两个等腰直角三角形变换的全等三角形

一、手拉手模型：1手的判别：判断左右，将等腰三角形顶角顶点朝上，左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2手拉手的定义两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

（左手拉左手，右手拉右手）3手拉手基本结论①△ABC≌△AB'C'(SAS)②∠BAB'=∠BOB'③AO平分∠BOC'二、例题例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。

（4）△AGB≌△DFB（5）△EGB≌△CFB（6）BH平分∠AHC（7）GF∥AC1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；HFGE DA C（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC变式练习2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC变式训练3：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分∠AHC ？例2：如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H. 问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE ？二、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，求证：①.∠MAN=②.③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.例2拓展：在正方形ABCD 中，已知∠MAN=，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.45ABC CMN 2=∆45例3.在四边形ABCD 中，∠B+∠D=，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF.求证：变式：在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∠D ＝90°，AB ＝AD ，若E 、F 分别为边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF .练习巩固1：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..180.21BAD EAF ∠=∠练习巩固2：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固3：如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。

14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定教学目标【知识与能力】学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力。

【过程与方法】经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。

【情感态度价值观】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。

教学重难点【教学重点】掌握判定直角三角形全等的特殊方法。

【教学难点】应用“HL”解决直角三角形全等的问题。

课前准备课件、教具等。

教学过程一、情境导入路旁一棵被大风刮歪的小白杨，为了扶正它，需两边各固定一条长短一样的拉线或支柱．现工人师傅把一根已固定好(右侧一根AC)，之后小聪很快找到了另一根(左侧一根)在地面上的位置：只要BD＝CD，B点即是．小聪找到的位置是对的吗？二、合作探究探究点一：利用“HL”判定直角三角形全等例1 如图，已知CD⊥AB于D，现有四个条件：①AD＝ED；②∠A＝∠BED；③∠C＝∠B；④AC＝EB，那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是( )A．①③ B．②④ C．①④ D．②③解析：推出∠ADC ＝∠BDE ＝90°，根据“AAS ”推出两三角形全等，即可判断A 、B ；根据“HL ”即可判断C ；根据“AAA ”不能判断两三角形全等．选项A 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠ADC ＝∠EDB AD ＝DE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项B 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在△ADC 和△EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BED ，∠ADC ＝∠BDE AC ＝BE ，，∴△ADC ≌△EDB (AAS )；选项C 中，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDE ＝90°.在Rt △ADC 和Rt △EDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BE ，AD ＝ED ， ∴Rt △ADC ≌Rt △EDB (HL )；选项D 中，根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等；故选D.方法总结：本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“SSS ”，在直角三角形中，还有“HL ”定理，如果具备条件“SSA ”和“AAA ”都不能判断两三角形全等．例2 下列说法中，正确的个数是( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：根据HL 可得①正确；由“AAS ”或“ASA ”可得②、③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等，故④错误．故选C.方法总结：本题考查了直角三角形全等的判定，除了HL 外，还有一般三角形全等的四个判定定理，要找准对应关系．探究点二：直角三角形全等的判定(“HL ”)与性质的综合运用例3 如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，E 是AB 上一点，AD ＝2，BC ＝4，且AE ＝BC ，DE ＝CE .(1)Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由；(2)求AB 的长度；(3)△CDE 是不是等腰直角三角形？请说明理由．解析：(1)根据证明直角三角形全等的“HL ”定理证明即可；(2)由(1)可得，AD ＝BE ，AE ＝BC ，所以，AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ；(3)根据题意，∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，又∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC ，所以，∠AED ＋∠BEC ＝90°，即可证得∠DEC ＝90°，即可得出．解：(1)Rt △ADE ≌Rt △BEC ，理由如下：∵在Rt △ADE 和Rt △BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CE ，AE ＝BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC (HL )；(2)∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴AD ＝BE ，又∵AE ＝BC ，∴AB ＝AE ＋BE ＝BC ＋AD ，即AB ＝AD ＋BC ＝2＋4＝6；(3)△CDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠AED ＝∠BCE ，∠ADE ＝∠BEC .又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∠BEC ＋∠BCE ＝90°，∴2(∠AED ＋∠BEC )＝180°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°，∴∠DEC ＝90°.又∵DE ＝CE ，∴△CDE 是等腰直角三角形．方法总结：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．例4 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法“HL ”可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL )，即AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △PQA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL )，即AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、板书设计两个直角三角形全等的判定⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形全等的“HL ”判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.直角三角形全等的判定方法：“SAS ”，“ASA ”，“SSS ”，“AAS ”，“HL ”.教学反思由于直角三角形是特殊的三角形，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，逐步培养他们的逻辑推理能力．通过课堂教学，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深对判定的多层次的理解。

两个等腰直角三角形共点专题共锐角顶点直角开口方向相反基本方法：△EDB中与△ABC不共顶点B的那条线段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底边BC的另一个点C处的CF。

典型例题同侧型：连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M是中点，求EM,AM的大小关系.方法：平移DE到CF，或倍长EM到MF思路:证明△AEB≌△AFC关键:证明∠ABE=∠ACF方法：∵DE⊥BE∴CG⊥BG∴∠ABE=∠ACF回头看：1.△ABC和△AEF是共直角顶点旋转2.四边形GBCA是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）对侧型：四边形ABGC对角互补，共圆推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长提高．如图，在等腰Rt△ABC 与等腰Rt△DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.两个方法：已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN正方形逆向15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC 。

探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。

（1）求证：四边形BEFG 是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形BEFG 是正方形，请说明理由。

14、正方形ABCD 和正方形CEFG ，M 为AF 的中点，连接MD 、ME ．⑴如图①，B 、C 、G 依次在同一条直线上，求证：△MDE 等腰直角三角形；⑵如图②，将正方形CEFG 绕顶点C 旋转45°．使B 、C 、F 依次在同一条直线上，则△MDE 的形状是 ⑶如图③、将正方形CEFG 任意旋转，设∠DC E=α°，猜想△MDE 的形状？写出你的结论并给予证明． 反开口，两个中点变一个中点再找关系19.如图，△ABO 与△CDO 均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M 为BD 的中点，MN⊥AC，试探究MN 与AC 的数量关系，并说明理由。

全等三角形与等腰三角形的应用一：线段的相等1：若所证线段恰好是两个三角形的边，则证这两条线段所在的三角形全等。

?2：若所证线段是同一三角形的边，则证此三角形是等腰三角形；也可通过证中垂线得出结论。

3：上面两种方法无法解决问题时，要用构造法来解题。

例1：如图点A ，B ，C 在一直线上，DC?AC ，AE ∥CD ，A D ⊥BE ，垂足为F ，AB=CD ：求证：AE=AC例2：如图1，已知C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边△，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ；求证：（1）：AE=BD （2）：∠AOB=120° （3）：CM=CN 。

引伸1：若M ，N 分别是DB ，AE 中点，△MCN 是等边三角形吗？若是，请证明，若 不是，请说明理由。

（图2）引伸2：若△ECB 绕点C 顺时针旋转α度，例2中的结论成立吗？若成立，请给于 证明；若不成立，请说明理由。

例3：如图，已知在△ABC 中，D 为AC 上一点，且DC=(1/2)AD ，∠ADB=60°， ∠C=45°，A E ⊥BD 于E ，连接CE ； 求证：EA=EB=EC 。

例4：如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAC=∠DAE ，DB 交AC 于F ，且AF 平分BD ，GE 交AD 于G 。

求证：CG=GE 。

例5：已知：如图，AF 平分∠BAC ，B C ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ； （1）：求证：AB=CD ；（2）：若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由。

图2图1例6：如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点， 易证CD=BE ，△AMN 是等边三角形； （1）：当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立，请说明理由；? （2）：当△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？?若是，请给出证明，若不是，请说明理由。

数学全等三角形教案8篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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判定三角形全等定理三角形全等定理是指，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是解决三角形相关问题的重要工具。

三角形全等定理的主要内容可以分为以下几个方面：1. 三边相等定理如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理也被称为SSS定理，其中SSS代表Side-Side-Side，即三边相等。

2. 两边一角相等定理如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。

3. 两角一边相等定理如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理也被称为ASA定理，其中ASA代表Angle-Side-Angle，即两角一边相等。

4. 直角三角形全等定理如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理也被称为SRT定理，其中SRT代表Side-Right-Angle，即斜边和一个锐角相等。

5. 等腰三角形全等定理如果两个等腰三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。

这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。

三角形全等定理的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形相关问题，例如求解三角形的面积、周长、角度等。

在实际应用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的全等定理进行运用，从而得到正确的答案。

总之，三角形全等定理是几何学中最基本的定理之一，它为我们解决各种三角形相关问题提供了重要的工具和方法。

我们需要熟练掌握这些定理，并能够灵活运用它们，从而在解决实际问题时取得良好的成果。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题一（含答案)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒，45ABC ACB AED ADE ∠=∠=∠=∠=︒，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请在图2中找出与ABE ∆全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC BE ⊥．【答案】（1）与ABE ∆全等的三角形为△ACD ，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质可得∠BAE=∠CAD ，然后利用SAS 即可证出ABE ∆≌△ACD ；（2）根据全等三角形的性质和已知条件可得∠ABE=∠ACD=45°，从而求出∠DCB=90°，然后根据垂直的定义即可证出结论．【详解】解：（1）与ABE ∆全等的三角形为△ACD ，理由如下∵90BAC EAD ∠=∠=︒∴∠BAC ＋∠CAE=∠EAD ＋∠CAE∴∠BAE=∠CAD在ABE ∆和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ∆≌△ACD（2）∵ABE ∆≌△ACD ，45ABC ACB AED ADE ∠=∠=∠=∠=︒∴∠ABE=∠ACD=45°∴∠DCB=∠ACD ＋∠ACB=90°∴DC BE ⊥【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和垂直的判定，掌握利用SAS 判定两个三角形全等、全等三角形的对应角相等和垂直的定义是解决此题的关键．72．如图，AB 、ED 分别垂直于BD ，点B 、D 是垂足，且AB CD =，AC CE =，求证：ACE ∆是直角三角形．【答案】见解析【解析】【分析】利用HL 证出Rt △ABC ≌Rt △CDE ，从而得出∠ACB=∠CED ，然后根据直角三角形的性质和等量代换可得∠ACB ＋∠ECD=90°，从而求出∠ACE ，最后根据直角三角形的定义即可证明．【详解】证明：∵AB 、ED 分别垂直于BD∴∠ABC=∠CDE=90°在Rt △ABC 和Rt △CDE 中AB CD AC CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △CDE∴∠ACB=∠CED∵∠CED ＋∠ECD=90°∴∠ACB ＋∠ECD=90°∴∠ACE=180°－（∠ACB ＋∠ECD ）=90°∴△ACE 为直角三角形【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和直角三角形的判定，掌握利用HL 判定两个三角形全等、全等三角形的对应角相等和直角三角形的定义是解决此题的关键．73．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在ABC ∆内，BD BC =，60DBC ∠=，点E 在ABC ∆外，150CBE ∠=，60ACE ∠=．（1）求ADC ∠的度数．（2）判断ACE ∆的形状并加以证明．（3）连接DE ，若DE CD ⊥，3AD =，求DE 的长．【答案】（1）∠ADC=150°；（2）△ACE 是等边三角形，证明见解析；（3）DE=6．【解析】【分析】（1）先证明△DBC 是等边三角形，根据SSS 证得△ADC ≌△ADB ，得到∠ADC=∠ADB 即可得到答案；（2）证明△ACD ≌△ECB 得到AC=EC ，利用60ACE ∠=即可证得ACE ∆的形状；（3）根据DE CD ⊥及等边三角形的性质求出∠EDB=30°，利用150CBE ∠=求出∠DBE=90°，根据△ACD ≌△ECB ，AD=3，即可求出DE 的长.【详解】（1）∵BD=BC ，∠DBC=60°，∴△DBC 是等边三角形．∴DB=DC ，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB 和△ADC 中，AC AB AD AD DC DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△ADB ．∴∠ADC=∠ADB．∴∠ADC=12（360°﹣60°）=150°．（2）△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE=∠DCB =60°，∴∠ACD=∠ECB．∵∠CBE=150°，∠ADC=150°∴∠ADC=∠EBC．在△ACD和△ECB中，ACD ECB CD CBADC EBC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD≌△ECB．∴AC=CE．∵∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形．（3）连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC=90°．∵∠BDC=60°，∴∠EDB=30°．∵∠CBE=150°，∠DBC=60°，∴∠DBE=90°．∴EB=12 DE．∵△ACD≌△ECB，AD=3，∴EB = AD =3．∴DE=2EB=6．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，（3）是此题的难点，证得∠EDB=30°，∠DBE=90°是解题的关键.74．如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE＝DF，AF=AE，连结AD ．求证：（1）∠FAD＝∠EAD；（2）BD＝CD．【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】（1）根据BE⊥AC、CF⊥AB，DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质定理的逆定理，可知∠FAD=∠EAD；（2）由DE=DF，AD=AD可知Rt∠ADF∠Rt∠ADE，可得出∠ADF=∠ADE，由对顶角相等可知∠BDF=∠CDE，进而可得出∠ADB=∠ADC，进而得∠ABD ≌∠ACD ，进而即可得到结论．【详解】（1）∵BE ⊥AC 、CF ⊥AB ，DE=DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD=∠EAD ；（2）∵∠ADF 与∠ADE 是直角三角形，DE=DF ，AD=AD ，∴Rt ∠ADF ∠Rt ∠ADE （HL ），∴∠ADF=∠ADE ，∵∠BDF=∠CDE ，∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE ，即∠ADB=∠ADC ，在∠ABD 与∠ACD 中，∵FAD EAD AD AD ADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∠ABD ∠∠ACD （ASA ），∴BD=CD ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，掌握HL ，ASA 判定三角形全等，是解题的关键．75．已知：如图，点E C ，在线段BF 上，//AC DF AC DF BE CF ==，，．求证：//AB DE ．【答案】见解析.【解析】【分析】根据题意先证明△ABC≌△DEF，据此求得∠ABC=∠DEF，再利用平行线的判定进一步证明即可.【详解】AC DF，∵//∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC与△DEF中，∵AC=DF，∠ACB=∠DFE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关概念是解题关键.76．如图1，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，OC 平分AOB ∠交AB 于点C ，点D 为线段AB 上一点，过点D 作//DE OC 交y 轴于点E ，已知AO m =，BO n =，且m n 、满足2(6)|2|0n n m -+-=．（1）求AB 、两点的坐标； （2）若点D 为AB 中点，延长DE 交x 轴于点F ，在ED 的延长线上取点G ，使DG DF =，连接BG ．①BG 与y 轴的位置关系怎样？说明理由；②求OF 的长；（3）如图2，若点F 的坐标为1010（，），E 是y 轴的正半轴上一动点，P 是直线AB 上一点，且P 的坐标为66-（，），是否存在点E 使EFP △为等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（0,6）；（2）①BG ⊥y 轴，理由见解析；②32；（3）存在，点E 的坐标为（0,4） 【解析】【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性即可求出m 和n 的值，从而求出点A 、B 的坐标；（2）①利用SAS 即可证出△BDG ≌△ADF ，从而得出∠G=∠AFD ，根据平行线的判定可得BG ∥AF ，从而得出∠GBO=90°，即可得出结论；②过点D 作DM ⊥x 轴于M ，根据平面直角坐标系中线段的中点公式即可求出点D 的坐标，从而求出OM=32，DM=3，根据角平分线的定义可得∠COA=45°，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得△FMD 为等腰三角形，FM=DM=3，从而求出点F 的坐标；（3）过点F 作FG ⊥y 轴于G ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，利用AAS 证出△GFE ≌△HEP ，从而得出FG=EH ，GE=PH ，然后根据点F 和点P 的坐标即可求出OE 的长，从而求出点E 的坐标．【详解】解：（1）∵2(6)|2|0n n m -+-=，2(6)0,|2|0n n m -≥-≥∴60,20n n m -=-=解得：6,3n m ==∴AO=3，BO=6∴点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（0,6）；（2）①BG ⊥y 轴，理由如下∵点D 为AB 中点∴BD=AD在△BDG 和△ADF 中DG DF BDG ADF BD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△ADF∴∠G=∠AFD∴BG∥AF∴∠GBO=180°－∠AOB=90°∴BG⊥y轴；②过点D作DM⊥x轴于M∵点D为AB中点∴点D的坐标为（0360,22）=（3,32）∴OM=32，DM=3∵OC平分AOB∠∴∠COA=145 2AOB∠=︒∵//DE OC∴∠MFD=∠COA=45°∴△FMD为等腰三角形，FM=DM=3∴OF=FM－OM=32；（3）存在，过点F作FG⊥y轴于G，过点P作PH⊥y轴于H若EFP △为等腰直角三角形，必有EF=PE ，∠FEP=90°∴∠GFE ＋∠GEF=90°，∠HEP ＋∠GEF=90°∴∠GFE=∠HEP在△GFE 和△HEP 中90GFE HEP FGE EHP EF PE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△GFE ≌△HEP∴FG=EH ，GE=PH∵点F 的坐标为1010（，），点P 的坐标为66-（，）∴OG=10，PH=6∴GE=6∴OE=OG －GE=4∴点E 的坐标为（0,4）．【点睛】此题考查的是非负性的应用、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和平面直角坐标系中线段中点坐标的求法，掌握平方和绝对值的非负性、构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和平面直角坐标系中线段中点坐标公式是解决此题的关键．77．过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．图（1） 图（2） 图（3）（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN ⊥于点E ，过点D 作DF MN ⊥于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．【答案】(1)EF BE DF =+，证明见解析；(2)EF BE DF =-；(3)EF DF BE =-【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可证BAE ADF ∠=∠，再证ABE DAF ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证BAE ADF ∠=∠，再证ABE DAF ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证BAE ADF ∠=∠，再证ABE DAF ∆≅∆，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可．【详解】（1）EF BE DF =+，证明：四边形ABCD 是正方形AB DA ∴=，90BAD ∠=︒90BAE DAF ∴∠+∠=︒又BE MN ⊥，DF MN ⊥90BEA DFA ∴∠=∠=︒90DAF ADF ∠∠=+︒∴BAE ADF ∠=∠在ABE ∆和DAF ∆中BEA DFA BAE ADF AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE DAF ∆≅∆()AASAF BE ∴=，AE DF =EF AF AE BE DF ∴=+=+（2）EF BE DF =-，理由是：四边形ABCD 是正方形AB DA ∴=，90BAD ∠=︒90BAE DAF ∴∠+∠=︒又BE MN ⊥，DF MN ⊥90BEA DFA ∴∠=∠=︒90DAF ADF ∠∠=+︒∴BAE ADF ∠=∠在ABE ∆和DAF ∆中BEA DFA BAE ADF AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE DAF ∆≅∆()AASAF BE ∴=，AE DF =∴EF=AF-AE=BE-DF（3）EF DF BE =-，理由是：四边形ABCD 是正方形AB DA ∴=，90BAD ∠=︒90BAE DAF ∴∠+∠=︒又BE MN ⊥，DF MN ⊥90BEA DFA ∴∠=∠=︒90DAF ADF ∠∠=+︒∴BAE ADF ∠=∠在ABE ∆和DAF ∆中BEA DFA BAE ADF AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE DAF ∆≅∆()AASAF BE ∴=，AE DF =EF=AE-AF=DF-BE【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明BAE ADF ∠=∠是关键．78．如图，已知B ，D 在线段AC 上，且AD CB =，BF DE =，90AED CFB ∠=∠=︒求证：（1）AED CFB ∆≅∆；（2）//BE DF ．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析;【解析】【分析】（1）根据已知条件直接用直角三角形的“HL ”判定即可；（2）由（1）中全等的三角形可得∠BDE=∠DBF ，再判定DBE BDF ∆≅∆，得出DBE BDF ∠=∠，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．【详解】（1）90AED CFB ∠︒∠==在RT AED ∆和RT CFB ∆中AD CB DE BF =⎧⎨=⎩AED CFB ∴∆≅∆()HL（2）AED CFB ∆≅∆BDE DBF ∴∠=∠在DBE ∆和BDF ∆中DE BF BDE DBF BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DBE BDF ∴∆≅∆(SAS)DBE BDF ∴∠=∠//BE DF ∴【点睛】本题考查的是三角形的全等，掌握三角形全等的判定方法是关键．79．如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，//AB CD ，ABE CDF ∠=∠，AF CE =，连结BC 、AD ．（1）请直接写出图中所有的全等三角形(不添加其它的线)；（2）从（1）中的全等三角形中任选一组进行证明．【答案】（1）△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA，△BEC≌△DFA；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用平行和已知条件可得出△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA，△BEC≌△DFA；（2）可证明△ABE≌△CDF，利用平行可得到∠BAF＝∠DCF，且可得出AE＝FC，可利用AAS证明．【详解】（1）∠ABE∠∠CDF，∠ABC∠∠CDA，∠BEC∠∠DFA，（2）选∠ABE∠∠CDF进行证明，证明：∠AB∠CD，∠∠BAE=∠DCF∠AF=CE，∠AF+EF=CE+EF，即AE=CF．在∠ABE 和∠CDF 中A =C F BAE DCF BE D AF CE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABE ∠∠CDF (AAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL 是解题的关键．80．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=， 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒， 所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的．()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒ 证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠, 180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,∴∠+∠+∠=︒--=︒,DBM CAM BDC1803045105∠+∠+∠的大小不变，是105.所以，DBM CAM BDC【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.。