．10．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．11．一个直角三角形的两直角边为8，15，则斜边上的高为_______12．如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30°方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于____________海里．13．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2．4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0．8m，则梯子的长度为_____m．14．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将△ABC沿射线AB翻折，得到△ABD，再将AC 沿射线AB平移，得到EF，连接DE、DF，则△DEF周长的最小值是__．三、解答题15．能够成为直角三角形边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．16．如图，为修建高速铁路需凿通隧道AC，测得，，，若每天可凿隧道0.3m，需要多少天才能把隧道AC凿通？17．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东方向，办公楼B位于南偏东方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B 之间的距离．18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算出两圆孔的中心点A和点M之间的距离．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．C8．A 9．2或10．24；11．12．13．2.5或5 214115．解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．16．，为直角三角形，，，，（天）．答：需要天才能将隧道凿通．17．由题意可知：，，．在中，，，．在中，，，．由勾股定理，，即，解得．米．18．。

人教版八年级数学下册勾股定理单元解答典型习题解答题1.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求昆虫爬行的最短路程．2.如图，在四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AB⊥AD，BC＝12．（1）求BD的长；（2）当CD为何值时，△BDC是以CD为斜边的直角三角形？（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．3.如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段AC上，且CE＝CB，若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助这个图形证明勾股定理．4.如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CD=12，AC=20，BC=15，AE=AC，BF=BC，求EF的长。

5.如图，已知AD=4，CD=3，BC=12，AB=13，∠ADC=90°，求四边形ABCD的面积．6.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．7.如图是一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，且CD ⊥AD（1）求AC 的长（连接AC ）；（2）证明△ABC 是直角三角形；（3）求这块地ABCD 的面积8.八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？9.如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC =120°，E 、F 分别为BD 、CD 中点，试求B 、C 两点之间的距离，钢索AB 和AE 的长度。

（结果保留根号）10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＝15，AD ＝12，AC ＝13．求A B D E FBC的长．11.如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，到C处观测海岛B在北偏东30°方向，测得CB＝20海里；又以同样的速度和航向继续航行，到D处观测海岛B在北偏西30°方向．请你确定轮船到达C处和D处的时间．12.如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？13.如图，在三角形纸片ABC中，90513，，在AC上取∠=︒==ACB BC AB一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合．（1）AC的长=________．（2）求CE的长14.如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A、B、C都在网格格点的位置上．（1）请直接写出AB、BC、AC的长度；（2）求△ABC的面积；（3）求边AB上的高．15.我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？16.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且△ABC=90°，连接AC。

2020-2021学年人教版数学八年级下册17.1-勾股定理课时练习一、选择题1.下列说法正确的是()A. 若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2B. 若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2C. 若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90∘，则a2+b2=c2D. 若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90∘，则a2+b2=c22.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是()A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. a2+c2=b2D. c2−a2=b23.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为()A. 4B. √34C. 4或√34D. 74.△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为()A. 14B. 4C. 14或4D. 以上都不对5.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A. 48B. 60C. 76D. 806.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为()√13A. 1013√13B. 913√13C. 813√13D. 7137.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，CD是AB边上的高，则线段AD的长度为()A. 125B. 245C. 135D. 758.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为()A. (1,1)B. (1,√3)C. (√3,1)D. (√3,√3)9.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。

如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为()A. 90B. 100C. 110D. 12110.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个二、填空题11.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为_______．12.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是dm．13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,4)和(3,0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为．14.如图，在△ABC中，AB=√41，BC=8，AC=5，则△ABC的面积为．15.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4.则折痕EF的长度为．16.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆S1，S2，S3.若S2=32π，S3=18π，则斜边上半圆的面积S1=．三、计算题17.已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两边a，b满足√a+2b−7+(3a−2b+5)2=0，求第三边长c的值．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12，BC=5，求BD的长．19.已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，(1)求BC的长；(2)求AE的长；(3)求BD的长20.如图所示，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2。

第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时 勾股定理【学习目标】1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理； 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. 学习重点：勾股定理的内容及证明. 学习难点：勾股定理的证明. 学习过程一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若D 为斜边中点，则斜边中线（3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明： 方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S 正方形＝_______________＝____________________方法二；已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对ABbbb边为a、b、c。

求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=______________右边S=_______________左边和右边面积相等，即化简可得。

二、合作交流（小组互助）思考：（1）观察图1－1。

A的面积是__________个单位面积；B的面积是__________个单位面积；C的面积是__________个单位面积。

（图中每个小方格代表一个单位面积）（2）你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？由此我们可以得出什么结论？可猜想：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_______________________________________________________________________________________。

（三）展示提升（质疑点拨）1.在Rt △ABC 中，90C ∠=︒ ， （1）如果a=3，b=4，则c=________； （2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则222a b c +=B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90A ∠=︒， 则222a b c +=D.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，90C ∠=︒ ，则222a b c +=3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。

17.1勾股定理基础过关一． 单选题1．下列结论中，正确的有（ ）①△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2＝a 2，则△ABC 是直角三角形；②在Rt △ABC 中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；③在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：5：6，则△ABC 是直角三角形；④若三角形的三边长之比为1：2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．在一个直角三角形中，如果一条直角边长是3，另一条直角边长是4，那么斜边长是（ ）A ．5BC ．5D ．不确定3．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（ ）A ．60B ．79C ．84D ．904．在平面直角坐标系中，已知点A （1，3）和点B （3，1），点C 、D 分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 的周长最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将 △AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．236．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k ，正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，且S 1＞S 2，S 3＞S 4，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1•S 4＝k 2S 2B ．S 1+S 4＝S 22C ．S 1•S 4＝S 22D ．S 1+S 4＝kS 27．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为5m ，梯子的顶端B 到地面的距离为12m ，现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于6m ，同时梯子的顶端B 下降至B '，那么BB '（ ）A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m二． 填空题 8．已知，如图，在ABC ∆中，90106C AB AC CD ∠=︒==,,,是AB 上的中线，如果将BCD ∆沿CD 翻折后，点B 的对应点'B ，那么'BB 的长为__________．9．小明想知道学校旗杆的高， 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________m ．10．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（3BC =），那么折断后的竹子（AB ）的高度为___________．11．在Rt △ABC 中，90,8cm,4cm C BC AC ∠=︒==，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_____________秒．12．如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,李明向正东方向走了____米.三．解答题13．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？14．如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），点B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，求点C 的坐标．15．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；（2）若设勾股数组中间的数为2n （n ≥2，且n 为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．中考真题16．（2019湖南邵阳·中考）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.17．（2020黑龙江绥化·中考）在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若2,8AB AC BC -==，则AB 的长是________．能力提高18．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ＝8，BC ＞6，点E ，F 分别在BC ，AC 边上，且AF ＝CE ，则AE +BF 的最小值为_____．。