事件之间的关系与运算课时练习-新人教B版高中数学必修2

10.1.2事件的关系和运算一、选择题 1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则（ ） A ．A ⊆BB ．A =BC ．A B 表示向上的点数是1或2或3D ．A B 表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】由题意，可知{}}1223{AB ＝，，＝，，则{}1}13{2A B A B ＝,＝,,，∴A B 表示向上的点数为1或2或3． 2．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中，为互斥事件的是（ ）A ．①B ．②④C ．③D ．①③【答案】C【解析】①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件；②至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故②不是互斥事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故③是互斥事件；④至少有一个是奇数和至少有一-个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件.故选：C .3．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（ ）A ．至多有一次击中目标B ．三次都击不中目标C ．三次都击中目标D ．只有一次击中目标 【答案】B【解析】对于一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”包含击中一次、击中两次和击中三次两个事件，因此它的对立事件是“三次都击不中目标”.4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ={两次都击中飞机}，B ={两次都没击中飞机}，C ={恰有一弹击中飞机}，D ={至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ⋃= D ．A C B D = 【答案】D【解析】对于选项A ,事件A 包含于事件D ,故A 正确.对于选项B,由于事件B ,D 不能同时发生,故B D =∅正确.对于选项C,由题意知正确.对于选项D,由于A C D ⋃=={至少有一弹击中飞机},不是必然事件；而B D 为必然事件,所以A C B D ≠,故D 不正确.故选：D5．（多选题）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是（ ）A ．恰有一名男生和全是男生B ．至少有一名男生和至少有一名女生C ．至少有一名男生和全是男生D ．至少有一名男生和全是女生【答案】AD【解析】A 中两个事件是互斥事件,恰有一名男生即选出的两名中有一名男生一名女生,它与全是男生不可能同时发生；B 中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生；C 中两个事件不是互斥事件,至少一名男生包含全是男生的情况；D 中两个事件是互斥事件,至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生.故选：AD6．（多选题）从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（ ）A ．至少有1个红球与都是红球B ．至少有1个红球与至少有1个白球C ．恰有1个红球与恰有2个红球D ．至多有1个红球与恰有2个红球 【答案】CD【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A 中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B 中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C 中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D 符合题意.故选：CD二、填空题7.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是______.【答案】2次都中靶【解析】“至少有1次中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中革”，∴其对立事件是“2次都中靶”.8. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A 与B 可表示为_____.【答案】A B +【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”,因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A B +.9.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是是方块”；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”.其中互为对立事件的有______________.（写出所有正确的编号）【答案】②④【解析】从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”是互斥事件，也是对立事件.故答案为：②④.10．设A ，B 是两个任意事件，下面关系正确的是①A B A +=;②A AB A +=; ③AB A ⊆;④()A A B A +=;【答案】②④【解析】若A B A +=,则B A ⊆,故①错误；由题知AB A ⊆,A AB A ∴+=,②正确；∵当事件A、B都不发生时,AB发生,但A不发生,AB∴不是A的子集, ③错误；A AB A∴+=,④正确.A A B⊆+,()()三、解答题11．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”，事件B=“三个圆的颜色不全相同”，事件C=“其中两个圆的颜色相同”，事件D“三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.A B C D.（2）用集合的形式表示事件,,,（3）事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.(2)A={（红,黄,蓝）}B={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.12．记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A，B，C，D，指出下列事件的含义：（1）A B C；（2）B C∩；（3）B C D∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环.（2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.∪∪射中9环或8环或7环，（3）B C D=则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.。

新人教B版必修二事件之间的关系与运算课时作业练习时间：40分钟（原卷+答案）一、选择题1．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球2．(多选)关于互斥事件的理解，正确的是()A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B.若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A，B都不发生D．若A，B又是对立事件，则A，B中有且只有一个发生3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D4．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是() A．0B．1C．2D．3二、填空题5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45 ，那么所选3人中都是男生的概率为________．6．如果事件A ，B 互斥，记A － ，B － 分别为事件A ，B 的对立事件，①A ∪B 是必然事件；②A － ∪B －是必然事件；③A － 与B － 一定互斥；④A － 与B －一定不互斥．其中正确的是________．7．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A 为点数不小于4，事件B 为点数不大于4，则A ∩B ＝________． 三、解答题8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B ＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C ＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D ＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：(1)事件D 与A ，B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与A 的交事件是什么事件？10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：(1)(2)派出医生至少2人的概率．参考答案1．解析：A中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件；B中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件；C中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件；D中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件．答案：D2．解析：A，B互斥，A，B可以不同时发生，A，B也可以同时不发生，但只要一个发生，另一个一定不发生．对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故ACD正确．答案：ACD3．解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B ∪D.答案：D4．解析：命题(1)不正确，命题(2)正确，命题(3)不正确．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A ，B 外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两种事件，所以事件A 和事件B 不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A 和事件B 同时发生，所以事件A 和事件B 不是互斥事件．故选B.答案：B5．解析：设事件A 为“3人中至少有1名女生”，事件B 为“3人都为男生”，则事件A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝1－45 ＝15.答案：156．解析：用Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A － ∪B － 是必然事件． 答案：②7．解析：事件A 点数不小于4，则样本点数为4，5，6， 事件B 点数不大于4，则样本点数为1，2，3，4. ∴A ∩B ＝{4}． 答案：{4}8．解析：(1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．9．解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果是1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.10．解析：记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．因为事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74或1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74。

5．3.2 事件之间的关系与运算1．抛掷一枚骰子,“向上的点数是则( )A .A ⊆B B .A ＝BC .A ＋B 表示向上的点数是1或2或3D .AB 表示向上的点数是1或2或32．打靶3次,事件A i 表示“击中i 发”,其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1∪A 2∪A 3表示( )A .全部击中B ．至少击中1发C .至少击中2发D ．以上均不正确3．围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17 ,从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A .17B ．1235C ．1735D ．14．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为45,那么所选3人中都是男生的概率为________．5．从一批产品中取出3件产品,设A ＝{3件产品全不是次品},B ＝{3件产品全是次品},C ＝{3件产品不全是次品},则下列结论正确的是________(填写序号).①A 与B 互斥；②B 与C 互斥；③A 与C 互斥；④A 与B 对立；⑤B 与C 对立． 6．设某人向一个目标射击3次,用事件A i 表示随机事件“第i 次射击击中目标”(i ＝1,2,3),指出下列事件的含义：(1)A 1∩A 2； (2)A 1∩A 2∩A －3； (3)A － 1∪A －2； (4)A － 1∩A － 2∩A － 3.7．(多选)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．并给出以下结论,其中正确的是( )A.A∪B＝C B．D∪B是必然事件C.A∩B＝C D．A∩D＝C8．(多选)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中为互斥事件的是( )A .恰有一名男生和全是男生B .至少有一名男生和至少有一名女生C .至少有一名男生和全是男生D .至少有一名男生和全是女生9．对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A ＝{两弹都击中飞机},事件B ＝{两弹都没击中飞机},事件C ＝{恰有一弹击中飞机},事件D ＝{至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )A .A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C .A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D10．掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16 .事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A .13 B ．12 C ．23 D ．5611．为维护世界经济秩序,我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义,并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余进口商品将在3年或3年内达到要求,则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为________．12．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：(1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．13．(多选)下列命题中为真命题的是( )A .若事件A 与事件B 互为对立事件,则事件A 与事件B 为互斥事件 B .若事件A 与事件B 为互斥事件,则事件A 与事件B 互为对立事件C .若事件A 与事件B 互为对立事件,则事件A ∪B 为必然事件D .若事件A ∪B 为必然事件,则事件A 与事件B 为互斥事件14．已知袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为13 ,得到黑球或黄球的概率为512 ,得到黄球或绿球的概率为512 ,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？5．3.2 事件之间的关系与运算1．答案：C解析：设A ＝{1,2},B ＝{2,3},则A ∩B ＝{2},A ∪B ＝{1,2,3},所以A ＋B 表示向上的点数为1或2或3.2．答案：B解析：由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件,且A 0∪A 1∪A 2∪A 3为必然事件,A ＝A 1∪A 2∪A 3表示的是打靶3次至少击中一次．3．答案：C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ,“从中取出2粒都是白子”为事件B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ,则C ＝A ＋B ,且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 4．答案：15解析：设A ＝{3人中至少有1名女生},B ＝{3人都为男生},则A ,B 为对立事件,所以P (B )＝1－P (A )＝15.5．答案：①②⑤解析：A ＝{3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B ＝{3件产品全是次品},C ＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知：A 与B 是互斥事件,但不对立；A 与C 是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件；B 与C 是互斥事件,也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.6．解析：(1)A 1∩A 2表示第1次和第2次射击都击中目标．(2)A 1∩A 2∩A －3表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标． (3)A －1∪A －2表示第1次和第2次都没击中目标．(4)A －1∩A －2∩A －3表示3次都没击中目标． 7．答案：AB解析：事件A ∪B ：至少有一件次品,即事件C ,所以A 正确；事件D ∪B ：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B 正确； 事件A ∩B ＝∅,C 不正确；事件A ∩D ：恰有一件次品,即事件A ,所以D 不正确． 8．答案：AD解析：A 中两个事件是互斥事件,恰有一名男生即选出的两名中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生；B 中两个事件不是互斥事件；C 中两个事件不是互斥事件；D 中两个事件是互斥事件,至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．9．答案：D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,∴A ∪B ≠B ∪D .10．答案：C解析：由题意知,B －表示“大于或等于5的点数出现”,事件A 与事件B －互斥,由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23.11．答案：0.79解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A ,“不到4年达到要求”为事件B ,则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A ∪B ,而A ,B 互斥,∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.12．解析：记事件“射击一次,命中k 环”为A k (k ∈N ,k ≤10),则事件A k 之间彼此互斥． (1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A ,那么当A 9,A 10之一发生时,事件A 发生,由互斥事件概率的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B ,那么当A 8,A 9,A 10之一发生时,事件B 发生,由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C ,由于事件C 与事件B 互为对立事件,故P (C )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.13．答案：AC解析：对立事件首先是互斥事件,故A 为真命题．互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事件M ＝“两次出现正面”与事件N ＝“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B 为假命题．事件A ,B 为对立事件,则在一次试验中A ,B 一定有一个发生,故C 为真命题．事件A ∪B 表示事件A ,B至少有一个要发生,A ,B 不一定互斥,故D 为假命题．14．解析：记“得到红球”为事件A ,“得到黑球”为事件B ,“得到黄球”为事件C ,“得到绿球”为事件D ,事件A ,B ,C ,D 显然彼此互斥,则由题意可知,P (A )＝13,①P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512,② P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512.③由事件A 和事件B ＋C ＋D 是对立事件可得P (A )＝1－P (B ＋C ＋D )＝1－[P (B )＋P (C )＋P (D )],即P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23.④②③④联立可得P (B )＝14,P (C )＝16,P (D )＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14.。

第四章概率与统计4.2.1 随机变量及其与事件的关系一、基础巩固1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2.2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数MB．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YC．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X【答案】C【详解】在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是离散型随机变量在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故T不是离散型随机变量在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是()A．6B．7C．10D．25【答案】C【详解】列出所有可能取值如下表所示，由表格可知，所有可能取值为：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20共10种.故选C.4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（）A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3【答案】C【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，可得随机变量ξ的取值可以是0，1，2．5．下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数【答案】B【详解】解：因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.6．同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为（ ）. A ．3 B ．4C ．1、2、3D ．0、1、2、3【答案】D 【详解】同时抛掷3个硬币，正面向上的个数可能取值为0、1、2、37．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( ) A ．出现7点的次数 B ．出现偶数点的次数C ．出现2点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A 【详解】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量8．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是（ ） A ．25 B ．10C ．9D ．5【答案】C 【详解】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种情况 9．甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示( ) A ．甲赢三局 B ．甲赢一局 C ．甲、乙平局三次D ．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】由于赢了得3分,平局得1分,输了得0分，故3ξ=分成两种情况，即300++或者111++三种情况，也即甲赢一局或甲、乙平局三次，故选D.10．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X ,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( ) A ．X=4 B ．X=5 C ．X=6 D ．X ≤4【答案】C 【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中5回小球”也即是前5次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故6X =，所以选C.11．袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X ，则()4P X ==（ ） A ．15B ．25C ．110D ．310【答案】D 【详解】最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球二白球，132253343(4)10C C A P X A ===，故选：D. 12．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则10ξ=表示的试验结果是（ ） A ．第10次击中目标 B ．第10次未击中目标 C ．前9次未击中目标D ．第9次击中目标【答案】C 【详解】由题知：10ξ=表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标.13．袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ）A ．4X =B ．5X =C ．6X =D ．5X【答案】C 【详解】因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，14．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数【答案】C【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2,3，15．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.16．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为() A．20 B．24C．4 D．18【答案】B【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有4424A=(种). 17．下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ).A．掷5次硬币正面向上的次数MB．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X【答案】B【解析】由随机变量的概念可知. 某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型18．对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k 表示的试验结果为( ) A ．第k-1次检测到正品,而第k 次检测到次品 B ．第k 次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C ．前k-1次检测到正品,而第k 次检测到次品 D ．前k 次检测到正品,而第k+1次检测到次品 【答案】D 【解析】由题意k ξ=表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k ，因此前k 次检测到的都是正品，第1k +次检测的是一件次品.19．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为A ．0≤ξ≤5,ξ∈NB ．-5≤ξ≤0,ξ∈ZC ．1≤ξ≤6,ξ∈ND ．-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D 【详解】第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为5-.第一枚的最大值为6，二枚的最小值为1，差为5.故ξ的取值范围是55ξ-≤≤，故选D.20．（多选题）如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B ．ξ取所有可能值的概率之和是1 C ．ξ的取值与自然数一一对应 D ．ξ的取值是实数 【答案】ABD 【详解】根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确.二、拓展提升1．在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.【详解】因为x,y可能取的值为1,2,3,所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,所以ξ可能的取值为0,1,2,3.用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽得号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为:ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2).ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3).ξ=2表示(1,2),(3,2).ξ=3表示(1,3),(3,1).2．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.【详解】X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中,X=6表示抽到的是1元和5元;X=11表示抽到的是1元和10元;X=15表示抽到的是5元和10元;X=21表示抽到的是1元和20元;X=25表示抽到的是5元和20元;X=30表示抽到的是10元和20元.3．我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：按类型用分层抽样的方法抽取50份问卷，其中属“看直播”的问卷有27份．（1）求m的值；（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2份，求至少有1份是女性问卷的概率；（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为ξ，直接写出ξ的所有可能取值（无需推理）.试题解析：（1）2750301 46040446040421013590mm=⇒= ++++++（2）p=23257110CC-=;(3)2,3,4ξ=.。

人教B版必修第二册《5.3.2 事件之间的关系与运算》练习题(2)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()．A. B. C. D.2.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是()A.B.C.D.3.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “恰有1个黑球”与“恰有2个红球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”4.下列说法正确的是()①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③互斥事件一定是对立事件；④对立事件一定是互斥事件．A. ①②B. ②④C. ①④D. ①③二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）5.设两个独立事件A和B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相9同，则事件A发生的概率P(A)是______．6. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为16，那么两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是______．7. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）8. 一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球出颜色外都相同，将球摇匀。

(1)从中任意摸出一个球①摸到______球的概率大(填“灰”或“黄”)；②要使得摸到灰球和黄球的概率相等，应向里面添加_____个黄球(除颜色外都相同)；(2)“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”，这一事件是______事件(填“必然”“随机”或“不可能”)9. 设函数f(x)=x 2+bx +c ，其中b ，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．(1)若随机数b ，c ∈{1,2，3，4}．(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x ≤1}，b ，c 是算法语句b =和c =的执行结果.(注：符号“∗”表示“乘号”)10. 某绿化队甲组有6名工人，其中有2名女工人；乙组有3名工人，其中有1名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率．【答案与解析】1.答案：B解析：P(A)==，P(AB)==，P(B|A)==．2.答案：C解析：试题分析：现在青蛙在A叶上，跳四次之后停在A叶上的跳法有：A—C—A—C—A，A—C—B—C—A，A—B—C—B—A，A—B—A—B—A，且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以，跳四次之后停在A叶上的概率是×+×+×+×=，故选C。

人教版高中数学必修第二册10.1.2事件的关系和运算同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.事件A与事件B的关系如图L10-1-1所示,则()图L10-1-1A.A⊆BB.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件2.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是()A.{2,4}B.{4,6}C.{4,8}D.{2,8}3.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数是1或2”,事件B=“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可以记为()A.A∪BB.A∩BC.A⊆BD.A=B4.已知事件M=“3粒种子全部发芽”,事件N=“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N()A.是互斥且对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.是对立事件5.一个人连续射击三次,则事件“至少击中两次”的对立事件是()A.恰有一次击中B.三次都没击中C.三次都击中D.至多击中一次6.一批产品共有100件,其中有5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A=“恰有一件次品”;事件B=“至少有两件次品”;事件C=“至少有一件次品”;事件D=“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①③D.②③7.同时抛掷两枚硬币,记“向上的一面都是正面”为事件M,“至少有一枚硬币向上的一面是正面”为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<N8.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是()A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,则事件“至少有1件是次品”的互斥事件是.10.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,给出下列各组事件:①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”.上述各组事件中,是对立事件的是.11.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是.①A与C互斥;②B与C互斥;③任何两个事件均互斥;④任何两个事件均不互斥.12.某市有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.下列说法正确的是.①A与C是互斥事件;②B与E是互斥事件,且是对立事件;③B与C不是互斥事件;④C与E是互斥事件.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C 的运算表示下列随机事件:(1)甲未中靶;(2)甲中靶而乙未中靶;(3)三人中只有丙未中靶;(4)三人中至少有一人中靶;(5)三人中恰有两人中靶.14.(10分)如图L10-1-2,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ∩ ,并说明它们的含义及关系.图L10-1-215.(5分)2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件,也不是对立事件16.(15分)某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”,事件B 为“至少买一种产品”,事件C为“至多买一种产品”,事件D为“不买甲产品”,事件E为“一种产品也不买”,事件F为“只买乙产品”.判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E;(6)A与F.参考答案与解析1.C[解析]由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥而不对立,故选C.2.C[解析]{2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.3.B[解析]由题意可得A={1,2},B={2,3,4},∴A∪B={1,2,3,4},A∩B={2}.故选B.4.C[解析]事件M与事件N在任何一次试验中都不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M=“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,该事件包括“1粒种子不发芽”“2粒种子不发芽”“3粒种子都不发芽”,故事件M和事件N不对立,故事件M 和事件N是互斥但不对立事件,故选C.5.D[解析]根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“至多击中一次”,包括“三次都没有击中”和“击中一次”两个事件,故选D.6.A[解析]由题知事件A∪B=“至少有一件次品”,即事件C,所以①中结论正确;A∩B=⌀,③中结论不正确;事件D∪B=“至少有两件次品或至多有一件次品”,该事件包含了样本空间中所有的样本点,所以②中结论正确;事件A∩D=“恰有一件次品”,即事件A,所以④中结论不正确.故选A.7.A[解析]事件N包含事件“向上的一面都是正面”和“只有一枚硬币向上的一面是正面”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有M⊆N.故选A.8.C[解析]对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于C,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”不可能同时发生,是互斥事件.故选C.9.2件都是正品[解析]根据题意,事件“至少有1件是次品”包括“2件都是次品”和“1件是正品,1件是次品”,则其互斥事件是“2件都是正品”.10.③[解析]①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”是互斥事件,也是对立事件;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”不是互斥事件,也不是对立事件.11.①③④[解析]从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①中结论错误;在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②中结论正确;在③中,A与C不是互斥事件,故③中结论错误;在④中,B与C互斥,故④中结论错误.12.②③[解析]①A与C不是互斥事件,故①中说法错误;②B与E是互斥事件,且是对立事件,故②中说法正确;③B与C不是互斥事件,故③中说法正确;④C与E不是互斥事件,故④中说法错误.13.解:(1)甲未中靶: .(2)甲中靶而乙未中靶:A∩ ,即A .(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩ ,即AB .(4)三人中至少有一人中靶: .(5)三人中恰有两人中靶:(AB )∪(A C)∪( BC).14.解:(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.(3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}, ∩ ={(0,0)};A∪B表示电路工作正常, ∩ 表示电路工作不正常;A∪B和 ∩ 互为对立事件.15.A[解析]因为事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A 与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A和B是互斥事件,但不是对立事件.故选A.16.解:(1)事件“至多买一种产品”与事件“只买甲产品”有可能同时发生,所以A与C不是互斥事件.(2)事件“至少买一种产品”与事件“一种产品也不买”不可能同时发生,并且事件B与事件E的和事件为样本空间,所以它们是互斥事件也是对立事件.(3)事件B=“至少买一种产品”与事件D=“不买甲产品”可以同时发生,所以它们不是互斥事件.(4)事件B=“至少买一种产品”包含“只买一种产品”,而事件C=“至多买一种产品”也包含“只买一种产品”,所以它们不是互斥事件.(5)事件C=“至多买一种产品”包含了事件E=“一种产品也不买”,所以它们不是互斥事件.(6)事件A=“只买甲产品”与事件F=“只买乙产品”不可能同时发生,但事件A与事件F可能都不发生,所以它们是互斥事件,但不是对立事件.。

课时跟踪检测（十五） 事件之间的关系与运算A 级——学考水平达标练1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发D ．以上均不正确解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件，A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发．2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )A ．恰有一名男生和全是男生B ．至少有一名男生和至少有一名女生C ．至少有一名男生和全是男生D ．至少有一名男生和全是女生解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥D ．A 与A 不可能互斥解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B.5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝15.答案：156.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是______．解析：设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.90＝0.10.答案：0.107．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：(1)确定图中a 的值；(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)． 解：(1)由题图可得0.01＋a ＋0.19＋0.29＋0.45＝1.00，所以a ＝0.06.(2)设事件A 为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击，击中环数为8,9,10.所以P (A )＝0.45＋0.29＋0.01＝0.75.8．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A ＝{出现1点}，B ＝{出现3点或4点}，C ＝{出现的点数是奇数}，D ＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系； (2)求两两运算的结果．解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i ＝{出现的点数为i }(其中i ＝1,2，…，6)．则A ＝A 1，B ＝A 3∪A 4，C ＝A 1∪A 3∪A 5，D ＝A 2∪A 4∪A 6.(1)事件A 与事件B 互斥，但不对立，事件A 包含于事件C ，事件A 与D 互斥，但不对立；事件B 与C 不是互斥事件，事件B 与D 也不是互斥事件；事件C 与D 是互斥事件，也是对立事件．(2)A ∩B ＝∅，A ∩C ＝A ，A ∩D ＝∅.A ∪B ＝A 1∪A 3∪A 4＝{出现点数1或3或4}，A ∪C ＝C ＝{出现点数1或3或5}，A ∪D ＝A 1∪A 2∪A 4∪A 6＝{出现点数1或2或4或6}．B ∩C ＝A 3＝{出现点数3}，B ∩D ＝A 4＝{出现点数4}． B ∪C ＝A 1∪A 3∪A 4∪A 5＝{出现点数1或3或4或5}， B ∪D ＝A 2∪A 3∪A 4∪A 6＝{出现点数2或3或4或6}．C ∩D ＝∅，C ∪D ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4∪A 5∪A 6＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．9．玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红球、4黑球、2白球、1绿球，从中任取1球．记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.求：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率； (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率． 解：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.B 级——高考水平高分练1．(多选题)下列命题错误的是( ) A ．对立事件一定是互斥事件B ．若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )C ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1D ．若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 互为对立事件解析：选BCD 由互斥事件与对立事件的定义可知A 正确；只有当事件A ，B 为两个互斥事件时才有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，故B 不正确；只有事件A ，B ，C 两两互斥，且A ∪B ∪C ＝Ω时，才有P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，故C 不正确；由对立事件的定义可知，只有事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1且A ∩B ＝∅时，A ，B 才互为对立事件，故D 不正确．2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝26＋26＝46＝23.3．某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或(2)求至少有3人外出家访的概率．解：(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E，则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，C，D为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，由对立事件的概率可知，P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.4．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P (E )＝1－P (A )－P (B )＝1－11 000－1100＝9891 000.5．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A ，B ，C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A ，B ，C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760＞P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。

教师课时分层作业(十六) 事件之间的关系与运算(建议用时：45分钟)[合格基础练]一、选择题1．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则()A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥D．A与B对立C[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．]2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13A[由题意甲不输即甲胜或甲、乙和棋，二者为互斥事件，故甲不输的概率为1 2＋13＝56.]3．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示()A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确B[由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A＝A1∪A2∪A3表示的是打靶3次至少击中一次．]4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少 有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D [A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．]5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45D [由题图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.]二、填空题6．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．0.65 [中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]7．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．15[设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝15.]8．给出四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”．其中是互斥事件的有________对．2[某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，故①是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故②不是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生，故③是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标”，前者包含后者，故④不是互斥事件．综上可知，①③是互斥事件，故共有2对事件是互斥事件．]三、解答题9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]从3名男生和2名女生中任选2人，有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．[教师独具]1．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.[等级过关练]1．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B(B 表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13 B.12C.23 D.56C[由题意知，B表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝26＋26＝46＝23.]2．为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为________．0.79[设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A∪B，而A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.]3．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为________．0．8[根据题意有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.][教师独具]1．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品．并给出以下结论：①A ∪B ＝C ；②D ∪B 是必然事件；③A ∩B ＝C ；④A ∩D ＝C .其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②③A [事件A ∪B ：至少有一件次品，即事件C ，所以①正确；事件D ∪B ：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A ∩B ＝∅，③不正确；事件A ∩D ：恰有一件次品，即事件A ，所以④不正确．]2．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A ，B ，C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A ，B ，C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？[解] 如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760＞P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A ，B ，C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。

课时20 事件之间的关系与运算知识点一事件的运算1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )A．E⊆F B．G⊆FC．E＋F＝G D．EF＝G答案C解析根据事件之间的关系，知E⊆G，F⊆G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝∅，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C.2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么？解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.知识点二事件关系的判断3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．其中，为互斥事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③答案C解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与2名全是男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．知识点三互斥事件的概率5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝12，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．答案4 5解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45.6．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：(2)等候人数大于等于3的概率．解设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.知识点四对立事件的概率7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3答案C解析由对立事件的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.8．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：(1)求a和b的值；(2)求命中10环或9环的概率；(3)求命中环数不足9环的概率．解(1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.易错点不能区分事件是否互斥而错用加法公式9.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ＋B )． 易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A ，B 同时发生，所以不能应用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )求解，而致误．正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A ＋B ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4.故P (A ＋B )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.一、选择题1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两弹都击中飞机}，B ＝{两弹都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是 ( )A ．A ⊆DB ．BD ＝∅C ．A ＋C ＝D D ．A ＋C ＝B ＋D答案 D解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A ⊆D ，故A 正确．由于事件B ，D 是互斥事件，故BD ＝∅，故B 正确．再由A ＋C ＝D 成立可得C 正确．A ＋C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B ＋D 为必然事件，故D 不正确．故选D.2．下列说法正确的是( )A ．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件B ．A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小C ．若P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 是对立事件D ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大 答案 A解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B 错误．若P (A )＋P (B )＝1，且AB ＝∅时，事件A 与B 是对立事件，故C 错误．事件A ，B 中至少有一个发生包括事件A 发生B 不发生，A 不发生B 发生，A ，B 都发生；A ，B 中恰有一个发生包括A 发生B 不发生，A 不发生B 发生；当事件A ，B 互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是 ( )A．1个白球2个红球B．2个白球1个红球C．3个都是红球D．至少有一个红球答案C解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.4．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )A.56，12B.16，12C.12，56D.13，12答案A解析P(A)＝12，P(B)＝13，P(C)＝16.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝56.P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝12.5．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；②A1＋A2＋A3是必然事件；③P(A2＋A3)＝0.8；④P(A1＋A2)≤0.5.A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.二、填空题6．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．答案2次都中靶解析事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．7．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得黑桃”，则P (A ＋B )＝________.答案726解析 事件A ，B 为互斥事件，可知P (A )＝152，P (B )＝1352＝14，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋14＝726. 8．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“出现不大于4的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，则事件A ＋B －发生的概率为________．(B －表示B 的对立事件)答案23解析 随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事件A “出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P (A )＝26＝13.事件B “出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，P (B )＝46＝23，P (B －)＝13.且事件A 和事件B －是互斥事件， ∴P (A ＋B －)＝13＋13＝23.三、解答题9．掷一个骰子，下列事件：A ＝{出现奇数点}，B ＝{出现偶数点}，C ＝{出现点数小于3}，D ＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．求：(1)AB ，BC ； (2)A ＋B ，B ＋C ；(3)记H －是事件H 的对立事件，求D －，A －C ，B －＋C ，D －＋E －. 解 (1)AB ＝∅，BC ＝{出现2点}．(2)A ＋B ＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B ＋C ＝{出现1,2,4或6点}． (3)D －＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}， A －C ＝BC ＝{出现2点}，B －＋C ＝A ＋C ＝{出现1,2,3或5点}，D －＋E －＝{出现1,2,4或5点}．10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ＋B ＋C ， ∵事件A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，由对立事件概率公式得P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.二年级语文上册句子排序练习题1（ ）碧溪河从村前流过。

随机变量及其与事件的联系(15分钟 30分)1．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25【解析】选B.两个球的号码之和可为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．【加练·固】从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有( )A ．10个B ．15个C ．17个D ．19个【解析】选C.X 可能的取值为3，4，5，6，7，8，9，…，19，共有17个． 2．已知P(X ＝－2)＝0.2，P(X ＝2)＝0.3，随机变量Y ＝X 2，则P(Y ＝4)＝( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5 D ．0.06【解析】选C.由题意，事件Y ＝4是X ＝－2与X ＝2的并事件，所以P(Y ＝4)＝ P(X ＝－2)＋P(X ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述1次试验的成功次数，则P(X ＝1)的值是( ) A ．0B ．13C ．23D ．1【解析】选C.因为1次试验的成功次数为0或1，故X 可能取值有两种，即0，1.又“成功率是失败率的2倍”，所以P(X ＝1)＝23.4．掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X ，则P(X>4)＝________． 【解析】事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，所以P(X>4)＝P(X ＝5)＋P(X ＝6)＝16 ＋16＝13 . 答案：135．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.(1)写出X 的所有可能取值； (2)写出X ＝1所表示的事件； (3)求X ＝1的概率．【解析】(1)X 可能取的值为0，1，2，3.(2)X ＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品． (3)P(X ＝1)＝3×912×11 ＝944.(30分钟 60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．随机变量ξ的所有等可能取值为1，2，…，n ，若P(ξ＜4)＝0.3，则( ) A ．n ＝3 B ．n ＝7 C ．n ＝10 D ．不能确定【解析】选C.因为随机变量ξ的所有等可能取值为1，2，…，n ，所以P ()ξ＝k ＝1n()k ＝1，2，…，n 由题意，P ()ξ<4 ＝P ()ξ＝1 ＋P ()ξ＝2 ＋P ()ξ＝3 ＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．已知随机变量X 与Y 的不同取值及对应的概率如表，则a ＋2b ＝( )X 1 2 P(X)0.40.6Y ＝aX ＋b 4 7 P(Y)0.40.6A.3 B ．4C ．5D ．6【解析】选C.P(X ＝1)＝P(Y ＝4)，所以a ＋b ＝4，① P(X ＝2)＝P(Y ＝7)，所以2a ＋b ＝7，② 由①②得，a ＝3，b ＝1，所以a ＋2b ＝5.3．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( ) A ．X ＝4 B ．X ＝5 C ．X ＝6 D ．X≤4【解析】选C.第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.【补偿训练】袋中装有大小和颜色相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是( )A．6 B．7 C．10 D．25【解析】选C.X的所有可能取值有1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，3×4＝12，3×5＝15，4×5＝20，共10个．【误区警示】一一列举时要不重不漏．4．抛掷两枚骰子各一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈ZC．1≤ξ≤6，ξ∈N D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z【解析】选D.设x表示第一枚骰子的点数，y表示第二枚骰子的点数，ξ＝(x－y)∈Z.|x－y|≤|1－6|，即－5≤ξ≤5.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列问题中的X是离散型随机变量的是( )A．某座大桥一天经过的中华轿车的车辆数XB．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数XC．一天内的温度XD．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分【解析】选ABD.根据离散型随机变量的概念，ABD选项是离散型随机变量．6．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果以下叙述正确的是( )A．第4次击中目标B．前4次未击中目标C．第5次击中目标D．第5次可能击中目标，也可能未击中目标【解析】选BD.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，第5次可能击中目标，也可能未击中目标．三、填空题(每小题5分，共10分)7．一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X，则“X＝6”表示的事件为______________．【解析】X可能取值为1，2，3， (10)X＝n表示第n次能打开房门．答案：第6次能打开房门8．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨电话，设他拨到所要号码时拨的次数为X，则随机变量X的可能取值共有______个．【解题指南】注意条件“后三个数字两两不同，且都大于5”的使用．【解析】后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24种，故X的取值为1，2，3， (24)答案：24【补偿训练】甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则“ξ＝6”表示的试验结果有________种．【解析】“ξ＝6”表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C12·C35＝20种．答案：20四、解答题(每小题10分，共20分)9．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求X的取值范围；(2)写出每一个取值X表示的事件；(3)求P(X＝3).【解析】(1)因为x，y可能取的值为1，2，3，所以|x－2|＝0，1，|x－y|＝0，1，2，所以X＝0，1，2，3，所以X的取值范围为{0，1，2，3}．(2)用(x ，y)表示第一次抽到卡片的号码为x ，第二次抽到卡片的号码为y ，则随机变量X 取各值的意义为：X ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)； X ＝1表示(1，1)(2，1)(2，3)(3，3)；X ＝2表示(1，2)(3，2)；X ＝3表示(1，3)(3，1). (3)由(2)知，P(X ＝3)＝29.10．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目回答．某选手抽到科技类题目的道数为X. (1)试求出随机变量X 的可能取值．(2){X ＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？ 【解析】(1)由题意得X 的可能取值为0，1，2，3. (2){X ＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．从三类题目中各抽取一道，不同的结果有C 15 C 13 C 12 A 33 ＝180(种).抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有C 13 C 25 A 33 ＝180(种). 抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有C 13 C 22 A 33 ＝18(种). 由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种).1．甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围为________；若已知甲一次也未中的概率为0.05，则他至少击中一次的概率为________．【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次，故ξ的可能取值为0，1，2，3，所以ξ的取值范围为{0，1，2，3}．因为甲一次也未中的概率为0.05，即P(ξ＝0)＝0.05，所以P(ξ>0)＝1－0.05＝0.95. 答案：{0，1，2，3} 0.95【补偿训练】袋中有大小相同的5个小球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为ξ，则ξ所有可能值的个数是________；“ξ＝4”表示________．【解析】在有放回条件下取出两个小球的号码可能为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，两个小球号码之和ξ可能为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．“ξ＝4”表示“第一次取1号、第二次取3号，或者第一次取3号、第二次取1号，或者第一次、第二次都取2号”．答案：9 “第一次取1号、第二次取3号，或者第一次取3号、第二次取1号，或者第一次、第二次都取2号”2．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的所有可能取值为－1，0，1，2，3.答案：－1，0，1，2，3。

第五章 5.35。

3.2
1．掷一枚骰子，设事件A＝｛出现的点数不大于3},B＝｛出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是（ B )
A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为1或3} C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件
[解析］由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B 表示出现的点数是1或3或5.故A∩B＝{出现的点数为1或3}．2．若A，B事件互斥，且有P(A）＝0.1，P（B）＝0。

3，那么P(A＋B）＝( B ）
A．0。

6 B．0。

4
C．0。

2 D．0。

03
［解析］∵事件A，B是互斥事件,且P（A)＝0。

1，P（B)＝0。

3，
∴P（A＋B)＝P(A）＋P(B)＝0。

4．
3．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍,那么事件A的概率为__0.6__．［解析] 由题意知P（A＋B)＝P(A）＋P（B)＝0.8，又P(A)＝3P （B），∴P(A)＋错误!P（A）＝0.8，∴P(A)＝0.6．
4．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1）恰好有1件次品和恰好有2件次品;
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品．
［解析］(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件,又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断(2）（3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．。