14.2.2完全平方公式(2)教案

完全平方公式
一、教学目标
用完全平方公式分解因式。

二、过程与方法
1、理解完全平方公式的特点。

2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。

3、会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。

4、能灵活应用提公因式、公式法分解因式。

三、情感、态度与价值观
通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力。

四、重点、难点
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活应用公式分解因式
五、教学过程
(1)2
222)3(33296+=+∙∙+=++x x x x x。

14.2.2 完全平方公式教学设计一、教学目标：1.理解并掌握完全平方公式的运算法则.2.从广泛意义上理解公式中的字母含义，会运用完全平方公式进行计算.二、教学重、难点：1.理解并掌握完全平方公式的运算法则.2.从广泛意义上理解公式中的字母含义，会运用完全平方公式进行计算.三、教学过程：一、创设情境，导入新知明明订购了一个6寸的大披萨，不久店员打电话告知6寸的披萨卖完了，问能否换购一个4寸和一个2寸的小披萨(披萨近似看作圆). 你认为明明应该同意吗?你发现了什么？教师引导学生发现 (2 + 1)2≠ 22 + 12，并引出后续探究.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：完全平方公式探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) ( p + 1 )2 =(2) ( m + 2 )2 =(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = .(4) (m－2)2 = (m－2)(m－2) = .定义总结：完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a–b)2 = a2– 2ab + b2文字说明：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.猜想验证：你能几何的形式证明公式成立吗?问题1：你有几种方法求边长为 (a + b) 的正方形的面积？问题2：你有几种方法求边长为 (a−b) 的正方形的面积？想一想：问题：观察这两个公式，回答下列问题.师生活动：学生观察公式并填写表格（如下）典例精析例1 运用完全平方公式计算：(1) (4m + n)2；(2) .例2.运用完全平方公式计算：(1)1022； (2)992.=10404 =9801方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式。

例3.已知x-y＝6，xy＝-8.求:(1)x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.=20 =4方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.三、课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。

人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式教案第十四章整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式第二课时14.2.2完全平方公式1 教学目标1.1 知识与技能：[1]熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。

[2]掌握完全平方公式的相关推论。

1.2过程与方法：[1]经历探索完全平方公式的过程，并会根据多项式的乘法法则推导完全平方公式。

[2]会结合几何图形直观解释这一公式，渗透数形结合的思想。

1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。

[2]培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]完全平方公式的结构及灵活运用。

2.2 教学难点[1]理解公式中字母的广泛含义（可以是数字、单项式、多项式）。

[2]a，b，a+b，ab，a−b，a2+b2，六者的关系。

3 专家建议大家看投影。

学校为了美化环境，决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。

扩建完的花坛仍为正方形，边长增加b米。

那新修建的花坛面积可以怎么表示呢？给大家两分钟时间想一想，学习小组之间可以交流和思考一下。

【生】（两分钟思考交流，给出答案）。

整个正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b)2。

将整个正方形分为四部分，面积可以表示为a2+2ab+b2。

【师】大家从刚才这个例子中能得到什么样的猜想呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。

[1]探索和介绍：完全平方公式【师】大家刚才提出了一个猜想，那下面请看投影上给出的多项式的乘法，大家按照多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。

(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。

(m+2)2= 。

【生】（计算并给出答案）。

【师】现在大家观察一下这两个等式，有什么共同的特点吗？【生】左边都是两个完全相同的和相乘，右面是两个平方项的和加上一个单项式。

【师】非常好。

那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。

《完全平方公式》教案【教学目标】1.知识与技能（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。

（2）学会将多项式进行添括号的变形。

2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。

3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

【教学重点】完全平方公式及其它的应用。

【教学难点】完全平方公式的应用。

【教学方法】引导发现，启发讨论相结合的教学方法【课前准备】教学课件。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？(a+b)(a-b)=a2-b2【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。

（1）(3+2a)(-3+2a)（2）(b2+2a3)(2a3-b2)（3）(-4a-1)(4a-1)【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。

今天，我们就接着学习另一个公式——完全平方公式。

二、新课教学1．完全平方公式【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。

你能正确计算这几个式子吗？课件展示探究内容，引导学生思考。

【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？探究：计算: (a+b)2, (a- b)2解：(a+b)2= (a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2= (a-b) (a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。

《完全平方公式》教案
拓广探索师:我们还可以根据几
何图形来证明这
个公式.
折纸展示，你能根
据图中面积来说明完
全平方公式吗？
利用折纸来处理
这部分内容可以
有效吸引学生注
意力，但依然忽略
了两项差的平方
这一情况。

教学过程随
堂
演
练
例1：用完全平方公式计算：
①()2
4n
m+；②2)
2
1
(y
x-；
③()2
3
2-y
x+；④()2
2
-b
a-.
学生自行计算，可以互相订正，检查同桌做的有没
有问题。

例2：计算：①1022；②992．
师：我们通过上节课的学习知道了平方差公式可以
用来简化一些形式特殊的乘法运算，那完全平方公
式可以简化运算吗？
优点：学生互相订
正能有效激励
学生的学习兴
趣及合作交流
意识。

不足：将例题当练
习做了，教师
没有给出严格
的过程示范，
为课后作业的
完成造成了一
定的影响，另
外，使课堂时
间留空了。

课
堂
小
结
师：通过这节课的学习你有哪些收获？
生：1.掌握了使用完全平方公式条件和结论的结构
特征；
2.明确了完全平方公式与平方差公式的结构差
异；
3.能灵活地应用完全平方公式.
作
课本112页复习巩固第2题. 业
布
置。

14．2.2完全平方公式1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点)2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生复习平方差公式．学生积极举手回答．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．二、合作探究探究点一：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值已知x－y＝6，xy＝－8.(1)求x2＋y2的值；(2)求代数式12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；(2)∵12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝12(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋12[(x－y)2－z2]－xz－yz＝12x2＋12y 2＋12z 2＋xy ＋xz ＋yz ＋12x 2＋12y 2－xy －12z 2－xz －yz ＝x 2＋y 2，又∵x 2＋y 2＝20，∴原式＝20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ，x 2＋y 2＝(x －y )2＋2xy .【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab .那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )(a ＋2b )＝a 2＋ab －2b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2解析：空白部分的面积为(a －b )2，还可以表示为a 2－2ab ＋b 2，所以，此等式是(a－b )2＝a 2－2ab ＋b 2.故选C.方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．探究点二：添括号后运用完全平方公式计算：(1)(a －b ＋c )2； (2)(1－2x ＋y )(1＋2x －y )． 解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．解：(1)原式＝[(a －b )＋c ]2＝(a －b )2＋c 2＋2(a －b )c ＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2＋2ac －2bc ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab ＋2ac －2bc ；(2)原式＝[1＋(－2x ＋y )][1－(－2x＋y )]＝12－(－2x ＋y )2＝1－4x 2＋4xy －y 2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a ±b )2的形式．注意a ，b 可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．三、板书设计完全平方公式1．探究公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 2．完全平方公式的几何意义；3．利用完全平方公式计算．本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明．。

14.2.2 完全平方公式学习目标：1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想.重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式运用进行简单的计算.难点：对公式的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释.学习过程：一.温故知新,引入新知（1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？（2）口述多项式乘以多项式法则.（3）计算（2x－1）（3x－4）（5x＋3）（5x－3）二.自主学习，探求新知情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块……（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a＋b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？三.理解运用，提高认识1．(a＋b)2=a2＋b2对吗?为什么?2．仿照公式计算.（1）（x＋y）2 （2）（x - y）2例1.计算：⑴（2a ＋3b ）2；⑵（2）（2a ＋2b ）2 ⑶()22y x +- 例2.计算：（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2 （3）221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x （4）()252b a -- 注意：本例题是两数差的平方，可将（a －b ）看成是[a ＋(－b)]，就将减法统一成加法，即：()()2222222)()(2][b ab a b b a a b a b a +-=-+-+=-+=-， ()2222b ab a b a +-=-在今后的计算中可直接应用.四.深入探究，活学活用例3.计算：⑴()()()22y x y x y x -+- ⑵()()()()221211513-+-+-+m m m m 例4.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值。

14.2 乘法公式(第2课时)一、内容和内容解析1．内容完全平方公式．2．内容解析完全平方公式是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．完全平方公式的符号表示和语言表述解释了公式的结构特征．公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．完全平方公式在代数中具有广泛的应用，它也是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础．完全平方公式是以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，通过一组特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，其过程体现了从特殊到一般的思想方法，具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能．为了进一步了解平方差公式，可以利用错误！未找到引用源。

的几何意义——面积，运用表示面积的方法解释完全平方公式，以便直观地把握公式，体会数形结合思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式．二、目标和目标解析1．目标(1)理解完全平方公式，能用公式进行计算．(2)经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展学生的符号意识和几何直观观念．2．目标解析达成目标(1)的标志：学生能够根据多项式乘法法则推导出完全平方公式，把握完全平方公式的基本结构与特征，会用符号表示，能用数学语言表述公式的内容，当字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确使用公式进行计算．达成目标(2)的标志：学生掌握完全平方公式的推导过程、几何解释，学生在公式的探索过程中，经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，从而提高自身的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质，最终达到灵活、准确应用公式的目的，培养学生观察、分析、归纳和推理能力．三、教学问题诊断分析学生刚接触整式乘法公式，在对多项式乘多项式法则的理解和运用不很透彻，对完全平方公式的结构特点的理解和掌握会有一定的难度．学生在应用公式过程中经常会出现的困难有：(1)公式中三个单项式的符号经常出错，正、负号的位置易混淆；(2)用于解释完全平方公式的图形的理解及用其推导完全平方公式正确性的时候，不会运用面积法建立等式，从而对完全平方公式的正确性进行验证．本节课的教学难点：完全平方公式的结构特点及公式的图形验证方法的掌握．四、教学过程设计1．探究完全平方公式问题1 计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝_______；(m＋2)2＝_______；(2)(p－1)2＝_______；(m－2)2＝_______．师生活动：教师提出问题，学生先独立计算，然后互相交流，得到结果．(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1；(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1；(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4．设计意图：承前启后，复习旧知，为本节内容的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会本节内容与多项式乘法的关系．追问1：上述问题中原式有什么特点？追问2：结果的项数和系数(符号)有什么特点？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括．发现原式是两个数的完全平方，结果中有这两个数的平方和，而2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是这两个数乘积的二倍，(1)(2)之间只差一个符号．设计意图：以“探索”的形式安排的这4个题目，按照多项式的乘法法则计算，从而得到4个题目结果的共同点．问题2你能将发现的规律用一般化的式子表示出来吗？师生活动：学生独立思考后回答，相互补充得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2= a2－2ab＋b2．设计意图：让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法．追问：你能推导出上述式子对任意的a，b都成立吗？师生活动：教师引导学生运用多项式乘法法则及合并同类项，可以推导出：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2．对于(a－b)2＝a2－ab－ab＋b2，学生可能会利用已推导出的公式验证：(a －b)2＝[a＋(－b)2]＝a2＋2·a·(－b)＋b2＝a2－2ab＋b2，教师应当给予鼓励．设计意图：通过不同角度验证完全平方公式的正确性，让学生学会辩证的看待问题，从而加深对公式的理解和对公式结构的掌握，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以正确地写出结果．在推理论证猜想的过程中，体会“归纳——演绎”的基本思想方法．2．理解完全平方公式问题3 我们将前面探究所得的式子(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，称之为乘法的完全平方公式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流互相补充．若学生有困难，教师可以引导学生总结公式结构特征：(1)等式左边：两数和(或差)的平方；(2)等式右边：两个数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍．学生用自己的语言叙述这两个公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．设计意图：让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解和掌握．练习下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x＋y)2＝x2＋y2；(2)(x－y)2＝x2－y2；(3)(x－y)2＝x2＋2xy＋y2；(4)(x＋y)2＝x2＋xy＋y2．师生活动：学生观察、思考后回答问题，对错误的题目加以修改，如有答错，其他同学给予及时的纠正，对于重点且易错的环节教师在最后总结时进行强调．教师对学生可能会出现的错误作及时的预防，(1)漏了乘积项；(2)等号右边变成平方差；(3)乘积项符号和前面一致；(4)乘积项漏了系数2．设计意图：通过观察、对比，找出它们的异同，提高对公式的理解，增强对公式特点的掌握，消除知识的负迁移作用，杜绝错误的发生．问题4 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回忆用面积说明平方差公式时关键是用a，b表示出图中相关正方形和长方形(矩形)的面积，再找到它们的等量关系．通过图1，可以看出大正方形的边长是(a＋b)．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是(a＋b)，其面积是(a＋b)2．于是就可以得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．这正好符合完全平方公式．可以用相同的方法来研究图2的几何意义．如图2，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是(a－b)，所以它的面积是(a－b)2．从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．就是(a－b)2＝a2－2ab＋b2，这也正好符合完全平方公式．设计意图：教师提供多种模式，由学生选择一种去解决．培养学生学习的主动性，开阔学生的思路．同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；正确引导学生学习时知识的正迁移，公式的几何意义有利于学生对公式的直观理解，在此过程中体会数形结合思想．3．应用完全平方公式例1 运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2；(2)212 y⎛⎫ ⎪⎝⎭－．师生活动：师生共同分析，引导学生分清题目中哪部分相当于公式中的a，哪部分相当图1于公式中的b，就是让学生明确“公式中的a，b可表示数，也可表示单项式、多项式或其他的式子”的变化规律．在这个过程中教师要关注学生能否正确的利用完全平方公式计算，可提醒学生：第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．设计意图：具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式．例2 运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992．师生活动：师生共同分析解答，教师板书．学生掌握了这种方法后，可让同桌相互出题解答，再次体会公式的价值．设计意图：这是体会公式“优势”的实例．让学生经历了从特殊到一般后，再体会从一般运用到特殊，也就是当公式中的项换成具体数字时仍适用，开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．问题5 思考：(a＋b)2与 (－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？师生活动：教师出示题目后，给学生一定的独立思考的空间，然后小组之间进行讨论和交流，确定做法和答案后，在班级进行展示，其他小组纠正、补充，全班达成一致后，教师做最后的归纳总结，让学生在理论上得以提升．前两对都相等，(－a－b)2转化为[－(a＋b)]2的方法讲评，力求人人过关．做了一些题目巩固方法后，再尝试让学生归纳出用“同号得正，异号得负”的方法来验证结论中乘积项符号的正确性，第三对可以用做差法得到2b2－2ab，只有a＝b或b＝0才相等，学生答对即可，无须严格推导．设计意图：通过式子间的互相转化，不仅可以加深学生对知识间联系的认识，更可以提高学生灵活运用公式解决问题的能力．练习1．计算：(1)(a＋5)2；(2)(y－7)2；(3)(3＋x)2；(4)(2－y)2．设计意图：给出一组简单的习题，对照公式，如果学生掌握较好可以口答，让学生结合具体问题牢记公式．2．计算：(1)(2x＋3y)2；(2)(－2x＋3y)2；(3)233t⎛⎫⎪⎝⎭－；(4)232xy⎛⎫⎪⎝⎭－＋．师生活动： 选择4名水平相当的学生进行板演，其他学生自己练习，教师巡视检查，及时给予点拨和纠正，学生检查、修改完毕后，对板演同学题目的过程和结果进行核对，纠错，教师对产生的共性问题进行解释和强调．设计意图：进一步强化学生对法则的理解，由浅入深，循序渐进的原则，分数作为字母的系数，可以提高学生的识别能力和计算能力．3．在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？(1)244x x ＋－； (2)2116a ＋； (3)21x －； (4)22x xy y ＋＋；(5)221934x xy y －＋． 设计意图：灵活运用所学知识，逆用完全平方公式，为因式分解和配方法打基础． 预案：例3 若a ＋b ＝5，ab ＝－6，求a 2＋b 2，a 2－ab ＋b 2．设计意图：提高学生运用公式的灵活性、增强学生的思维张力．4．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)完全平方公式结构有什么特点？设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴．知识更加系统化、结构化，初步形成知识网络．5．布置作业教材习题14.2第2，4，6，7题．五、目标检测设计1．若(x －y )2＋N ＝x 2＋xy ＋y 2，则N 为( )．A ．xyB ．0C ．2xyD ．3xy设计意图：检测学生对完全平方公式的理解情况．2．计算：(1)(2m －1)2； (2)(6a ＋5b )2； (3) (－2m －1)2； (4)9982． 设计意图：检测学生对完全平方公式的运用情况．。

14．2．2 完全平方公式（二）（教案）教学目标（一）教学知识点1．添括号法则．2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式．（二）能力训练目标1．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．2．进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．（三）情感与价值观要求鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．教学重点理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用．教学难点在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．教学方法引导─探究相结合教师由去括号法则引入添括号法则，并引导学生适当添括号变形，从而达到熟悉乘法公式应用的目的．教具准备投影片（或多媒体课件）．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．（1）4+（5+2）（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）[生]解：（1）4+（5+2）=4+5+2=14（2）4-（5+2）=4-5-2=-3或：4-（5+2）=4-7=-3（3）a+（b+c）=a+b+c（4）a-（b-c）=a-b+c去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．[师]∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，•同学们可不可以总结出添括号法则来呢？（学生分组讨论，最后总结）[生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．[师]能举例说明吗？[生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．[师]你说得很有条理，也很准确．请同学们利用添括号法则完成下列练习：（出示投影片）1．在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）2．判断下列运算是否正确．（1）2a-b-c=2a-（b-c）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）（学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．Ⅱ．导入新课[师]有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再用公式，这就需要同学们理解乘法公式的结构特征和真正内涵．请同学们分组讨论，完成下列计算．（出示投影片）例：运用乘法公式计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3）( 2)(a + 2b –1 )2.(3)(2x+y+z)(2x–y–z).（让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，•我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，•以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．（2）是一个完全平方的形式，只须将a + 2b –1中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．（3）是用平方差公式计算．【例题解析】(1)原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]= x2-(2y-3)2= x2-(4y2-12y+9)= x2-4y2+12y-9.(2)原式=[(a+2b)-1]2=(a+2b)2–2(a+2b)×1+12=a2 +4ab+4b2–2a-4b+1.(3)原式=[2x +(y +z )][2x –(y +z )]=(2x)2 –(y+z)2=4x2 –(y2 +2yz+ z2)=4x2–y2 -2yz- z2.Ⅲ．随堂练习1.（衢州·中考）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6 选A.2.（湖州·中考）化简a＋2b－b，正确的结果是（）A．a－b B．－2b C．a＋b D．a+2 【解析】选C.a＋2b－b=a＋(2b－b)=a+b.3.（宿迁·中考）若2a-b=2,则6+8a-4b= .【解析】原式=6+4(2a-b)=6+8=14.4.(益阳·中考）已知，求代数式的值．5.计算:（x+3）2-x2.【解法1】逆用平方差公式原式=（x+3+x)(x+3-x)=(2x+3)×3=6x+9.【解法2】用完全平方公式原式= x2+6x+9-x2=6x+9.1．课本P111练习1、2．2．课本P112习题14.2第3、4题Ⅳ．课时小结通过本节课的学习，你有何收获和体会？通过本课时的学习，需要我们掌握：1.添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．2. 利用添括号法则灵活应用完全平方公式．Ⅴ．课后作业课本P112习题14.2第5、6、8、9题．板书设计。

《完全平方公式》一、教材分析说课内容：《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。

教材的地位和作用：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。

而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。

本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。

完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。

教学目标和要求：由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。

过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。

情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。

教学的重点与难点：根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。

在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。

二、教法与学法（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。

（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。

（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。

（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。

三、教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情景，推导公式计算103971、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：、、、；⑵、两种形式表示实验田的总面积：复习旧知，并以问题引入。

《完全平方公式》教学设计一、教材分析完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。

1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。

首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。

通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。

学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。

二、学情分析：1.认知基础:学生已学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。

但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。

2.活动经验基础：在平方差公式一节中，学生已经经历了探索与应用的过程获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。

三、教学目标：（一）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算。

（二）过程与方法：通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。

培养学生的数形结合能力。

14.2.2完全平方公式（2）[教学目标]1．知识与技能：（1）添括号法则的推导；（2）会运用添括号法则进行多项式变形；（3）理解“去括号”与“添括号”的辩证关系。

2．过程与方法：经历添括号法则的推导与应用过程，进一步发展学生利用已有知识推导新知的思想，体验温故而知新的创造性意识。

3．情感态度与价值观：在灵活应用添括号法则的过程中，激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。

[教学重点] 添括号法则的推导与应用。

[教学难点]理解添括号的法则，灵活应用添括号进行多项式的变形，特别是添上“-”号和括号，括到括号里的各项全变号。

[教学方法]探究与讲练相结合的方法。

[教学过程]1创设情境，导入新课1.1 提问去括号法则1.2 练习去括号：（1）a+(b-c); (2) a+(-b-c); (3) a-(-b+c); (4) a-(b-c).解：（1）a+(b-c)＝a+b-c (2) a+(-b-c)=a-b-c(3) a-(-b+c)=a+b-c(4) a-(b-c) =a-b+c把以上式子反过来写，观察从左到右的变形，你发现了什么？a+b-c=a+(b-c) ①a-b-c=a+(-b-c) ②a+b-c=a-(-b+c) ③a-b+c=a-(b-c) ④是添了括号，下面我们来讲新的知识添括号。

2探究添括号法则2.1 添括号有什么规律？2.1.1 观察上面①——④四个式了，等号左右两边对应的项，从左到右哪些项没变，哪些项改变？第1 四个式了中，括号外的项的字母和符号没有改变；第 2 ①②两个式了中，括号内的两项的字母和符号没有改变；为什么？因为添的是“+（ ）”第 3 ③④两个式了中，括号内的两项的字母没有改变，但符号改变；为什么？因为添的是“－（ ）”2.1.2 概括以上三点，我们得到添括号的法则：（1）添括号时，如果括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）添括号时，如果括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。