完全平方数

判断完全平方数的方法
判断一个数是否为完全平方数的方法有很多，以下是几种常用的方法：
1. 直接求平方根：对于一个非负整数 n，如果它的平方根是整数，那么它就是完全平方数。

可以使用数学库或者自己实现求平方根的算法来判断。

2. 利用公式：一个数 n 是完全平方数，当且仅当它可以表示成x^2 的形式，其中 x 是整数。

因此，我们可以对 n 开方取整，得到整数 x，再计算 x^2，判断是否等于 n。

3. 利用性质：完全平方数的末尾数字只能是 0、1、4、5、6 或9。

如果一个数的末尾数字不是这些数字中的一个，那么它肯定不是完全平方数。

如果末尾数字是其中一个，我们可以尝试对其进行平方运算，看看是否得到原数。

例如，对于数字 25，它的末尾数字是 5，可以直接判断它是完全平方数；而对于数字 27，它的末尾数字是 7，显然不是完全平方数。

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完全平方数的判断与运算数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，其中涉及到很多概念和规律。

在初中阶段，完全平方数是一个重要的概念，对于学生来说，了解如何判断一个数是否为完全平方数以及如何进行完全平方数的运算是非常重要的。

本文将详细介绍完全平方数的判断与运算方法，帮助中学生和家长更好地理解和应用这一概念。

一、完全平方数的判断方法完全平方数是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。

那么如何判断一个数是否为完全平方数呢？下面我们介绍两种常用的判断方法。

方法一：试除法试除法是最常用的判断一个数是否为完全平方数的方法。

具体步骤如下：1. 从2开始，依次将这个数除以2、3、4、5……直到这个数的平方根，如果能整除，则这个数是完全平方数；如果不能整除，则这个数不是完全平方数。

例如，判断25是否为完全平方数，按照试除法的步骤，我们可以将25除以2、3、4、5，发现25除以5等于5，可以整除，所以25是完全平方数。

方法二：数学定理法除了试除法，我们还可以利用数学定理来判断一个数是否为完全平方数。

其中一个重要的定理是：一个数是完全平方数，当且仅当它的质因数分解中，每个质因数的指数都是偶数。

例如，判断36是否为完全平方数，我们可以将36进行质因数分解，得到36=2^2 * 3^2，可以发现每个质因数的指数都是偶数，所以36是完全平方数。

二、完全平方数的运算方法除了判断一个数是否为完全平方数，我们还需要掌握如何进行完全平方数的运算。

下面我们介绍两种常用的运算方法。

方法一：完全平方数的加减法对于两个完全平方数的加减法，我们可以直接对它们进行运算。

例如，计算16+9，我们可以直接将16和9相加，得到25，25是一个完全平方数。

同样地，对于16-9，我们可以直接将16和9相减，得到7，7不是一个完全平方数。

方法二：完全平方数的乘法对于两个完全平方数的乘法，我们可以利用完全平方数的性质进行运算。

具体步骤如下：1. 将两个完全平方数进行质因数分解；2. 将两个完全平方数的质因数分解结果合并，并将相同的质因数的指数相加；3. 将合并后的质因数分解结果重新组合，得到一个新的完全平方数。

完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。

接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。

最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。

2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。

接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。

最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。

这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。

了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。

★20 完全平方数◎概念：一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。

◎性质：1、分解质因数，每个质因数都有偶数个。

（即指数都是偶数）2、个位数字只能为0、1、4、5、6、9。

3、完全平方数是奇数被4或8除余1，是偶数能被4整除。

4、完全平方数如能被3整除，一定能被9整除，不能被3整除，一定余1。

5、两个完全平方数的积还是完全平方数。

一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。

◎背诵：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262 =676 272=729 282=784 292=841 302=900例1在1~2016的自然数中，完全平方数共有多少个？自主测试：在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数？例2 46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？自主测试：203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少?例3 ：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方？例4: 试问21世纪中那一年的年份数是一个完全平方数？自主测试：哥哥对弟弟说：“到21世纪的x2年，我恰好是x岁，哥哥生于哪年？例5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？自主测试：一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？例6 在前300个自然数中，去掉所有的完全平方数剩下的自然数的和是多少？公式1: 1+2+3+4┄+n=21n(n+1)公式2: 12+ 22+ 32+ 42+┄+ n2= 61n(n+1)(2n+1)自主测试：请说明从1开始的连续n个奇数的和是平方数？练习题1、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？2、12+ 22+ 32+ 42+┄+ 20142除以7的余数是几？3、22015与20152的和除以7的余数是多少？4、在2024到2499之间有多少个平方数?5、1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=____________________★6、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡有的亮，有的灭，十分有趣。

第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表：3.完全平方数的常用性质：完全平方数乘完全平方数是完全平方数。

二、例题精选【例1】计算：215，225，235，245，255，并说明规律。

【巩固1】计算：162,262,362,462,562，并说明规律。

【例2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。

997：____________________；6983：____________________；5112：____________________；6478：____________________；【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。

1199：____________________；7886：____________________；1834：____________________；1275：____________________；【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数，即920179999个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数，即 5620185656...5656个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方，则a的最小值是多少？b的最小值是多少？【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是多少？b的最小值是多少？【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数，所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。

如公元900年，900=302，所以公元900年是快乐年。

那么从1000年到今年（2018年），有多少个“快乐年”？【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份，因为这些年份总会遭遇困恼，其他年份则不会。

完全平方考点总结1. 完全平方定义在数学中，完全平方是指某个数的平方根是一个整数。

换句话说，完全平方是一个非负整数的平方。

数学表达式为：n=m2，其中n是完全平方数，m是整数。

完全平方数的例子有：0，1，4，9，16等。

2. 完全平方的性质完全平方数具有一些特殊的性质，可以帮助我们更好地理解和应用它们。

2.1 完全平方数的性质一：连续奇数和对于任意一个完全平方数n，它可以表示为连续奇数的和。

例如，9可以表示为4+5，16可以表示为7+9，25可以表示为12+13。

2.2 完全平方数的性质二：公式推导完全平方数有一个简单的公式推导，可以帮助我们更方便地计算完全平方数。

数学表达式为：n=2a+1，其中a是非负整数。

根据这个公式，我们可以列举一些完全平方数的例子：•当a = 0时，n = 2*0 + 1 = 1，得到完全平方数1；•当a = 1时，n = 2*1 + 1 = 3，得到非完全平方数3；•当a = 2时，n = 2*2 + 1 = 5，得到非完全平方数5；•当a = 3时，n = 2*3 + 1 = 7，得到非完全平方数7；•当a = 4时，n = 2*4 + 1 = 9，得到完全平方数9；可以发现，当a为完全平方数时，得到的n也是完全平方数。

2.3 完全平方数的性质三：奇数完全平方数所有的完全平方数都是奇数。

通过上面的公式推导可以看出，完全平方数的表达式是2a + 1，其中a是非负整数，所以n一定是奇数。

这一性质对于判断某个数是否为完全平方数很有用。

如果一个数是奇数，那么它一定不是完全平方数。

但是，如果一个数是偶数，它可能是完全平方数，我们需要进一步进行判断。

3. 完全平方数的应用完全平方数在数学以及其它领域都有广泛的应用。

3.1 完全平方数的应用一：素数判断在素数判断问题中，完全平方数有一个重要的作用。

首先，我们知道，除了2以外的所有素数一定是奇数。

如果一个数是完全平方数，并且大于2，那么它的平方根肯定是一个奇数。

完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。

例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。

平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。

例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。

在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。

本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。

例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。

2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。

我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。

如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。

例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。

3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。

我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。

例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。

二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。

例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。

可以发现4²=16，因此√16 = 4。

2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。

首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。

具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。

第二十四课完全平方数一个自然数与它本身相乘，乘积叫做完全平方数，或叫做平方数．例如1×1=1，2×2=4，3×3=9，…，那么1、4、9、…就是完全平方数．完全平方数有一些有趣而且重要的性质：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9．因为任何一个完全平方数的尾数，只能等于02，12，22，32，…，92的尾数，而这些数的尾数只有0，1，4，5，6，9．（2）完全平方数的约数个数是奇数个．因为完全平方数a2，a是自然数，则a=a1×a2×a3×…×ar，a1，a2，a3，…，ar是a的质因数．尾数一定是奇数，所以a2的约数个数是奇数个．（3）一个完全平方数被3除的余数是0或1．因为一个自然数被3除的余数只能是0，1，2这3个数中的一个．如果这个自然数被3除余数是0，那么这个数的完全平方数被3除余数也是0；如果这个自然数被3除余数是1，那么这个数的完全平方数被3除的余数是12，也是1；如果这个自然数被3除余数是2，那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1；所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1．（4）偶数的平方数能被4整除，奇数的平方被4或8除的余数是1．因为偶数表示为2n，n是整数．那么偶数的平方为（2n）2=4n2，能被4整除．奇数表示为2n+1，n是整数，那么奇数的平方为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n+1）n+1，所以奇数的平方被4除的余数是1；又因为n+1，n是两个连续整数，必有一个是偶数，所以4（n+1）n能被8整除，也就是4（n+1）n+1被8除的余数是1，故奇数的平方被8除的余数是1．（5）一个完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0． 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，289，324，361，400．完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0．（6）末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25．这是因为，末位数是5的正整数都可以写成10a ＋5的形式(其中a 为正整数)，它的平方数是=+2)510(a 2100a .25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a ＋1)，它的末两位数都是0，另一个加数是25，它们的和的末两位数一定是25．例：判断1369是否为完全平方数，可作如下分析：1369如果是完全平方数，它的算术平方根一定是二位整数．又它的末位数是9，所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7．因为160040,9003022==，而900<1369<1600，所以1369的算术平方根只可能是33或37．经计算验证得136937,10893322==．因此，1369是一个完全平方数，它的算术平方根是37．“”例：如果判断1214是否完全平方数，可以仿照前面对1369的分析，得到它的算术平方根只可能是32或38．验算得1214144438,121410243222≠=≠=，因此可以判断出1214不是完全平方数． 例：如果判断237，4323，1348等末位数是3，7，8的数是否完全平方数，则结果是显然的．因为末位是3，7，8的正整数不可能是完全平方数．另外，个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数．下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数，则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )Ａ．x ＝25530，y ＝29464B ．x ＝37615，y ＝26855C ．x ＝15123，y ＝32477D ．x ＝28326，y ＝28614思路启迪： 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算，就可以得到正确答案．但这种方法运算量太大．可以用筛选法．对所给四组值分别进行分析、筛选，看哪一组数能使22y x +是完全平方数，哪些组数不能使22y x +是完全平方数．如果能使22y x +是完全平方数的只有一组，显然这一组就是正确答案．规范解法对于A ：x ＝25530，y ＝29464，,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于Ｂ：x ＝37615，y ＝26855．2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时，只有末两位都是0时才能为完全平方数，.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴.22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴ 对于D:x ＝28326，y ＝28614．2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8．而末位数是8的数不可能是完全平方数，.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知，只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数，其余三组数都没有这个可能．而此题有且只有一个正确答案，所以应选Ａ性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

2．5 完全平方数数学竞赛中的许多问题涉及到完全平方数，需要用到完全平方数的一些特性．性质1 完全平方数≡0或1()mod4，奇数的平方()1mod8≡．性质2 相邻两个完全平方数之间没有一个正整数是完全平方数．（这个性质经常用来证明某一类数不是完全平方数）性质3 若两个互素的正整数之积是完全平方数，则这两个数都是完全平方数．注意，“两个完全平方数之积是完全平方数”这个结论是显然的．这里的性质2与性质3对一般的n 次方数都成立，而性质1只列出了完全平方数模4和模8的性质，模其余的数亦有一些相应的性质．例如：完全平方数≡0或1()mod3，完全平方数的末尾数字只能是0，1，4，5，6，9等等．例1 设素数从小到大依次排列为12p p ，，…．证明：对任意大于1的正整数n ，数12n p p p …－1和12n p p p …＋1都不是完全平方数．证明 注意到，n ≥2时，123|n p p p …，故12n p p p …－1≡2()mod3．所以，12n p p p …－1不是完全平方数．又n ≥2时，2n p p …为奇数，设221n p p k …＝＋，就有 ()()1212211433mod4n p p p k k ⋯≡＋＝＋＋＝＋．所以，12n p p p …＋1也不是完全平方数．说明 在处理与完全平方数有关的问题时，经常要用到同余的方法，其中取恰当的“参照物”（即模哪个数）是非常关键的．例2 已知正整数a 、b 满足关系式2223a a b b ＋＝＋．证明：a －b 和2a ＋2b ＋1都是完全平方数．证明 由条件，知()()()22222221b a a b b a b a b ＝＋－＋＝－＋＋． ① 上式左边大于零，右边中2a ＋2b ＋1大于零，故a －b 大于零．由①知，要证a －b 和2a ＋2b ＋1都是完全平方数，只需证明（a －b ，2a ＋2b ＋1）＝1．设（a －b ，2a ＋2b ＋1）＝d ，则由①知22|d b ，故|d b ．进而结合|d a b －，知|d a ，故()|2d a b ＋．又|221d a b ＋＋，所以，|1d ，进而d ＝1．命题获证．说明 这里我们并没有求出①中a 、b 的值（这是比较困难的），但是我们对①作恰当变形，使一边为完全平方数、另一边是两个式子之积后，问题解决起来就容易了．例3 设正整数x 、y 、z 满足（x ，y ，z ）＝1，并且111x y z＋＝．证明：x ＋y 、x －z 、y －z 都是完全平方数．证明 设（x ，y ）＝m ，并设x ＝mn ，y ＝ml ，这里m 、l 、n 都是正整数，且（l ，n ）＝1．从而，由条件可知 （l ＋n ）z ＝mln ． ①利用（x ，y ，z ）＝1，知（m ，z ）＝1，于是，由①知 |z ln ．而（l ，n ）＝1，故（l ，l ＋n ）＝1，（n ，l ＋n ）＝1，因此，由①知|l z ，|n z ，再由（l ，n ）＝1，知ln |z ．所以，z ＝ln ，进而m ＝l ＋n ．这样，我们有()()2x y m l n l n ＋＝＋＝＋，y －z ＝mn －ln ()2n m l n ＝－＝， y －z ＝ml －ln ＝()2l m n l －＝． 命题获证．说明 另一种处理方式基于下面的变形：1x y x y y xy z x z⇒＋＋＝＝ x y x x x z⇒＋＝－ ()()2x y x z x ⇒＋－＝，然后对最后一式利用上例的方法可证x ＋y 与x －z 都是完全平方数，这种处理或许更能体现问题的本质． 例4 求所有的素数p ，使得349p p －＋是一个完全平方数．解：设3249p p x －＋＝，x 为非负整数，则2|9p x －，即()()|33p x x ＋－，结合p 为素数，可设x ＝kp ±3，k 为非负整数．于是，3222496p p x k p kp ±－＝－＝，得2246p k p k ±－＝，这表明：|64p k ±．当p ＞2时，p 为奇素数，可知|32p k ±，故总有p ≤3k ＋2，这表明：()212933p p pk x －－≤－≤． 若24p x ≤，则()2212934p p p －－≤，得368p p≤＋，可知11p ≤；若24p x ＞，则4324916p p p x －＋＝＞，得()3164916p p p －＜－，可知13p ≤． 综上可知，13p ≤，直接枚举，得（p ，x ）＝（2，3），（7，8），（11，36）．求得p ＝2，7，或11． 说明 此例所处理的等式两边不是奇次的，想方设法得到素数p 的一个范围后去枚举是常用的方法，这时一些数论知识的运用结合不等式估计往往是有效的．例5 已知n 为正整数，且2n ＋1与3n ＋1都是完全平方数．证明：40|n ．证明 设221n x ＋＝，231n y ＋＝，其中x 、y 都是正整数．由性质1，知()21mod8x ≡（因为2x 为奇数，故x 为奇数），从而 ()0mod 4n ≡，进而3n ＋1为奇数，故()21mod8y ≡， 即 ()311mod8n ≡＋，于是 ()0mod8n ≡．另一方面，对任意整数a ，有()012mod5a ≡±±，，，故 ()2014mod5a ≡，或． 由条件知 ()22522mod5x y n ≡＋＝＋ 结合前面推出的结论，可知()221mod5x y ≡≡， 故 ()211mod5n ≡＋，从而 ()0mod5n ≡．利用（5，8）＝1，可知40|n ．说明 最小的使得2n ＋1与3n ＋1都是完全平方数的正整数n ＝40，请读者找到下一个符合要求的正整数n ．例6 若a 、b 是使得ab ＋1为完全平方数的正整数，则记a ～b ．证明：若a ～b ，则存在正整数c ，使得a ～c ，b ～c ．证明 由a ～b ，可设21ab x ＋＝，这里x 为正整数，下一个与a 、b 、x 有关的完全平方数是()2a x ＋或()2b x ＋，于是，我们取2c x a b ＝＋＋，则()121ac a x a b ＋＝＋＋＋221ax a ab ＝＋＋＋()2222ax a x x a ＝＋＋＝＋，()21bc x b ＋＝＋．命题获证．说明 此题对代数式变形的能力要求较高．在寻找完全平方数时，往往需要构造完全平方式，因为当一个整式中的字母都取整数时，这个整式的平方显然是完全平方数．当然，反过来并不需要这样的条件． 题中的c 还可以这样来找：设21ac y ＋＝，则()()()22a c b y x y x y x －＝－＝－＋，取y －x ＝a （此时c b y x －＝＋）可符合此式，依此知应取2c b y x x a b ＝＋＋＝＋＋．例7 求所有的正整数数对（a ，b ），使得361a ab ＋＋，361b ab ＋＋，都是完全立方数．解：不妨设a ≤b ，则()3333261612b b ab b b b ＜＋＋≤＋＋＜＋． 由361b ab ＋＋是一个完全立方数，可知 ()33611b ab b ＋＋＝＋， 即有 2633ab b b ＝＋，21b a ＝－，从而 332611261a ab a a a ＋＋＝＋－＋．注意到 ()()3332112614a a a a a ＋≤＋－＋＜＋，因此，由321261a a a ＋－＋是完全立方数，可知只能是321261a a a ＋－＋＝()31a ＋，()32a ＋，()33a ＋．分别求解，可得只能是a ＝1．所以，满足条件的数对（a ，b ）＝（1，1）．说明 先确定某个n 次方数夹在哪两个n 次方数之间，然后确定该n 次方数的取值．这是用不等式估计处理问题的常见方法．例8 求最小的正整数n ，使得存在整数12n x x x ，，…， ，满足444121599n x x x ＋＋…＋＝． 解：由性质1，对任意整数a ，可知()20mod4a ≡或()21mod8a ≡， 由此可得 40a ≡或()1mod16利用这个结论，可知，若n ＜15，设()44412mod16n x x x m ≡＋＋…＋， 则 m ≤n ＜15，而 ()159915mod16≡，矛盾，所以 n ≥15．另外，当n ＝15时，要求()444121mod16n x x x ≡≡≡≡…， 即12n x x x ，，…，都为奇数，这为我们找到合适的数指明了方向，事实上，在1x ，2x ，…，15x 中，1个数取为5，12个取为3，另外两个取为1，就有44444121551232x x x ⨯＋＋…＝＋＋＝625＋972＋2 ＝1599． 所以，n 的最小值为15．即12n x x x ，，…，都为奇数，这为我们找到合适的数指明了方向．事实上，在12x x ，，…， 15x 中，1个数取为5，12个取为3，另外两个取为1，就有4441215x x x ⋯＋＋＋。

完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。

简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。

例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。

完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。

不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。

2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。

如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。

3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。

如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。

完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。

如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。

例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。

例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。

如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。

3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。