《全等三角形》证明题题型归类训练

完整版)全等三角形基础练习证明题1.已知三角形ABC中，AD为中线，BE⊥AD，CF⊥AD，证明BE=CF。

2.已知四边形ACBD中，AC=BD，AE=CF，BE=DF，证明AE∥CF。

3.已知四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE=CF，证明AB∥CD。

4.已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，证明AB∥CD。

5.已知两个三角形中，∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，证明三角形ABD≌三角形ACE。

6.已知四边形ABED中，CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，证明AF=CE。

7.已知四边形BEFC中，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，证明AF=DE。

8.已知四边形ABED中，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，证明EB∥DF。

9.已知三角形ABC中，M为AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，证明∠C=∠D。

10.已知四边形ABFE和CDFE中，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，证明AB=CD。

11.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，证明AC=AD。

12.已知四边形ABCD中，∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，证明AE=DF。

13.已知四边形ABCDEF中，ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，证明BM=ME。

14.已知三角形ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，证明三角形BHD≌三角形ACD。

15.已知四边形ABCDE中，∠A=∠D，AC∥FD，AC=FD，证明AB∥DE。

16.已知三角形ABC和三角形ADE中，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2，证明∠3=∠4.17.已知三角形ABC和三角形DEF中，EF∥BC，AF=CD，AB⊥BC，DE⊥EF，证明三角形ABC≌三角形DEF。

18.已知四边形ABED中，AD=AE，∠B=∠C，证明AC=AB。

19.已知三角形ABC中，AD⊥BC，BD=CD，证明AB=AC。

20.已知三角形ABC和三角形BAD中，∠1=∠2，BC=AD，证明三角形ABC≌三角形BAD。

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CFFDCBA2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.5、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！1．（2021春•道里区期末）如图，点A ，C 在EF 上，AD ∥BC ，DE ∥BF ，AE ＝CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE ＝CF 除外）．【解题思路】（1）利用ASA 证明△ADE ≌△CBF 即可；（2）根据△ADE ≌△CBF 即可得图中所有相等的线段．【解答过程】（1）证明：∵AD ∥BC∴∠DAC ＝∠BCA ，又∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°，∴∠EAD ＝∠FCB ，∵DE ∥BF ，∴∠E ＝∠F ，在△ADE 和△CBF 中，{∠EAD =∠FCB AE =CF ∠E =∠F，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），（2）∵△ADE ≌△CBF ，∴ED ＝FB ，DA ＝BC ，EC ＝F A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，在△ADC 和△CBA 中，{AD =CB ∠DAC =∠CBA AC =CA，∴△ADC ≌△CBA （SAS ），∴AB ＝CD ；∴图中所有相等的线段有：ED ＝FB ，DA ＝BC ，AB ＝CD ，EC ＝F A ．2．（2021春•宁德期末）如图，AB ，CD 交于点O ，AC ＝DB ，∠ACD ＝∠DBA ．（1）说明△AOC ≌△DOB 的理由；（2）若∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，求∠OCB 的度数．【解题思路】（1）直接利用AAS 即可证明△AOC ≌△DOB ；（2）利用三角形外角的性质得到∠COB ，再根据△AOC ≌△DOB 得到OC ＝OB ，即可求得∠OCB ．【解答过程】解：（1）在△AOC 和△DOB 中，{∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO AC =DB，∴△AOC ≌△DOB （AAS ）；（2）∵∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，∴∠COB ＝∠ACD +∠CAO ＝122°，∵△AOC ≌△DOB ，∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝（180°﹣122°）÷2＝29°．3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，连接CD ，DE ．已知∠ACD ＝∠BDE ，CD ＝DE ．（1）猜想AC 与BD 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AD ＝3，BD ＝5，求CE 的长．【解题思路】（1）利用AAS 证明△ADC ≌△BED ，即可得结论；（2）结合△ADC ≌△BED ，可得AC ＝BD ＝5，BE ＝AD ＝3，进而可得CE 的长．【解答过程】解：（1）AC ＝BD ，理由如下：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，在△ADC 和△BED 中，{∠A =∠B ∠ACD =∠BED CD =DE，∴△ADC ≌△BED （AAS ），∴AC ＝BD ；（2）由（1）知：△ADC ≌△BED ，∴AC ＝BD ＝5，BE ＝AD ＝3，∴BC ＝AC ＝5，∴CE ＝BC ﹣BE ＝2．4．（2021春•渝中区校级期末）如图，点E 在△ABC 的边AC 上，且∠ABE ＝∠C ，AF 平分∠BAE 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于点D ．（1）求证：△ABF ≌△ADF ；（2）若BE ＝7，AB ＝8，AE ＝5，求△EFD 的周长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠ADF ＝∠C ，等量代换得到∠ABF ＝∠ADF ，由角平分线的定义得到∠BAF ＝∠CAF ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD ＝AB ＝8，BF ＝DF ，由线段的和差得到DE ＝AD ＝AE ＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵FD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠C ，∵∠ABF ＝∠C ，∴∠ABF ＝∠ADF ，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠CAF ，在△ABF 和△ADF 中，{∠BAF =∠DAF ∠ABF =∠ADF AF =AF，∴△ABF ≌△ADF （AAS ）；（2）∵△ABF ≌△ADF ，∴AD ＝AB ＝8，BF ＝DF ，∵AE ＝5，∴DE ＝AD ﹣AE ＝8﹣5＝3，∴△EFD 的周长＝EF +DF +DE ＝EF +BF +DE ＝BE +DE ＝7+3＝10．5．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知D 是AC 上一点，AB ＝DA ，AB +DC ＝ED ，AE ＝BC ．（1）求证：△ABC ≌△DAE ，（2）若∠BAE ＝125°，求∠DCB 的度数．【解题思路】（1）根据SSS 证明三角形全等即可．（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答过程】（1）证明：∵DE ＝AB +DC ，AB ＝AD ，∴DE ＝AD +DC ＝AC ，在△ABC 和△DAE 中，{AB =AD AC =DE BA =AE，∴△ABC ≌△DAE （SSS ）．（2）解：∵△ABC ≌△DAE ，∴∠EAD ＝∠B ，∴∠B +∠BAC ＝∠EAD +∠BAC ＝∠EAB ＝125°，∴∠DCB ＝180°﹣（∠B +∠BAC ）＝180°﹣125°＝55°．6．（2021春•莱芜区期末）如图，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ＝CD ，AM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，BN ＝CM ．（1）求证：△ABM ≌△DCN ；（2）试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据HL 可证明：△ABM ≌△DCN ；（2）根据AAS 证明△AMO ≌△DNO 可得结论．【解答过程】（1）证明：∵BN ＝CM ，∴BN +MN ＝MN +CM ，即CN ＝BM ，∵AM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，∴∠AMB ＝∠DNC ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △DCN 中，{AB =CD BM =CN， ∴Rt △ABM ≌Rt △DCN （HL ）；（2）解：OA ＝OD ，理由如下：∵Rt △ABM ≌Rt △DCN ，∴AM ＝DN ，在△AMO 和△DNO 中，{∠AOM =∠DNO ∠AMO =∠DNO AM =DN，∴△AMO ≌△DNO （AAS ），∴OA ＝OD ．7．（2021春•静安区期末）如图，已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．E 为BD 上一点，且BE ＝AD ，∠DEF ＝∠ADC ，EF 交BC 的延长线于点F ．（1）AD 和BC 相等吗？为什么？（2）BF 和BD 相等吗？为什么？【解题思路】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD 与△CDB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB 与△CDB 全等，进而解答即可．【解答过程】解：（1）AD ＝CB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，同理可得，∠ADB ＝∠CBD ，在△ABD 与△CDB 中，{∠ABD =∠CDB BD =DB ∠ADB =∠CBD，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），∴AD ＝CB ；（2）BF ＝BD ，理由如下：∵AD ＝CB ，BE ＝AD ，∴BC ＝BE ，∵∠DEF ＝∠ADC ，∴∠DEF ﹣∠DBF ＝∠ADC ﹣∠ADB ，即∠EFB ＝∠CDB ，在△EFB 与△CDB 中，{∠EFB =∠CDB BC =BE ∠FBE =∠DBC，∴△EFB ≌△CDB （ASA ），∴FB ＝DB ．8．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ．BE ⊥AC ，垂足为G ，AB ＝CF ，BE ＝AC ．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求∠EAF 的度数．【解题思路】（1）利用SAS 证明△AEB ≌△F AC 可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠E ＝∠CAF ，由余角的定义可求得∠EAF 的度数．【解答过程】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠CAD +∠ACD ＝∠CAD +∠EBA ＝90°，∴∠ACD ＝∠EBA ，在△AEB 和△F AC 中，{AB =FC ∠EBA =∠ACF BE =CA，∴△AEB ≌△F AC （SAS ），∴AE ＝F A ；（2）解：∵△AEB ≌△F AC ，∴∠E ＝∠CAF ，∵∠E +∠EAG ＝90°，∴∠CAF +∠EAG ＝90°，即∠EAF ＝90°．9．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB ＝AC ，∠1＝∠2．（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD ＝AE ．【解题思路】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案；（2）先根据SAS 证得△ABF ≌△ACF ，再根据ASA 证得△BDF ≌△CEF ，然后根据全等三角形的性质可得结论．【解答过程】解：（1）△ABF ≌△ACF ，△BDF ≌△CEF ，△ADF ≌△AEF ，△ADC ≌△AEB ；（2）证明：在△ABF 和△ACF 中，{AB =AC ∠1=∠2AF =AF，∴△ABF ≌△ACF （SAS ），∴∠B ＝∠C ，BF ＝CF ．在△BDF 和△CEF 中，{∠B =∠C BF =CF ∠BFD =∠CFE，∴△BDF ≌△CEF （ASA ），∴BD ＝CE ，∴AB ﹣BD ＝AC ﹣CE ，∴AD ＝AE ．10．（2021•南岗区模拟）已知：在△ABC 和△DBE 中，AB ＝DB ，BC ＝BE ，其中∠ABD ＝∠CBE ．（1）如图1，求证：AC ＝DE ；（2）如图2，AB ＝BC ，AC 分别交DE ，BD 于点F ，G ，BC 交DE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【解题思路】（1）根据SAS 证明△ABC 与△DBE 全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：（1）∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ，即∠ABC ＝∠DBE ，在△ABC 与△DBE 中，{AB =DB ∠ABC =∠DBE BC =BE，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴AC ＝DE ；（2）由（1）得△ABC ≌△DBE ，∴∠A ＝∠D ，∠C ＝∠E ，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∴AB ＝BE ，∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ，∴∠A ＝∠E ，在△ABG 与△EBH 中，{∠A =∠E AB =BE ∠ABD =∠EBC，∴△ABG ≌△EBH （ASA ），∴BG ＝BH ，在△DBH 与△CBG 中，{BG =BH ∠DBH =∠CBG DB =CB，∴△DBH ≌△CBG （SAS ），∴∠D ＝∠C ，∵DB ＝CB ，BG ＝BH ，∴DG ＝CH ，在△DFG 与△CFH 中，{∠DFG =∠CFH ∠D =∠C DG =CH，∴△DFG ≌△CFH （AAS ）．11．（2021•三水区一模）如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，垂足分别为M 、N ，且BM ＝AN ．（1）求证△AMB ≌△CNA ；（2）求证∠BAC ＝90°．【解题思路】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，{AB=CABM=AN，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．12．（2021•广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是30．【解题思路】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC +∠BCE ＝90°．∵∠BCE +∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△BCE 和△CAD 中，{∠E =∠ADC ∠EBC =∠DCA BC =AC，∴△BCE ≌△CAD （AAS ）；（2）解：∵：△BCE ≌△CAD ，BE ＝5，DE ＝7，∴BE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝CD +DE ＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC ＝13，∴△ACD 的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．13．（2020春•越秀区校级期中）已知：△ABN 和△ACM 的位置如图所示，∠1＝∠2，AB ＝AC ，AM ＝AN ． 求证：（1）∠BAN ＝∠CAM ；（2）∠ODA ＝∠OEA ．【解题思路】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN ＝∠2+∠MAN ，即∠BAN ＝∠CAM ；（2）先证△ACM ≌△ABN （SAS ），得∠M ＝∠N ，再证△ADN ≌△AEM （ASA ），即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAN ＝∠2+∠MAN ，即∠BAN ＝∠CAM ；（2）在△ACM 和△ABN 中，{AM =AN ∠CAM =∠BAN AC =AB，∴△ACM ≌△ABN （SAS ），∴∠M ＝∠N ，在△ADN 和△AEM 中，{∠DAN =∠EAM AN =AM ∠N =∠M，∴△ADN ≌△AEM （ASA ），∴∠NDA ＝∠MEA ，即∠ODA ＝∠OEA ．14．（2020•江北区模拟）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB ，交ED 的延长线于点F ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）当AD ⊥BC ，AE ＝2，CF ＝1时，求AC 的长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，由AD 是BC 边上的中线，得到BD ＝CD ，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE ＝CF ＝1，求得AB ＝AE +BE ＝3，于是得到结论．【解答过程】证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠FCD ∠BED =∠F BD =CD，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝1，∴AB ＝AE +BE ＝2+1＝3，∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3．15．（2020秋•萧山区月考）如图，已知在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线上一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）试说明∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系？并请说明理由．【解题思路】（1）根据的等角的余角相等，即可证明∠ACG ＝∠ABF ；（2）根据SAS 推出△ABF ≌△GCA 即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABF +∠BAD ＝90°，∠GCA +∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠GCA ，（2）结论：AF ＝AG ，AF ⊥AG ．理由如下：在△ABF 和△GCA 中，{AB =CG ∠ABF =∠GCA BF =AC，∴△ABF ≌△GCA （SAS ），∴AF ＝AG ，∠GAC ＝∠AFB ，∵∠AFB＝∠ADB+∠F AD，∠GAC＝∠GAF+∠F AD，∴∠GAF＝∠ADF，∵∠ADF＝90°，∴∠GAF＝90°，∴AG⊥AF，AG＝AF．16．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若CD＝1，试求△AED的面积．【解题思路】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．【解答过程】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，{AB=BC∠ABE=∠CBE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（3）解：∵△ABE≌△BCD，∴BE＝CD＝1，∵AB＝BC＝2CD＝2，∴CE＝BC﹣BE＝1，∴CE＝CD，∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积=12（1+2）×2−12×2×1−12×1×1=3 2．17．（2020秋•台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC 于点F，AE＝BD．（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB＝2CF．【解题思路】（1）过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ，根据全等三角形的判定证得△AEF ≌△BDH ，得到EF ＝DH ，再证得△EFC ≌△DHC 得到CE ＝CD ，即可证得即可证得结论；（2）由（1）得，△AEF ≌△BDH ，△EFC ≌△DHC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BH ，CF ＝CH ，再根据线段的和差即可证得结论．【解答过程】证明：（1）过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ，∴∠EFC ＝∠DHC ＝90°，在△AEF 和△BDH 中，{∠A =∠DBC ∠AFE =∠BHD =90°AE =BD，∴△AEF ≌△BDH （AAS ），∴EF ＝DH ，在△EFC 和△DHC 中，{∠FCE =∠HCD ∠EFC =∠DHC =90°EF =DH，∴△EFC ≌△DHC （AAS ），∴CE ＝CD ，∴C 是DE 的中点；（2）由（1）得，△AEF ≌△BDH ，△EFC ≌△DHC ，∴AF ＝BH ，CF ＝CH ，∴AB +BF ＝BF +FH ，FH ＝2FC ，∴AB ＝FH ，∴AB ＝2CF ．18．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC 和△BOD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝α（0＜α＜90°），AD 与BC 交于点P ．（1）求证：△AOD ≌△COB ；（2）求∠APC （用含α的式子表示）；（3）过点O 分别作OM ⊥AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，请直接写出OM 和ON 的数量关系．【解题思路】（1）由∠AOC ＝∠BOD ，可得∠AOD ＝∠COB ，然后根据SAS 可得结论；（2）根据全等三角形的性质得∠OAD ＝∠OCB ，再根据三角形外角性质可得答案；（3）根据全等三角形的性质得∠MAO ＝∠NCO ，由垂直定义得∠AMO ＝∠CNO ，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【解答过程】解：（1）∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠AOC +∠COD ＝∠BOD +∠COD ，∴∠AOD ＝∠COB ，在△AOD 和△COB 中，{OA =OC ∠AOD =∠COB OD =OB，∴△AOD ≌△COB （SAS ）；（2）由（1）可知△AOD ≌△COB ，∴∠OAD ＝∠OCB ，令AD 与OC 交于点E ，则∠AEC ＝∠OAD +∠AOC ＝∠OCB +∠APC ，∴∠AOC ＝∠APC ，∵∠AOC ＝α，∴∠APC ＝α；（3）∵△AOD ≌△COB ，∴∠P AP ＝∠BCO ，即∠MAO ＝∠NCO ，∵OM ⊥AD ，ON ⊥BC ，∴∠AMO ＝∠CNO ＝90°，在△AOM 和△CON 中，{∠MAO =∠NCO ∠AMO =∠CNO OA =OC，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴OM ＝ON ．19．（2020秋•花都区月考）如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，CA ＝BP ，点Q 在CE 上，QC ＝AB ．（1）探究P A 与AQ 之间的关系；（2）若把（1）中的△ABC 改为钝角三角形，AC ＞AB ，∠A 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．【解题思路】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB ≌△QAC ，可得结论；（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB ≌△QAC ，可得结论．【解答过程】（1）结论：AP ＝AQ ，AP ⊥AQ 证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠1+∠CAB ＝90°，∠2+∠CAB ＝90°， ∴∠1＝∠2，在△QAC 和△APB 中，{QC =AB ∠1=∠2CA =BP，∴△QAC ≌△APB （SAS ），∴AQ ＝AP ，∠QAC ＝∠P ，而∠DAP +∠P ＝90°，∴∠DAP +∠QAC ＝90°，即∠QAP ＝90°，∴AQ ⊥AP ；即AP ＝AQ ，AP ⊥AQ ；（2）上述结论成立，理由如下：如图所示：∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠1+∠CAE ＝90°，∠2+∠DAB ＝90°， ∵∠CAE ＝∠DAB ，∴∠1＝∠2，在△QAC 和△APB 中，{QC =AB ∠1=∠2CA =BP，∴△QAC ≌△APB （SAS ），∴AQ ＝AP ，∠QAC ＝∠P ，∵∠PDA ＝90°，∴∠P +∠P AD ＝90°，∴∠QAC +∠P AD ＝90°，∴∠QAP ＝90°，∴AQ ⊥AP ，即AP ＝AQ ，AP ⊥AQ ．20．（2020春•萍乡期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ，设∠BAC ＝∠1，∠DCE ＝∠2．（1）如图①，当点D 在线段BC 上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．【解题思路】（1）由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ACE ＝∠ABD ，由三角形的内角和定理可得结论；（2）由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ACE ＝∠ABD ，由三角形的内角和定理和平角的定义可得结论．【解答过程】证明：（1）∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠BAC +∠ABD +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACB +∠ACE ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）∠1＝∠2，理由如下：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠BAC +∠ABD +∠ACB ＝180°，∠ACE +∠ACB +∠DCE ＝180°，∴∠1＝∠2．21．（2020春•揭阳期末）已知△ABC ，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD 、CF 交于点E ．（1）若BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，如图1所示，试说明∠BAC +∠BEC ＝180°；（2）若BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，如图2所示，试说明此时∠BAC 与∠BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC ＝60°，试说明：EF ＝ED ．【解题思路】（1）根据余角的性质得到∠DEC ＝∠BAC ，由于∠DEC +∠BEC ＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC =12∠ABC ，∠ECB =12∠ACB ，于是得到结论；（3）作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ，由∠BAC ＝60°，得到∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，求得∠FEB ＝∠DEC ＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM ＝60°，推出△FBE ≌△EBM ，根据全等三角形的性质得到EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠DCE +∠DEC ＝∠DCE +∠F AC ＝90°，∴∠DEC ＝∠BAC ，∠DEC +∠BEC ＝180°，∴∠BAC +∠BEC ＝180°；（2）∵BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，∴∠EBC =12∠ABC ，∠ECB =12∠ACB ，∠BEC ＝180°﹣（∠EBC +∠ECB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−12（180°﹣∠BAC ）＝90°+12∠BAC ；（3）作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°，∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°，在△FBE 与△EBM 中，{∠FBE =∠EBM BE =BE ∠FEB =∠MEB，∴△FBE ≌△EBM （ASA ），∴EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，∴EF ＝DE ．22．（2020秋•淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB 和△ECD 都是等腰三角形，A 、C 、D 三点在同一直线上，连接BD 、AE ，并延长AE 交BD 于点F ，试判断AE 与BD 的数量关系及位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD 绕顶点C 顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【解题思路】（1）根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠DBC ，根据∠ACB ＝90°求出∠CAE +∠AEC ＝90°，求出∠DBC +∠BEF ＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFE ＝90°即可；（2）根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠DBC ，根据∠ACB ＝90°求出∠CAE +∠AOC ＝90°，求出∠DBC +∠BOE ＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFO ＝90°即可．【解答过程】（1）AE ⊥BD ．证明：在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴∠CAE ＝∠DBC ，∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE +∠AEC ＝90°，∵∠CAE ＝∠DBC ，∠AEC ＝∠BEF ，∴∠DBC +∠BEF ＝90°，∴∠BFE ＝180°﹣90°＝90°，∴AE ⊥BD ；（2）解：结论还成立，理由是：∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB +∠BCE ＝∠ECD +∠BCE ，即∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠AOC＝90°，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90°，∴∠BFO＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BD．23．（2020秋•蒙阴县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．【解题思路】（1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC＝∠ECB，已知∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝CB，根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE＝AD+BE．（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE＝AD﹣BE．【解答过程】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠DAC＝∠ECB；在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分）∴DC＝EB，AD＝CE，∴DE＝AD+BE．（9分）（2）解：同理可得△ADC≌△CEB①；（11分）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝AD﹣BE②．（14分）24．（2018秋•环翠区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为BE+DF＝EF．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【可借鉴第（1）问的解题经验】【解题思路】（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图1中，延长CB至M，使BM ＝DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：EF+DF＝BE．如图2中，在BE上截取BM＝DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF（SAS），推出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再证明△AEM≌△AEF（SAS），可得结论．【解答过程】解：（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图1，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠1＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠3＝∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠4+∠4＝∠EAF ，∴∠GAM ＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF ，在△MAE 和△F AE 中，{AM =AF ∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△MAE ≌△F AE （SAS ），∴EF ＝EM ，∵EM ＝BM +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ；故答案为：BE +DF ＝EF ．（2）结论：EF +DF ＝BE ．理由：在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADE ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中，{BM =DF ∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中，{AM =AF ∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF （SAS ），∴EM ＝EF ，即BE ﹣BM ＝EF ，即BE ﹣DF ＝EF ，∴EF +DF ＝BE ．25．（2021春•和平区期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在边AB 上，AB ＝4BD ，连接CD ，点E ，F 在线段CD 上，连接BF ，AE ，∠BFC ＝∠AEC ＝180°﹣∠ACB ．（1）①∠FBC 与∠ECA 相等吗？说明你的理由；②△FBC 与△ECA 全等吗？说明你的理由；（2）若AE ＝11，EF ＝8，则请直接写出BF 的长为 3 ；（3）若△ACE 与△BDF 的面积之和为12，则△ABC 的面积为 48 ．【解题思路】（1）①连接BC ，由已知及∠AEC ＝180°﹣∠AED ，可得到∠ACB ＝∠AED ．再证明∠CAE ＝∠BCF ，由三角形内角和定理可得∠FBC ＝∠ECA ；②利用“ASA ”证明△FBC ≌△ECA ；（2）由（1）中全等三角形的结论及已知可得到BF 的长；（3）由（1）中结论可得S △FBC ＝S △ECA ，所以S △ECA +S △BDF ＝12＝S △FBC +S △BDF ＝S △DBC ，根据AB ＝4BD ，可得到S △DBC =14S △ABC ＝12，从而可得△ABC 的面积．【解答过程】解：（1）①∠FBC ＝∠ECA ，理由如下：连接BC ，如右图．∵∠BFC ＝∠AEC ＝180°﹣∠ACB ，且∠AEC ＝180°﹣∠AED ，∴∠ACB ＝∠AED ．由外角定理可得∠AED ＝∠ACD +∠CAE ，又∠ACB ＝∠ACD +∠BCF ，∴∠CAE ＝∠BCF ，由三角形内角和定理可得∠FBC ＝∠ECA ．②△FBC 与△ECA 全等，理由如下：在△FBC 和△ECA 中，{∠FBC =∠ECA BC =CA ∠BCF =∠CAE，∴△FBC ≌△ECA （ASA ）．（2）由（1）中②可知，FC ＝AE ＝11，BF ＝CE ，又EF ＝8，∴CE ＝FC ﹣EF ＝11﹣8＝3，∴BF ＝3，故答案为：3．（3）由（1）中结论可知S△FBC＝S△ECA，∴S△ECA+S△BDF＝12＝S△FBC+S△BDF＝S△DBC，又AB＝4BD，∴S△DBC=14S△ABC＝12，∴S△ABC＝48．故答案为：48．26．（2020•岱岳区一模）已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF 的形状并说明理由；（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．【解题思路】（1）利用SAS证明△F AD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，即可判断三角形的形状；（2）利用SAS证明△F AD和△DBC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠FDC＝90°，即可得出结论．【解答过程】（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，在△F AD和△DBC中，∵{AF=BD∠A=∠B=90°AD=BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，∴∠FDC＝180°﹣90°＝90°，又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）仍然成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，在△F AD和△DBC中，∵{AF=BD∠A=∠DBC=90°AD=BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°，又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形．27．如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【解题思路】（1）延长AE ，BF 交于点F ，即可求证△ADE ≌△FCE ，即可求得CF ＝AD ，AB ＝BF ，即可求得AB ＝AD +BC ；（2）不成立，新的结论为：AB +BC ＝AD ．延长AE ，BF 交于点F ，可证△ADE ≌△FCE 和AB ＝BF ，即可解题．【解答过程】解：（1）延长AE ，BF 交于点F ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠DAF ，∴AB ＝BF ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ，∵BF ＝BC +CF ，∴AB ＝BC +AD ；（2）不成立，新结论为：AB ＝AD ﹣BC ．延长AE ，BF 交于点F ，证明：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠DAF ，∴AB ＝BF ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ，∵BF +BC ＝CF ，∴AB +BC ＝AD ．28．（2021春•章丘区期末）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CF A ＝α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA ＝90°，α＝90°，则BE ＝ CF ；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 α+∠BCA ＝180° ，使①中的结论们然成立，并说明明理由；（2）如图3，若线CD 经过∠BCA 的外部，a ＝∠BCA ，请提出关于EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．【解题思路】（1）由∠BCA ＝90°，∠BEC ＝∠CF A ＝α＝90°，可得∠CBE ＝∠ACF ，从而可证△BCE ≌△CAF ，故BE ＝CF ．（2）若BE ＝CF ，则可使得△BCE ≌△CAF ．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE ≌△CAF 便可得证．（3）题干已知条件可证△BCE ≌△CAF ，故BE ＝CF ，EC ＝F A ，从而可证明EF ＝BE +AF ．【解答过程】解：（1）∵∠BEC ＝∠CF A ＝α＝90°，∴∠BCE +∠CBE ＝180°﹣∠BEC ＝90°．又∵∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝90°，∴∠CBE ＝∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，{∠BEC =∠CFA ，∠CBE =∠ACF ，BC =AC ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（2）α+∠BCA ＝180°，理由如下：∵∠BEC ＝∠CF A ＝α，∴∠BEF ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．又∵∠BEF ＝∠EBC +∠BCE ，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣α．又∵α+∠BCA ＝180°，∴∠BCA ＝180°﹣α．∴∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BCE 和△CAF 中，{∠CBE =∠ACF ，∠BEC =∠CFA ，BC =CA ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（3）EF ＝BE +AF ，理由如下：∵∠BCA ＝α，∴∠BCE +∠ACF ＝180°﹣∠BCA ＝180°﹣α．又∵∠BEC ＝α，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BEC 和△CF A 中，{∠EBC =∠FCA ，∠BEC =∠FCA ，BC =CA ．∴△BEC ≌△CF A （AAS ）．∴BE ＝CF ，EC ＝F A ．∴EF ＝EC +CF ＝F A +BE ，即EF ＝BE +AF ．29．（2020春•南岸区期末）在∠MAN 内有一点D ，过点D 分别作DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，垂足分别为B ，C ．且BD ＝CD ，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若∠BED ＝∠CFD ，请说明DE ＝DF ；（2）如图2，若∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【解题思路】（1）根据题目中的条件和∠BED ＝∠CFD ，可以证明△BDE ≌△CDF ，从而可以得到DE ＝DF ；（2）作辅助线，过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，从而可以得到△BDE ≌△CDG ，然后即可得到DE ＝DG ，BE ＝CG ，再根据题目中的条件可以得到△EDF ≌△GDF ，即可得到EF ＝GF ，然后即可得到EF ，BE ，CF 具有的数量关系．【解答过程】解：（1）∵DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，∴∠DBE ＝∠DCF ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，∵{∠BED =∠CFD ，∠DBE =∠DCF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）．∴DE ＝DF ；（2）EF ＝FC +BE ，理由：过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，在△BDE 和△CDG 中，{∠EBD =∠GCD BD =CD ∠BDE =∠CDG，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴DE ＝DG ，BE ＝CG ．∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，∴∠BDE +∠CDF ＝60°．∴∠FDG ＝∠CDG +∠CDF ＝60°，∴∠EDF ＝∠GDF ．在△EDF 和△GDF 中，{DE =DG ∠EDF =∠GDF DF =DF，∴△EDF ≌△GDF （SAS ）．∴EF ＝GF ，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．30．（2021春•揭东区期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝120°；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝90°；（3）如图3，若∠ACD＝β，则∠AFB＝180°﹣β（用含β的式子表示）并说明理由．【解题思路】（1）求出∠ACE＝∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB ＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；（3）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB ＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．【解答过程】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中∵{AC=CD∠ACE=∠DCB CE=CB，∴△ACE≌△DCB；（2）解：∵∠ACD＝60°，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝60°，∴∠AFB＝180°﹣60°＝120°；当∠ACD＝90°时，∵∠ACD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝90°，∴∠AFB＝180°﹣90°＝90°；故答案为：120°，90°；（3）解：当∠ACD＝β时，∠AFB＝180°﹣β，理由是：∵∠ACD＝β，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝β，∴∠AFB＝180°﹣（∠CAE+∠DBC）＝180°﹣β；故答案为：180°﹣β．。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB从D 做辅助线3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形证明经典30题1. 根据SSS全等定理，如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2. 根据SAS全等定理，如果两个三角形的两边和它们夹角相等，则这两个三角形全等。

3. 根据ASA全等定理，如果两个三角形的两角和它们夹边相等，则这两个三角形全等。

4. 根据AAS全等定理，如果两个三角形的两角和一边或两边相等，则这两个三角形全等。

5. 根据HL全等定理，如果两个右三角形的一条直角边和斜边长度相等，则这两个三角形全等。

6. 根据正弦定理和余弦定理，如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形全等。

7. 如果三角形的两边相等，则它们所对的角也相等。

8. 如果三角形的两角相等，则它们所对的边也相等。

9. 如果一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，则这两个三角形相似。

10. 如果一个三角形的两角和一边与另一个三角形的两角和一边成比例，则这两个三角形相似。

11. 如果一个三角形的两边成比例，且这两个三角形所夹的角也成比例，则这两个三角形相似。

12. 如果一个三角形的一边与另一个三角形的一边成比例，且这两个三角形所对的角也成比例，则这两个三角形相似。

13. 如果两个三角形有一个角相等，则这两个三角形的相似比例等于这个角的正弦值。

14. 如果两个三角形的对角线成比例，则这两个三角形相似。

15. 如果两个三角形有两条相似的边，则这两个三角形相似。

16. 如果两个三角形的高成比例，则这两个三角形相似。

17. 如果两个三角形的中线成比例，则这两个三角形相似。

18. 如果两个三角形的内切圆半径成比例，则这两个三角形相似。

19. 如果两个三角形的外接圆半径成比例，则这两个三角形相似。

20. 如果两个三角形的垂心、重心、外心、内心在同一条直线上，则这两个三角形相似。

21. 如果两个三角形的面积成比例，则这两个三角形相似。

22. 如果一个三角形的内角平分线与另一个三角形的内角平分线成比例，则这两个三角形相似。

八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。

（一）题目1。

1. 题目。

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。

求证：AF = EF。

2. 解析。

证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。

因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。

在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。

根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△BDG≌△CDA。

所以BG = AC，∠G = ∠CAD。

又因为BE = AC，所以BG = BE。

所以∠G = ∠BEG。

因为∠BEG = ∠AEF（对顶角相等），所以∠AEF = ∠CAD。

所以AF = EF。

（二）题目2。

1. 题目。

如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BE = CF，∠B = ∠DEF。

求证：AC = DF。

2. 解析。

因为BE = CF，所以BE + EC = CF+EC，即BC = EF。

在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF。

根据SAS全等判定定理，可得△ABC≌△DEF。

所以AC = DF。

（三）题目3。

1. 题目。

已知：如图，AB = CD，AE = DF，CE = FB。

求证：AF = DE。

2. 解析。

因为CE = FB，所以CE + EF = FB + EF，即CF = BE。

在△AEB和△DFC中，AB = CD，AE = DF，BE = CF。

根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△AEB≌△DFC。

所以∠B = ∠C。

在△ABF和△DCE中，AB = CD，∠B = ∠C，BF = CE。

根据SAS全等判定定理，可得△ABF≌△DCE。

所以AF = DE。

（四）题目4。

1. 题目。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F。

全等三角形证明题专项练习题五篇第一篇：全等三角形证明题专项练习题证明三角形全等专项练习试题1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证： ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．2.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE 交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.E3.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB 交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．BN4.在⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，过E点作BC的平行线交AC于F，交外角∠ACD的平分线于G。

求证：F为EG的中点。

5.在⊿ABC中，∠B＝60。

，∠BAC和∠BCA的平分线AD和CF交于I点。

试猜想：AF、CD、AC三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。

18.在直角⊿ABC中，CA＝CB，BD为AC上的中线，作∠ADF＝∠CDB，如图，连结CF交BD于E，求证：CF⊥BD。

（提示：作AC 的中线CO）ABDC20.以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN 和CM交于一点P。

试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。

21.在∆ABC中，AB=AC，DE∥BC.（1）试问∆ADE是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∆ADE的周长20，BC=8.求∆ABC的周长.AMDECB26.如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=900, 连结AE、BF.求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.27.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC 于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF交AB于点E，连接EG。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E ，使DE=AD ，则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中，AB —BE<AE 〈AB+BE 即：10—2〈2AD<10+2 4<AD 〈6 又AD 是整数，则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°，求证:12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED ，CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF ，∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中，BF=EF.所以 ∠EBF=∠BEF.又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF （∠1=∠2）.ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点,作EG//AC,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE(AAS)∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DF E=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证:∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD,CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:（1） △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A,B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立,说明理由.5、如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC,CN=AB 。

三角形全等的判定专题训练题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ．2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ．3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ．4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ．（图1）D CB AF E D C B A F E （图3）DC BA E（图4）D CBA EDBA6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上． 求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG ．7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC ． 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM ．8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF ．求证：△ABE ≌△DCF ．9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ．求证：AM 是△ABC 的中线．10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ． 求证：AB=AC ．GF E（图6）D CBA NM（图7）CBA F E （图8）D CBA MF E（图9）C BAE （图10）DC B A11、如图（11）在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点．求证：PA=PD．12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF．求证：EB∥CF．13、如图（13）△ABC≌△EDC．求证：BE=AD．14、如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长．15、如图15△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=12AB，延长AC到E，使CE=AC．求证：△ABC≌△AED．P4321（图11）DBAOFE（图12）DCBAE（图13）DCBAFE（图14）DC BAE16、如图（16）AD ∥BC ，AD=BC ，AE=CF ．求证：（1）DE=DF ，（2）AB ∥CD ．17、如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，CD=DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F ． 求证：（1）BE=AC ，（2）BF ⊥AC ．18、如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥GD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：AE=EF+BF ．19、如图：AB=DC ，BE=DF ，AF=DE ．求证：△ABE ≌△DCF ．20、如图；AB=AC ，BF=CF ．求证：∠B=∠C ． F （图16）EDCB A F （图17）E DCB AF（图18）EDC BA F（图19）E DC BA FE D C BA21、如图：AB ∥CD ，∠B=∠D ，求证：AD ∥BC ．22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB ．求证：AF=DE ．23、如图：AB=DC ，∠A=∠D ．求证：∠B=∠C ．24、如图：AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，DE=BF ．求证：（1）AF=CE ，（2）AB ∥CD ．25、如图：CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD=OE ． 求证：AB=AC ．（图21）D CBAF（图22）E D CB A （图23）D CB AF（图24）E D C BA O （图25）ED C BA26、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 都是高，它们相交于点H ，且AH=2BD ． 求证：AE=BE ．27、如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG ． 求证：（1）AD=AG ，（2）AD ⊥AG ．28、如图：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ．求证：BD=DC ．29、如图：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AC 和DB 相交于O ． 求证：OA=OD ．H（图26）EDC B A GHF（图27）E D C B AED C BAO DC B A30、如图：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点．求证：BF=CF ．31、如图：AB=AC ，AD=AE ，AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，∠DAC=∠EAC ． 求证：AM=AN ．32、如图：AD=CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，AE=CF ．求证：AB=CD ．33、如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直AB ，AC ，垂足为E ，F ．求证：EB=FC ．34、如图：CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC ．（2）当OB=OC 时，∠1=∠2． FD C BAN M ED CBAFED C B AFE DC B AE D A35、如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABD=12∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E ．求证：AE=EF ．36、如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点．求证：点O 在∠A 的平分线上．37、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在∠A 的平分线上．38、如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF ．求证：∠B=∠CAF ．39、如图：AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，且BF=CE ，点P 是AD 上一点，PM ⊥AC于M ，PN ⊥AB 于N ． 求证：（1）DE=DF ，（2）PM=PN ．FED C B AO C BA D CB A FE DC B AA40、如图：在△ABC 中，∠A=60°，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于点O ． 求证：OE=OF ．41、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D ． 求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF ．42、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=12BD ，DF ⊥AB 于F ．求证：CD=DF ．43、如图：AB=FE ，BD=EC ，AB ∥EF ．求证：（1）AC=FD ，（2）AC ∥EF ，（3）∠ADC=∠FCD ．FOECB AOFEDCBAF ED CB AE D C B A44、如图：AD=AE ，∠DAB=∠EAC ，AM=AN ．求证：AB=AC ．45、如图：AB=AC ，BD=CE ．求证：OA 平分∠BAC ．46、如图：AD 是△ABC 的BC 边上的中线，BE 是AC 边上的高，OC 平分∠ACB ，OB=OC ．求证：△ABC 是等边三角形．47、如图△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ．（1）求证：MN=AM+BN ．（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN 与MN 之间有什么关系？请说明理由． NM ED C BAO ED CBAO ED C B AN MCBA NMCBA。

全等三角形证明题专项练习60题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由．9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ABC与△A1B1C1全等除外）14．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．15．如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N，∠DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△AEN．16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD．（1）求证：△ABD≌△EBC．（2）你可以从中得出哪些结论？请写出两个．19．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD=2，求AF的长；（2）求当AD取何值时，DE=EF．20．巳知：如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F，（1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2）EF平分∠DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？23．如图，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．试证明：（1）△DFC≌△BEA；（2）△AFE≌△CEF．24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC，图中是否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图，D是△ABC的边BC的中点，CE∥AB，E在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：△ABD≌△GCA；（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、F、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，请你说明△ADE≌△CFD的理由．30．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AB=BC，BD=BE，EA=DC，求证：△BEA≌△BDC．32．阅读并填空：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．解：∵BE⊥CE于点E（已知），∴∠E=90°_________，同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换）．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________，∴∠1+∠2=90°_________．∵∠ACB=90°（已知），∴∠3+∠2=90°，∴_________．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：（1）∠C=∠E；（2）△ABC≌△ADE．35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．探究：当动点P运动到AC边上什么位置时，△APE≌△EDB？请你画出图形并证明△APE≌△EDB．37．已知：如图，AD∥BC，AD=BC，E为BC上一点，且AE=AB．求证：（1）∠DAE=∠B；（2）△ABC≌△EAD．38．如图，D为AB边上一点，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明理由．39．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？试说明理由．42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．45．如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E，BF⊥AD，交AD的延长线于F．求证：CE=BF．46．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E．交BC于N，试说明：AE=CN．47．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB 交BC于E，求证：CT=BE．48．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．∠B与∠D相等吗？请你说明理由．49．D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：AB∥CF．50．如图，M是△ABC的边BC上一点，BE∥CF，且BE=CF，求证：AM是△ABC的中线．51．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交于CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E，求证：EF=CF﹣AF．52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．（1）求证：BD=AE；（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？53．已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE为△ABC的高，BD和CE相交于点O．求证：OB=OC．54．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．55．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长．56．如图：已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由．57．如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE．（1）求证△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数．58．已知：∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD=2CE．59．如图，已知：AB=CD，AD=BC，过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F．（1）求证：∠E=∠F；（2）OE与OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．60．如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD=DC．求证：BE=CF．全等三角形证明题专项练习60题参考答案：1．∵△ABC≌△ADE 且∠B≠∠E，∴∠C=∠E，∠B=∠D；∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°．2．∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD．又BD=DB，∴△ABD≌△CDB（ASA）．3．△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．4．（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°∴∠DBH=∠HAE∵∠HAE=∠DAC∴∠DBH=∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．5．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△DBE与△DCF是直角三角形，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．6．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE；∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，即∠DAB=∠DAC；又∵AB=AC，AD=AD，∴在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）7．∵AE∥BC，∴∠B=∠C．∵AF=BD，AE=BC，∴△AEF≌△BCD（SAS）．8．△ABE与△ACD全等．理由：∵AB=AC，∠A=∠A（公共角），AE=AD，∴△ABE≌△ACD．9．图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC，AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）；∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE（SAS）；∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDE（SSS）．10．：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）11. 增加AB=DF．在△ABC和△FDE 中，∴△ABC≌△FDE（SSS）．12．∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE．又∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）．13．△CBD≌△CA1F证明如下：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC．∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A1=∠ABC（1分），A1C=BC．∴△CBD≌△CA1F（ASA）14．∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC．∴BC=EF．∴△ABC≌△DEF （ASA）．15．∵AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠AEB，∴△ACD≌△ABE，∴∠D=∠E，又AD=AE，∠DAB=∠EAC，∴△ADM≌△AEN16．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90，即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD17．答：△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF；证明：（以△BDE≌△FEC为例）∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠EDC=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°，∵CD=CE，∴BC﹣CD=AC﹣CE，∴BD=AE，又∵EF=AE，∴BD=FE，在△BDE与△FEC中，∵，∴△BDE≌△FEC（SAS）．18．（1）证明如下：∵∠ABD=∠1+∠EBC，∠CBE=∠2+∠EBC，∠1=∠2．∴∠ABD=∠CBE．在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS）；（2）从中还可得到AB=BC，∠BAD=∠BEC19．（1）∵AB=8，AD=2∴BD=AB﹣AD=6在Rt△BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴BE=BD=3∴CE=BC﹣BE=5在Rt△CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴CF=CE=∴AF=AC﹣FC=；（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDE≌△CFE（AAS）∴BE=CF∴BE=CF=EC∴BE=BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣BD=∴AD=时，DE=EF20．（1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△DBG≌△EGC，②△ADG≌△AEG，③△ABG≌△ACG，④△ABE≌△ACD；（4分）（Ⅱ）∵AB=AC，AD=AE，∠A是公共角，∴△ABE≌△ACD（SAS）④；∵AB=AC，AD=AE，∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE；由④得∠B=∠C，又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BD=CE（已证），∴△DBG≌△EGC（AAS）①；由①得BG=CG，由④得∠B=∠C，又∵AB=AC，∴△ABG≌△ACG（SAS）③；由①得BG=CG，且AD=AE，AG为公共边，∴△ADG≌△AEG（SSS）②；21．（1）△ABC≌△DCB．证明：∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．（SSS）（2）EF平分∠DEC．理由：∵EF∥BC，∴∠DEF=∠EBC，∠FEC=∠ECB；由（1）知：∠EBC=∠ECB；∴∠DEF=∠FEC；∴FE平分∠DEC22．△ABC≌△DCB．理由如下：∵∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，∴∠DBC=∠ACB．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB23．（1）∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF．即BE=DF．在△DFC和△BEA中，∵，∴△DFC≌△BEA（SAS）．（2）∵△DFC≌△BEA，∴CF=AE，∠CFD=∠AEB．∵在△AFE与△CEF中，∵，∴△AFE≌△CEF（SAS）24．△ABF与△DFG中，∠BAF=∠BGD，∠BFA=∠DFG，∴∠B=∠D，∵∠BAF=∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∵AC=AE，∠BAE=∠DAC，∠B=∠D，∴△BAE≌△DAC．答案：有．△BAE≌△DAC25．∵CE∥AB，∴∠ABD=∠ECD．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ASA）26．（1）证明：在△AOB和△COD中∵∴△AOB≌△COD（AAS）（2）解：∵△AOB≌△COD，∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°27．1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．∵AB=DE，AF=DC，∴△ABF≌△DEC．（2）解：全等三角形有：△ABC和△DEF；△CBF和△FEC28．证明：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA；（2）连接DG，则△ADG是等腰三角形．证明如下：∵△ABD≌△GCA，∴AG=AD，∴△ADG是等腰三角形．29．解：∵∠4+∠6=180°﹣∠3，∠5+∠6=180°﹣∠2，∠3=∠2，∴∠4+∠6=∠5+∠6，∴∠4=∠5，∵在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（AAS）．30．①DF∥BC．证明：∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠C+∠CBE=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF，∵DF∥BC，∴∠C=∠ADF，∴∠ABF=∠ADF，在△AFD和△AFB中∴△AFD≌△AFB（AAS）．31．在△BEA和△BDC中：，故△BEA≌△BDC（SSS）．32．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．解：∵BE⊥CE于点E（已知），∴∠E=90°（垂直的意义），同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换）．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠1+∠2=90°（等式的性质）．∵∠ACB=90°（已知），∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等）．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；（2分）（2）△ABF≌△DEC，证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，（3分）在△ABF和△DEC中，（4分）∴△ABF≌△DEC．（5分）34．（1）△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠C=∠E；（2）∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，又∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE．35．∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC=90°，在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，∠AEC=∠BFC，AC=BC，36．当动点P运动到AC边上中点位置时，△APE≌△EDB，∵DE∥CA，∴△BED∽△BAC，∴=，∵D是BC的中点，∴=，∴=，∴E是AB中点，∴DE=AC，BE=AE，∵DE∥AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=AC，∴P必须是AC中点．37．（1）∵AE=AB，∴∠B=∠AEB，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，∴∠DAE=∠B；（2）∵∠DAE=∠B，AD=BC，AE=AB，∴△ABC≌△EAD．38．△ACE≌△BCD．∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），在△ACE和△BCD中，∵，∴△ACE≌△BCD．39．∵∠BAC=∠DAE，即∠BAD=∠EAC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE．40．证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．∵D为BC中点，∴BD=DC．∵∠FDC=∠BDM，∴△BDM≌△CDF．∴BM=FC．∵ED⊥DF，∴EM=EF．∵BE+BM＞EM，∴BE+FC＞EF．41．PM=HN．理由：∵在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，∴∠MEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠NQH=90°∵∠MHE=∠NHQ（对顶角相等），∴∠EMH=∠QNH（等角的余角相等）在△MPQ和△NHQ中，，∴△MPQ≌△NHQ（ASA），∴MP=NH．42．（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．43．∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E=∠ADC=90°∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°∴∠BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，BE=CD=2.5﹣1.7=0.8（cm）44．∵AB=CD，BC=AD，又∵BD=DB，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C．45．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=CD．∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED．在△BFD和△CED中，∴△BFD≌△CED（AAS）．∴CE=BF46．∵AD∥BC，∴∠E=∠ENB，∵∠ENB=∠CNF，∴∠E=∠CNF，∵AB∥CD，∴∠A=∠B，∵∠C=∠B，∴∠EAB=∠DCB，∵AM=CF，∴AE=CN．47．证明：过T作TF⊥AB于F，∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠A TC+∠CA T=90°，∵AT平分∠BAC，∴∠DAM=∠CA T，∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE和△TFB中，，∴△CDE≌△TFB（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣TE，即CT=BE．48．∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE即∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）49．∵DE=EF，AE=CE，∠AED=∠FEC，∴△AED≌△FEC．∴∠ADE=∠CFE．∴AD∥FC．∵D是AB上一点，∴AB∥CF50．∵BE∥CF，∴∠CMF=∠BME，∠FCM=∠EBM．∴△CFM≌△BEM．∴CM=BM．即AM是△ABC的中线51．∵AC⊥BC，BE⊥CD，∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠CBE=90°．∴∠FCA=∠EBC．∵∠BEC=∠CFA=90°，AC=BC，∴△BEC≌△CFA．∴CE=AF．∴EF=CF﹣CE=CF﹣AF52．解：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，在△ABD与△CEA中，∵，∴△ABD≌△CEA，∴BD=AE；（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，则BD，CE与MN垂直，∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与AE边仍相等；（3）∵△ABD≌△CEA，∴BD=AE，AD=EC，∴DE=BD+EC或DE=CE﹣BD或DE=BD﹣CE．53．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE分别为△ABC的高，∴∠BEC=∠BDC=90°，∴在△BEC和△CDB中，∴△BEC≌△CDB，∴∠1=∠2，∴OB=OC解：连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF∵DE与CF平行且相等∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DCF在△AED和△CFD中CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF∴△AED≌△CFD∴AE=DF．55．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD在△ADE和△ADC中∵∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）56．在△AEB与△ADC中，．∴△AEB≌△ADC（AAS）．∴AB=AC（全等三角形，对应边相等）57．（1）证明：在△BCE和△DCE中∴△BCE≌△DCE（SSS）．（2）解：∵AD=DE，∴∠A=∠AED；∴∠EDC=∠A+∠AED=2∠A，设∠A=x，根据题意得，5x=180°，解得x=36°∴∠EDC=2∠A=72°证明：延长CE、BA交于点F．∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACF．又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE．有BE=BE，∴△BCE≌△BFE，∴CE=EF，∴CE=BD，∴BD=2CE．59．（1）证明：在△ABD和△CDB中∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠DBC，∴DE∥BF．∴∠E=∠F．（2）答：当O是BD中点时，OE=OF．证明如下：∵O是BD中点，∴OB=OD．又∵∠ADB=∠DBC，∠E=∠F，∴△ODE≌△OBF（AAS）．∴OE=OF．（当AE=CF时也可证得60．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°．∵AD平分∠EAC，∴DE=DF．在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△CDF（HL）．∴BE=CF．。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

【初中数学题型归类】目录题型1：利用等腰性质 (2)题型2：证明两次全等 (3)题型3：直角三角形全等（余角性质） (4)题型4：连接法（构造全等三角形） (6)题型5：全等+角平分线性质 (8)题型6：倍长中线（线段）构造 (9)题型7：截长补短 (13)题型8：角平分线上的点向角两边引垂线段 (16)题型9:作平行线 (18)题型10：延长角平分线的垂线段 (19)题型11：面积法 (21)题型12：旋转型 (22)题型1:利用等腰性质1、如图，在4ABE 中，AB=AE,AD=AC,NBAD=BEAC, BC、DE 交于点 O. 求证：(1) △ABC04AED； (2) OB = OE .2、已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC, BE=CF,ZB=ZC. 求证：OA=OD.题型2：证明两次全等1、AB=AC, DB=DC, F是AD的延长线上的一点。

求证：BF二CF2、已知如图，E、F在BD上，且AB = CD, BF=DE, AE = CF,求证：AC与BD互相平分3、如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,NABC=90° DELAC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E, 证：且AE=AC.求BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt^ABC中，/C=90°, D是斜边上AB上任一点，AE/D于E,BF,CD交CD的延长线于F, CH JB于H点，交AE于G.求证：BD=CG.2、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A, B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D, E,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.3、如图，NABC = 90°, AB=BC, D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EF=CF-AE4、在^ABC 中，ZACB = 90°, AC = BC,直线MN经过点C，且AD ±MN于D , BE ±MN于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① A ADC 经 A CEB .，②DE = AD + BE ；⑵当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.BM=AC，CN=AB。

全等三角形证明经典50 题 (含答案 )1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AA DB CD C B2. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB23.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A A1 21 2BFECDEC FD B4.已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=AC5.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CA6.已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，BE、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD上。

求证： BC=AB+DC 。

E DCFA B13.已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE ， AF=CD ， EF=BC ，求证：∠ F=∠ C14.P 是∠ BAC 均分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB<AC-AB CAP DB15. 已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1=∠2， BE⊥ AE ，求证： AC-AB=2BE16.已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DCDF A CE B18．如图，在△ABC 中， BD =DC ，∠ 1=∠ 2，求证： AD⊥BC ．19．如图， OM 均分∠ POQ ，MA ⊥ OP,MB⊥ OQ ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N．求证：∠ OAB=∠OBA20．（ 5 分）如图，已知 AD ∥BC，∠ PAB 的均分线与∠ CBA 的均分线订交于 E， CE 的连线交AP 于 D ．求证： AD +BC =AB．PACEDCD BA B21．如图，△ ABC 中， AD 是∠ CAB 的均分线，且AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠ B22．（ 6 分）如图①， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于 E， BF⊥AC 于 F ，若 AB=CD ， AF=CE， BD 交 AC 于点 M．（1）求证： MB=MD ， ME =MF（2）当 E、F 两点挪动到如图②的地点时，其他条件不变，上述结论可否建立？若建立请赐予证明；若不建立请说明原因．23．已知：如图，DC∥ AB，且 DC =AE， E 为 AB 的中点，（ 1）求证：△ AED≌△ EBC．（ 2）观看图前，在不添协助线的状况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE ODB C24．（ 7 分）如图，△ ABC 中，∠ BAC=90 线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交求证： BD =2CE．度， AB=AC， BD 是∠ ABC 的均分线， BD 的延伸BA 的延伸线于 F．FAED证明：B C25、如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠ C。

全等三角形证明习题1•在△ ABC中，AB=AC , AD是三角形的中线.求证：△ ABD ◎△ ACD2.如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE // CF.3.已知，如图BD平分/ ABC , AB = BC 。

求证：AD = CD4.如图（1） : AD丄BC 垂足为D, BD=CD求证：AB=ACC C5.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, / B= / C. 求证：/ A= / D6.如图，AB=AD, BC=DE, / B=/ D.问/ BAE 与/ DAC7.已知：如图,/仁/ 2,BD=CD，求证:AD是/ BAC勺平分线.8.如图所示在△ ABC中，AB=AC , D是BD的中点，求证:9.女口图（2） : AC// EF, AC=EF AE=BD 求证：△ABC^A EDFCD10.已知：如图，AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D 在 BE 边上.求证：/ CAE= / DAB .11.已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点0,/ B= / Co 求证：△ ABE ◎△ ACD12.女口图：AC=DF AD=BE BC=EF 求证：/ C=/ F 。

13.如图：AB=AC DB=DC F 是AD 的延长线上的一点。

求证:CBF=CFAB=AC ,C F14.如图，CE 丄AB 于E , DF 丄AB 于F , AF=BE ,且AC=BD , 求证：AC// BD15.如图，已知AB=DE BC=EF AF=DC则/ EFD2 BCA请说明理由。

16.如图（6）: CG=CF BC=DC AB=ED 点A、B、C D E在同一直线上。

（1）AF=EG（2）BF/ DG 求证: BD全等三角形证明习题（2）1.如图,AB, CD, EF 交于0点,且AC=BD, AC DB.求证:求证:BE// CF.3.如图，AC交BD于点0,请你从下面三项中选出两个作为条件，？另一个为结论，写出一个真命题，并加以论证.① 0A=0；② OB=OP ③AB// DC2.如图,已知：AD是BC上的中线,且DF=DEO是EF的中点.C6.如图：AB=AC AD=AE AB 丄AC ADI AE 求证：(1)C4.已知：如图,B 'A 丄 AB,C A 丄 AC,AB 丄AB,AC 丄AC. C '•5.如图（5）: AB 丄 BD ED 丄 BD AB=CD BC=DE 求证: AC 丄CE/ B=/ C, (2) BD=CEB7.已知：如图 ，AC 丄 BC 于 C , DE 丄AC 于 E , AD 丄 AB 于 A , BC=AE . AB=5 , 求AD 的长。

三角形全等的判定专题训练题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD ．求证：△ABD ≌△ACD ．2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD ．求证：△ABC ≌△EDF ．3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C ．求证：△AED ≌△BFC ．4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ．求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE ．求证：AC ⊥CE ．6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上．（图1）D CB AF E （图2）D C B A F E （图3）DC BA E（图4）D CBA E（图5）DCBA求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG ．7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC ． 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM ．8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF ． 求证：△ABE ≌△DCF ．9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF ． 求证：AM 是△ABC 的中线．10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ． 求证：AB=AC ．11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点． 求证：PA=PD ．GFE（图6）DC BA NM（图7）CBAFE（图8）DC B A MF E（图9）CBAE（图10）DCB A21B12、如图（12）AB∥CD，OA=OD，点F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF．求证：EB∥CF．13、如图（13）△ABC≌△EDC．求证：BE=AD．14、如图（14）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．（1）求证：AE=CD，（2）若BD=5㎝，求AC的长．15、如图15△ABC中，AB=2AC，∠BAC=90°，延长BA到D，使AD=12AB，延长AC到E，使CE=AC．求证：△ABC≌△AED．16、如图（16）AD∥BC，AD=BC，AE=CF．求证：（1）DE=DF，（2）AB∥CD．FEE（图13）DCBAFE（图14）DCBA（图15）EDCBAFEDC17、如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，CD=DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F ． 求证：（1）BE=AC ，（2）BF ⊥AC ．18、如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥GD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ．求证：AE=EF+BF ．19、如图：AB=DC ，BE=DF ，AF=DE ．求证：△ABE ≌△DCF ．20、如图；AB=AC ，BF=CF ．求证：∠B=∠C ．21、如图：AB ∥CD ，∠B=∠D ，求证：AD ∥BC ．F （图17）E DCB AF（图18）EDC BA F（图19）E DC BA （图21）D CBAFE D C BA22、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB ．求证：AF=DE ．23、如图：AB=DC ，∠A=∠D ．求证：∠B=∠C ．24、如图：AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，DE=BF ．求证：（1）AF=CE ，（2）AB ∥CD ．25、如图：CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD=OE ． 求证：AB=AC ．26、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 都是高，它们相交于点H ，且AH=2BD ． 求证：AE=BE ．F（图22）E D CB A （图23）D CB AF（图24）E D C BA O （图25）ED C B A HEA27、如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG ． 求证：（1）AD=AG ，（2）AD ⊥AG ．28、如图：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ．求证：BD=DC ．29、如图：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AC 和DB 相交于O ． 求证：OA=OD ．30、如图：AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点．求证：BF=CF ．GHF（图27）E D C B AED C BAO DCB AFD C BA31、如图：AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠DAC=∠EAC．求证：AM=AN．32、如图：AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，AE=CF．求证：AB=CD．33、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F．求证：EB=FC．34、如图：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE，CD相交于点O．求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC．（2）当OB=OC时，∠1=∠2．35、如图：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABD=12∠ABC，BC⊥DF，垂足为F，AF交BD于E．求证：AE=EF．NMEDCBAFEDCBAFEDCBAOEDCBAFEDCBA36、如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点．求证：点O 在∠A 的平分线上．37、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D ．求证：点D 在∠A 的平分线上．38、如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF ．求证：∠B=∠CAF ．39、如图：AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，且BF=CE ，点P 是AD 上一点，PM ⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ． 求证：（1）DE=DF ，（2）PM=PN ．40、如图：在△ABC 中，∠A=60°，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于点O ． 求证：OE=OF ．O C BA D CB A FE DC B APN MF E DC B AFOEA41、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D ． 求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF ．42、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=12BD ，DF ⊥AB于F ．求证：CD=DF ．43、如图：AB=FE ，BD=EC ，AB ∥EF ．求证：（1）AC=FD ，（2）AC ∥EF ，（3）∠ADC=∠FCD ．44、如图：AD=AE ，∠DAB=∠EAC ，AM=AN ．求证：AB=AC ．45、如图：AB=AC ，BD=CE ．求证：OA 平分∠BAC ．OFEDCBAF ED CB AF E D C B A NM ED C BAA46、如图：AD 是△ABC 的BC 边上的中线，BE 是AC 边上的高，OC 平分∠ACB ，OB=OC ．求证：△ABC 是等边三角形．47、如图△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ．（1）求证：MN=AM+BN ．（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN 与MN 之间有什么关系？请说明理由． O ED C B AN MCBA NMCBA。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

专题1.10 全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！一．解答题（共30小题）1．（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG，AF=AF∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA，AG=AD∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．2．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．3．（2022秋•路北区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况．【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC；（2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中，AD=BCAB=CD，BD=DB∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，时，当0＜t≤43若△DEG≌△BGF，则DE =BF DG =BG ，∴t =4―3t 6―BG =BG ，∴t =1BG =3，∴v ＝3；若△DEG ≌△BGF ，则DE =BG DG =BF ，∴t =BG 6―BG =4―3t ，∴t =―1BG =―1（舍去）；当43＜t ≤83时，若△DEG ≌△BFG ，则DE =BF DG =BG ，∴t =3t ―46―BG =BG ，∴t =2BG =3，∴v =32；若△DEG ≌△BGF ，则DE =BG DG =BF ，∴t =BG 6―BG =3t ―4，∴t =52BG =52，∴v ＝1．综上，当点G 的速度为3或1.5或1时．会出现△DEG 与△BFG 全等的情况．4．（2022春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE 中，EC ，EB 为其对角线，EA ＝ED ．（1）如图1，若∠A ＝60°，∠CDE ＝120°，且CD +AB ＝BC ．求证：CE 平分∠BCD ；（2）如图2，∠A 与∠D 互补，∠DEA ＝2∠CEB ，若凸五边形ABCDE 面积为30，且CD =23AB ＝4．求点E到BC的距离．【分析】（1）延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．证明△EAB≌△EDT（SAS），△ECB≌△ECT （SSS），可得结论．（2）延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．证明△AEB≌△DEQ（ASA），△ECB≌△ECQ（SAS），由题意S五边形ABCDE ＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，推出S△EBC＝15，再利用三角形面积公式求出EH即可．【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，AE=DE∠A=∠EDTAB=DT，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，EC=ECEB=ET，CB=CT∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，∠AEB=∠DEQEA=ED，∠A=∠EDQ∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，EB=EQ∠BEC=∠CEQEC=EC，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE ＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD=23AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴12×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．5．（2022秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM 于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，∠BDN=∠CDMBD=DC，∠DBN=∠DCM∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME＝CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CME，DE=EC∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．6．（2022秋•淅川县期末）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是　AB＝AP　、　AB⊥AP　．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是　BQ＝AP　、　BQ⊥AP　．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由于AC⊥BC，且AC＝BC，边EF与边AC重合，且EF＝FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，则∠BAP＝90°，于是AP⊥AB；（2）延长BQ交AP于H点，可得到△QPC为等腰直角三角形，则有QC＝PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，∠CAP＝∠CBQ，利用三角形内角和定理可得到∠AHQ＝∠BCQ＝90°，即AP⊥BQ；（3）BQ与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．【解答】解：（1）AB＝AP，AB⊥AP；（2）BQ＝AP，BQ⊥AP；（3）成立．证明：如图，∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ，CQ＝CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC∠BCQ=∠ACPCQ=CP∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ＝AP；延长QB交AP于点N，∴∠PBN＝∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC＝∠APC．在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，∴∠APC+∠PBN＝90°．∴∠PNB＝90°．∴QB⊥AP．7．（2022秋•渝中区校级期中）如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b+|4﹣b|＝0，（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO＝∠EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB＝PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围．【分析】①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标；②作出∠AOB的平分线，通过证△BOG≌△OAE得到其对应角相等解决问题；③过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN＝AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了．+|4﹣b|＝0∴a＝4，b＝4，∴A（4，0），B（0，4）；（2）证明：作∠AOB的角平分线，交BD于G，∴∠BOG＝∠OAE＝45°，OB＝OA，∠OBG＝∠AOE＝90°﹣∠BOF，∴△BOG≌△OAE，∴OG＝AE．∵∠GOD＝∠EAD＝45°，OD＝AD，∴△GOD≌△EDA．∴∠GDO＝∠ADE．（3）过M作MN⊥x轴，垂足为N．∵∠BPM＝90°，∴∠BPO+∠MPN＝90°．∵∠AOB＝∠MNP＝90°，∴∠BPO＝∠PMN，∠PBO＝∠MPN，∵BP＝MP，∴△PBO≌△MPN（AAS），MN＝OP，PN＝AO＝BO，OP＝OA+AP＝PN+AP＝AN，∴MN＝AN，∠MAN＝45°．∵∠BAO＝45°，∴∠BAO+∠OAQ＝90°∴△BAQ是等腰直角三角形．∴OB＝OQ＝4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．8．（2022春•崇川区校级期末）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB 与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长；（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC；（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长；（3）在x轴的负半轴上取OM＝FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG＝GH，所以，GH＝OM+OG＝FH+OG，即可证明所得结论．【解答】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBD，CD=CD∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC．（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中BD=DEDO=DN，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∠DOC=∠DNC=90°∠OCD=∠NCDDC=DC∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．（3）GH＝FH+OG．证明：由（1）知：DF＝DO，在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如右图所示：在△DFH和△DOM中DF=DO∠DFH=∠DOM=90°，OM=FH∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH＝DM，∠1＝∠ODM．∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM．在△HDG和△MDG中DH=DM∠GDH=∠GDM，DG=DG∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG＝GH，∴GH＝OM+OG＝FH+OG．9．（2022秋•莆田期中）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【分析】（1）要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC＝AB，则作CM⊥x轴，即求CM 和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值；（2）求OP﹣DE的值则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的长；（3）利用（2）的结论，可知m+n为定长是正确的，过F分别作x轴和y轴的垂线，类似（2），即可求得m+n的值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，∠CMA=∠AOB=90°∠MAC=∠OBAAC=BA则△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，∠AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAPAP=PD则△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，∠FSH=∠FTG=90°∠FHS=∠FGTFS=FT则△FSH≌△FTG（AAS）则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．10．（2022秋•南岗区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD，点F在BD上，∠BEF＝45°（1）如图1，求证：BF＝CE；（2）如图2，作EM⊥BE，交BC的延长线于点M，连接AM，交BE的延长线于点N，若∠BAC＝30°，请探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明．【分析】（1）在AB上截取BG＝BF，连接EG，利用BE平分∠ABD，可得∠GBE＝∠FBE，根据题意易求证△BGE≌△BFE（SAS），设∠EBG＝∠EBF＝α，∠DBC＝β，根据角度关系可求证GE∥BC，通过等量代换即可求解；（2）数量关系为：MN＝2EF，理由为连接NC，根据题意可求证BE＝EM，∠EBF＝∠CEM＝30°，BF ＝CE，从而求证△BEF≌△EMC（SAS），可得EF＝MC，即可求解．【解答】（1）证明：如图，在AB上截取BG＝BF，连接EG，∵BE平分∠ABD，∴∠GBE＝∠FBE，∵BG＝BF，BE＝BE，∴△BGE≌△BFE（SAS），∴∠GEB＝∠FEB＝45°，设∠EBG＝∠EBF＝α，∠DBC＝β，∴∠AGE＝∠GBE+∠GEB＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2α+β，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠C＝90°，即2α+β+β＝90°，∴α+β＝90°，∴∠ABC＝2α+β＝45°+α，∴∠ABC＝∠AGE，∴GE∥BC，∴∠AEG＝∠C＝∠ABC＝∠AGE，∴AG＝AE，∴AB﹣AG＝AC﹣AE，即BG＝CE，∵BF＝BG，∴BF＝CE；（2）解：数量关系为：MN＝2EF，理由如下：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD＝75°﹣15°＝60°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，∴∠BAC＝∠ABE＝30°，∴AE＝BE，∴∠BED＝∠BAC+∠ABE＝75°，∴∠EMC＝45°，∵∠EBM＝∠EBD+∠DBC＝45°，∴∠EMC＝∠EBM＝45°，∴BE＝EM，∴EM＝AE，∴∠EAM＝∠EMA=1∠CEM＝15°，2∴∠AMC＝∠EMC+∠AME＝60°＝∠BEC，如图，连接NC，∴E、N、M、C四点共圆，∴∠NCM＝∠NEM＝90°，在Rt△NMC中，∠NMC＝60°，∴∠CNM＝30°，MN，∴CM=12∵BE＝EM，∠EBF＝∠CEM＝30°，BF＝CE，∴△BEF≌△EMC（SAS），∴EF＝MC，∴MN＝2EF．11．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS 证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC ＝∠ADB ，结合平角的定义可得∠DAE +∠DFE ＝180°，根据∠BFC +∠DFE ＝180°，可求得∠BFC ＝∠DAE ，即可求解；（3）连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．结合全等三角形的性质利用HL 证明Rt △AFJ ≌Rt △AFH ，Rt △AJE ≌Rt △AHD 可得FJ ＝FH ，EJ ＝DH ，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE ．∴∠CAE ＝∠BAD ．在△ACE 和△ABD 中，AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．12．（2022秋•松桃县期末）如图①：△ABC 中，AC ＝BC ，延长AC 到E ，过点E 作EF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，延长CB 到G ，过点G 作GH ⊥AB 交AB 的延长线于H ，且EF ＝GH ．（1）求证：△AEF ≌△BGH ；（2）如图②，连接EG 与FH 相交于点D ，若AB ＝4，求DH 的长．【分析】（1）利用AAS 即可证明△AEF ≌△BGH ；（2）结合（1）证明△EFD ≌△GHD ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ．∵∠ABC ＝∠GBH ，∴∠A ＝∠GBH ．∴∠AFE ＝∠BHG ．在△ADG 和△CDF 中，∠A =∠GBH ∠AFE =∠BHG EF =GH，∴△AEF ≌△BGH （AAS ）．（2）解：∵△AEF ≌△BGH ，∴AF ＝BH ，∴AB ＝FH ＝4．∵EF ⊥AB ，GH ⊥AB ，∴∠EFD ＝∠GHD ．在△EFD 和△GHD 中，∠EFD =∠GHD ∠EDF =∠GDH EF =GH∴△EFD ≌△GHD （AAS ），∴DH =DF =12FH =12AB =2．13．（2022秋•两江新区期末）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是CB 延长线上一点，点E 是线段AB 上一点，连接DE ．AC ＝DE ，BC ＝BE ．（1）求证：AB ＝BD ；（2）BF 平分∠ABC 交AC 于点F ，点G 是线段FB 延长线上一点，连接DG ，点H 是线段DG 上一点，连接AH 交BD 于点K ，连接KG ．当KB 平分∠AKG 时，求证：AK ＝DG +KG ．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．14．（2022春•济南期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，∴∠CBA＝∠CAB，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD=90°，CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BDP＝∠ADC，∴∠BPD＝∠DCA＝90°，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC＝∠DAC，∵∠BFP＝∠AFC，∴∠BPF＝∠ACF＝90°，∴AD⊥BE．15．（2022春•渭滨区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC；（2）设运动时间为t ，点G 的运动速度为v ，根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】（1）证明：在△ABD 和△CDB 中AD =BC AB =CD BD =DB，∴△ABD ≌△CDB ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）解：设运动时间为t ，点G 的运动速度为v ，当0＜t ≤43时，若△DEG ≌△BFG ，则DE =BF DG =BG ，∴t =4―3t 6―BG =BG ，∴t =1BG =3，∴v ＝3；若△DEG ≌△BGF ，则DE =BG DG =BF ，∴t =BG 6―BG =4―3t ，∴t =―1BG =―1 （舍去）；当43＜t ≤83时，若△DEG ≌△BFG ，则DE =BF DG =BG ，∴t =3t ―46―BG =BG ，∴t =2BG =3，∴v ＝1.5；若△DEG ≌△BGF ，则DE =BG DG =BF ，∴t =BG 6―BG =3t ―4，∴t =52BG =52，∴v ＝1．综上，点G 的速度为3或1或1.5．16．（2022秋•宁津县期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG 的中点．【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE．如图2，证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中．∠BDA=∠AEC∠DBA=∠CAE．AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI＝GNI＝90°由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN∴EM＝GN在△EMI和△GNI中，∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNI，EM=GN∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点．17．（2022秋•富县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M 在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H．（1）求∠DHF的度数；（2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决；（2）由“SAS”可证△ABC≌△EDC；由三角形的内角和可得∠DEB+∠EBC＝60°，因为∠DEB＝∠BEC，只要证出∠DEB+∠ABE＝60°，用三角形的外角以及等量代换可以证出，进而得到BE平分∠ABC．【解答】解：（1）在△CDG和△CBF中，CF=CG∠ACB=∠ACE=60°，BC=CD∴△CDG≌△CBF（SAS），∴∠CBF＝∠CDG，∵∠DFH＝∠BFC，∴∠DHF＝∠BCF＝60°；（2）BE平分∠ABC．理由：∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CE平分∠ACM，∴∠ACE＝∠MCE＝60°，∴∠ACB＝∠ACE，在△ABC和△EDC中，AC=CE∠ACB=∠ACE，BC=CD∴△ABC≌△EDC（SAS）；∴∠ABC＝∠EDC，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BEC+∠CBE＝60°，∵∠DFH＝∠A+∠ABE＝∠BEC+∠FCG，∵∠A＝∠DEC＝2∠DEB＝2∠BEC，∴2∠DEB+∠ABE＝∠BEC+60°，∴∠DEB+∠ABE＝60°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC．18．（2022秋•台安县月考）如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q 在CE上，QC＝AB．（1）探究PA与AQ之间的关系；（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．【分析】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论；（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论．【解答】（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ证明：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2，CA=BP∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，而∠DAP+∠P＝90°，∴∠DAP+∠QAC＝90°，即∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP；即AP＝AQ，AP⊥AQ；（2）上述结论成立，理由如下：如图所示：∵BD、CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，∵∠CAE＝∠DAB，∴∠1＝∠2，在△QAC和△APB中，QC=AB∠1=∠2，CA=BP∴△QAC≌△APB（SAS），∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，∵∠PDA＝90°，∴∠P+∠PAD＝90°，∴∠QAC+∠PAD＝90°，∴∠QAP＝90°，∴AQ⊥AP，即AP＝AQ，AP⊥AQ．19．（2022春•浦东新区期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【分析】（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题；（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解题．【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB，AC=AB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC，AB=AC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．20．（2022春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是　C　．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠BDE，BD=CD∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C．（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，∵在△ADC和△MDB中BD=DC∠ADC=∠BDM，AD=DM∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．21．（2022秋•立山区期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，则经过　24　秒后，点P与点Q第一次在△ABC的　AC　边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），∵AB＝9cm，点D为AB的中点，∴BD＝4.5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDP和△CPQ中，BD=PC∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；②假设△BPD与△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），∴v Q＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9，解得x＝24，∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）．∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．故答案为：24；AC．22．（2022秋•太康县期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD、BE．（1）请你找出图中其他的全等三角形；（2）试证明CF＝EF．【分析】（1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，BC＝DE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，从而推出∠CAD＝∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；（2）先证得△CDF≌△EBF，进而得到CF＝EF．【解答】解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中AC=AE∠DAC=∠BAE，AD=AB∴△ADC≌△ABE（SAS）；②在△DCF和△BEF中∠CFD=∠EFB∠DCF=∠BEFCD=BE∴△CDF≌△EBF（AAS）．（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．即∠CAD＝∠EAB．∴△CAD≌△EAB，∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE．又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF．又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF（AAS）．∴CF＝EF．23．（2022秋•潮安区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm．（1）求证：FC＝AD；（2）求AB的长．【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，将已知代入即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECFDE=EC，∠AED=∠CEF∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）＝5+2＝7（cm）．24．（2022秋•黄石期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E 在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．【分析】（1）由∠BAC＝∠EDF＝60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD＝BE，即可得到结论；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA ＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，证得∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM＝BC，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，在△BCE和△ACD中BC=AC∠BCE=∠ACD CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中AE=MF∠AED=∠MFD，ED=DF∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，AB=DA∠BAC=∠ADM，AC=DM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．25．（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN ≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠DAM=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．26．（2022春•城关区校级期末）如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称．（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；（2）根据图1的作法，在AC上截取AG＝AE，则EF＝FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF＝FG，故判断EF＝FD；（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．【解答】解：（1）如图2，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°．∴∠BAC＝30°，。