5刚体力学基础习题思考题

习题55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图，可建立方程：ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④βr a = ，2/2J mr =┄⑤联立，解得：g a 41=，mg T 811= 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：lm=λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦力： d f dmg gd x μμλ==，微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，考虑对称性，有摩擦力矩：20124l M g xd x mgl μλμ==⎰；（2）根据转动定律d M J J dtωβ==，有：0t Mdt Jd ωω-=⎰⎰，2011412mglt m l μω-=-，∴03l t gωμ=。

或利用：0M tJ J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J ml =， 有：03l t gωμ=。

5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。

假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：m g T ma -=┄① βJ TR =┄②a R β= ，212J mR =┄③联立，解得：22mga M m=+，2MmgT M m=+， 考虑到dv a dt=，∴022vtmgdv dtM m=+⎰⎰，有：22mg t v M m=+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。

已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？T解：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，注意到u 为匀速，0d udt=，系统对轴的角动量为：213()()442ML M v R M u v R R M v R M u B A R ω=--+=-()()体人(物物体)而力矩为：13M 44M gR M gR M gR =-+= ，根据角动量定理dtdLM =有：)23(43M u R M v R dt d MgR -=，∴2g a =。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度334m R ρπ=，考虑均质球体内一个微元：2sin dm r drd d ρθθϕ=，由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ2(sin )J r d m θ=⎰，有：222000(sin )sin RJ r r drd d ππθρθθϕ=⋅⎰⎰⎰ 520012[(1cos )cos ]5R r d ππρθθ=⋅⨯--⎰225mR =。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/kN m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从00~90θθ==时，考虑机械能守恒，那么：0θ=时的机械能为：22()(2)1123l mg ml ω⋅+（重力势能转动动能），090θ=时的机械能为：212k x有：222111223l mg ml k x ω⋅+=（） 根据几何关系：0(+x 28.3-⋅=s rad ω5-7可绕O 轴承的摩擦，求：（1点的速率；（2解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有：221ωJ m g R = ，而2221322J mR mR mR =+= ∴R g 34=ω 34RgR v c ==ω 2A v R ω== （2）273y F mg mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。

5-8．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31和l 32．轻杆原来静止在竖直位置。

今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以021v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守恒，有： 22002122()2()32333l lmv l m v l m m ωω⋅=-⋅⋅++⋅有：22004221()9933l l v l v l ω+=+∴032v l ω=5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动。

开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。

)解：（1）利用角动量守恒：ωω2221mR MR mvR +=得：2(2)mvm M Rω=+；（2）选微分d m rd rd σθ=，其中：面密度2M R σπ=，222π3Rf M M grdm grrdr M gR R μμμπ===⎰⎰ ∴由f M t J ω⋅∆=⋅∆有：2221()032M gR t M R mR μω⋅∆=+-， 知：()224M m tR Mgωμ+∆=将()22m M m R ω=+v代入，即得：32mv t M gμ∆= 。

5-10．有一质量为1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。

另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。

已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v和2v，如图所示。

求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O 点的转动惯量2131l m J =)解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v 和2v方向相反，以逆时针为正向，有：22112213m v l m l m v lω=-，得：lm v v m 1212)(3+=ω又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：11012lf m Mg xd x m gl l μμ==⎰，利用fd M Jdt ω-=，有： 210011312t m l d dt m g l ωωμ=-⎰⎰，得：21212()23m v v l t g m gωμμ+==。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2mkg 01.0⋅，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。

解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为max x 。

由机械能守恒：2max max 12k x mg x =，有： max20.49mg x m k==；（2）当物体下落时，由机械能守恒：222111222k x mv J mg x ω++=， 考虑到vRω=，有：2222111222k x m R Jmx ωω++=， 欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令0d d xω=，有： 21()22d k x m R J mg d x ωω++⋅=，将0d d x ω=代入，有：)(245.0m kmgx ==，∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：22max 2121()mgx kx v J m -=+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。

（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知f M k ω=-，而动力矩ωPM=，通电时根据转动定律有：fd M M Jdtω+=代入两边积分有：ωωωωd k P J dt t⎰⎰-=02，可求得：)1(2t J ke kP--=ω； （2）见上式，当t →∞时，电扇稳定转动时的转速：ω=稳定（3）断开电源时，电扇的转速为0ω=，只有f M 作用，那么：d k Jdt ωω-=，考虑到d d dt d ωωωθ=，有：000kd d J θωθω-=⎰⎰，得：0J k θω== 。

5-13．如图所示，物体A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为μ，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。

开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0ω绕其转轴转动。

试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A 的速度多大？物体A 运动后，细绳的张力多大？解：（1）A 在细绳刚绷紧时获得一个冲量，得到速度，但此时无位移，摩擦力不做功，系统的机械能守恒：2220111222AJ J mv ωω=+，其中A v R ω=，212J mR =，可算出：0A v R ω=；（2）物体A 运动后，由牛顿定律：T mg ma μ-=，考虑到βJ TR =-，βR a =可求出：13T mg μ=。

5-14. 质量为m 的小孩站在半径为R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。

平台和小孩开始时均静止。

当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度ω为多少？解：此过程角动量守恒：0m Rv J ω+=，有：mRvJω=-。

5-15．以速度0v 作匀速运动的汽车上，有一质量为m （m 较小），边长为l 的立方形货物箱，如图所示。

当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A 边翻转。