应力状态习题

应力状态分析与强度理论基 本 概 念 题一、选择题1. 三种应力状态分别如图(a )、(b )、(c )所示，则三者间的关系为（ ）。

A ．完全等价B ．完全不等价C ．图(b )、图(c )等价D ．图(a )、图(c )等价题1图2. 已知应力情况如图所示，则图示斜截面上的应力为（ ）。

（应力单位为 MPa)。

A ．70-=ασ，30-=ατB ．0=ασ，30=ατC ．70-=ασ，30=ατD ．0=ασ，30-=ατ3. 在纯剪切应力状态中，其余任意两相互垂直截面上的 正应力，必定是（ ）。

A ．均为正值B ．一为正值一为负值C ．均为负值 题2图D ．均为零值4. 单元体的应力状态如图所示，由x 轴至1σ方向的夹角为（ ）。

A ．︒5.13 B ．︒-5.76 C ．︒5.76 D ．︒-5.13题4图 题5图5. 单元体的应力状态如图所示，则主应力1σ、2σ分别为（ ）。

(应力单位MPa). -33-A ．901=σ，102-=σB ．1001=σ，102-=σC ．901=σ，02=σD ．1001=σ，02=σ 6. 如图6所示单元体最大剪应力m ax τ为（ ）。

A ．100 MPaB ．50 MPaC ．25 MPaD ．0题6图 题7图7. 单元体如图所示，关于其主应力有下列四种答案，正确的是（ ）。

A ．1σ＞2σ，03=σ B ．3σ＜2σ＜0，03=σ01=σ C ．1σ＞0，2σ= 0，3σ＜0，1σ＜3σ D ．1σ＞0，2σ= 0，3σ＜0，1σ＞3σ8. 已知应力圆如图7-22所示，图(a )、(b )、(c )、(d )分别表示单元体的应力状态和A 截面的应力，则与应力圆所对应的单元体为( )。

A ．图(a )B ．图(b )C ．图(c )D ．图(d )题8图9. 在图示四种应力状态中，其应力圆具有相同的圆心和相同的半径是（ ）。

-34-题9图A ．图(a )、图(d )B ．图(b )、图(c )C ．图(a )、图(b )、图(c ) 、图(d )D ．图(a )、图(d )、图(b )、图(c )10. 如图所示，较大体积的钢块上开有一贯穿的槽，槽内嵌入一铝质立方体，铝块受到均布压力P 作用，假设钢块不变形，铝块处于（ ）。

第 七 章 应力状态 强度理论一、 判断题1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。

(√)2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。

(√)3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。

(×) 原因：正应力一般不为零。

4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。

(×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。

三向等拉或等压倒是为一个点。

5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。

(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。

(√)7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。

(×)8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。

(×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。

(×) 原因：只形状改变，体积不变10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。

(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态二、 选择题1、危险截面是（ C ）所在的截面。

A 最大面积B 最小面积C 最大应力D 最大力2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。

A 单元体的形状可以是任意的B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ）A 单向应力状态B 二向应力状态C 三向应力状态D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说确的是（ B ）。

计算题:1、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。

（10分）2、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力。

（10分）3、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。

（10分）4、已知应力状态如图所示，求主应力及最大切应力（图示单位为MPa）。

（10分）5、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa，试求：（1）主应力的大小，主平面的方位；（2）最大切应力；（10分）6、已知应力状态如图示，图中应力单位皆为MPa ，试求：（3） 主应力的大小，主平面的位置； （4） 最大切应力。

（10分）7、（10分）已知三向应力状态如图所示（图中应力单位：MPa ）， 试求： 1） 主应力；2）主切应力；3）形变应变能密度f e 。

8、（14分）已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。

试用解析法（用图解法无效）确定该点的三个主应力。

9、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。

10、（8分）图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ（3.0=μ）。

11、（4分）矩形截面细长悬臂梁如图所示。

试求A 、B 、C 三点的应力，并 用单元体分别表示这三点的应力状态。

12、（4分）已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后该点该平面内的（1）主应力与主应变； （2）主切应力；（3）该点的形变应变能密度fe 。

（已知材料的弹性模量GPa 200=E ，横向变形系数3.0=ν）13、图示板件，微体处于纯剪切应力状态，试计算沿对角线AC 与BD 方位的正应力，以及所对应力正应变045ε与045-ε，沿板厚方向的正应变z ε。

材料的弹性常数E 与μ均为已知。

22-６ 图示受力板件，试证明A 点处各截面的正应力、剪应力均为零证明：若在尖点A 处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体 、面上的应力分量为、和、，自由边界上的应力分量为，则有由于、，因此，必有、、。

这时，代表A 点应力状态的应力圆缩为 坐标的原点，所以A 点为零应力状态。

22-7 图示槽形刚体，在槽内放置一边长为10mm 、的立方钢块，钢块顶面受到合力为P=8kN 的均布压力作用，试求钢块的三个主应力和最大剪应力。

已知材料的弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=μ。

解： 选取坐标轴x 、y 、z 如图。

x σ＝0， σz ＝－10101083⨯⨯＝－80MPa ，εy ＝1E 〔σy －μ（σz ＋σx ）〕＝1E〔σy －μσz 〕＝0 由此得 σy ＝μσz ＝0.3×（－80）=－24 MPa 。

Ｐxzyo将x σ、y σ、z σ按代数值大小排列，得三个主应力为 σ1＝0 、σ2 ＝－24 MPa 、σ3=－80 MPa 。

最大剪应力 τm a x =σσ132-＝280＝40 MPa 。

22-12 试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力3xd σ：(a )棱柱体自由受压：(b )棱柱体在刚性方模内受压。

弹性常数E 、μ均为已知.解：对于图（a ）中的情况，应力状态如图（c ）对于图（b ）中的情况，应力状态如图（d ）所以，，22-20 N O.28a普通热轧工字钢简支梁如图所示。

今由贴在中性层上某点K处、与轴线夹45º角方向上的应变片测得ε45º=-260×10-6。

已知钢材的E=210GPa，μ=0.28。

求作用在梁上的载荷F P。

应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。

绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。

b = 60 mm ，h = 100 mm 。

解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。

则各点处的应力状态如图示。

2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。

解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。

8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。

解：(1)求支反力R A =,R B = (2)画内力图如图所示。

xPl(-)(+)PlMkN ·m)PPy(-)(-)(+)VkN)题8-9图(3) 求梁各点的正应力、剪应力：(4)画各点的应力单元体如图所示。

9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。

（a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。

111max 222222333333max 442330,22(')[()]448114()121200(0,0)16ZZZ ZzV pA b hh h hP P b M V S Pl hy I I bb h b h b M SM PlW b h σττστστστ==-=-⋅=-⋅⋅-⋅⨯⨯-⋅=⋅=⋅==⋅⨯⨯⨯⨯⋅=====-=-=⨯⨯80A-+16080T (kN ·m )（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 、B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：331601020.21680510.216A A t bB t T Pa kPa W T Pa kPaW τπτπ===⨯===-⨯（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。

-+120VkN)40MkN ·m)+120402060题9-1（b ）（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。

B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。

单元体如图所示：333.3333.60100.0537.50.1200.21212010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.2124010(0.1200.05A A A tA z A A tB B B t B z B B t M y Pa MPaI V S Pa MPaI b M y Pa MPaI V S I bστστ⨯=-⋅=-⨯=-⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅==⋅⨯⨯⨯=⋅=⨯=⨯⋅-⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅g g 30.075) 1.8750.1200.20.12012Pa MPa=-⨯⨯9-2（c解：(1)由题意知：30,20.5030ox x y MP MPa MP στσα==-==，，。

习题9-1图 x15-'x x'σy'x'τ 1.25MPa15 (b-1)15a 4MP15-y'x'τx'x'σa1.6MP x (a-1) 习题9-2图302MPa 0.5MPa-60x'σ'x ''y x τ 工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第9章 应力状态分析9－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。

试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；2．垂直于木纹方向的正应力。

知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：（a ）平行于木纹方向切应力6.0))15(2cos(0))15(2sin(2)6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力84.30))15(2cos(2)6.1(42)6.1(4-=+︒-⨯---+-+-='x σMPa （b ）切应力08.1))15(2cos(25.1-=︒-⨯-=''y x τMPa正应力625.0))15(2sin()25.1(-=︒-⨯--='x σMPa9－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。

若已知胶层切应力不得超过1MPa 。

试分析是否满足这一要求。

知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：55.1))60(2cos(5.0))60(2sin(2)1(2-=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 1MPa 55.1||>=''y x τMPa ，不满足。

9－3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。

试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

知识点：平面应力状态分析 难度：难 解答：习题9-2图yσxσxyτ=yσxσxyτx=yσxσxyτ=左微元⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='-='-=-='+=--+='000000022cos 122sin )2sin(222cos 10)2cos(22σθσσσσθθστσθθσσσx y xy x 叠加 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+'=-=+=+=+'=''000022cos 1022sin 022cos 3σθσσσθττσθσσσy y y x xy x x0)cos 1()cos 1( )22sin (4)22cos 122cos 3(21222cos 122cos 330020202021=⎩⎨⎧-+=-+--+±-++=⎭⎬⎫σσθσθσθσθθσθθσσ 面内最大切应力：θσσστcos 2021max=-='该点最大切应力：031max2cos 12σθσστ+=-=左微元0023))30(2sin()(ττσ=︒-⨯-='x ，0230τσσ-='-='x y ，2))30(2cos(00τττ=︒-⨯='xy 右微元0023)302sin()(ττσ=︒⨯-=''x，0230τσσ-=''-=''x y ，2))30(2cos()(00τττ-=︒⨯-=''xy 叠加 03τσσσ='+'=y x x ，03τσσσ-=''+'=y y y ，0=''+'=xyxy xy τττ 013τσ=，02=σ，033τσ-= 面内031max32||τσστ=-='xABOσOσαα(a)习题9-4图A60CB60100-x σxσyxτxyτ92MPa(a)习题9-5图该点031max 32||τσστ=-=叠加[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ主应力0MPa 0MPa100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=⎭⎬⎫σσσ面内及该点：5021002||||31max max=-=-=='σσττMPa9－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。

一、单项选择题：1．除零应力外，过受力杆件的任一点，其主平面（ ）。

A ．只有三个； B. 不多于三个；C ．至少有三个； D. 可能有三个。

2．广义胡克定律适用的范围是（ ）。

A ．在小变形范围内； B. 在屈服极限范围内；C ．在比例极限范围内； D. 在强度极限范围内。

3．图示某危险点的应力状态，其主应力1σ和最大切应力max τ为（ ）。

A ．120MPa ，30 MPa ； Ｂ．130 MPa, 80 MPa ；Ｃ．150MPa ，60 MPa ； Ｄ．140 MPa,, 80MPa 。

4．按照第三强度理论，如图所示应力状态的相当应力是为（ ）MPa 。

A ．100； Ｂ．80； Ｃ．60； Ｄ．120。

5．以下结论中（ ）是正确的。

A ．第一、二强度理论主要用于塑性材料；Ｂ．第三、四强度理论主要用于脆性材料；Ｃ．第一强度理论主要用于单向应力状态；Ｄ．第四强度理论可用于塑性材料的应力状态。

6．某处的应力单元如图所示，则该处最大的正应力为（ ）MPa 。

A ． 14；B ． 114；C ． 140D ． 50。

7．图示两危险点应力状态，其中τσ=，按第四强度理论比较危险程度，则（ ）。

A. a 点较危险B. 两者危险程度相同C. b 点较危险D ． 判断题3图题4图题6图 题7图二、填空题1．图示单元体为平面应力状态，则其主应力之和为 ，主应力之差为 。

2．图示单元体各应力值均为30MPa ，它处于 向应力状态。

当 E =200GPa ，ν=0.3，则2ε= 。

三、计算题已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为MPa 。

试求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。

题1图题2图答案及解题思路：一、单项选择题：1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．B 。

二、填空题：1．y x σσσσ+=+21， 222122x y x τσσσσ+-=+）（2．单，5109-⨯三、计算题：解： （1）主应力因为：203020==-=x y x τσσ，，所以： ）（MPa 273732520250230222222min max -=±=+⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=x y x y x τσσσσσ （2）主平面位置33.1954302020222tan 00=∴=--⨯-=--=ασσταy x x（3）最大剪应力 MPa 322min max max =-=σστmin。

材料力学习题第2章2-1 试求出图示各杆件中Ⅰ—Ⅰ截面上的力。

2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为MPa100max=σ，底边各点处的正应力均为零。

杆件横截面上存在何种力分量，并确定其大小〔C 点为截面形心〕。

2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。

2-4 应力状态如下图〔应力单位为MPa〕，试用解析法计算图中指定截面的应力。

2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。

2-6应力状态如下图〔应力单位为MPa 〕，试用解析法求：〔1〕主应力及主方向；〔2〕主切应力及主切平面；〔3〕最大切应力。

2-7 应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：〔1〕主应力及主方向； 〔2〕主切应力及主切平面；〔3〕最大切应力。

2-8构件某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。

2-9图示双向拉应力状态，σσσ==y x 。

试证明任一斜截面上的正应力均等于σ，而切应力为零。

2-10K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如下图〔应力单位为MPa 〕。

试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。

2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。

试确定未知的应力分量y y x xy '''σττ、、的大小与方向。

2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。

2-13应力状态如下图〔单位为MPa 〕，试求其主应力及第一、第二、第三不变量321I I I 、、。

2-14应力状态如下图〔单位为MPa 〕，试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。

第3章3-1某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2+Ixy +Jyz +Kzx 。

A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。