事件之间的关系与运算课时练习-新人教B版高中数学必修2

10.1.2事件的关系和运算一、选择题 1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则（ ） A ．A ⊆BB ．A =BC ．A B 表示向上的点数是1或2或3D ．A B 表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】由题意，可知{}}1223{AB ＝，，＝，，则{}1}13{2A B A B ＝,＝,,，∴A B 表示向上的点数为1或2或3． 2．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中，为互斥事件的是（ ）A ．①B ．②④C ．③D ．①③【答案】C【解析】①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件；②至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故②不是互斥事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故③是互斥事件；④至少有一个是奇数和至少有一-个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件.故选：C .3．一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是（ ）A ．至多有一次击中目标B ．三次都击不中目标C ．三次都击中目标D ．只有一次击中目标 【答案】B【解析】对于一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”包含击中一次、击中两次和击中三次两个事件，因此它的对立事件是“三次都击不中目标”.4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ={两次都击中飞机}，B ={两次都没击中飞机}，C ={恰有一弹击中飞机}，D ={至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（ ）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ⋃= D ．A C B D = 【答案】D【解析】对于选项A ,事件A 包含于事件D ,故A 正确.对于选项B,由于事件B ,D 不能同时发生,故B D =∅正确.对于选项C,由题意知正确.对于选项D,由于A C D ⋃=={至少有一弹击中飞机},不是必然事件；而B D 为必然事件,所以A C B D ≠,故D 不正确.故选：D5．（多选题）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是（ ）A ．恰有一名男生和全是男生B ．至少有一名男生和至少有一名女生C ．至少有一名男生和全是男生D ．至少有一名男生和全是女生【答案】AD【解析】A 中两个事件是互斥事件,恰有一名男生即选出的两名中有一名男生一名女生,它与全是男生不可能同时发生；B 中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生；C 中两个事件不是互斥事件,至少一名男生包含全是男生的情况；D 中两个事件是互斥事件,至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生.故选：AD6．（多选题）从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（ ）A ．至少有1个红球与都是红球B ．至少有1个红球与至少有1个白球C ．恰有1个红球与恰有2个红球D ．至多有1个红球与恰有2个红球 【答案】CD【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断.A 中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B 中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C 中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D 符合题意.故选：CD二、填空题7.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是______.【答案】2次都中靶【解析】“至少有1次中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中革”，∴其对立事件是“2次都中靶”.8. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，那么“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”用事件A 与B 可表示为_____.【答案】A B +【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”即事件“甲夺得冠军”或“乙夺得冠军”,因此事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”为事件A B +.9.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件：①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是是方块”；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”.其中互为对立事件的有______________.（写出所有正确的编号）【答案】②④【解析】从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A ，K ，Q ，J 之一”是互斥事件，也是对立事件.故答案为：②④.10．设A ，B 是两个任意事件，下面关系正确的是①A B A +=;②A AB A +=; ③AB A ⊆;④()A A B A +=;【答案】②④【解析】若A B A +=,则B A ⊆,故①错误；由题知AB A ⊆,A AB A ∴+=,②正确；∵当事件A、B都不发生时,AB发生,但A不发生,AB∴不是A的子集, ③错误；A AB A∴+=,④正确.A A B⊆+,()()三、解答题11．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”，事件B=“三个圆的颜色不全相同”，事件C=“其中两个圆的颜色相同”，事件D“三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.A B C D.（2）用集合的形式表示事件,,,（3）事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.(2)A={（红,黄,蓝）}B={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B包含事件C,事件A和B的交事件与事件D互斥.12．记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A，B，C，D，指出下列事件的含义：（1）A B C；（2）B C∩；（3）B C D∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环.（2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.∪∪射中9环或8环或7环，（3）B C D=则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.。

新人教B版必修二事件之间的关系与运算课时作业练习时间：40分钟（原卷+答案）一、选择题1．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球2．(多选)关于互斥事件的理解，正确的是()A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生B.若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A，B都不发生D．若A，B又是对立事件，则A，B中有且只有一个发生3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D4．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中命题正确的个数是() A．0B．1C．2D．3二、填空题5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45 ，那么所选3人中都是男生的概率为________．6．如果事件A ，B 互斥，记A － ，B － 分别为事件A ，B 的对立事件，①A ∪B 是必然事件；②A － ∪B －是必然事件；③A － 与B － 一定互斥；④A － 与B －一定不互斥．其中正确的是________．7．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A 为点数不小于4，事件B 为点数不大于4，则A ∩B ＝________． 三、解答题8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B ＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C ＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D ＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：(1)事件D 与A ，B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与A 的交事件是什么事件？10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：(1)(2)派出医生至少2人的概率．参考答案1．解析：A中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件；B中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件；C中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件；D中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件．答案：D2．解析：A，B互斥，A，B可以不同时发生，A，B也可以同时不发生，但只要一个发生，另一个一定不发生．对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故ACD正确．答案：ACD3．解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B ∪D.答案：D4．解析：命题(1)不正确，命题(2)正确，命题(3)不正确．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A ，B 外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两种事件，所以事件A 和事件B 不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A 和事件B 同时发生，所以事件A 和事件B 不是互斥事件．故选B.答案：B5．解析：设事件A 为“3人中至少有1名女生”，事件B 为“3人都为男生”，则事件A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝1－45 ＝15.答案：156．解析：用Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A － ∪B － 是必然事件． 答案：②7．解析：事件A 点数不小于4，则样本点数为4，5，6， 事件B 点数不大于4，则样本点数为1，2，3，4. ∴A ∩B ＝{4}． 答案：{4}8．解析：(1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P (A 1＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．9．解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果是1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.10．解析：记事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出不少于5名医生”．因为事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74或1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74。

5．3.2 事件之间的关系与运算1．抛掷一枚骰子,“向上的点数是则( )A .A ⊆B B .A ＝BC .A ＋B 表示向上的点数是1或2或3D .AB 表示向上的点数是1或2或32．打靶3次,事件A i 表示“击中i 发”,其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1∪A 2∪A 3表示( )A .全部击中B ．至少击中1发C .至少击中2发D ．以上均不正确3．围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17 ,从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A .17B ．1235C ．1735D ．14．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为45,那么所选3人中都是男生的概率为________．5．从一批产品中取出3件产品,设A ＝{3件产品全不是次品},B ＝{3件产品全是次品},C ＝{3件产品不全是次品},则下列结论正确的是________(填写序号).①A 与B 互斥；②B 与C 互斥；③A 与C 互斥；④A 与B 对立；⑤B 与C 对立． 6．设某人向一个目标射击3次,用事件A i 表示随机事件“第i 次射击击中目标”(i ＝1,2,3),指出下列事件的含义：(1)A 1∩A 2； (2)A 1∩A 2∩A －3； (3)A － 1∪A －2； (4)A － 1∩A － 2∩A － 3.7．(多选)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．并给出以下结论,其中正确的是( )A.A∪B＝C B．D∪B是必然事件C.A∩B＝C D．A∩D＝C8．(多选)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中为互斥事件的是( )A .恰有一名男生和全是男生B .至少有一名男生和至少有一名女生C .至少有一名男生和全是男生D .至少有一名男生和全是女生9．对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A ＝{两弹都击中飞机},事件B ＝{两弹都没击中飞机},事件C ＝{恰有一弹击中飞机},事件D ＝{至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( )A .A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C .A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D10．掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16 .事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A .13 B ．12 C ．23 D ．5611．为维护世界经济秩序,我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义,并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余进口商品将在3年或3年内达到要求,则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为________．12．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：(1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率．13．(多选)下列命题中为真命题的是( )A .若事件A 与事件B 互为对立事件,则事件A 与事件B 为互斥事件 B .若事件A 与事件B 为互斥事件,则事件A 与事件B 互为对立事件C .若事件A 与事件B 互为对立事件,则事件A ∪B 为必然事件D .若事件A ∪B 为必然事件,则事件A 与事件B 为互斥事件14．已知袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为13 ,得到黑球或黄球的概率为512 ,得到黄球或绿球的概率为512 ,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？5．3.2 事件之间的关系与运算1．答案：C解析：设A ＝{1,2},B ＝{2,3},则A ∩B ＝{2},A ∪B ＝{1,2,3},所以A ＋B 表示向上的点数为1或2或3.2．答案：B解析：由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件,且A 0∪A 1∪A 2∪A 3为必然事件,A ＝A 1∪A 2∪A 3表示的是打靶3次至少击中一次．3．答案：C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ,“从中取出2粒都是白子”为事件B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ,则C ＝A ＋B ,且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 4．答案：15解析：设A ＝{3人中至少有1名女生},B ＝{3人都为男生},则A ,B 为对立事件,所以P (B )＝1－P (A )＝15.5．答案：①②⑤解析：A ＝{3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B ＝{3件产品全是次品},C ＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知：A 与B 是互斥事件,但不对立；A 与C 是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件；B 与C 是互斥事件,也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.6．解析：(1)A 1∩A 2表示第1次和第2次射击都击中目标．(2)A 1∩A 2∩A －3表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标． (3)A －1∪A －2表示第1次和第2次都没击中目标．(4)A －1∩A －2∩A －3表示3次都没击中目标． 7．答案：AB解析：事件A ∪B ：至少有一件次品,即事件C ,所以A 正确；事件D ∪B ：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B 正确； 事件A ∩B ＝∅,C 不正确；事件A ∩D ：恰有一件次品,即事件A ,所以D 不正确． 8．答案：AD解析：A 中两个事件是互斥事件,恰有一名男生即选出的两名中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生；B 中两个事件不是互斥事件；C 中两个事件不是互斥事件；D 中两个事件是互斥事件,至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．9．答案：D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,∴A ∪B ≠B ∪D .10．答案：C解析：由题意知,B －表示“大于或等于5的点数出现”,事件A 与事件B －互斥,由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23.11．答案：0.79解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A ,“不到4年达到要求”为事件B ,则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A ∪B ,而A ,B 互斥,∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.12．解析：记事件“射击一次,命中k 环”为A k (k ∈N ,k ≤10),则事件A k 之间彼此互斥． (1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A ,那么当A 9,A 10之一发生时,事件A 发生,由互斥事件概率的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B ,那么当A 8,A 9,A 10之一发生时,事件B 发生,由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C ,由于事件C 与事件B 互为对立事件,故P (C )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.13．答案：AC解析：对立事件首先是互斥事件,故A 为真命题．互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四种结果,事件M ＝“两次出现正面”与事件N ＝“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B 为假命题．事件A ,B 为对立事件,则在一次试验中A ,B 一定有一个发生,故C 为真命题．事件A ∪B 表示事件A ,B至少有一个要发生,A ,B 不一定互斥,故D 为假命题．14．解析：记“得到红球”为事件A ,“得到黑球”为事件B ,“得到黄球”为事件C ,“得到绿球”为事件D ,事件A ,B ,C ,D 显然彼此互斥,则由题意可知,P (A )＝13,①P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512,② P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512.③由事件A 和事件B ＋C ＋D 是对立事件可得P (A )＝1－P (B ＋C ＋D )＝1－[P (B )＋P (C )＋P (D )],即P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23.④②③④联立可得P (B )＝14,P (C )＝16,P (D )＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14.。

第四章概率与统计4.2.1 随机变量及其与事件的关系一、基础巩固1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2.2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数MB．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YC．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X【答案】C【详解】在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是离散型随机变量在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故T不是离散型随机变量在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是()A．6B．7C．10D．25【答案】C【详解】列出所有可能取值如下表所示，由表格可知，所有可能取值为：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20共10种.故选C.4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为（）A．0，1 B．1，2 C．0，1，2 D．0，1，2，3【答案】C【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，可得随机变量ξ的取值可以是0，1，2．5．下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数【答案】B【详解】解：因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.6．同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为（ ）. A ．3 B ．4C ．1、2、3D ．0、1、2、3【答案】D 【详解】同时抛掷3个硬币，正面向上的个数可能取值为0、1、2、37．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ( ) A ．出现7点的次数 B ．出现偶数点的次数C ．出现2点的次数D ．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A 【详解】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量8．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是（ ） A ．25 B ．10C ．9D ．5【答案】C 【详解】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种情况 9．甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示( ) A ．甲赢三局 B ．甲赢一局 C ．甲、乙平局三次D ．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【详解】由于赢了得3分,平局得1分,输了得0分，故3ξ=分成两种情况，即300++或者111++三种情况，也即甲赢一局或甲、乙平局三次，故选D.10．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X ,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( ) A ．X=4 B ．X=5 C ．X=6 D ．X ≤4【答案】C 【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中5回小球”也即是前5次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故6X =，所以选C.11．袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X ，则()4P X ==（ ） A ．15B ．25C ．110D ．310【答案】D 【详解】最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球二白球，132253343(4)10C C A P X A ===，故选：D. 12．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则10ξ=表示的试验结果是（ ） A ．第10次击中目标 B ．第10次未击中目标 C ．前9次未击中目标D ．第9次击中目标【答案】C 【详解】由题知：10ξ=表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标.13．袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X ，则表示“放回5个红球”事件的是（ ）A ．4X =B ．5X =C ．6X =D ．5X【答案】C 【详解】因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，14．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数【答案】C【详解】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2,3，15．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.16．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为() A．20 B．24C．4 D．18【答案】B【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有4424A=(种). 17．下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ).A．掷5次硬币正面向上的次数MB．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X【答案】B【解析】由随机变量的概念可知. 某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型18．对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k 表示的试验结果为( ) A ．第k-1次检测到正品,而第k 次检测到次品 B ．第k 次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C ．前k-1次检测到正品,而第k 次检测到次品 D ．前k 次检测到正品,而第k+1次检测到次品 【答案】D 【解析】由题意k ξ=表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k ，因此前k 次检测到的都是正品，第1k +次检测的是一件次品.19．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为A ．0≤ξ≤5,ξ∈NB ．-5≤ξ≤0,ξ∈ZC ．1≤ξ≤6,ξ∈ND ．-5≤ξ≤5,ξ∈Z【答案】D 【详解】第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为5-.第一枚的最大值为6，二枚的最小值为1，差为5.故ξ的取值范围是55ξ-≤≤，故选D.20．（多选题）如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B ．ξ取所有可能值的概率之和是1 C ．ξ的取值与自然数一一对应 D ．ξ的取值是实数 【答案】ABD 【详解】根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B 正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 正确.二、拓展提升1．在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.【详解】因为x,y可能取的值为1,2,3,所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3,所以ξ可能的取值为0,1,2,3.用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽得号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为:ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2).ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3).ξ=2表示(1,2),(3,2).ξ=3表示(1,3),(3,1).2．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.【详解】X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中,X=6表示抽到的是1元和5元;X=11表示抽到的是1元和10元;X=15表示抽到的是5元和10元;X=21表示抽到的是1元和20元;X=25表示抽到的是5元和20元;X=30表示抽到的是10元和20元.3．我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：按类型用分层抽样的方法抽取50份问卷，其中属“看直播”的问卷有27份．（1）求m的值；（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2份，求至少有1份是女性问卷的概率；（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为ξ，直接写出ξ的所有可能取值（无需推理）.试题解析：（1）2750301 46040446040421013590mm=⇒= ++++++（2）p=23257110CC-=;(3)2,3,4ξ=.。

人教B版必修第二册《5.3.2 事件之间的关系与运算》练习题(2)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()．A. B. C. D.2.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是()A.B.C.D.3.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “恰有1个黑球”与“恰有2个红球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “至少有一个黑球”与“都是黑球”4.下列说法正确的是()①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③互斥事件一定是对立事件；④对立事件一定是互斥事件．A. ①②B. ②④C. ①④D. ①③二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）5.设两个独立事件A和B都不发生的概率为1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相9同，则事件A发生的概率P(A)是______．6. 如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为16，那么两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是______．7. 已知集合A ={x|(12)x >14}，B ={x|log 2(x −1)<2}.则A ∩B = ______ ． 三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）8. 一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球出颜色外都相同，将球摇匀。

(1)从中任意摸出一个球①摸到______球的概率大(填“灰”或“黄”)；②要使得摸到灰球和黄球的概率相等，应向里面添加_____个黄球(除颜色外都相同)；(2)“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”，这一事件是______事件(填“必然”“随机”或“不可能”)9. 设函数f(x)=x 2+bx +c ，其中b ，c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率．(1)若随机数b ，c ∈{1,2，3，4}．(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x ≤1}，b ，c 是算法语句b =和c =的执行结果.(注：符号“∗”表示“乘号”)10. 某绿化队甲组有6名工人，其中有2名女工人；乙组有3名工人，其中有1名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率．【答案与解析】1.答案：B解析：P(A)==，P(AB)==，P(B|A)==．2.答案：C解析：试题分析：现在青蛙在A叶上，跳四次之后停在A叶上的跳法有：A—C—A—C—A，A—C—B—C—A，A—B—C—B—A，A—B—A—B—A，且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以，跳四次之后停在A叶上的概率是×+×+×+×=，故选C。

人教版高中数学必修第二册10.1.2事件的关系和运算同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.事件A与事件B的关系如图L10-1-1所示,则()图L10-1-1A.A⊆BB.A⊇BC.A与B互斥D.A与B互为对立事件2.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是()A.{2,4}B.{4,6}C.{4,8}D.{2,8}3.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数是1或2”,事件B=“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可以记为()A.A∪BB.A∩BC.A⊆BD.A=B4.已知事件M=“3粒种子全部发芽”,事件N=“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N()A.是互斥且对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.是对立事件5.一个人连续射击三次,则事件“至少击中两次”的对立事件是()A.恰有一次击中B.三次都没击中C.三次都击中D.至多击中一次6.一批产品共有100件,其中有5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A=“恰有一件次品”;事件B=“至少有两件次品”;事件C=“至少有一件次品”;事件D=“至多有一件次品”.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①③D.②③7.同时抛掷两枚硬币,记“向上的一面都是正面”为事件M,“至少有一枚硬币向上的一面是正面”为事件N,则有()A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M<N8.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是()A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,则事件“至少有1件是次品”的互斥事件是.10.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,给出下列各组事件:①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”.上述各组事件中,是对立事件的是.11.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是.①A与C互斥;②B与C互斥;③任何两个事件均互斥;④任何两个事件均不互斥.12.某市有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.下列说法正确的是.①A与C是互斥事件;②B与E是互斥事件,且是对立事件;③B与C不是互斥事件;④C与E是互斥事件.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”,试用A,B,C 的运算表示下列随机事件:(1)甲未中靶;(2)甲中靶而乙未中靶;(3)三人中只有丙未中靶;(4)三人中至少有一人中靶;(5)三人中恰有两人中靶.14.(10分)如图L10-1-2,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ∩ ,并说明它们的含义及关系.图L10-1-215.(5分)2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件,也不是对立事件16.(15分)某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A为“只买甲产品”,事件B 为“至少买一种产品”,事件C为“至多买一种产品”,事件D为“不买甲产品”,事件E为“一种产品也不买”,事件F为“只买乙产品”.判断下列事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E;(6)A与F.参考答案与解析1.C[解析]由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥而不对立,故选C.2.C[解析]{2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.3.B[解析]由题意可得A={1,2},B={2,3,4},∴A∪B={1,2,3,4},A∩B={2}.故选B.4.C[解析]事件M与事件N在任何一次试验中都不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M=“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,该事件包括“1粒种子不发芽”“2粒种子不发芽”“3粒种子都不发芽”,故事件M和事件N不对立,故事件M 和事件N是互斥但不对立事件,故选C.5.D[解析]根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“至多击中一次”,包括“三次都没有击中”和“击中一次”两个事件,故选D.6.A[解析]由题知事件A∪B=“至少有一件次品”,即事件C,所以①中结论正确;A∩B=⌀,③中结论不正确;事件D∪B=“至少有两件次品或至多有一件次品”,该事件包含了样本空间中所有的样本点,所以②中结论正确;事件A∩D=“恰有一件次品”,即事件A,所以④中结论不正确.故选A.7.A[解析]事件N包含事件“向上的一面都是正面”和“只有一枚硬币向上的一面是正面”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有M⊆N.故选A.8.C[解析]对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于C,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”不可能同时发生,是互斥事件.故选C.9.2件都是正品[解析]根据题意,事件“至少有1件是次品”包括“2件都是次品”和“1件是正品,1件是次品”,则其互斥事件是“2件都是正品”.10.③[解析]①“恰有一个是偶数”和“恰有一个是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;②“至少有一个是奇数”和“两个都是奇数”不是互斥事件,也不是对立事件;③“至少有一个是奇数”和“两个都是偶数”是互斥事件,也是对立事件;④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”不是互斥事件,也不是对立事件.11.①③④[解析]从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①中结论错误;在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②中结论正确;在③中,A与C不是互斥事件,故③中结论错误;在④中,B与C互斥,故④中结论错误.12.②③[解析]①A与C不是互斥事件,故①中说法错误;②B与E是互斥事件,且是对立事件,故②中说法正确;③B与C不是互斥事件,故③中说法正确;④C与E不是互斥事件,故④中说法错误.13.解:(1)甲未中靶: .(2)甲中靶而乙未中靶:A∩ ,即A .(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩ ,即AB .(4)三人中至少有一人中靶: .(5)三人中恰有两人中靶:(AB )∪(A C)∪( BC).14.解:(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},={(0,0),(0,1)}, ={(0,0),(1,0)}.(3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)}, ∩ ={(0,0)};A∪B表示电路工作正常, ∩ 表示电路工作不正常;A∪B和 ∩ 互为对立事件.15.A[解析]因为事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A 与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A和B是互斥事件,但不是对立事件.故选A.16.解:(1)事件“至多买一种产品”与事件“只买甲产品”有可能同时发生,所以A与C不是互斥事件.(2)事件“至少买一种产品”与事件“一种产品也不买”不可能同时发生,并且事件B与事件E的和事件为样本空间,所以它们是互斥事件也是对立事件.(3)事件B=“至少买一种产品”与事件D=“不买甲产品”可以同时发生,所以它们不是互斥事件.(4)事件B=“至少买一种产品”包含“只买一种产品”,而事件C=“至多买一种产品”也包含“只买一种产品”,所以它们不是互斥事件.(5)事件C=“至多买一种产品”包含了事件E=“一种产品也不买”,所以它们不是互斥事件.(6)事件A=“只买甲产品”与事件F=“只买乙产品”不可能同时发生,但事件A与事件F可能都不发生,所以它们是互斥事件,但不是对立事件.。